高中數(shù)學(xué)講義微68 離心率問題

微專題68圓錐曲線的離心率問題

離心率是圓錐曲線的一個重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面

也體現(xiàn)了參數(shù)a,c之間的聯(lián)系。

一、基礎(chǔ)知識：

1、離心率公式：e=￡(其中c為圓錐曲線的半焦距)

a

(1)橢圓：ee(O,l)

(2)雙曲線：ee(l,+oo)

2、圓錐曲線中aS,c的幾何性質(zhì)及聯(lián)系

(1)橢圓:a2=b2+c2,

①2a：長軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑的和：PF、+PF2=2a

②2b：短軸長

③2c:橢圓的焦距

(2)雙曲線：c2=b2+a2

①2a：實(shí)軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑差的絕對值：忸6一尸鳥|=2a

②2b：虛軸長

③2c:橢圓的焦距

3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系(只需找

出其中兩個參數(shù)的關(guān)系即可)，方法通常有兩個方向：

(1)利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形(曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形),

那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與a有關(guān)，另一條邊為焦距。從

而可求解

(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用。，"c進(jìn)

行表示，再利用條件列出等式求解

2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時通常可從以下兒個方面考慮：

(1)題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對橫坐標(biāo)的范圍

有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的

范圍就是求離心率范圍的突破口

(2)若題目中有一個核心變量，則可以考慮離心率表示為某個變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的

值域即可

(3)通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率

注：在求解離心率范圍時要注意圓錐曲線中對離心率范圍的初始要求：橢圓：ew(O,l),雙

曲線：CG(l,+oo)

二、典型例題:

例1：設(shè)耳，鳥分別是橢圓c：［+方=1（。＞〃＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓c上，線段

P月的中點(diǎn)在y軸上，若NP￡B=30°，則橢圓的離心率為

@611

3氏6C

3-D.6-

思路：本題存在焦點(diǎn)三角形由線段P片的中點(diǎn)在y軸

上，。為片工中點(diǎn)可得PE〃y軸，從而「工工6月，又因?yàn)?「丹g=30°,則直角

三角形熊中，忱用：仍用：忻閭=2:1:6,且2a=|尸制+|Pg|,2c=忻用，所

以.e=-=—=—^^—=—

"a2a\PF］+\PF2\3

答案：A

小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意。為￡8中點(diǎn)是一個隱含條件，如果圖中存

在其它中點(diǎn)，則有可能與。搭配形成三角形的中位線。

22

例2：橢圓*■+方=1（0＜方＜2百）與漸近線為x±2y=0的雙曲線有相同的焦點(diǎn)耳，瑞，P

為它們的一個公共點(diǎn)，且/月「工=90,則橢圓的離心率為一

思路：本題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對焦點(diǎn)，設(shè)《瑪=2c,在雙曲線中，

~=~=^a:b:c=2-A:^,不妨設(shè)P在第一象限，則由橢圓定義可得：

a2

4

PF}+PF2=46由雙曲線定義可得:PF1一PF2=2a=-j=c,因?yàn)?［尸尼=90°,

.??附「+附|2=402而附『+因卜”應(yīng)當(dāng)也

代人可得：48+16'=8c2nc=VT5:.e=—=

5a6

答案：—

6

小煉有話說：在處理同一坐標(biāo)系下的多個圓錐曲線時，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線

的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點(diǎn)。

X

例3：如圖所示，已知雙曲線一=1（4>/?>0）的右焦點(diǎn)為歹,過尸的直線/交雙曲線

的漸近線于A,8兩點(diǎn)，且直線/的傾斜角是漸近線Q4傾斜角的2倍，若赤=2%，則該

雙曲線的離心率為（

37226

A.

~T~亍2

思路：本題沒有焦半徑的條件，考慮利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解，則將所涉及的點(diǎn)坐標(biāo)盡力用a,ac表

示，再尋找一個等量關(guān)系解出a,8,c的關(guān)系。雙曲

線的漸近線方程為y=±2x,由直線/的傾斜

a

角是漸近線。4傾斜角的2倍可得：

2b

kOA=-^=-^^,確定直線I的方程為

°人.b2a2-b2

[2

a

Gc人

~~7（x-c）,與漸近線聯(lián)立方程得

cr_b

y

2abc2abc

------ory=------

3a--b----'a'+b-

y

將AF=2FB轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語言，則以=一2%,即^abclabc

Aa2+b23a2—b?

2

a:b:c=6：1:2,從而e=—

3

答案：B

例4：設(shè)內(nèi)，入分別為雙曲線二一與=1（。>0/〉0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)尸使

Q-h~

9

得IP用+1尸石|=3"|1=則該雙曲線的離心率為

PFX\\PF2

459

A.-B.-C.-D.3

334

思路：條件與焦半徑相關(guān)，所以聯(lián)想到歸用一戶或=2。，進(jìn)而與

9

|「用+|尸石|=38|尸耳川尸鳥|=14。,找到聯(lián)系，計算出a,b的比例，從而求得e

解：：忸用_|P引=2a

??.(|W|+|p閭丫-(歸用-|p用)2=4|PK|.|P用

即9b2-4a2=9ab=>9b1-9ab-4a2=0

(b\bb1b4

.?.9巳一9?上一4=0解得：一二一(舍)或一=—

\a)aa3a3

c5

a:b:c=3:4:5:.e=—=—

a3

答案：B

x~v

例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，4,4,，4,3,為橢圓一?+二=13>/?>0）的四個

a'b"

頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線4員與直線與尸相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線

段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.

思路：本題涉及的條件多與坐標(biāo)有關(guān)，很難聯(lián)系到參數(shù)的幾何意

義，所以考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a,仇c進(jìn)行表示，在利用條件求出離心。

首先直線4層,gF的方程含a,"c,聯(lián)立方程后交點(diǎn)T的坐標(biāo)可

用a,b,c進(jìn)行表示（丁（必土,%±￡）］）,則OT中點(diǎn)

<a-ca-cJ

M,再利用加點(diǎn)在橢圓上即可求出離心率e

a-c2（a-c）>

解：直線4鳥的方程為：二+2=1；

-ab

xv\bx—ay=—ab

直線37的方程為：-+^-=1,聯(lián)立方程可得：\,

c-b［cy-bx=-be

解得：T（土〃（a+。））,

a-ca-c

則"（上，絲上。）在橢圓［+4=1（。>b>0）上，

a-c2（。-c）6r/r

c2(a+c)2

=l,c2+1Oac—3a2=0,/+1Oe—3=0

(a-c)~4(a—c)~

解得：e=2百—5

答案：e=2幣-5

例6：已知F是雙曲線=一二=1（a>0力>0）的左焦

ab

點(diǎn)，￡是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若AABE

是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（）

A.（l,+oo）B.（1,2）C.（1,1+V2）D.（2,1+0）

思路：從圖中可觀察到若AABE為銳南三角形，只需要NAEB為銳角。由對稱性可得只需

乙4￡尸€（0,；）即可。且均可用a,"c表示，|A目是通徑的一半，得：|人尸|=①，

IAFlb2c2—a2c-a

|FE\=a+c,所以tan4ER=^_[=———?<1=>———-<1=>——<lne<2,

\FE\a[a+c)a\a+c)a

即eG(1,2)

答案：B

小煉有話說：（1）在處理有關(guān)角的范圍時，可考慮利用該角的一個三角函數(shù)值，從而將角的

問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮栴}

（2）本題還可以從直線AE的斜率入手，E（a,O）,A-c,—,利用左越c（—1,0）即可求出

\a7

離心率

例7：已知橢圓「+2r=1（。＞人＞0）的左、.右焦點(diǎn)分別為

ab“

6（—c,0）,鳥（c,0），若橢圓上存在點(diǎn)尸使

a_c

則該橢圓的離心率的取值范圍為

sin/P耳6sinZPF2F1

()

A.(0,72-1)D.(72-1,1)

思路：NP耳耳為焦點(diǎn)三角形/片耳的內(nèi)角，且對邊為焦半徑仍居|,|p用，所以利

用正弦定理對等式變形：——-——=——-——=尹n/"￡n=￡再由

sin/尸耳工sinNPE耳sinZPFtF2a\PF2\a

2〃2

再利用焦半徑的范圍為（a-cM+c）可得（由于依

題意，尸非左右頂點(diǎn)，所以焦半徑取不到邊界值a-c,a+c）：

2a2a2-c1<2/ci2>~c2//—\

a-c<-----<。+c=>v=>,,解得ee夜—1,1

a+c2a2v/+2ac+c1e2+2e-l>0')

答案：D

22

例8：已知￡,八是橢圓后：2+%=1（。＞匕＞0）的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得

PFLPF則橢圓離心率的取值范圍是（)

}2f、

A.判B.爭C.喈D.

7

思路一：考慮在橢圓上的點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線所成的角中，當(dāng)P位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時,

/耳尸與達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在P耳，夕工的點(diǎn)尸，則短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的

e

角6290",考慮該角與。力,。的關(guān)系，由橢圓對稱性可知，ZOP7^=->45°,所以

tanZOPF--=—>1,c>b=>c2>b2=>c2>a2-c2進(jìn)而，2,即/2

2\5O―P\bfa222

解得eZ冷，再由ee（0,l）可得ew爭

7

思路二：由尸與J_2乙可得/F\PF?=90,進(jìn)而想到焦點(diǎn)三角形F}PF2的面積：

Z/>/

b-tan^^=b~,另一方面：5^^=1-|yP|=c-|yP|,從而

0^PF2

,2

2所以%)￡〔一>,可,即|%|=—<b=>b<c,

c-\yp\=b=>|yP|=一,因?yàn)镻在橢圓上,

c

再同思路-可解得：寸烏］

27

思路三：PF11PF2可想到PFl-PF\=0,進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)

P（x,y），6（-c,0），6（c,0）,則有P6=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y)則

PF^PF^=x2+y2-c2=0,即P點(diǎn)一定在以。為圓心，c為半徑的圓上，所以只需要該

圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑八2匕時才可有交點(diǎn)，所以C2力，同思路一

可解得ee

注：本題對P在圓上也可由判定出P在以片居為直徑的圓上，進(jìn)而寫出圓方程

思路四：開始同思路三一樣，得到P所在圓方程為/+y2=。2,因?yàn)椤冈跈E圓上，所以聯(lián)

立圓和橢圓方程：+ay=ab代入消去x可得：b2（c2-y2）+a2y2^a2b2,整理

x2+y2=c?

A4A4

142

后可得：cy~=b=>y=—f由y￡[—/?,〃]可得：）,=不=>c2〃，同思路一即可

解得：ee—,1

L2J

f4V2

答案：ee---,1

L2J

小煉有話說：本題的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同

的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐

標(biāo)方程用代數(shù)方式計算求解

22

例9：設(shè)點(diǎn)4,4分別為橢圓與+斗=1（。>人>0）的左右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在異于點(diǎn)

a0

4,4的點(diǎn)P,使得POLPA,,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是（）

"O1k（°孝C.朋D.隹1,

思路：本題取值范圍的突破口在“橢圓上存在點(diǎn)P”，貝1P的橫縱坐標(biāo)分別位于

中，所以致力于計算尸的坐標(biāo)，設(shè)「（/,%）,題目中4（。,0）,由可得P也在以

/\22

。%為直徑的圓上。即x--+y2=—,所以聯(lián)立方程：

k4

22

）=>1——7x-ar+/7=0,即—.-ax+b2-0,由已知可得

%22a~）6r

[-a-2-b—b2=1

11

0b2ab_,g

4（a,0）也是圓與橢圓的一個交點(diǎn)，所以由韋達(dá)定理可得：ax0==2nx0=2，再根據(jù)

cc

1fV21

加9、°

%的范圍可得：一〃<--<〃=>力2</n。2_。2<。2n/>—,解得ew——,1

212J

答案：D

小煉有話說：本題運(yùn)用到了一個求交點(diǎn)的模型：即已知一個交點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理求出另一

交點(diǎn)，熟練使用這種方法可以快速解決某些點(diǎn)的坐標(biāo)

2-)

ry~

例10:如圖，已知雙曲線f=1（。>0,6>0）上有一點(diǎn)A,它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為8,

a

點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足4口，3/，設(shè)，且aw[C],則該雙曲線離

126

心率e的取值范圍為（）y.

A.[V3,2+V3]B.[V2,V3+I]

C.[V2,2+V3]D.[V3,V3+1]B..

思路：本題與焦半徑相關(guān)，所以考慮a,c的幾何含義，AR_L尹6A/M為觸（■角形，

^-\AB\=2\OF\=2c,結(jié)合NA5〃=a可得|AF|=2csina,忸F|=2c8sa,因?yàn)?,8關(guān)

于原點(diǎn)對稱，所以|AF|即為8的左焦半徑。所以有2a=忸用一同同=2c（cosa—sina）,

則e=%=----------=------\-----r-,即關(guān)于a的函數(shù)，在aw[C,工]求值域即

2acosa-sina伉（兀、126

V2cosa+一

I4）

可：

71715萬ncos—V6-V21

a-\——G

4I4j-4-52

以ee^\/2,V3+1]

答案：B

三、歷年好題精選

22

1、已知雙曲線:-4=l（a>0力>0）,M,N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是雙

礦b-

曲線上的動點(diǎn)，直線PM,PN的斜率分別為4,內(nèi)化此#0）,若網(wǎng)+間的最小值為1，

則雙曲線的離心率為（）

3

A.0B.日BD.

c22

2、（2016,新余一中模擬）已知點(diǎn)A是拋物線尤2=4），的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)5為拋物

線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足1H4|=〃7忸同，當(dāng)用取最大值時，點(diǎn)P恰好在以A,8為焦

點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（)

…B?年。0八,

3、已知々，工分別是雙曲線’-g=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)￡且垂直于x軸的

直線與雙曲線交于4,B兩點(diǎn)，若AABK是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是

（）

A.-l,+oo）B.（yy/^'+L+oo）C.+D.（'\/^+1,+8）

22

4、設(shè)6,K分別是雙曲線*-斗=1（。＞0力＞0）的左右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)

ab

5、（2016四川高三第一次聯(lián)考）橢圓，+方=1（。＞人＞0）和

圓V+y2=±+2c,（C為橢圓的半焦距）對任意fe［1,2］恒有四個交點(diǎn)，則橢圓的離心

127

率e的取值范圍為（）

6、如圖，內(nèi)外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓［卜、

引切線AC,8。，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為*■+/=l（a＞力＞0）,外層

橢圓方程為-＞0+-7=1（。＞〃＞0,加＞1）若4。,3。的斜率之積為7,則橢圓的離

^tna）（mb）~16

心率為_______

7、（2015,新課標(biāo)ID已知A,8為雙曲線E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)"在E上，△43M為等腰三角

形，且頂角為12（T,則E的離心率為（)

A.亞氏2C.GD.V2

22

8、（2016,宜昌第一中學(xué)12月考）已知雙曲線5■一方=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別

為月，鳥，點(diǎn)M在雙曲線的左支上，且|“居|=1\MF\,則此雙曲線離心率的最大值為（）

45c7

A.-B.—C.2D.一

333

22

rv

9、（2015,山東）平面直角坐標(biāo)系X。），中，雙曲線。1：=-4=1（。＞02＞0）的漸近線與

CT

拋物線G：f=20，（p＞O）交于點(diǎn)O,AB,若A04B的垂心為C2的焦點(diǎn)，則G離心率為

10、（2014,湖北）已知片，工是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且

7T

NF\PF[=三,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）

4百2百°°

A.——B.——C.3D.2

33

尤2V2

11、（2014,浙江）設(shè)直線x—3y+m=0（mw0）與雙曲線二-々=1（。＞0,。＞0）的

a~b

兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)P（m,0）滿足I必|=|P6],則該雙曲線的離心率

是_____

解得：

習(xí)題答案：

1、答案：B.

2222

解析：設(shè)M（p,q）,N（-p,-q）,P（s,t）,則勺一夕=L=一二=1，

a'b~a'b~

兩式相減得：烏■二]

q-t

而同+網(wǎng)=?+更

則

2b=a,4h2=a2=>4c2-4a2=a2=>5a2=4c2=>e1=—=>e=

42

2、答案：A

解析：由拋物線方程可得：A（O,-1）,5（0,1）,過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為所以

173Al1

\PB\=\PM\,所以加=--------，可知加取得最大值時，NRLW最小，數(shù)形結(jié)合

1111\PB\sinPAM

爐=今,即

可知當(dāng)4F與拋物線相切時，44M最小。設(shè)=—1,聯(lián)立方程＜

y=Ax-1

/-4"+4=0,則△=()=左=1,此時尸(2,1),則|巳4|=2血"目=2,所以

24=四-|冏=24-2=a=0-l,則e=-$/2+1

3、解析：為鈍角三角形，且A居片＞45

b~

2792

即AF}>FjF>，.二一>2c=>c-a—2ac>0

a

即e?-2e-l＞0=e〉l+血

答案：B

4、答案：A

思路：已知條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點(diǎn)三角形M6耳的特點(diǎn)，從物?（麗'+西）=0

人手，可得~F\M1（加+的），數(shù)形結(jié)合可得四邊形OMPF］為菱形，所以

|。叫=|0用=|0可，可判定AMRF2為直角三角形。

\ME\:|必同=6:3nlM用=y/3k,\MF2\=3k,可得|線瑪|=^MF.f+\MF2f=2?

.e=2c_忻圖一2?一百

2a\MF.\-\MF]3k-?'

5、答案：B

—I-2c<ci

2

解析:由橢圓與圓有四個不同的交點(diǎn),則《對任意re［l,2］恒成立,即

bt..

—\-2c>b

12

b+2c<a5c2-4ac>05e--4e>0抬A

b汽,平方變形后可得:

—+2c>b-?2+17C2>0e2>—(5J

[2I17

6、答案：---

4

解析：設(shè)切線AC的方程為夕=匕（%—秋。，切線3。的方程為丁=網(wǎng)》+m〃，聯(lián)立切線4。

y-kt(x—

與內(nèi)層橢圓方程，得所以

(/>%)'+(ay『=(a/?y

,b2

221

W+ak^x-2m拼Ex+加％%；_=Q由△=()可得：％：=，?1—,同理

1a2m1-1

^-r-(m2-1),所以2；%；=勺n",=B=2na：a：c=4:3:近。BPe=

a"x'a"a"164

7、答案：D

解析：設(shè)雙曲線方程為予一%=1（。>02>0）,如

圖所示：\BM\=\AB\=2a,ZABM=120°,過點(diǎn)M作

MNJ.X軸于N,在Rt^BMN中，

\BN\=a,\MN\=>/3a,所以Af（2a,JGab代入雙曲

、（2a）2（八）一

線方程可得：---;--------Z---=1可得：

h

—=l^>a:b:c=l:1：y/2,從而e=—=\f2

ha

8、答案：A

解析：由雙曲線可知閭一眼娟=6|昭|=2a,所以|巾|=],因?yàn)辄c(diǎn)四用“一〃，

ac44

即上Nc—a,所以即最大值為上

3a33

3

9、答案：-

2

解析：由G方程可得其漸近線方程為y=±?x,與拋物線聯(lián)立可解得交點(diǎn)

a

A（咨，駕）3（—文，消■）,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

a