江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（二）

江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷(二)

(滿(mǎn)分：150分，考試時(shí)間：120分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.若集合4={%]8<3,且XGN},B={X[X2<4},則()

A.{x\x<2}B.{1}C.{-1,1}D.{0,1}

【答案】D

【解析】集合A={0,1,2},B={_r|-2V_rV2},所以AnB={0,1}.

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z-(2-i)=i,其中，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)々=()

12121212

A.一—+-zB.--------iC.-+-zD.-------i

55555555

【答案】B

【解析】由題意可知z==="^+看,所以

2—155555

3.已知4=28,〃=1082；,。=。"，則"c的大小關(guān)系為()

()

A.c>a>hB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【解析】因?yàn)閍=20-5>l,6=log2Jvo,c=a'G(0,1),所以a>c>6.

4.八音是我國(guó)古代對(duì)樂(lè)器的統(tǒng)稱(chēng)，包含“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”八類(lèi)，每類(lèi)又包括若干種樂(lè)器，

現(xiàn)有“土、絲、竹”三類(lèi)樂(lè)器，其中“士”包括“缶、城'2種樂(lè)器；“絲”包括“琴、瑟、箏、琵琶“4種樂(lè)器；“竹”

包括“箭、笛、竿”3種樂(lè)器，現(xiàn)從這三類(lèi)樂(lè)器中各選1種樂(lè)器分配給甲、乙、丙三名同學(xué)演奏，則不同的分

配方案有()

A.24種8.72種C.144種D288種

【答案】C

【解析】aC!CjAi=144.

兀III

5.如圖，點(diǎn)C在半徑為2的A8上運(yùn)動(dòng)，/人08=§若沃=加原+〃無(wú)，則"的最大值為()

A.1B.42C.空D.73

3

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H

(第5題)

【答案】c

【解析】以o為原點(diǎn)、市的方向?yàn)椤??軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

則有次=(2,0),OB=(1,鬲.

設(shè)NAOC=a，則OC=(2cosa,2sina).

(2z〃+〃=2cosa,

由題意可知＜

lv3w=2sina,

所以7/i+w=cosa+^y-sina=-^-sin(a+y).

因?yàn)閍W0,母］，所以a+me今■，合?

故〃?十〃的最大值為2^.

o

22

6.已知分別為雙曲線?-弓=1的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿(mǎn)足M片，"B，則4

的面積為()

F{MF2

A.5B.10C.V14D.2V14

【答案】A

【解析】設(shè)雙曲線的焦距為2c.則/=4+5=9.因?yàn)镸FiJJWFz，所以M為圓/+52=9

ar2+y2=9

9515

與雙曲線的交點(diǎn).聯(lián)立“2y2解得y=士可,所以△BMF2的面積為方X6X—=5.

45

7.人的眼皮單雙是由遺傳基因決定的，其中顯性基因記作4,隱性基因記作。.成對(duì)的基因中，只要出現(xiàn)了

顯性基因，就一定是雙眼皮，也就是說(shuō)，“雙眼皮”的充要條件是“基因?qū)κ?4,，泊或4廣人的卷舌與平舌

(指是否能左右卷起來(lái))也是由一對(duì)基因?qū)Q定的，分別用8,6表示顯性基因、隱性基因，基因?qū)χ兄灰?/p>

出現(xiàn)了顯性基因8,就一定是卷舌的生物學(xué)上己經(jīng)證明：控制不同性狀的基因遺傳時(shí)互不干擾，若有一對(duì)夫

妻，兩人決定眼皮單雙和舌頭形態(tài)的基因都是Aa班，不考慮基因突變，那么他們的孩子是雙眼皮且卷舌的

概率為()

第2頁(yè)共17頁(yè)

【答案】D

【解析】父母決定眼皮單雙的基因均為Aa.遺傳給孩子的基因可能為AA.Aa,

33

aA.aa.所以孩子為雙眼皮的概率為同理孩子卷舌的概率也為1.根據(jù)相互獨(dú)立事件

Q39

的概率公式知孩子是雙眼皮且卷舌的概率為亍*二=%.

4410

8.已知函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(x)=/(-x),當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=3*+2、，則不等式/(X-2)<13的解集為()

/A.(-oo,0)U(4,+00)氏(0,4)C.(0,2)D.(-oo,0)U(2,+00)

【答案】B

【解析】依題意知fCr)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)了>0時(shí),f(z)單調(diào)遞

增.且八2)=13,所以fCr)V13的解集為(一2,2).將/Cr)的圖象沿z軸向右平移2個(gè)單

位長(zhǎng)度后可得/.Cr—2)的圖象.所以不等式fCr-2)<13的解集為(0,4).

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全

部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得()分，部分選對(duì)的得3分.

9.為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，提高適應(yīng)自然環(huán)境、克服困難的能力，某校在課外活動(dòng)中新增了一項(xiàng)登山活

動(dòng)，并對(duì)“學(xué)生喜歡登山和性別是否有關(guān)''做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，得到如圖所示的等

高條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法中正確的有()

0

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

0%

0%

男女

□'喜歡口喜歡

(第9題)

n(ad-be)2

其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

k3.8416.635

/,(Z4)0.0500.010

A.被調(diào)查的學(xué)生中喜歡登山的男生人數(shù)比喜歡登山的女生人數(shù)多

第3頁(yè)共17頁(yè)

B.被調(diào)查的女生中喜歡登山的人數(shù)比不喜歡登山的人數(shù)多

C.若被調(diào)查的男女生均為100人，則有99%的把握認(rèn)為喜歡登山和性別有關(guān)

D.無(wú)論被調(diào)查的男女生人數(shù)為多少，都有99%的把握認(rèn)為喜歡登山和性別有關(guān)

【答案】AC

【解析】因?yàn)楸徽{(diào)查的男女生人數(shù)相同.由等高條形統(tǒng)計(jì)圖可知,喜歡蜃山的男生

占80%.喜歡登■山的女生占30%,所以A正確.B錯(cuò)誤.

設(shè)被調(diào)查的男女生人數(shù)均為“?則由等高條形統(tǒng)計(jì)圖可得2X2列聯(lián)表如下：

男女合計(jì)

喜歡0.8FIO.Snl.ln

不喜歡0.2n0,7n0.9/1

合計(jì)nn2n

2nx(0.8”X0.7”一0.3”X0.2”)250”

由公式可得矛l.l?X0.9nXnXn=宜.

當(dāng)”=100時(shí),1=嘿^＞6.635,所以有99%的把握認(rèn)為喜歡登山和性別有關(guān)；當(dāng)”=10

時(shí),公=不＜6.635.所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為喜歡壑山和性別有關(guān),顯然X2的值與n

yy

的取值有關(guān)，所以C正確，D錯(cuò)謾.

7T

10.已知函數(shù)/（外=5皿（5-5）（。＞0）在［0,萬(wàn)］上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.在（0,萬(wàn)）上存在小巧,使得1/（%,）-f（x2）|=2

710

B.0的取值花圍為V）

33

TT

。/0）在（0,一）上單調(diào)遞增

4

D./（x）在（0,萬(wàn)）上有且只有一個(gè)最大值點(diǎn)

【答案】ABC

第4頁(yè)共17頁(yè)

【解析】對(duì)于A.由題意可知/（工）的最小正周期TVK.所以在（0.?上既可以取

得最大值也可以取得最小值.故A正確.

對(duì)于B.函數(shù)八工）圖象在y軸右側(cè)與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為六竺，手，譬，要使

5a）oct）ou）

fGr）在［0,K］上有且只有三個(gè)零點(diǎn),只需|解得當(dāng).故B正確.

10K、33

石〉妨

對(duì)于u函數(shù)/（工）在（o.河上單調(diào)遞增，因?yàn)樗栽鴈（%哥，故c

\6卬，66bo>\414.

正確.

77r110大

對(duì)于D,考慮到32%=腎的取值范圍為（老，書(shū);顯然要Vn,所以可能存在兩

個(gè)最大值點(diǎn).故D錯(cuò)誤.

11.如圖，在直四棱柱ABCD-A旦CQ中，四邊形ABC。為正方形，A4t=2A8,尸為面對(duì)角線用。上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.BD】_L平面4G。

B.BC與AG所成角的余弦值為亞

C.三棱錐尸-的體積為定值

D.平面ABBX\內(nèi)存在與AGA和底面ABCD交線平行

【答案】BC

【解析】對(duì)于A.因?yàn)锳】D與3D1不垂直?所以8。與平面4GD不垂直.故A錯(cuò)誤

對(duì)于B.因?yàn)锽C〃AQ,所以NGAQ就是BC與AiG所成的角.設(shè)AB=1,則在

△GAR中，A|D=GD=>/^.ACi=&,于是由余弦定理可知cosNGAQ=

5+2-5/IO-

---尸—故B正確.

2X75X>/21°

對(duì)于C,因?yàn)锽C〃A|D,所以BC〃平面ADC1，從而點(diǎn)P到平面A】DG的距離都相

等，故C正確.

對(duì)于D,因?yàn)锳C1〃平面ABCD.所以平面ACiD和底面ABCD的交線與A】G平行.

而AG與平面ABBiAi相交.所以D錯(cuò)誤.

12.關(guān)于曲線C：x2+y2=i+|x|y,下列說(shuō)法中正確的有（）

A.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)

第5頁(yè)共17頁(yè)

C.曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)

D.曲線C在直線》=±1和^=±1所圍成的正方形區(qū)域內(nèi)(包括邊界)

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A.用(一工，替換(工，》),曲線方程不變?故A正叫

對(duì)于B,由-r2+y2=l+|zl_y&l+'可得了2+;/&2,即/儲(chǔ)+可故B正確.

4

對(duì)于C,原曲線可化為/一|Xly+i?—i=o.顯然4=/2—4(丁一1)》0?解得M&w，

4

同理324彳.令1=-1,o,1,可得6個(gè)整點(diǎn)分別為(-1,0),(—1,1),(0,—1),(0,

1),(1,0),(1,1),故C正確.

對(duì)于口冷工=苧>1,可得,=與，顯然點(diǎn)(竽，塔在直線工=士1和k±1所圍

成的正方形區(qū)域外部.故D錯(cuò)誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

JI1

13.若sin(—\-a)--,則sin2a=______.

43

_7

【答案】--

9

[解析]sin2a=-COS(f+2a)=~[l-2sinz(f+a)]=~(1~1<

a=[?，兩邊平方可得[+Isin2a=],可得sin2a=—

14.2020年是全面建成小康社會(huì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)之年，是全面打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)收官之年.根據(jù)中央對(duì)精準(zhǔn)扶貧的要

求，某市決定派5名黨員和3名醫(yī)護(hù)人員到三個(gè)不同的扶貧村進(jìn)行調(diào)研，要求每個(gè)扶貧村至少派黨員和醫(yī)

護(hù)人員各1名，則不同的分派方案共有種.

【答案】900

【解析】先分黨員，有兩種分法：3.1.1或者2,2.1.共有罷+監(jiān)種不同的

分派方案.再分醫(yī)護(hù)人員,共有Ai種不同的分派方案.最后將分好的組派到不同的扶貧

村,有Ai種不同的分派方案.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得所有不同的分配方案共有

第+甯)?&?線=900種.

15.已知半徑為5的球面上有P,A,B,C四點(diǎn)，滿(mǎn)足/ACB=90。，AC=7,BC=，則球心。到平面

ABC的距離為(2分)，三棱錐P-ABC體積的最大值為(3分).

第6頁(yè)共17頁(yè)

…28厲

［答案］------

3

【解析】由題意知A/3為截面81（3的直徑.

因?yàn)锳C=7.3（'=/百.所以A8=8.

由球的性質(zhì)可知（X）iJ_gj面儲(chǔ).即（X%為球心（）到平面ABC的距離.

在RtZXOAOi中,AQ=4.OA=5.可得（大入=3.所以（）到平面AHC的距離為3.

要使三棱錐PAHC的體積最大./,應(yīng)為（A。的延長(zhǎng)線與球面的交點(diǎn).此時(shí)點(diǎn)P到平面

AHC的距離為8.所以體積的最大值為:X（BX7X/IK）X8=%?1.

16.已知F為拋物線/=2x的焦點(diǎn)，4a,2），點(diǎn)P在拋物線上且滿(mǎn)足PF=PA.若這樣的點(diǎn)P有且只有一

個(gè)，則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】±-

2

【解析】解法一：由題意可知F（3,0）.設(shè)P（2〃，2D.

由PF=PA可得2尸+］=，（2產(chǎn)-a）2+（2r—2）2,

15

整理可得（2—4a）t2—8z+a24~—=0.

因?yàn)檫@樣的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，1

?（2—4a#0,函_1上。羊方，

所以2—4a=0或_即4=5或j2

3=°'18a3—4。2+30。+17=0.

由8a3—4a2+30。+17=（2。+1）（4/-4〃+17）=0,解彳導(dǎo)a=一方.

綜上,a=±￡.

解法二：因?yàn)镻A=PF.所以P為線段AF的中垂線與拋物線的交點(diǎn).要使P有且只有一個(gè).

則要不AF的中垂線與z軸平行.此時(shí)a=T；

要不AF的中垂線與拋物線相切.且切點(diǎn)為P,由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知AP〃工軸.此

時(shí)P（2.2）.故PF=2+/.所以“=-、■.

綜上.a=士義.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿(mǎn)分10分）

第7頁(yè)共17頁(yè)

在①4=-4，仇=。2+4,②4=4,3/=。2，③4=4+1,匕2=。2一3這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下

面的問(wèn)題中并作答.

問(wèn)題：已知數(shù)列伍“｝滿(mǎn)足色+M+4+…+3=〃2,數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列，且_________，S.為數(shù)列

22~22

｛3｝的前〃項(xiàng)和.是否存在正整數(shù)k,使得果＞2020成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

bn

理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

第8頁(yè)共17頁(yè)

[解析]由號(hào)+1+號(hào)T---巖=Y可得矍+患+菖3------H相=(L1)2(〃)2),

兩式相減可得署=〃2—(〃-1)2=2〃-1,..............................................................2分

所以%=(2〃-1)2”................................................................................................3分

當(dāng)n=\時(shí).由.十*+4+…+.=〃2可得a1=2,滿(mǎn)足%=(2〃-1)2"?

乙乙乙乙

所以a.=(2〃-1)2"................................................................................................4分

選擇條件①：因?yàn)槌?一%，64=%+4,所以仇=-2,d=16,于是仇=(一2尸.

此時(shí)產(chǎn)=(2〃-1)(—1)"?........................................................................................6分

所以S?=lX(-l),+3X(-l)z4-5X(-l)3+-+(2n-l)(-l)w,

兩邊同乘以一14f-S.=lX(-l)2+3X(-1)34-5X(-1)H-----F(2M-1)(-1)"+,,

兩式相減可得2S”=(-l)+2X[(-Dt+(-l)H-----F(-1)"]-(2M-1)(-1)-+,

1—(—1I

=-1+2—―~--一(2〃一1)(一1)f1=-2〃(一1尸十】，…8分

所以S.=一〃(一1)—1'2020,解得〃)2020(〃為偶數(shù)3....................................9分

所以存在正整數(shù)3使得S,>2020成立/的最小值為2020..............................10分

選擇條件②：因?yàn)閐=a193bz=%?所以6=2,d=4?于是AR=2"9

此時(shí)詈=2〃-1,.......................................................................................................6分

所以S”=1+3+5+???+(2〃-l)=n2...................................................................8分

由S,》2020可得〃245.

所以存在正整數(shù)殷使得S/>2020成立決的最小值為45.........................................10分

選擇條件③：因?yàn)槲?。1+1.〃2=。2—3■所以仇=39仇=9?于是b?=3"?

此時(shí)*=(2〃-1)倍)..............................*.........6分

所以S?=lX?+3X(,『+5X(|y+"，+(2〃一D(1y，

兩邊同乘以,得匆=1X信)+3X(|)+5X(|)+?.?+(21)圖,

兩式相減可得黑=|+2X［信-信)'+…+(燈］-⑵-D仔廠’

10/2\

—一(2〃+5)(耳)，.....................................8分

3

所以3.=10-(6?+15)(1-)-+，.

因?yàn)?6”+15)(曰)”+|>0,所以不存在正整數(shù)3使得S*22020成立............10分

第9頁(yè)共17頁(yè)

18.（本小題滿(mǎn)分12分）

a7i

已知函數(shù)/(X)=2sinC9XCOS(3C+區(qū))+存(0<@<3)在％=不處取得最大值.

3212

(1)求函數(shù)/(幻的最小正周期；

1c

(2)若aABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,且/(A)=/,bcosC+/=a,c=2.求

【解析】(1)/(j)=2sincarcos(cor+y)H■-

=2sincarcoscar一空sincar)

=sincarcos3T-Rsin2car+§

斗…-乃xf處+與

=；sin2axr十與cos2ftAz*=sin(2<ar+W........................4分

由題意可知2?,x5+胃=2—+]atez）.可得3=I2A+I（ACZ）.

因?yàn)?<3<3.所以3=1,........................................................................................5分

故/(H)=sin(2H+g).可得函數(shù)八工)的最小正周期為X.....................................6分

(2)由/(A)=jTffsin(2A+f)=7?

故2A+9=2An+5或2ATT+￥(4CZ).

000

因?yàn)锳e(0.?，所以A=子...........................................8分

4

由6cosc+g=a以及余弦定理可得a&+/-b2=ac?............................................9分

“.,a24-c2-hz1

所以coslfi=-----：-----=—.

因?yàn)?￡(0?TT).所以B=g.10分

由正弦定理可得a=嘿^餐懸尸一匕12分

sn

124

19.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面APB_L平面ABCD,四邊形A5C。直梯形，AB//CD,ABLBC,ZABP=30°,

AP=BC=CD=1,AB=2.

（1）求證：APICP；

（2）求二面角B-PC-D的余弦值.

第10頁(yè)共17頁(yè)

H

P

（第19題）

第11頁(yè)共17頁(yè)

【解析】(1)證明：在△ABP中?因?yàn)锳P=1,A3=2,ZABP=30°,

所以AP_LPB................................................................................................1分

因?yàn)槠矫鍭PB_L平面ABCD,平面AP3D平面ABCD=AB,BCU平面ABCD.AB

±BC,

所以BCJ_平面ABP...................................................................................................2分

又APU平面ABP.所以BC±AP.

因?yàn)镻BnBC=B,所以APJ_平面PBC.......................3分

又CPU平面PBC,所以APJ_CP..................................4分

(2)以B為原點(diǎn).市的方向，過(guò)點(diǎn)B垂直于平面ABCD向外

方向，BC的方向分別為z軸、y軸、之軸的正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系B-zyz(如圖)，則有A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,

0,1),D(l,0,1),P俱,與,0)，.............................5分

(第19題答圖)

所以前=(',o).BC=<0,0,1),CD=(1,0,0),CP=U,-1).

7分

設(shè)m=(j-i,ji,zi)為平面PCB的一個(gè)法向量.

則有廣,藝=心即導(dǎo)"與"對(duì)

令w=6,則小=-1?所以/?=(-1,點(diǎn)，0).............................9分

設(shè)yz，打)為平面PCD的一個(gè)法向量，

?CD=0,1=0，

則有，

?CP=0,Pyx+yj—z=0.

In222

令yt=V3.則22=,，所以“=(0,V3，尚')?.................................11分

<，、m?n

而cos〈/n.n)=i一"n一"r

\fn||nI

/21

則由圖形可知二面角的余弦值為分

B-PC-D-7-,12

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20.（本小題滿(mǎn)分12分）

網(wǎng)上購(gòu)物就是通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過(guò)電子訂購(gòu)單發(fā)出購(gòu)物請(qǐng)求，廠商通過(guò)郵購(gòu)的方式發(fā)貨

或通過(guò)快遞公司送貨上門(mén)，貨到后通過(guò)銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等方式在線匯款，根據(jù)2019年中國(guó)消

費(fèi)者信息研究，超過(guò)40%的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購(gòu)物，使得網(wǎng)上購(gòu)物和送貨上門(mén)的需求量激增，越

來(lái)越多的消費(fèi)者也首次通過(guò)第三方APP、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺(tái)進(jìn)行購(gòu)物，某天貓專(zhuān)營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了

2020年8月5日至9日這5天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)/和時(shí)間第七天間的數(shù)據(jù)，列表如下：

1j12345

yt75849398100

（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時(shí)間x之間的關(guān)系？若可用，估計(jì)8月10日到

該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若|「|>0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型

擬合，計(jì)算「時(shí)精確到0.01）.

參考數(shù)據(jù)：74340?65.88.

E（七一x）（K—y）

附：相關(guān)系數(shù)7券------------------，回歸直線方程的斜率

支?—x茂（yj—y）2

V/=!i=l

AAG一1）（y—丁）A_A_

b=J------------，截總巨。=>—

￡（七—x）2

i=l

（2）運(yùn)用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中任取3人進(jìn)行

獎(jiǎng)勵(lì)，求這3人取自不同天的概率.

（3）該專(zhuān)營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷(xiāo)方案：方案一，購(gòu)物金額每滿(mǎn)100元可減10元；方案二，一次

性購(gòu)物金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為

-,且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折.某顧客計(jì)劃在此專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)買(mǎi)1

3

000元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

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【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可得亍=3,5=90,一?。?=10，2（“一歹）2=

（-1?1

5

434,X（肛一爰）（“一歹）=64,................................................................................2分

Z（Rj-三）（死一歹）柩

所以廠=,I-----=---R0.97>0.75,

.…冬f為

所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)z之間的關(guān)系........................3分

2—j)(y,—>)

工,今一■->64

而b=----;--------------=行=c6.4,

XCrT)2

i-l

則力=5一務(wù)￡=90-6.4X3=70.8,

所以§=6.41+70.8.........................................................................................................4分

令工=6,可得§=109.2.

答：8月10日到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)約為109............................................................5分

（2）因?yàn)?5?100=3?4,所以從第1天和第5天取的人數(shù)分別為3和4,從而3人取自

不同天的種數(shù)為aci+aci,

答:這3人取自不同天的概率為微...........................................7分

（3）若選方案一,需付款1000-100=900元...................................8分

若選方案二，設(shè)需付款X元，則X的取值可能為600,800,900,1000,

則P(X=600)=aX(y)3=^.

P(X=8OO)=^X(1)ZX4=^?

P(X=900)=CJX|X(1)2=|1,

P(X=1000)=QX(y)3=^,......................................................................................P分

if*1QQnJ9nA

所以E(X)=600X—+800X—+900X—+1000X—=—rz-<900,

乙，L?I￡>I//

因此選擇方案二更劃算....................................................12分

21.（本小題滿(mǎn)分12分）

Jy2

已知橢圓C：r+4r=l（a>0,力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為W，居，A為橢圓C上一點(diǎn)△人與耳的周長(zhǎng)為

a~o

4+2g,N-AB最大時(shí)的余弦值為一；.

（1）求橢圓C的方程;

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（2）若B和A為x軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且NA￡鳥(niǎo)+N8乙片=180。，求四邊形46乙8面積的最大值及此時(shí)

直線的方程.

【解析】（1）設(shè)橢圓（'的焦距為2c.

由橢圓的定義可知2a+2c=4+2偌.①.................................1分

由橢圓的幾何性質(zhì)可知,當(dāng)A為短軸的頂點(diǎn)時(shí).NRAF：最大.為120°.

則有sin60°=-^-=—.②........................................................2分

Ia

聯(lián)立（D0可得a=2.c=73....................................................................................3分

所以b~=a?—c2=1.

故橢圓C的方程為〒+/=1................................................................................4分

（2）因?yàn)镹AFIH+NBRFI=180°.所以AF|〃BF?.

延長(zhǎng)AR.交橢圓C于點(diǎn)/V.

設(shè)A（.ri.）.人'（12。＞2）.

由（1）可知F|（一焉0）.可設(shè)直線AA'的方程為.r=，〃.y一府...................5分

惇+/i廠

聯(lián)立，4消去才可得（4+〃/”2-2點(diǎn),“》—1=0.

I.r=?iy-V3.

“.2點(diǎn)，”一1

所以"+山=^7~~2=^7^?......................................................................6分

由對(duì)稱(chēng)性可知BF.=A'Ft.

設(shè)AR與HF：間的距禹為

則四邊形八RE8的面枳S=J(人居+8凡)</-(AFi+A'F^d

="1AA，.</=$?25=聶怎?3-y/

=73|J,—y21=&(>i+%產(chǎn)-Ui”

%/健布—=哪手.......................................9分

V'4+/J12*4T7〃4十〃7

令，.則s=^="^..................................................................io分

r+3,3

2

因?yàn)?+7i2G.當(dāng)且僅當(dāng)/=點(diǎn)時(shí)取等號(hào).

所以Srmx=2?........................................................................................................