上海市黃浦區(qū)2023~2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市黃浦區(qū)2023~2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．1.若扇形的圓心角為，半徑為4，則其弧長(zhǎng)為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗扇形弧長(zhǎng).故〖答案〗為：.2.已知向量，設(shè)，向量，若，則___________．〖答案〗1〖解析〗由，且可得，解得.故〖答案〗：1.3.若，則___________．〖答案〗〖解析〗，則.故〖答案〗為：.4.在梯形中，，設(shè)，若用的線(xiàn)性組合表示，則___________．〖答案〗〖解析〗，則，則.故〖答案〗為：.5.若，則___________．〖答案〗〖解析〗由，兩邊平方后得，即，則.故〖答案〗為：.6.若向量，則___________．〖答案〗〖解析〗由可得，且；所以，又，可得.故〖答案〗為：.7.設(shè)，若函數(shù)的.定義域?yàn)?，則的值為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，，，所以.故〖答案〗為：.8.某林場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)A和B．某日兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的林場(chǎng)人員都觀(guān)測(cè)到C處出現(xiàn)火情．在A處觀(guān)測(cè)到火情發(fā)生在北偏西方向，而在B處觀(guān)測(cè)到火情在北偏西方向．已知B在A的正東方向處，那么火場(chǎng)C與A距離約為_(kāi)__________．（結(jié)果精確到）〖答案〗14.6〖解析〗由題意可得，，，，則，在中，由正弦定理可得，即，所以.故〖答案〗為：14.6.9.若，則___________．〖答案〗3〖解析〗.故〖答案〗為：3.10.已知點(diǎn)，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則的傾斜角為，則，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故〖答案〗為：.11.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，整理為，所以復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心的圓面，，，表示的幾何意義是圓面上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，如圖，的最大值為連結(jié)圓心和原點(diǎn)的距離再加半徑，所以.故〖答案〗為：.12.已知平面非零向量的模均為，若，則___________．〖答案〗2〖解析〗設(shè)，，，，其中，因?yàn)?，則；因?yàn)?，則，則，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，即，因?yàn)?，則或0，則，顯然當(dāng)時(shí)，，無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，，即，即，因?yàn)椋瑒t或，則，顯然當(dāng)時(shí)，，無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，則或（舍去），綜上所述：.故〖答案〗為：2.二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分14分，第13-14題每題3分，第15-16題每題4分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.已知（i是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，那么p，q的值分別是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，則，即，得，.故選：A.14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以.故選：B.15.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則角的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，，因?yàn)?，所以角的終邊在第四象限.故選：D.16.設(shè)，若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則可以是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，則由題意得，因?yàn)椋瑒t，則，則，因?yàn)?，所以，?duì)A，當(dāng)時(shí)，，則，則，不滿(mǎn)足，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，，則，則，滿(mǎn)足，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，則，則，不滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，則，不滿(mǎn)足，故D錯(cuò)誤；故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分44分）解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟．17.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的虛部為，是實(shí)數(shù)，求．解：，設(shè)，則，∵，∴.18.已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由，且，可得；由二倍角公式可得；；所以.（2）由（1）可得，所以.19.（1）已知P是直線(xiàn)上一點(diǎn)，（為實(shí)數(shù)，且），點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）已知平面上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是，小明在點(diǎn)B處休憩，有只機(jī)器狗沿著所在直線(xiàn)來(lái)回跑動(dòng)．當(dāng)機(jī)器狗在什么位置時(shí)，離小明最近？解：（1）由題意得，故，解得；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（2）當(dāng)機(jī)器狗運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，⊥時(shí)，離小明最近，直線(xiàn)，即，設(shè)直線(xiàn)，將點(diǎn)代入中，得，解得，故直線(xiàn)，聯(lián)立，解得，故當(dāng)機(jī)器狗在時(shí)，離小明最近.20.在中，已知邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為．（1）求證：；（2）若邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)分別為，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，求m、n、t之間所滿(mǎn)足的關(guān)系式，并指出哪個(gè)角為鈍角．解：（1）因?yàn)?，則，則在和利用余弦定理得，化簡(jiǎn)得.（2）由（1）知①，同理可得②，③，①②③得④，則m、n、t滿(mǎn)足④式，④①得，同理可得，，因?yàn)椋瑒t，則，則，，則，則，則，根據(jù)大邊對(duì)大角，則為鈍角.21.設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．（2）①根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；②若函數(shù)在區(qū)間（k為正整數(shù)）上恰有7個(gè)零點(diǎn)，求k的最小值及此時(shí)a的取值范圍．解：（1）設(shè)，，，，因?yàn)?，所以，且，所以，所以，則，所以，即，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).（2）①，則，當(dāng)時(shí)，即，，，所以不管為何值，和是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)，即或時(shí)，，如圖畫(huà)出函數(shù)的圖象，若或時(shí)，與無(wú)交點(diǎn)，沒(méi)有零點(diǎn)，若或時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，為和，需舍去，所以沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，綜上可知