江蘇省南京市五校聯(lián)合體2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市五校聯(lián)合體2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位)，則復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以復數(shù)的虛部是.故選：C.2.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結論中正確的是（）A.若，，則B.若m⊥α，n⊥α，則C.若，，且，，則D.若α⊥β，，m⊥n，則n⊥β〖答案〗B〖解析〗A選項，若，，則或異面，A錯誤；B選項，若m⊥α，n⊥α，則，B正確；C選項，若，則不能得到，C錯誤；D選項，如圖，滿足α⊥β，，m⊥n，，但不能推出n⊥β，D錯誤.故選：B.3.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為5，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A.=10，=14 B.=9，=44C.=29，=45 D.=29，=44〖答案〗C〖解析〗原來數(shù)據(jù)平均值為，方差為則，方差為．故選：C．4.向量與不共線，，()，若與共線，則應滿足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為與不共線，且與共線，則，即，即.故選：C.5.同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，觀察向上的點數(shù)，設事件“第一枚向上點數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚向上點數(shù)為偶數(shù)”，事件“兩枚骰子向上點數(shù)之和為8”，事件“兩枚骰子向上點數(shù)之積為奇數(shù)”，則（）A.與C互斥 B.A與C相互獨立C.B與D互斥 D.B與D相互獨立〖答案〗C〖解析〗記表示基本事件：第一枚骰子點數(shù)為，第二枚骰子的點數(shù)為，對A：對事件、都包含基本事件，所以與不互斥，故A錯誤；對B：因為，，事件包含基本事件，，所以，因為，所以不獨立，故B錯誤；對C：若第二枚骰子的點數(shù)是偶數(shù)，則兩枚骰子的點數(shù)之積不可能為奇數(shù)，所以事件和互斥，故C正確；對D：因為，，，因為，所以不獨立，故D錯誤.故選：C.6.在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．若，，，則實數(shù)a的值為（）A.6 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，由正弦定理得，，化簡得，因為，所以，可得，又，所以，由正弦定理得，.故選：C.7.如圖，四棱錐中，面，四邊形為正方形，，與平面所成角的大小為，且，則四棱錐的外接球表面積為（）A.26π B.28πC.34π D.14π〖答案〗C〖解析〗如圖，因為面，四邊形為正方形，所以可將四棱錐補成長方體，則四棱錐的外接球也是長方體的外接球，由面，所以就是與平面所成的角，則，所以，設四棱錐的外接球的半徑為，因為長方體的對角線的長即為其外接球的直徑，所以，所以，所以四棱錐的外接球的表面積為.故選：C.8.已知，，若，則實數(shù)的值（）A B.3 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，因為，所以，則，上述等式兩邊平方可得，因為，所以，所以，解得.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設復數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則下列結論正確的是（）A.的共軛復數(shù)為 B.C.在復平面內對應的點位于第二象限 D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以，故A正確；因為，故B錯誤；因為，所對應點為，故C正確；因為，故D正確.故選：ACD.10.已知內角對邊分別為，則下列說法正確的是（）A若，則B.若，則為等腰三角形C.若，則為銳角三角形D.若的三角形有兩解〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，則由正弦定理可得，，所以，即，故A正確；對于B，由余弦定理得，化簡得，故為等腰三角形，故B正確；對于C，由余弦定理，因為，所以，故只能判斷為銳角，無法判斷，故C錯誤；對于D，若，則由正弦定理得，因為，所以三角形有兩解，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，則（）A.M，N，B，四點共面B.若，則異面直線與MN所成角的正弦值為C.平面PMN截正方體所得截面為等腰梯形D.若，則三棱錐的體積為〖答案〗AD〖解析〗A選項，連接，，因為M，N分別是，的中點，所以，又，故，所以M，N，B，四點共面，A正確；B選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，則異面直線與MN所成角的余弦值為，故正弦值為，B錯誤；C選項，如圖所示，設的中點分別為，連接，故平面PMN截正方體所得截面為正六邊形，C錯誤；D選項，連接，則，故，其中，⊥平面，所以，D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，不需寫出解答過程，請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應位置上．12.一只不透明的口袋中裝有形狀、大小都相同的6個小球，其中2個白球，1個紅球和3個黃球，從中1次隨機摸出2個球，則恰有一球是黃球的概率是_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設2個白球的編號為，1個紅球的編號為c，3個黃球編號為，從中1次隨機摸出2個球，共有：，共15種基本事件，其中滿足恰有一球是黃球的基本事件有9種，故所求概率，故恰有一球是黃球的概率為：．故〖答案〗為：．13.已知，，，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，，所以，，所以，又，所以，即，所以.

故〖答案〗為：.14.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，，是的中線，且，則的最大值為_______．〖答案〗4〖解析〗由題意得，，因為是的中線，所以，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，得，當且僅當時取等號，所以的最大值為4.故〖答案〗為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，所以，所以，所以.（2）因為，所以，因為，所以，所以.16.某市高一年級數(shù)學期末考試，滿分為100分，為做好分析評價工作，現(xiàn)從中隨機抽取100名學生成績，經統(tǒng)計，這批學生的成績全部介于40和100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率直方圖．（1）求頻率直方圖中m的值，并估計這100名學生的平均成績；（2）若成績在的為A等級，的為B等級，其他為C等級，①在這100名學生中用分層抽樣的方法在A，B，C三個等級中抽取25人，求從B等級中抽取的人數(shù)．②以樣本估計總體，用頻率代替概率，從該市所有參加考試的高一年級學生中隨機抽取3人，求至少有一人為B等級的概率．（注：當總體數(shù)比較大時，不放回抽取可視為有放回抽取）解：（1）由頻率直方圖知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，∴0.012，易知，，，，，相應的頻率分別為0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04，∴100名同學的平均成績估計值為：0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4.（2）①由(1)知A等級的頻率為0.04，A等級的人數(shù)為100×0.04＝4人，B等級的頻率為(0.28＋0.12)＝0.4，B等級的人數(shù)為100×0.4＝40人，C等級的頻率為(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等級的人數(shù)為100×0.56＝56人，∴抽取25人中B等級中的人數(shù)為25×＝10人.②用頻率代替概率，所以抽取一次，B等級被抽中的概率為0.4，抽取三次都沒有抽中B等級的概率＝(1－0.4)3＝0.216，所以隨機抽取3人至少有一人為B等級的概率＝1－0.216＝0.784.17.如圖，在平行四邊形中，，垂足為P，E為中點，（1）若·=32，求的長；（2）設||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值．解：（1），∴是在方向上的投影向量，∴·＝，即.法二：，∴·||·||||·||，即.（2）在中，，所以，＝＝，因為，所以，，以P為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，建系如圖：易知因為E為中點，所以，，，，∵＝x＋y，∴，由平面向量基本定理得：，解得：，所以：.法二：在中，，所以，＝＝，因為，所以，，因為，所以，又∵由平面向量基本定理得：，解得：，所以：.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，在棱上且側面，，垂足為．（1）求證：平面；（2）若平面與直線交于點，證明：；（3）側面為等邊三角形時，求二面角的平面角的正切值．解：（1）如圖：因為側面，平面，所以，又因為四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，因為側面，所以，因，且，平面，所以平面.（2）因為底面為正方形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（3）如圖：由題為等邊三角形，，故為中點，在線段上取點，使得，因為是正方形，所以，又，所以，又因為底面，底面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，設，不妨設等邊的邊長為2，則，，所以在中，.19.已知函數(shù)f(x)＝sinx＋mcosx.（1）若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=軸對稱，求實數(shù)m的值．（2）已知銳角△ABC的角A，B，C對邊分別是a，b，c，c=且當m=1時滿足f(A)=.（i）若∠BCA的角平分線交邊