高中數(shù)學(xué)：教案：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第一冊(cè) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系應(yīng)用

《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》（教學(xué)設(shè)計(jì)）

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》的內(nèi)容是學(xué)習(xí)了三角函數(shù)定義后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)

習(xí)的內(nèi)容，是求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個(gè)三角函

數(shù)的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用。同時(shí)，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)中起重要作用。

2、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)大綱要求，考慮到學(xué)生的接受能力和課容量，確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)：

A、知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)觀察猜想出兩個(gè)公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生掌握公式的

推導(dǎo)過(guò)程，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握基本關(guān)系式在兩個(gè)方面的應(yīng)用：1）已知一

個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值能求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值；2）證明簡(jiǎn)單的三角恒等式。

B、過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察一一猜想一一證明的科學(xué)思維方式；通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想；通過(guò)求值、證明來(lái)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力；通過(guò)例題與練習(xí)提高

學(xué)生動(dòng)手能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及其知識(shí)遷移能力。

C、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)探索的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

D、核心素養(yǎng)：通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用觀察、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)想、猜測(cè)、檢驗(yàn)等

合情推理方法，提高學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯推理能力。

3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，我將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確立為：

重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

教學(xué)上結(jié)合我校學(xué)生真實(shí)情況我將本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確立為：

難點(diǎn)：1）對(duì)于“同角”的理解；

2）角a所在象限不定時(shí)對(duì)于三角函數(shù)值的討論；

3）證明三角恒等式的一般思路，及公式在解題中的靈活運(yùn)用。

二、教學(xué)流程

本節(jié)的教學(xué)流程由以下幾個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成

1

三：課堂設(shè)計(jì)：

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系的建構(gòu)

(1)復(fù)習(xí)舊知一鋪墊新知

1.任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)分別是如何定義的？

2

2.在單位圓中，任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)線分別是什么？

3.對(duì)于一個(gè)任意角a,sina,cosa,tana是三個(gè)不同的三角函數(shù)，從聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)

看，三者之間應(yīng)存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，我們希望找出這種同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，實(shí)

現(xiàn)正弦、余弦、正切函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，為進(jìn)一步解決三角恒等變形問(wèn)題提供理論依據(jù).

設(shè)計(jì)意圖：帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊知識(shí)，為這節(jié)課解決新知識(shí)作準(zhǔn)備。從理論出發(fā)，強(qiáng)調(diào)事物

之間的聯(lián)系，而建立初步印象，為下一步的教學(xué)做準(zhǔn)備。

（2）歸納證明一形成概念

思考1:如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,那么，xjrx

正弦線MP和余弦線0M的長(zhǎng)度有什么內(nèi)在聯(lián)系？由此能得到什么結(jié)論？飛蔓尸

設(shè)計(jì)意圖：從已有的知識(shí)出發(fā)，類(lèi)比探索知識(shí)的延展，得到合理的猜想，

為發(fā)現(xiàn)新知奠定基礎(chǔ)，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。:如J）

思考2：上述關(guān)系反映了角a的正弦和余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)等式的特廠、

點(diǎn),.將它稱為平方關(guān)系.那么當(dāng)角a的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，上述關(guān)系成立七方fc；）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

思考3：設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）,根據(jù)三角函數(shù)定義，有

y

sin。=y,COSa=%,tana=。）,由此可得s行a

cosa,tana滿足什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：再一次強(qiáng)化定義，又讓學(xué)生自己得出關(guān)系式，也有利于關(guān)系式的記憶。符合學(xué)生

的認(rèn)知過(guò)程。運(yùn)用定義進(jìn)行嚴(yán)格證明，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法。

思考4：上述關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系，那么商數(shù)關(guān)系成立的條件是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

思考5：平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系是反映同一個(gè)角的三角函數(shù)之間的兩個(gè)基本關(guān)系，它們都是恒

等式，如何用文字語(yǔ)言描述這兩個(gè)關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生由符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言，既深化對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，又利于關(guān)系式的記憶。

符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。

3

①學(xué)生：寫(xiě)出幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，觀察他們之間的關(guān)系。猜想之間的聯(lián)系。

設(shè)計(jì)意圖：從具體到抽象，引導(dǎo)學(xué)生完成抽象與具體之間的相互轉(zhuǎn)換。

②思考：

問(wèn)題1:從以上的過(guò)程中，你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律？

問(wèn)題2：你能否用代數(shù)式表示這兩個(gè)規(guī)律？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用特殊到一般的思維來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)觀察思考，感知同角三角函數(shù)

的基本關(guān)系。

③強(qiáng)調(diào)：sin2a是（sina）2并不是sina2

設(shè)計(jì)意圖：解釋式子中的簡(jiǎn)寫(xiě)形式，消除學(xué)生

認(rèn)知誤區(qū)。

④證明公式：

回憶：任意角三角函數(shù)的定義？

如圖：設(shè)。是一個(gè)任意角，它的

終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）則：

sina=y；cosa=x

直角三角形MPO中：

MP|2+|OM|2=|OP|2,既x?+y2=l

所以：sin2a+cos2a=1

sina=y,cosa=x,

ysina/,兀、

tana=-=------（a卞kn、——）

xcosa2

設(shè)計(jì)意圖：充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決所遇見(jiàn)的問(wèn)題。

（3）辨析討論一深化公式

思考1：對(duì)于平方關(guān)系sin2a+cos2a=l可作哪些變形？

思考2：對(duì)于商數(shù)關(guān)系tana吧可作哪些變形？

cosa

（師生活動(dòng)：對(duì)于公式變式的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)靈活運(yùn)用公式的幾大要點(diǎn)。）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題辨析與討論，加深公式的理解，對(duì)公式的變形有初步認(rèn)識(shí)。

4

溫馨提示：⑴注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，如sir?4+cos24=1等.

⑵注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的.

⑶對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用）。

判斷下列等式是否成立：

1sin2=1

2sin/3=cos/3-tan/3

3cos1——sirx~

Gsin，+/Y)-4-CX>S~41

設(shè)計(jì)意圖：辨析同角的概念，以便突破難點(diǎn)。

2.兩個(gè)公式在計(jì)算三角函數(shù)值上的應(yīng)用

（1）分析實(shí)例一應(yīng)用公式

例1（P183例題6）：已知，sina=-3/5,求cosa,tana的值.

提問(wèn)1：根據(jù)已知，可以先求哪一個(gè)值？通過(guò)那個(gè)公式求？

提問(wèn)2：開(kāi)平方取正負(fù)，是否都要？要哪一個(gè)？依據(jù)是什么？

教師在學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)，把學(xué)生回答的解題過(guò)程，寫(xiě)在黑板上。

解：因?yàn)閟ina<0,sinaw1,所以a是第三或第四象限角。

若。是第三象限角貝Ucosa<0

cose4

43

若a是第四象限角，那么：cosct=―,tana=-二。

54

設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生對(duì)于剛學(xué)習(xí)的知識(shí)所擁有的探求心理，讓他們學(xué)習(xí)使用兩個(gè)公式來(lái)

求三角函數(shù)值。設(shè)計(jì)2個(gè)問(wèn)題，層層遞進(jìn)，給出學(xué)生一種解題思路和思考方法。并把解題過(guò)

程進(jìn)行板書(shū)，以便讓學(xué)生掌握解題的書(shū)寫(xiě)格式，和解題步驟。

注意：對(duì)于不知道a是第幾象限角的情況，采用“符號(hào)看象限”及分類(lèi)討論的思想來(lái)

處理。

變式訓(xùn)練：

1、已知cosa=-->求sina,tana

5

2、已知tana=一6,求3皿。,0）00的值。

5

思考1:提示：當(dāng)角的象限范圍在1種以上時(shí)，求其它值時(shí)要分象限分別求。

思考2：如何建立cosa與sina的聯(lián)系？如何建立他們與tana的聯(lián)系？

（找兩名學(xué)生爬黑板演練。）

設(shè)計(jì)意圖：例題分層設(shè)計(jì)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，使學(xué)生易接受引導(dǎo)學(xué)

生自主探

索，親自體驗(yàn)解題思路的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論的

思想。同時(shí)使本節(jié)課的難點(diǎn)得以突破。跟蹤練習(xí)2在解題方法上與前兩道例題略有不同，設(shè)

計(jì)該練習(xí)是為了進(jìn)一步突出重點(diǎn)，給學(xué)生一個(gè)更全面的解題方法。同時(shí)也讓學(xué)生更深刻的體

會(huì)到解方程的思想。3道例題中計(jì)算較多，通過(guò)多練，也可以增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算技能。

方法總結(jié)：

一：若已知sina或cosa,先通過(guò)平方關(guān)系得出另外一個(gè)三角函數(shù)值，再用商數(shù)關(guān)系

求得tanao

二：若已知tana,先通過(guò)商數(shù)關(guān)系確定sina與cosa的聯(lián)系，再代入平方關(guān)系求得

sina與cosa。

注意：若a所在象限未定，應(yīng)討論a所在象限。

設(shè)計(jì)意圖：利用之前三道題，共同總結(jié)兩類(lèi)問(wèn)題的解決方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納分析能力。

（2）動(dòng)手操作一運(yùn)用公式

例2、已知tan。=2,求下面各式的值。

⑴sina+cosa

(2)sinacosa

sina-cosa

笈刀,.vr./y\sina_

斛：方法(1)???tana=------=2...sina=2cosa

COSdf

EB2cosa+cosa3cosa。

原式=------------=------=3

2cosa-cosacosor

sinacosa

-----+----

_tanor+1

方法（2）,.?cosow0.?.原式分子分母同除以coso原式=cosacosa

八sinacos。tancr-1

cosacosa

2+1

=3

2^1

(2)sinacosa

2cos。cosa

方法1將sina=2cos。代入原式=

4cos之Q+cos?a

6

方法2

原w式f—可r變71VA為u「sm--a-c--o-sa

sma+cosa

sinacosa

分子分母同除以cos2。原式=-2cos2a

sinacosa

--2+--2

cosacosa

tana_2

tan2。+12?+1

練習(xí)：

已知tan。=-2,

22

求⑴5sin，—2cos，；(2)lsin0+-cos^

5cos6+3sine45

方法總結(jié)：

1、關(guān)于sina、cosa的齊次分式，可以弦化切，變形為關(guān)于tana的式子。

2、注意"1”的妙用。

設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)公式的靈活使用，通過(guò)對(duì)公式正向、逆向、變式使用加深對(duì)公式的理

解與認(rèn)識(shí)。

3.公式在證明上的應(yīng)用

公式變式一靈活運(yùn)用

例3：(P19.例題7)

4丁cosx1+sinx

求證：------=-------.

1-sinxcosx

證法：1由cos%w0,知sin%w-1,所以1+sin%w0,于是：

十、fcosx(l+sinx)cosx(l+sinx)

左口=----------------=--------9------

(l-sinx)(l+sinx)1-sinx

_cosx(l+sinx)_1+sinx_右邊

cos2Xcosx

所以原式成立

證法2：因?yàn)?/p>

(1-sinx)(l+sinx)=l-sin2x=cos2x

=cosxcosx

且1一sin%w0,cosxw0,所以

cosx_1+sinx

1-sinxcosx

思考：是否還有其他的證明方法？

方法3：左邊減去右邊，如果等于零，則等式成立。

方法4：左邊除以右邊，如果等于一，則等式成立。(保證分母不為零)

7

設(shè)計(jì)意圖：三角等式的證明方法很多，先讓學(xué)生回想以前學(xué)過(guò)的方法，再結(jié)合本節(jié)課的

兩個(gè)關(guān)系，通過(guò)該題熟悉三角函數(shù)等式證明的思路和技巧。對(duì)例題適當(dāng)歸納，從直觀認(rèn)識(shí)提

升到理論的水平。

證明三角恒等式經(jīng)常使用的方法：

1:從等式左邊變形到右邊；

2：從恒等式出發(fā)，轉(zhuǎn)化到所要證明的等式上；

3：左邊減去右邊等于0；

4：左邊除以右邊等于1(保證分母不為零)。

(新課到此結(jié)束)

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)證明方法，以便突破本節(jié)難點(diǎn)。

4.總結(jié)反思一提高認(rèn)識(shí)

提出問(wèn)題：

(1)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪兩個(gè)公式？

(2)學(xué)會(huì)了運(yùn)用兩個(gè)公式去處理什么類(lèi)型的問(wèn)題？

(3)在解決遇見(jiàn)的兩類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分別注意哪些方面的要點(diǎn)？

(4)你能總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)體系么？

(先有學(xué)生總結(jié)，老師再點(diǎn)撥)

設(shè)計(jì)意圖：①回顧本節(jié)內(nèi)容加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容知識(shí)體系的理解。

②通過(guò)小結(jié)使本節(jié)課的知識(shí)系統(tǒng)化，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和

應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

5.布置作業(yè)一自主探究

—：書(shū)中P184頁(yè)練習(xí)題10、11、12.

二：探究題：已知tana為非零實(shí)數(shù)，用