初中數(shù)學(xué)各種公式

數(shù)學(xué)各種公式及性質(zhì)

1.乘法與因式分解

①(a+b)(a—b)=W—6；②(a±b)2=4±2a6+加；③(a+b)(才一疑+加)=a3+A3；

22222

④(a—6)(，+助+方2)=，一加；a-1-^=(a+Z?)—2aZ?；(a—Z?)=(a+Z?)—4aZ?o

2.黑的運(yùn)算性質(zhì)

①a"Xa"=a?②a"+a"=a/③(a")〃=a“；④(a?"=a"；⑤(￡)"=《；

bh

@an=—,特別：())"=(9"；⑦4=1(aNO)。

3.二次根式

①(血)2=a(a20)；②q=]a[；③Qab=日X痣"；④卜急，>0,后0)。

4.三角不等式

|a|-|b|<|a土b|W|a|+|b|(定理)；

加強(qiáng)條件：||a|-|b||W|a土b|W|a|+|b|也成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式(其

中a,b分別為向量a和向量b)

|a+b|W|a|+|b|；|a-b|W|a|+|b|；|a|Wb<=>-bWaWb；

Ia-b|^|a|-1b|；-1a|WaW|a|；

5.某些數(shù)列前n項之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+l)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=n2；

2+4+6+8+10+12+14+-+(2n)=n(n+1)；l2+22+32+42+52+62+72+82+-+n2=n(n+l)(2n+l)/6；

l3+23+33+43+53+63+-n3=n2(n+1)74；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+―+n(n+l)=n(n+1)(n+2)/3；

6.一元二次方程

對于方程：a/+&'+c=0：

①求根公式是x=-b￡b-ac，其中△=4a。叫做根的判別式。

2a

當(dāng)△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

當(dāng)△<()時，方程沒有實數(shù)根.注意：當(dāng)△?()時，方程有實數(shù)根。

②若方程有兩個實數(shù)根X1和為，則二次三項式al+bx+c可分解為a(x—Xi)(X—也)。

③以a和力為根的一元二次方程是(a+b)x+ab=O。

7.一次函數(shù)

一次函數(shù)y=4x+b(AW0)的圖象是一條直線(6是直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)，稱為截距)。

①當(dāng)女>0時，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；

②當(dāng)AVO時，yMx的增大而減小(直線從左向右下降)；

③特別地：當(dāng)6=0時，y=Ax（A#0）又叫做正比例函數(shù)（y與x成正比例），圖象必過原點。

8.反比例函數(shù)

反比例函數(shù)尸5（A#0）的圖象叫做雙曲線。

①當(dāng)A>0時，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向右降）；

②當(dāng)AV0時，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）。

9.二次函數(shù)

（1）.定義：一般地，如果y=奴2+加+。（“也。是常數(shù)，。聲0）,那么y叫做x的二次函數(shù)。

（2）.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。

①。的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)?！?時，開口向上；當(dāng)。<0時，開口向下；

時相等，拋物線的開口大小、形狀相同。

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=〃.特別地，），軸記作直線x=O。

（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

y-ax2x=0（），軸）(0,0)

2

y=ax+k當(dāng)a>0時x=0（），軸）(0,k)

y=-〃y開口向上x=h(h,0)

當(dāng)a<0時

y=a(x—h)2+kx=h(h,k)

開口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2++cx=---

2a2a4a

（4）.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

①公式法：y=ax1+bx+c=（lx+—+生^一也，...頂點是（-2,,對稱軸是

L2a）4a2a4a

直線x=---o

2a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a（尤-力丫+左的形式，得到頂點為

（h,k）,對稱軸是直線x=〃。

③運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交

點是頂點。

若已知拋物線上兩點區(qū),y）、。2，力（及y值相同），則對稱軸方程可以表示為：》=受產(chǎn)

⑸.拋物線>=.+版+。中，“，仇c的作用

①a決定開口方向及開口大小，這與y=初2中的“完全一樣。

②人和。共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線>=。/+區(qū)+。的對稱軸是直線。

x=-—,故：①。=0時，對稱軸為y軸；②？>0（即。、b同號）時，對稱軸在），軸

2aa

左側(cè)；③2<0（即“、6異號）時，對稱軸在y軸右側(cè)。

a

③c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置。

當(dāng)x=0時，y=c,.,.拋物線y=32+Z?x+c與y軸有且只有一個交點（0,c）：

①c=O,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半軸.

h

以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在），軸右側(cè)，則-<0

ao

10.統(tǒng)計初步

（1）概念：①所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體.從總體中抽

取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中，出

現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（有時不止一個），叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處

在最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）公式：設(shè)有A個數(shù)X1,X2,X",那么：

①平均數(shù)為：屋芯+々+……+%；

n

②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法

得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

③方差：數(shù)據(jù)修、X2...,X“的方差為$2,

11.頻率與概率

（1）頻率

頻率=型￡,各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各

總數(shù)

個小長方形的面積為各組頻率。

（2）概率

①如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則OMP（A）41；

P（必然事件）=1;P（不可能事件）=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的

概率。

③大量的重復(fù)實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值；

12.銳角三角形

①設(shè)N4是△ABC的任一銳角，則NZ的正弦：siM=爺膂，N4的余弦：cosZ=筆料，

NZ的正切：tanJ=名魯3■年■,并且sin2Z+cos2Z=l。

OVsin4V1,OVcosnVl,tanJ>0./力越大，N4的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。

9

②余角公式:sin(909—J)=cosJ,cos(90—A)=sinJo

③特殊角的三角函數(shù)值：sin309=cos609=；,sin459=cos459=或，sin609=cos309

tan309=￥，tan459=1,tan609=技。

13.正(余)弦定理

(1)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R表示三角形的外接圓半徑。

正弦定理的變形公式：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA：sinB：sinC

=a：b：c

(2)余弦定理b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；

注：NC所對的邊為c,NB所對的邊為b,NA所對的邊為a

14.三角函數(shù)公式

(1)兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

(2)倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

(3)半角公式

sin(A/2)=V((1-cosA)/2)sin(A/2)=-V((1-cosA)/2)

cos(A/2)=V((1+cosA)/2)cos(A/2)=-V((1+cosA)/2)

tan(A/2)=V((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-V((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-V((1+cosA)/((1-cosA))

15.平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識

(1)對稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P(ab),則P關(guān)于x軸對稱的點為Pi(&-6),P關(guān)于

y軸對稱的點為P2(—a,b),關(guān)于原點對稱的點為P3(-a,—b)。

(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P(處6)向左平移力個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻Qa-h,力，

向右平移力個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻?+瓦b)；向上平移力個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b+h),向

下平移力個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a力.如：點A(2,-1)向上平移2個單位，再向右平

移5個單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳(7,l)o

16.多邊形內(nèi)角和公式

多邊形內(nèi)角和公式：A邊形的內(nèi)角和等于（"-2）180。A是正整數(shù)），外角和等于360

O

17.平行線段成比例定理

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//c,直線，與心分別與直線a、b、c相交與點4B、。和。E、F,

小有AB_DEAB_DEBC_EF

大~BC~~EF'~AC~~DF'~AC~~DFO

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。

如圖：△W中，DE//BC,DE與AB、4。相交與點D,E,貝!I有：

AD_AEAD_AE_DEDB_EC

18.直角三角形中的射影定理

直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△胸中，NZ390°,CDLAB于D,

則有：（1）CD2=ADBD（2）AC2ADAB（3）BC2^BDAB

A,

19.圓的有關(guān)性質(zhì)

（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦;

③平分弦；④平分弦所對的劣??；⑤平分弦所對的優(yōu)瓠，那么這條直線就具有另外三個性

質(zhì).注：具備①，③時，弦不能是直徑。

（2）兩條平行弦所夾的瓠相等。

（3）圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。

（4）一條瓠所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

（5）圓周角等于它所對的瓠的度數(shù)的一半。

（6）同弧或等瓠所對的圓周角相等。

（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的瓠相等。

20.三角形的內(nèi)心與外心

（1）三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點。

（2）三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交點.

常見結(jié)論：①RfABC的三條邊分別為：a"、c（c為