河北省保定名校協(xié)作體2024屆高三五月適應性考試（三模）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省保定名校協(xié)作體2024屆高三五月適應性考試（三模）數(shù)學試題一?單項選擇題1.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故選:C2.函數(shù)（）A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增 B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞?C.奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增 D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)〖答案〗A〖解析〗的定義域為，，為偶函數(shù)；當時，在區(qū)間上單調遞增.故選：A.3.如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗元件都不正常的概率，則元件至少有一個正常工作的概率為，而電路是通路，即元件正常工作，元件至少有一個正常工作同時發(fā)生，所以這個電路是通路的概率.故選：B4.已知數(shù)列，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗先判斷充分性：，令，則數(shù)列的偶數(shù)項成等差數(shù)列，令，則數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，但數(shù)列不一定是等差數(shù)列，如：1，1，2，2，3，3，∴“”不是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充分條件；再判斷必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，∴“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的必要條件；綜上，“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.5.已知的三個角，，的對邊分別是，，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，因為，所以，所以，即，所以.故選：D．6.設拋物線的焦點為，過的直線與拋物線在第一象限交于點，與軸交于點，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗為的中點，過點作垂直于軸于點為的中位線，則的坐標為，而，則直線的斜率為.故選：C．7.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由題知，因為，，所以，又因為在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，兩式相減，得，因為，所以.故選：A.8.已知是邊長為的正三角形，點是所在平面內的一點，且滿足，則的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗法一：設的重心為，則，點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又，的最小值是.法二：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標系，則，設，即，化簡得，點的軌跡方程為，設圓心為，，由圓的性質可知當過圓心時最小，又，故得最小值為.故選：C.二?多項選擇題9.如圖，在正方體中，分別為棱的中點，點是面的中心，則下列結論正確的是（）A.四點共面 B.平面被正方體截得的截面是等腰梯形C.平面 D.平面平面〖答案〗BD〖解析〗對于A：如圖經過三點的平面為一個正六邊形，點在平面外，四點不共面，選項A錯誤；對于B：分別連接和，則平面即平面，截面是等腰梯形，選項B正確；對于C：分別取的中點，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項錯誤；對于D：因為是等腰三角形，，，，是的中點，易證，由正方體可得平面，平面，又平面，，平面，平面，平面，平面平面故選項D正確．故選：BD．10.已知復數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結論正確的是（）A. B.C.的最小值為3 D.的最小值為3〖答案〗ABD〖解析〗對A：為純虛數(shù)，可設選項A正確；對B：設，，則，即，則所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，，選項B正確；對C：為純虛數(shù)，對應點在軸上（除去原點），所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，的取值范圍為，無最小值，選項C錯誤；對D：，表示點到以為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，為純虛數(shù)或0，在軸上（除去點），當時取得最小值3，∴選項D正確.故選：ABD．11.已知函數(shù)的定義域為R,對，且為的導函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A：令，則，為奇函數(shù)，故選項A不正確；對于B：令，則，令，則為奇函數(shù)，，的周期為4，，故選項B正確；對于C：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；的周期為4，為偶函數(shù)，，關于對稱，所以，令，可得，令，可得，所以，故，，故選項C正確；對于D：令，則，即①，令，則②，由①+②得，故選項D正確.故選：BCD．三?填空題12.已知圓錐曲線的焦點在軸上，且離心率為2，則______．〖答案〗〖解析〗圓錐曲線的離心率為，則該圓錐曲線是雙曲線，將方程化成焦點在軸上的標準形式，由離心率，有，得．故〖答案〗為：13.已知矩形中，以所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周形成面所圍成的幾何體的體積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，以所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成兩個共底面的圓錐，旋轉一周形成一個倒立的相同的幾何體，將其體積記為，這兩個幾何體重疊部分是以圓為底面，為頂點的兩個小圓錐，其體積記為，則所求幾何體體積.故〖答案〗為：.14.一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到紅球的次數(shù)，，則的數(shù)學期望為______（用表示）．〖答案〗〖解析〗由題知，，，，.故〖答案〗為：.四?解答題15已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有最大值，求實數(shù)的值．解：（1）1°當時在區(qū)間上單調遞增。2°當時，時，單調遞增時，單調遞減，綜上，當時，的增區(qū)間是，當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）由（1）知當時，無最大值。當時，，平方有，解得．16.（1）假設變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，，，，兩個變量滿足一元線性回歸模型，請寫出參數(shù)的最小二乘估計；（2）為推動新能源汽車產業(yè)高質量發(fā)展，國家出臺了系列政策舉措，對新能源汽車產業(yè)發(fā)展帶來了巨大的推動效果.下表是某新能源汽車品牌從2019年到2023年新能源汽車的年銷量（萬），其中年份對應的年份代碼為1-5．已知根據(jù)散點圖和相關系數(shù)判斷，它們之間具有較強的線性相關關系，可以用線性回歸模型描述．年份代碼12345銷量（萬）49141825令變量,,則變量與變量滿足一元線性回歸模型,利用（1）中結論求關于的經驗回歸方程，并預測2025年該品牌新能源汽車的銷售量．解：（1），要使殘差平方和最小，當且僅當，所以參數(shù)的最小二乘估計為.（2）由題知，，所以，，所以，所以，所以，，所以，當時，（萬），故關于的經驗回歸方程為，預計2025年該品牌新能源汽車的銷售量將達到34.4萬輛．17.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面與相交于點，點在上，．（1）證明：平面；（2）若與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，求．（1）證明：底面是菱形，，平面，且平面，.又，平面,平面，平面，，又，且平面，，平面，平面，，，，即，又平面，且，平面．（2）解：以為原點，以為軸，為軸，過點且平行的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，,,又,在中由勾股定理得,即,.，，，，平面，與平面所成的角為，平面，是平面的一個法向量，平面，平面，平面平面，設，只需，則平面，則，令，則，，.18.己知圓，動圓與圓相內切，且經過定點（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若直線與（1）中軌跡交于不同的兩點，記外接圓的圓心為（為坐標原點），平面上是否存在兩定點，使得為定值，若存在，求出定點坐標和定值，若不存在，請說明理由．解：（1）設圓的半徑為，圓與動圓內切于點．點在圓內部，點在圓內部．，點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，其方程為．（2）（方法一）聯(lián)立與橢圓方程，消得，設，則，的中垂線方程為：，即①的中垂線方程為：②由①②兩式可得，外接圓圓心的橫坐標，其中，又的中垂線方程為，即，圓心的縱坐標為，圓心在雙曲線上，存定點，使得（定值），（方法二）設外接圓方程為，聯(lián)立與圓方程，消得，則，解得，設圓心坐標為，則，圓心在雙曲線上，存在定點，使得（定值），19.對于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列,使得，則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的．（1）證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的．（2）記，證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則或數(shù)列是等比數(shù)列．（3）設數(shù)列的前項和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，求的通項公式．（1）證明：是等差數(shù)列，設，令，則是等差數(shù)列，是