遼寧省部分學校2024屆高三搶分卷（三）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省部分學校2024屆高三搶分卷（三）數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，若，則中所有元素之和為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由得或，解得：或，若，則，不符合題意；若，，從而，所以中所有元素之和為4，故選：C．2.已知復數(shù)滿足，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以.故選：B.3.已知隨機變量，其中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由二項分布的知識得，得，又，所以，所以．故選：D．4.某農業(yè)研究所對玉米幼穗的葉齡指數(shù)與可見葉片數(shù)進行分析研究，其關系可以用函數(shù)（為常數(shù)）表示．若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30，則當玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時，可見葉片數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗C〖解析〗由題意知，，則等式兩邊同時取自然對數(shù)得，，．，，，，故選：C．5.已知非零向量滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將兩邊同時平方，，由得，所以，整理得，所以．故選：A.6.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，且，的面積為，則橢圓的焦距為（）A. B. C.6 D.12〖答案〗B〖解析〗由已知條件及橢圓的定義可得，故，，設，因為橢圓的離心率為，所以，由余弦定理可得，則，故的面積為，故，則，故橢圓的焦距為.故選：B．7.已知圓臺存在內切球（與圓臺的上、下底面及側面都相切的球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側面積之比為，設圓臺與球的體積分別為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設圓臺的上、下底面半徑分別為，母線長為，高為，內切球的半徑為，顯然圓臺軸截面等腰梯形的內切圓是球的截面大圓，則，，由，整理得，而，解得，，因此圓臺的高，，則圓臺的體積，內切球的體積，所以.故選：D8.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗易知函數(shù)的定義域為．由可得，所以函數(shù)是偶函數(shù)．易得，令，則，當且僅當時取等號，所以是增函數(shù)，又，故當時，，即在上單調遞增．由上分析知，當時，，因，故當時，，即“”是“”的充分條件；當時，，可得，所以或，即“”不是“”的必要條件．故選：A．二、選擇題9已知，，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗選項A：因為，，，所以，所以，故A正確．選項B：，當且僅當時取等號，（利用基本不等式時注意取等號的條件）,故B正確．選項C：，所以，當且僅當時取等號，故C錯誤．選項D：，當且僅當時取等號，（另解：，當且僅當時取等號）,故D正確．故選:ABD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小值是B.若，則在上單調遞減C.若在上恰有3個零點，則的取值范圍為D.函數(shù)的值域為〖答案〗AC〖解析〗，選項A：因為，所以，的最小值為，故A正確；選項B：當時，，由得，所以在上單調遞增，故B錯誤；選項C：由得，若在上恰有3個零點，則，得，故C正確；選項D：因為，所以，所以，解得，故D錯誤．故選：AC.11.已知雙曲線的左焦點、右焦點分別為雙曲線的左、右頂點，過的直線分別交雙曲線的左、右兩支于點，交雙曲線的右支于點（與不重合），關于的一條漸近線的對稱點為，且與的周長之差為2，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的離心率為2B.的面積為C.過點作直線與雙曲線交于點，若，則滿足條件的直線只有1條D.若直線交雙曲線的右支于兩點，則為定值〖答案〗ABD〖解析〗選項A：設，因為分別為雙曲線的左、右頂點，所以，所以雙曲線的離心率，故A正確．選項B：因為與的周長之差為2，所以，即，得，，則，不妨設關于漸近線對稱，記交漸近線于點為坐標原點，所以，所以，在中，，，，所以，，所以．因為分別為的中點，所以，故B正確．選項C：由B可得的右焦點為，其方程為，所以過點作直線與雙曲線的右支交于點，此時通徑最短，的最小值為12；過點作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點，則的最小值為4．故時，滿足條件的直線有3條，故C錯誤．選項D：由選項B可知雙曲線的方程為，雙曲線的方程為，，，設，則，于是．設直線的方程為，代入雙曲線的方程消去得，，設，則，，因為分別位于雙曲線的左、右兩支，所以，得，于是，所以．因為，所以直線的方程為，同理可得，于是，故D正確．故選：ABD.三、填空題12.已知函數(shù)，則______．〖答案〗5〖解析〗．故〖答案〗為：13.在三棱錐中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是______．〖答案〗〖解析〗取的中點，連接，如圖所示：因為為的中點，為的中點，則根據(jù)三角形的中位線定理可得，且.所以為異面直線與所成的角或其補角．因為在中，，，，所以，則.又，所以．又在中，，,所以由余弦定理可得：.又因為在中，，所以由余弦定理可得：.則在中，由余弦定理可得，，所以異面直線與所成角的余弦值為．故〖答案〗為：.14.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過且與互質的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個整數(shù)稱為互質整數(shù)），例如：，．記，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗在的整數(shù)中與不互質的數(shù)有，共有個，所以與互質的數(shù)有個，因此．在的整數(shù)中，2的倍數(shù)共有個，5的倍數(shù)共有個，10的倍數(shù)共有個，所以．所以，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，則恒成立等價于恒成立，即恒成立，所以，令，則，所以，且，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是四、解答題15.已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸平行．（1）求實數(shù)的值；（2）若對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（1）解：因為函數(shù)，可得，所以，即曲線在點處的切線的斜率為，因為曲線在點處的切線與軸平行，所以，解得，故實數(shù)的值為．（2）解：由（1）知，因為，所以由，即．設，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是．16.在①，②，③的面積為這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．在銳角三角形中，角所對的邊分別為，______．（1）求；（2）已知是的平分線與的交點，求的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）方案一：選擇條件①，，，，．，．方案二：選擇條件②，，，，．，，．方案三：選擇條件③由題，，，．，，，．（2）是的平分線，．在中，，由正弦定理得，，是銳角三角形，，，，的取值范圍為．17.如圖四棱臺中，，平面，.（1）證明：；（2）若，，，求二面角的余弦值.（1）證明：取的中點，連接，則，，四邊形為平行四邊形，所以，，，所以，因為平面，平面，所以，又因為平面，，所以平面，又平面，所以.（2）解：因為平面，平面，所以，由（1）得，，以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，在四棱臺中，四邊形相似于四邊形，且相似比為，，所以，，所以，平面的一個法向量為，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則所以，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.已知一個質點沿正四面體的棱做勻速運動，每秒鐘都等可能地從正四面體的一個頂點運動到另一個頂點，且頂點是該質點的初始位置．（1）若該質點第1秒運動到頂點，則第4秒運動到頂點不同運動路線有多少條？（2）設該質點在3秒內經(jīng)過頂點的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；（3）設該質點第秒恰好在頂點處的概率為，求數(shù)列的通項公式．（1）解：根據(jù)題意，可作出如下樹狀圖：由圖可知，第4秒運動到頂點的不同運動路線有7條．（2）解：由題意知該質點從一個頂點運動到其他三個頂點的概率均為，且隨機變量所有可能取值為，可得，，．所以的分布列為012所以，期望為．（3）解：因為該質點在第秒恰好在頂點處的概率為，所以第秒該質點不在頂點處的概率為，所以，所以，又由，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以．19.一般地，拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形，對應的三個切點形成的三角形稱為拋物線的切點三角形．如圖，，分別為拋物線的切線三角形和切點三角形，為該拋物線的焦點．當直線的斜率為時，中點的縱坐標為．（1）求．（2）若直線過點，直線分別與該拋物線的準線交于點，記點的縱坐標分別為，證明：為定值．（3）若均不與坐標原點重合，證明：解：（1）由題可知點均在該拋物線上，故設，，由題意得當時，，故，所以．（2）由（1）得該拋物線的方程為，所以，準線為．因為直線過點，所以與共線，由題可知點在該拋物線上，故設，則，，所以，因為，所以．由