《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第2節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷

《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第2節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第2節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷/《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第2節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷第2節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理1.平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a,b是異面直線a?α3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).1.公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面;推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面;推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.3.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí),容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補(bǔ)角.診斷自測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打"√”或"×”)(1)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說α,β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合.()(4)若直線a不平行于平面α,且a?α,則α內(nèi)的所有直線與a異面.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線,故錯(cuò)誤.(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面相交或重合,故錯(cuò)誤.(4)由于a不平行于平面α,且a?α,則a與平面α相交,故平面α內(nèi)有與a相交的直線,故錯(cuò)誤.2.如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EFA.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C或其補(bǔ)角為所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C,∴∠D3.如圖,在三棱錐A－BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件________時(shí),四邊形EFGH為菱形;(2)當(dāng)AC,BD滿足條件________時(shí),四邊形EFGH為正方形.答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四邊形EFGH為菱形,∴EF＝EH,∵EF綊eq\f(1,2)AC,EH綊eq\f(1,2)BD,∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形,∴EF＝EH且EF⊥EH,∵EF綊eq\f(1,2)AC,EH綊eq\f(1,2)BD,∴AC＝BD且AC⊥BD.4.(多選題)(2021·新高考8省聯(lián)考)下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖,則在該正方體中()A.AE∥CDB.CH∥BEC.DG⊥BHD.BG⊥DE答案BCD解析還原為正方體即可.5.(2021·日照質(zhì)檢)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交答案D解析由于l與直線l1,l2分別共面,故直線l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交.若l∥l1,l∥l2,則l1∥l2,這與l1,l2是異面直線矛盾.故l至少與l1,l2中的一條相交.6.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CDA.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)答案C解析如圖,連接BE,因?yàn)锳B∥CD,所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角,即∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則CE＝1,BC＝2,由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE,所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用1.(多選題)如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)共面的圖是()答案ABC解析對(duì)于A,PS∥QR,故P,Q,R,S四點(diǎn)共面;同理,B,C圖中四點(diǎn)也共面;D中四點(diǎn)不共面.2.如圖所示,平面α∩平面β＝l,A∈α,B∈α,AB∩l＝D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是()A.直線ACB.直線ABC.直線CDD.直線BC答案C解析由題意知,D∈l,l?β,所以D∈β,又因?yàn)镈∈AB,所以D∈平面ABC,所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上.又因?yàn)镃∈平面ABC,C∈β,所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上,所以平面ABC∩平面β＝CD.3.在三棱錐A－BCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果EF∩HG＝P,則點(diǎn)P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上,也不在直線BD上答案B解析如圖所示,因?yàn)镋F?平面ABC,HG?平面ACD,EF∩HG＝P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC,所以P∈AC.感悟升華1.證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);(2)將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.2.證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(如某兩個(gè)平面的交線)上.3.證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系【例1】(1)(多選題)(2021·廣州六校聯(lián)考)如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M,N,P分別是C1D1,BC,A1D1的中點(diǎn),下列結(jié)論正確的是()A.AP與CM是異面直線B.AP,CM,DD1相交于一點(diǎn)C.MN∥BD1D.MN∥平面BB1D1D(2)(2019·全國(guó)Ⅲ卷)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM＝EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM＝EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案(1)BD(2)B解析(1)連接MP,AC(圖略),因?yàn)镸P∥AC,MP≠AC,所以AP與CM是相交直線,又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1,所以AP,CM,DD1相交于一點(diǎn),則A不正確,B正確.令A(yù)C∩BD＝O,連接OD1,ON.因?yàn)镸,N分別是C1D1,BC的中點(diǎn),所以O(shè)N∥D1M∥CD,ON＝D1M＝eq\f(1,2)CD,則四邊形MNOD1為平行四邊形,所以MN∥OD1,因?yàn)镸N?平面BD1D,OD1?平面BD1D,所以MN∥平面BD1D,C不正確,D正確.(2)取CD的中點(diǎn)O,連接ON,EO,因?yàn)椤鱁CD為正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD＝CD,EO?平面ECD,所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則EO＝eq\r(3),ON＝1,所以EN2＝EO2＋ON2＝4,得EN＝2.過M作CD的垂線,交CD于點(diǎn)P,連接BP,則MP＝eq\f(\r(3),2),CP＝eq\f(3,2),所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋22＝7,得BM＝eq\r(7),所以BM≠EN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以N為BD的中點(diǎn),即EN,MB均在平面BDE內(nèi),所以直線BM,EN是相交直線,故選B.感悟升華空間中兩直線位置關(guān)系的判定,主要是異面,平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法;平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.【訓(xùn)練1】(1)(2020·河南名校聯(lián)考)已知空間三條直線l,m,n,若l與m垂直,l與n垂直,則()A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n平行、相交、異面均有可能(2)(多選題)(2021·重慶質(zhì)檢)四棱錐P－ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等,M,N分別為PA,CD的中點(diǎn),下列說法正確的是()A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB答案(1)D(2)ABD解析(1)因?yàn)閙⊥l,n⊥l,結(jié)合長(zhǎng)方體模型可知m與n可以相交,也可以異面,還可以平行.(2)如圖所示,取PB的中點(diǎn)H,連接MH,HC,由題意知,四邊形MHCN為平行四邊形,且MN∥HC,所以MN∥平面PBC,設(shè)四邊形MHCN確定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P?平面α,D?MN,因此MN與PD是異面直線;故A,B說法均正確.若MN∥AC,由于CH∥MN,則CH∥AC,事實(shí)上AC∩CH＝C,C說法不正確;因?yàn)镻C＝BC,H為PB的中點(diǎn),所以CH⊥PB,又CH∥MN,所以MN⊥PB,D說法正確.考點(diǎn)三異面直線所成的角【例2】(1)(經(jīng)典母題)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝eq\r(3),則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)(2)(2021·衡水檢測(cè))如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD＝O,且AB⊥CD,SO＝OB＝3,SE＝eq\f(1,4)SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(13,16)D.eq\f(\r(11),3)答案(1)C(2)D解析(1)法一如圖,連接BD1,交DB1于O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM.易知O為BD1的中點(diǎn),所以AD1∥OM,則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝eq\r(3),AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2,DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2),DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(5).所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1,OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2),于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5).故異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).法二以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.由條件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,eq\r(3)),B1(1,1,eq\r(3)),所以eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,eq\r(3)),eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1,1,eq\r(3)).則cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→)),eq\o(DB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(DB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5),故異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).(2)如圖,過點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或其補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角.∵SE＝eq\f(1,4)SB,∴SE＝eq\f(1,3)BE.又OB＝3,∴OF＝eq\f(1,3)OB＝1.∵SO⊥OC,SO＝OC＝3,∴SC＝3eq\r(2).∵SO⊥OF,∴SF＝eq\r(SO2＋OF2)＝eq\r(10).∵OC⊥OF,∴CF＝eq\r(10).∴在等腰△SCF中,tan∠CSF＝eq\f(\r((\r(10))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2)),\f(3\r(2),2))＝eq\f(\r(11),3).【遷移1】若將例2中(1)條件"AA1＝eq\r(3)”變?yōu)?AA1＝2”,其它條件不變,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為________.答案eq\f(4,5)解析連接BC1,易證BC1∥AD1,則∠A1BC1(或其補(bǔ)角)為異面直線A1B與AD1所成的角.連接A1C1,由AB＝1,AA1易得A1C1＝eq\r(2),A1B＝BC1＝eq\r(5),∴cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BCeq\o\al(2,1)－A1Ceq\o\al(2,1),2A1B·BC1)＝eq\f(4,5).故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).【遷移2】若將例2中(1)題條件"AA1＝eq\r(3)”變?yōu)?異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(9,10)”.試求AA1的值.解設(shè)AA1＝t,∵AB＝BC＝1,∴A1C1＝eq\r(2),A1B＝BC1＝eq\r(t2＋1).∴cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BCeq\o\al(2,1)－A1Ceq\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r(t2＋1)×\r(t2＋1))＝eq\f(9,10).解之得t＝3,則AA1＝3.感悟升華1.綜合法求異面直線所成角的步驟：(1)作：通過作平行線得到相交直線.(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角).(3)求：解三角形,求出所作的角,如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角,如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角.2.向量法：利用向量的內(nèi)積求所成角的余弦值.立體幾何中的截面問題立體幾何中截面問題涉及線、面位置關(guān)系,點(diǎn)線共面、線共點(diǎn)等問題,綜合性較強(qiáng),培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【典例】(2018·全國(guó)Ⅰ卷)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)答案A解析如圖,依題意,平面α與棱BA,BC,BB1所在直線所成角都相等,容易得到平面AB1C符合題意,進(jìn)而所有平行于平面AB1C由對(duì)稱性,知過正方體ABCD－A1B1C1D1中心的截面面積應(yīng)取最大值,此時(shí)截面為正六邊形EFGHIJ易知正六邊形EFGHIJ的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2),將該正六邊形分成6個(gè)邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)的正三角形.故其面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(3),4).素養(yǎng)升華作出截面的關(guān)鍵是找到截線,作出截線的主要根據(jù)有：(1)確定平面的條件;(2)三線共點(diǎn)的條件;(3)面面平行的性質(zhì)定理.【訓(xùn)練】(2021·長(zhǎng)沙檢測(cè))我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱為"塹堵”.在如圖所示的"塹堵”ABC－A1B1C1中,AB＝AC＝AA1＝2,M、N分別是BB1和A1C1的中點(diǎn),則平面AMN截"塹堵”ABC－A1B1CA.eq\f(2\r(21),3)B.eq\f(4\r(21),3)C.eq\f(2\r(7),3)D.eq\f(4\r(7),3)答案A解析延長(zhǎng)AN,與CC1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,則P∈平面BB1C1C,連接PM,與B1C1交于點(diǎn)E,連接NE,得到的四邊形AMEN是平面AMN截"塹堵”ABC－A1B1由題意解三角形可得NE＝ME＝eq\f(\r(17),3),AM＝AN＝eq\r(5),MN＝eq\r(6).∴△AMN中MN邊上的高h(yuǎn)1＝eq\r((\r(5))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),2),△EMN中MN邊上的高h(yuǎn)2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),6).∴AMN截"塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積S＝S△AMN＋S△EMNeq\f(1,2)MN·(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)＋\f(\r(14),6)))＝eq\f(2\r(21),3).A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.(多選題)(2021·重慶一中月考)下列說法正確的是()A.梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面B.三條平行直線共面C.有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合D.三條直線兩兩相交,可以確定1個(gè)或3個(gè)平面答案AD解析因?yàn)樘菪蔚膬蓚€(gè)底邊相互平行,所以其四個(gè)頂點(diǎn)共面,故A正確;例如三棱柱的三條平行棱不共面,故B錯(cuò)誤;C中的兩個(gè)平面重合或相交,故C錯(cuò)誤;三條直線交于同一點(diǎn)時(shí),可確定3個(gè)平面,三條直線不交于同一點(diǎn)時(shí),只能確定一個(gè)平面,D正確.2.如圖,已知三棱柱ABC－A′B′C′的底面是正三角形,側(cè)棱AA′⊥底面ABC,AB＝9,AA′＝3,點(diǎn)P在四邊形ABB′A′內(nèi),且P到AA′,A′B′的距離都等于1,若D為BC上靠近C的四等分點(diǎn),過點(diǎn)P且與A′D平行的直線交三棱柱ABC－A′B′C′于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn),則點(diǎn)Q所在平面是()A.ACC′A′B.BCC′B′C.ABCD.ABB′A′答案C解析如下圖所示,連接A′P并延長(zhǎng)交直線AB于點(diǎn)M,由于點(diǎn)P在四邊形AA′B′B內(nèi),且點(diǎn)P到AA′,A′B′的距離都等于1,可知∠AA′M＝45°,則△AA′M為等腰直角三角形,且AM＝AA′＝3＜AB,所以,點(diǎn)M在線段AB上.連接DM,由于點(diǎn)P在線段A′M上,過點(diǎn)P作PQ∥A′D交DM于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q即為所求,且點(diǎn)Q在線段DM上,因此,點(diǎn)Q在平面ABC內(nèi).故選C.3.a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個(gè)命題中,真命題是()A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交C.若a∥b,則a,b與c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,則a∥c答案C解析若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若a⊥b,b⊥c,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確.4.(2021·湖北重點(diǎn)高中聯(lián)考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中,底面ABC為等腰直角三角形,且斜邊BC＝2,D是BC的中點(diǎn),若AA1＝eq\r(2),則異面直線A1C與AD所成的角為()A.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析如圖,取B1C1的中點(diǎn)D1,連接A1D1,則AD∥A1D1,所以異面直線A1C與AD所成的角就是A1C與A1D1所成的角,即∠CA1D1(或其補(bǔ)角).連接D易得△A1D1C在Rt△A1D1C中,A1D1＝1,A1C＝2,CD1＝eq\r(3),∴∠CA1D1＝60°.5.(多選題)下圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有()答案BD解析圖A中,直線GH∥MN;圖B中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?平面GHN,N?GH,因此直線GH與MN異面;圖C中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;圖D中,G,M,N共面,但H?平面GMN,G?MN,因此GH與MN異面.6.在各棱長(zhǎng)均相等的四面體ABCD中,已知M是棱AD的中點(diǎn),則異面直線BM與AC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(2),6)答案C解析設(shè)四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,取CD的中點(diǎn)N,連接MN,BN,∵M(jìn)是棱AD的中點(diǎn),∴MN∥AC,∴∠BMN(或其補(bǔ)角)是異面直線BM與AC所成的角.∵BM＝BN＝eq\r(22－12)＝eq\r(3),MN＝eq\f(1,2)AC＝1,∴在△BMN中,cos∠BMN＝eq\f(BM2＋MN2－BN2,2BM·MN)＝eq\f(3＋1－3,2×\r(3)×1)＝eq\f(\r(3),6),∴異面直線BM與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),6).二、填空題7.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.答案4解析因?yàn)锳B∥CD,由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個(gè)側(cè)面,與另外四個(gè)側(cè)面相交.8.如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________.答案eq\r(2)解析取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接C1D,AD,因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),所以AD∥BC,所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角.因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),所以C1D⊥圓柱下底面,所以C1D⊥AD,因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1D＝eq\r(2)AD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2),所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).9.如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是________.答案②③④解析還原成正四面體ADEF,其中H與N重合,A,B,C三點(diǎn)重合.易知GH與EF異面,BD與MN異面.又△GMH為等邊三角形,∴GH與MN成60°角,易證DE⊥AF,MN∥AF,∴MN⊥DE.因此正確的序號(hào)是②③④.三、解答題10.在正方體ABCD－A1B1C1D1(1)求異面直線AC與A1D所成角的大小;(2)若E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),求異面直線A1C1與EF解(1)如圖,連接B1C,AB1,由ABCD－A1B1C1D1是正方體,易知A1D∥B1C,從而B1C與AC所成的角就是異面直線AC與A在△AB1C中,AB1＝AC＝B1所以∠B1CA＝60°.故異面直線A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD,所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1故異面直線A1C1與EF11.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE＝ED1,BF＝2FB1.證明：(1)當(dāng)AB＝BC時(shí),EF⊥AC;(2)點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).證明(1)如圖,連接BD,B1D1.因?yàn)锳B＝BC,所以四邊形ABCD為正方形,故AC⊥BD.又因?yàn)锽B1⊥平面ABCD,于是AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B,所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF?平面BB1D1D,所以EF⊥AC.(2)如圖,在棱AA1上取點(diǎn)G,使得AG＝2GA1,連接GD1,FC1,FG.因?yàn)镋D1＝eq\f(2,3)DD1,AG＝eq\f(2,3)AA1,DD1綊AA1,所以ED1綊AG,于是四邊形ED1GA為平行四邊形,故AE∥GD1.因?yàn)锽1F＝eq\f(1,3)BB1,A1G＝eq\f(1,3)AA1,BB1綊AA1,所以B1FGA1是平行四邊形,所以FG綊A1B1,所以FG綊C1D1,四邊形FGD1C1為平行四邊形,故GD1∥FC1.于是AE∥FC1.所以A,E,F,C1四點(diǎn)共面,即點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).B級(jí)能力提升12.(2021·濰坊質(zhì)檢)如圖,已知二面角