專題04 一次函數(shù)中的特殊平行四邊形存在性問題（原卷版）-2024年?？?jí)狠S題攻略（9年級(jí)上冊(cè)人教版）

專題04一次函數(shù)中的特殊平行四邊形存在性問題類型一、菱形問題例1．（1個(gè)動(dòng)點(diǎn)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，．

(1)如圖1，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出直線的解析式．(2)如圖2，直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)D，且交y軸于點(diǎn)C，連接，若點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P使得時(shí)，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P在直線上且在第三象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在其它點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例2．（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且．

(1)求兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】將一個(gè)矩形紙片放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)A在x軸，點(diǎn)C在y軸．在邊上取一點(diǎn)D，將沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處．

(1)如圖1，求點(diǎn)E坐標(biāo)和直線的解析式；(2)點(diǎn)P為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段（不包含端點(diǎn)A，O）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作直線ly軸，直線l被截得的線段長為d．求d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；②在該坐標(biāo)系所在平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)C，E，P，G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．類型二、矩形存在性問題例．（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)D在x軸上，直線交y軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，線段的長是2和4；(1)求直線的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，，是直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是折線上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖（1），當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，在軸上找一點(diǎn)，使最??；用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．類型三、正方形存在性問題例1．已知，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使四邊形是正方形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與直線（）交于點(diǎn)P，．(1)求直線的解析式；(2)連接、，若直線上存在一點(diǎn)Q，使得，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)將直線向下平移1個(gè)單位長度得到直線，直線l與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)N為直線l上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，E，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn)D，，(1)求直線的解析式；(2)求證：是等腰直角三角形；(3)將直線沿軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與，軸分別相交于點(diǎn)，在直線上存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．課后訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線平行于y軸，交直線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)D），連接．(1)求直線的解析式；(2)設(shè)，求的面積S的表達(dá)式（用含m的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，則以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO為直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，點(diǎn)C為OB上一動(dòng)點(diǎn)．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為；(2)連接AC，并延長交y軸于點(diǎn)D，若△OAD的面積恰好被x軸分成1∶2兩部分，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2，若∠OAC＝30°，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△OA'B'，如圖2所示，OA'所在直線交直線AC于點(diǎn)P，當(dāng)△OAP為直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)．若以O(shè)、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)是射線上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作，垂足分別為D、E．求證：，．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第二象限內(nèi)，已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線：與x軸交于點(diǎn)N，與y軸交于點(diǎn)M，以線段為直角邊作等腰直角，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且，連接，已知．(1)求直線的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段上分別取點(diǎn)M，N，使得軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接是否