河北省名校聯(lián)盟2024屆高考三模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省名校聯(lián)盟2024屆高考三模數(shù)學試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，或，則,所以，故選：A.2設(shè)復數(shù)滿足，則（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因為，則，則，所以.故選：B.3.已知非零向量，的夾角為，，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，則，且非零向量，的夾角為，，可知向量，的夾角為，則，所以.故選：D.4.某高校決定從甲、乙等7支隊伍中選出4支隊伍參加全國的數(shù)學建模大賽，已知甲隊被選出，則乙隊也被選出的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記甲隊被選出為事件A，乙隊被選出為事件，則，，所以.故選：A.5.已知是坐標原點，是雙曲線右支上任意一點，過點作雙曲線的切線，與其漸近線交于A，兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的一點，不妨設(shè)，得，得，所以，則在的切線斜率，所以在點處的切線方程為，又由，可得切線方程為，所以與x軸交點坐標為不妨設(shè)是切線與漸近線在第一象限的交點，是切線與漸近線在第四象限的交點，雙曲線的漸近線方程是，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，解得，所以，所以,故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則周期的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，令得，所以，，因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，只需且，解得，令得，得，因為，所以的取值范圍，所以周期的最小值是，故選：．7.已知三棱錐，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（）A1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，解得（負值已舍去）；因為平面，所以，即，解得（負值已舍去）；所以.故選：B8.已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，因為，，，所以即，，，在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.二、選擇題9.根據(jù)中國報告大廳對2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量進行監(jiān)測統(tǒng)計，太陽能發(fā)電量（單位：億千瓦時）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：月份3456發(fā)電量/億千瓦時242.94230.87240.59259.33月份78910發(fā)電量/億千瓦時258.9269.19246.06244.31關(guān)于2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量，下列四種說法正確的是（）A.中位數(shù)是259.115 B.極差是38.32C.第85百分位數(shù)是259.33 D.第25百分位數(shù)是240.59〖答案〗BC〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是，故A錯誤；極差是，故B正確；因為，所以第85百分位數(shù)是第7個數(shù)，即，故C正確；因為，所以第25百分位數(shù)是，故D錯誤；故選:BC.10.已知一個裝有半瓶水的圓柱形玻璃杯，其底面半徑為，玻璃杯高為（玻璃厚度忽略不計），其傾斜狀態(tài)的正視圖如圖所示，表示水平桌面．當玻璃杯傾斜時，瓶內(nèi)水面為橢圓形，陰影部分為瓶內(nèi)水的正視圖．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，橢圓的離心率為B.當橢圓的離心率最大時，C.當橢圓的焦距為4時，D.當時，橢圓的焦距為6〖答案〗AD〖解析〗過作于，如圖，由，當時，在中，，所以橢圓中，，故A正確；因為橢圓的短軸長為定值6，，所以當橢圓的長軸最長時，橢圓的離心率最大，由圖可知，橢圓長軸為時，橢圓的長軸最長，此時，故B錯誤；當橢圓的焦距為4時，，即，所以，所以，故C錯誤；當時，，所以，由勾股定理可得，即，，所以，所以焦距，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱． B.的圖象關(guān)于點對稱．C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故A錯誤；對于B，由為偶函數(shù)，所以，所以，即，即，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故B正確；對于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以為周期是的函數(shù)，即，故D正確.對于C，由題意及上述分析知是以為周期的函數(shù)，且，不妨設(shè)，所以，周期均為且，所以，所以C錯誤；故選：BD.三、填空題12.已知一個基因由若干個堿基對組成，而一個堿基對由A，，，四種堿基中任取兩個堿基配對排列而成，其中A只能與配對，只能與配對．如果個堿基對組成一個基因，那么個堿基對組成的基因個數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗因為一個堿基對是由A，，，四種堿基中任取兩個堿基配對排列而成，其中A只能與配對，只能與配對，所以堿基對有共有個，若個堿基對組成一個基因，那么個堿基對組成的基因個數(shù)為.故〖答案〗為：.13.已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，是的中線．若，且，則面積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，由余弦定理，所以，又，所以，因為是中邊上中線，則，即，所以，所以，可得，當且僅當時等號成立，故，即面積的最大值為．故〖答案〗為：14.已知對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，即，設(shè)，，令，，即在上單調(diào)遞增，令，，即在上單調(diào)遞減，則，所以，解得.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知橢圓：的離心率為，是橢圓的短軸的一個頂點．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)圓：，過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別為，．設(shè)兩切線的斜率均存在，分別為，，問：是否為定值？若不是，說明理由；若是，求出定值．解：（1）由題意得，又，解得，故橢圓方程為；（2）是，，理由如下：設(shè)，當時，此時兩切線中的一條切線斜率不存在，舍去，故，，設(shè)過點與橢圓相切直線為，與聯(lián)立得，由得，，整理得，過點與橢圓相切的兩直線斜率分別為，，所以16.某學校的數(shù)學興趣小組對學校學生的冰雪運動情況進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的學生喜歡滑雪運動．從這些被調(diào)研的學生中隨機抽取3人進行調(diào)查，假設(shè)每個學生被選到的可能性相等．（1）記表示喜歡滑雪運動的人數(shù)，求的數(shù)學期望．（2）若該數(shù)學興趣小組計劃在全校學生中抽選一名喜歡滑雪運動的學生進行訪談．抽選規(guī)則如下：在全校學生中隨機抽選一名學生，如果該學生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學生，結(jié)束抽選活動；如果該學生不喜歡滑雪運動，則繼續(xù)隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學生為止，結(jié)束抽選活動．并且規(guī)定抽取的次數(shù)不超過次，其中小于當次調(diào)查的總?cè)藬?shù)．設(shè)在抽選活動結(jié)束時，抽到不喜歡滑雪運動的學生的人數(shù)為，求抽到名學生不喜歡滑雪運動的概率．解：（1）由題意，，，.（2）由題意，的可能取值為，，，，，，，綜上，.17.已知函數(shù)．（1）當時，證明：．（2）若函數(shù)，試問：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請說明理由．（1）證明：函數(shù)定義域為,令，則，當時，，且，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故得證，.（2）解：由題意，則，令，則當時，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，所以在單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞增，且，又，故，使得，所以當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，當時，函數(shù)有極小值，極小值為.故存在，極小值為0.18.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，窟蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍的字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個“芻甍”如圖所示，四邊形為矩形，四邊形、為兩個全等的等腰梯形，，，，P是線段AD上一點.（1）若點P是線段AD上靠近點A的三等分點，Q為線段CF上一點，且，證明：平面；（2）若E到平面的距離為，與平面所成角的正弦值為，求AP的長.（1）證明：連接交于點，連接，因為，且，所以，因為，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）解：分別取的中點，連接，則，且，因為四邊形與四邊形為全等的等腰梯形，所以，四邊形為等腰梯形，且，，，，又，所以，因為平面，且為兩條相交直線，所以平面，平面，所以平面平面.平面平面,過在平面內(nèi)作的垂線，垂足為，則平面，，.過作，易得兩兩垂直，以坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，設(shè)（），所以，，.設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得，，所以，設(shè)PF與平面所成角的大小為，則，解得，且滿足題意，所以，或.19.已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表A滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)表A由生成.①任意中有三個，一個3；②存在，使中恰有三個數(shù)相等.（1）判斷數(shù)表是否由生成；（結(jié)論無需證明）（2）是否存在數(shù)表由生成？說明理由；（3）若存在數(shù)表由生成，寫出所有可能的值.解：（1）數(shù)表是由生成；檢驗性質(zhì)①：當時，，共三個，一個3；當時，，共三個，一個3；當時，，共三個，一個3；任意中有三個，一個3；檢驗性質(zhì)②：當時，，恰有3個數(shù)相等.（2）不存在數(shù)表由生成,理由如下:若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①任意中有三個，一個3，則或-1，總有與的奇偶性相反，類似的，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反；因為中恰有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，所以對任意的，中均有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，此時中至多有2個數(shù)相等，不滿足性質(zhì)②；綜上，不存在數(shù)表由生成；（3）的所有可能的值為3，7，11.一方面，當時，可以生成數(shù)表；當時，可以生成數(shù)表；當時，可以生成數(shù)表；另一方面，若存在數(shù)表A由生成，首先證明：除以4余3；證明：對任意的，令，則，分三種情況：（i）若，且，則；（ii）若，且，則；（iii）若，且，則；均有與除以4的余數(shù)相同.特別的，“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；類似的，“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”