平面向量同步檢測5

第二章2.12.1.5一、選擇題1．已知數(shù)軸上A點坐標(biāo)為－5，AB＝－7，則B點坐標(biāo)是()導(dǎo)學(xué)號34340571A．－2 B．2C．12 D．－12[答案]D[解析]∵xA＝－5，AB＝－7，∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12.2．設(shè)a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－2a)共線，則實數(shù)λ的值等于()導(dǎo)學(xué)號3434057A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2[答案]A[解析]∵向量a＋λb與－(b－2a)共線，∴存在實數(shù)k，使得a＋λb＝－k(b－2a)＝－kb＋2ka，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1,λ＝－k))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2),λ＝－\f(1,2))).3．已知e1、e2不共線，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，則k的值為()導(dǎo)學(xué)號34340573A．8 B．－8C．3 D．－3[答案]B[解析]∵a∥b，∴存在實數(shù)m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝6m,－4＝mk))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),k＝－8)).4．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()導(dǎo)學(xué)號34340574A．平行四邊形 B．梯形C．菱形 D．矩形[答案]B[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴AB∥CD，且AB>CD，∴四邊形ABCD為梯形．5．已知平面內(nèi)有一點P及一個△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則()導(dǎo)學(xué)號34340575A．點P在△ABC外部 B．點P在線段AB上C．點P在線段BC上 D．點P在線段AC上[答案]D[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→)).∴點A、P、C三點共線，∴點P在線段AC上．6．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()導(dǎo)學(xué)號34340576A．A、B、C B．A、B、DC．B、C、D D．A、C、D[答案]B[解析]∵Beq\o(D,\s\up6(→))＝Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(D,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴Aeq\o(B,\s\up6(→))與Beq\o(D,\s\up6(→))共線，又∵Aeq\o(B,\s\up6(→))與Beq\o(D,\s\up6(→))有公共點B，∴A、B、D三點共線．二、填空題7．軸上三點A、B、C的坐標(biāo)分別為1、－1、－5，則AC＋BC＝________，|AC|＋|BC|＝________.導(dǎo)學(xué)號34340577[答案]－1010[解析]AC＋BC＝－6＋(－4)＝－10，|AC|＋|BC|＝6＋4＝10.8．設(shè)數(shù)軸上A、B的坐標(biāo)分別是2、6，則AB的中點C的坐標(biāo)是________．導(dǎo)學(xué)號34340578[答案]4[解析]∵xA＝2，xB＝6.∴AB中點C的坐標(biāo)為xC＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(2＋6,2)＝4.三、解答題9．設(shè)兩個非零向量a與b不共線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點共線．導(dǎo)學(xué)號34340579[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點B，∴A、B、D三點共線．10.如圖，在△ABC中，D、E分別為邊BC、AC的中點，記eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝m.求證：eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)m＋eq\f(1,4)a.導(dǎo)學(xué)號34340580[解析]∵D為BC的中點，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝m－eq\f(1,2)a.又∵D，E分別為BC，AC的中點，∴DE綊eq\f(1,2)AB，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)m＋eq\f(1,4)a.一、選擇題1．設(shè)a、b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(k、m∈R)，則當(dāng)A、B、C三點共線時，有()導(dǎo)學(xué)號34340581A．k＝m B．km－1＝0C．km＋1＝0 D．k＋m＝0[答案]B[解析]∵A、B、C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，∴a＋kb＝mna＋nb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn＝1,k＝n))，∴mk－1＝0.2．已知點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且3eq\o(PA,\s\up6(→))＋5eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，設(shè)△ABC的面積為S，則△PAC的面積為()導(dǎo)學(xué)號34340582A．eq\f(3,4)S B．eq\f(2,3)SC．eq\f(1,2)S D．eq\f(2,5)S[答案]C[解析]如圖，由于3eq\o(PA,\s\up6(→))＋5eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則3(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－2(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，則eq\f(3\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→)),2)＝eq\f(－2\o(PB,\s\up6(→))＋\o(PC,\s\up6(→)),2)，設(shè)AB、BC的中點M、N，則eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，即3eq\o(PM,\s\up6(→))＝－2eq\o(PN,\s\up6(→))，則點P在中位線MN上，則△PAC的面積是△ABC的面積的一半．3．已知向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()導(dǎo)學(xué)號34340583A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向[答案]D[解析]∵a、b不共線且c∥d，∴eq\f(k,1)＝eq\f(1,－1)，∴k＝－1，此時c＝－d，即c與d反向．4．在△ABC中，P為一動點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的()導(dǎo)學(xué)號34340584A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心[答案]C[解析]如圖，取BC的中點D，連接AD，并延長AD至點E，使得AD＝DE，連接BE、CE.則四邊形ABEC為平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＝2λeq\o(AD,\s\up6(→))，∴A、P、D三點共線．∵AD是△ABC的BC邊上的中線，又∵λ∈[0，＋∞)，∴點P的軌跡通過△ABC的重心．二、填空題5．已知e1、e2是兩個不共線的向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2與b＝2e1＋3e2是兩個平行的向量，則k＝________.導(dǎo)學(xué)號34340585[答案]eq\f(1,3)或－2[解析]∵a∥b，∴存在實數(shù)m，使得a＝mb，∴k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2＝m(2e1＋3e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝2m,1－\f(5,2)k＝3m))，即3k2＋5k－2＝0，∴k＝eq\f(1,3)或－2.6．已知D、E分別是△ABC的邊BC、CA上的點，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝________.導(dǎo)學(xué)號34340586[答案]－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b[解析]如圖，Deq\o(E,\s\up6(→))＝Deq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(A,\s\up6(→))＋Aeq\o(E,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)Beq\o(C,\s\up6(→))＋Beq\o(A,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)Aeq\o(C,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(b－a)－a＋eq\f(2,3)b＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.三、解答題7.如圖，平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD，求證：M、N、C三點共線．導(dǎo)學(xué)號34340587[解析]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，則：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－e1＋e2，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)e1＋eq\f(1,3)e2，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1＋e2，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e1＋eq\f(1,3)e2＝eq\f(1,6)e1＋eq\f(1,3)e2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e1＋e2)).故eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MC,\s\up6(→))，故M、N、C三點共線．8．在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是它的中位線，求證：EF∥AD∥BC且EF＝eq\f(1,2)(AD＋BC)．導(dǎo)學(xué)號34340588[解析]在梯形ABCD中，由AD∥BC可知eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))且eq\o(AD,\s\up6(→))≠0∴可設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(λ∈R)．又EF是梯形ABCD的中位線，∴E、F分別是AB、CD的中點，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝0，eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，∴2eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(1＋λ)eq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，又EF與AD沒有公共點，∴EF∥AD，∴EF∥AD∥BC．又由2eq\o(EF,\s\up6(→