近五年黑龍江省中考數(shù)學(xué)真題及答案2024

2024年黑龍江中考數(shù)學(xué)試題及答案考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，平方差公式，運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則求出各選項(xiàng)的結(jié)果后再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A計算錯誤，此選項(xiàng)不符合題意；B、，故選項(xiàng)B計算錯誤，此選項(xiàng)不符合題意；C、，此選項(xiàng)計算正確，符合題意；D、，故選項(xiàng)D計算錯誤，此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2.下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意．故選：B．3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖的知識，主視圖是由4個小正方形組成，而左視圖是由4個小正方形組成，故這個幾何體的底層最少有3個小正方體，第2層最少有1個小正方體．【詳解】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個幾何體的底層最少有1+1+1=3個小正方體，第二層最少有1個小正方體，因此組成這個幾何體的小正方體最少有3+1=4個．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，意在考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案．4.一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了方差的計算，解題的關(guān)鍵是方差的計算公式的識記．根據(jù)方差的計算公式，先算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入公式計算即可得到結(jié)果．【詳解】平均數(shù)為：方差為：故選：D．5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到且，即，然后解不等式組即可得到的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，即，解得：，取值范圍是且．故選：D．6.已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，，整理得，，當(dāng)時，方程無解，當(dāng)時，令，解得，所以關(guān)于x的分式方程無解時，或．故選：A．7.國家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現(xiàn)突出的同學(xué)購買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購買方案（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)購買支筆記本，個碳素筆，利用總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，再結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出購買方案的個數(shù)．【詳解】解：設(shè)購買支筆記本，個碳素筆，依題意得：，．又，均為正整數(shù)，或或或，共有4種不同的購買方案．故選：B．8.如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，過點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，證明，有，根據(jù)E為的中點(diǎn)，可得，，進(jìn)而有，，可得，，則有，問題隨之得解．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，，∵軸，，∴軸，，∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．9.如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，，，則的長為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．先由菱形性質(zhì)可得對角線與交于點(diǎn)O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而由菱形對角線求出邊長，由解三角形即可求出，．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．10.如圖，在正方形中，點(diǎn)H在邊上（不與點(diǎn)A、D重合），，交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：①；②點(diǎn)G是的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤【答案】A【解析】【分析】連接，可得，垂直平分，先證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，即可判斷①；根據(jù)垂直平分，結(jié)合互余可證明，即有，則可判斷②正確；證明，即有，可判斷④；根據(jù)相似有，根據(jù)可得，再證明，可得，即可判斷⑤；根據(jù)點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即求出，同理可證明，可得，即可得，進(jìn)而可判斷③．【詳解】連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，∴，，∴，故①正確，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，故②正確，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確，∴，若，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤錯誤，如圖，③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即，∴，∴，同理可證明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正確，則正確的有：①②③④，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定理以及勾股定理等知識，證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共30分）11.國家統(tǒng)計局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是億斤，將億用科學(xué)記數(shù)法表示為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】億，億故答案為：12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)自變量取值范圍，分別根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，且，解得，，故答案為：．13.已知菱形中對角線相交于點(diǎn)O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查的是菱形和正方形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，依據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：；根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的條件為：或．14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有12種，∴選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的概率為：，故答案為：．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式（組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出不等式組中每個不等式的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個整數(shù)解，即可得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可．【詳解】解：由，得：，由，得：，不等式組恰有3個整數(shù)解，這3個整數(shù)解是0，1，2，，解得，故答案為：．16.如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵內(nèi)接于，是直徑，∴，∵,，∴∴，故答案為：．17.若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù)．【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，可得解得：，，解得，側(cè)面展開圖的圓心角是．故答案為：．18.如圖，在中，，，，，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出取最大值時B、P、M三點(diǎn)的位置關(guān)系．取的中點(diǎn)M，連接、，利用解三角形求出，利用三角形中位線定理推出，當(dāng)在下方時，如果B、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值．【詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點(diǎn)，∴．如圖，當(dāng)在下方時，如果B、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．19.矩形中，，，將沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線于點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線所在的直線上，則長為________．【答案】或或10【解析】【分析】本題考查了矩形與折疊問題，解直角三角形，先根據(jù)點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線所在的直線上的不同位置分三種情況，畫出對應(yīng)的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出即可．【詳解】解：①點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線上，如圖1，∵在矩形中，，，由折疊性質(zhì)可知：，∴∴∴，∴∴；②點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線上，如圖2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；③點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在矩形對角線延長線上，如圖3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；綜上所述：則長為或或10．故答案為：或或10．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動滾動，第一次滾動后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動后，的對應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動方式，依次求出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，,是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，等邊三角形高為，由題知，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；繼續(xù)滾動有，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個為一組，，的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，故答案為：．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查分式的化簡求值及特殊三角函數(shù)值，先對分式進(jìn)行化簡，然后利用特殊三角函數(shù)值進(jìn)行代值求解即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時原式．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）【答案】（1）作圖見解析，（2）作圖見解析，（3）【解析】【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)、以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）先求出，再由旋轉(zhuǎn)角等于，利用弧長公式即可求出．【小問1詳解】解：如圖，為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)為，小問2詳解】如圖，為所求；，【小問3詳解】，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長．23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中，．（1）求拋物線的解析式．（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積最大．若存在，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和的面積最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，的面積最大值是【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及與幾何綜合：（1）將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出b，c的值即可；（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，設(shè)，且點(diǎn)P在第二象限，根據(jù)可得二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】解：將，代入得，解得：【小問2詳解】解：對于，令則解得，，∴，∴∵，∴，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，如圖，設(shè)，且點(diǎn)P在第二象限，∴∴∵，∴有最大值，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為24.為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時體育活動時間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計圖，結(jié)合下圖解答下列問題：組別分組（cm）頻數(shù)A3BmC20D14E5（1）頻數(shù)分布表中，扇形統(tǒng)計圖中．（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)落在組別．（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績大于200cm為合格，請估計該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C（3）估計該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有228人【解析】【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)表、中位數(shù)，用樣本估計總體，（1）用A組的頻數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)；用總?cè)藬?shù)減去其它組的人數(shù)，即可求得B組的人數(shù)，用C組的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的求法，即可求解；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生人數(shù)所占，即可求解．【小問1詳解】解：被抽取的學(xué)生數(shù)為：(人)故（人），，即，故答案為：，；【小問2詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，，，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個數(shù)據(jù)都在C組，故本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)落在C組，答案為：C；【小問3詳解】解：（人）答：該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有人．25.甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是，乙貨車的速度是；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．【答案】（1）30，40（2）的函數(shù)解析式是（3）經(jīng)過1.5h或或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運(yùn)用，認(rèn)真分析函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象表示的意義是解題關(guān)鍵．（1）由圖象可知甲貨車到達(dá)配貨站路程為，所用時間為，乙貨車到達(dá)配貨站路程為，到達(dá)后返回，所用時間為，根據(jù)速度=距離÷時間即可得；（2）甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，由圖象結(jié)合已知條件可知和點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出y與x的關(guān)系式即可得答案；（3）分兩車到達(dá)配貨站之前和乙貨車到達(dá)配貨站時接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地后、甲貨車卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，三種情況與配貨站的距離相等，分別列方程求出x的值即可得答案．【小問1詳解】解：由圖象可知甲貨車到達(dá)配貨站路程為105km，所用時間為3.5h，所以甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是（）∴乙貨車到達(dá)配貨站路程為，到達(dá)配貨站時接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，總路程為240km，總時間是6h，∴乙貨車速度，故答案為：30；40【小問2詳解】甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，由圖象可知和點(diǎn)設(shè)∴解得：，∴甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)解析式【小問3詳解】設(shè)甲貨車出發(fā)，甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等，①兩車到達(dá)配貨站之前：，解得：,②乙貨車到達(dá)配貨站時開始返回，甲貨車未到達(dá)配貨站：，解得：，③甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地時：，解得：，答：經(jīng)過或或甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26.已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時，探究如下：由，可知，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當(dāng)時，如圖②：當(dāng)時，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．【答案】圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見解析【解析】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，選②，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，構(gòu)造全等三角形，得出，，再證明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得結(jié)論；選③方法同②【詳解】解：圖②的結(jié)論是：證明：∵∴是等邊三角形，∴，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得圖③的結(jié)論是：證明：以點(diǎn)B頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得27.為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．（1）購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購買甲乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？（3）若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）條件下，學(xué)校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）購買一個甲種品牌毽子需15元，購買一個乙種品牌毽子需10元（2）共有3種購買方案（3）學(xué)校購買甲種品牌毽子60個，購買乙種品牌毽子10個，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數(shù)的應(yīng)用，（1）設(shè)購買一個甲種品牌毽子需a元，購買一個乙種品牌毽子需b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，問題得解；（2）設(shè)購買甲種品牌毽子x個，購買乙種品牌毽子個，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；（3）設(shè)商家獲得總利潤為y元，即有一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)購買一個甲種品牌毽子需a元，購買一個乙種品牌毽子需b元．由題意得：，解得：，答：購買一個甲種品牌毽子需15元，購買一個乙種品牌毽子需10元；【小問2詳解】解：設(shè)購買甲種品牌毽子x個，購買乙種品牌毽子個．由題意得：，解得：，和均為正整數(shù)，，62，64，，7，4，共有3種購買方案．【小問3詳解】設(shè)商家獲得總利潤為y元，，，，隨x的增大而減小，當(dāng)時，，答：學(xué)校購買甲種品牌毽子60個，購買乙種品牌毽子10個，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元．28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長度是一元二次方程的根，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，相遇時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（），的面積為S．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2）（3）存在，，，，【解析】【分析】（1）運(yùn)用因式分解法解方程求出的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，求出的長即可；（2）分，和三種情況，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；（3）當(dāng)時求出，得，分為邊和對角線兩種情況可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)和時不存在以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形【小問1詳解】解：，解得，的長度是的根，∵是等邊三角形，∴，過點(diǎn)A作軸，垂足為C，在中，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為【小問2詳解】解：當(dāng)時．過P作軸，垂足為點(diǎn)D，∴，，∴∴，；當(dāng)時，過Q作，垂足為點(diǎn)E∵∴又∴，又，當(dāng)時，過O作，垂足為F∴，同理可得，，∴；綜上所述【小問3詳解】解：當(dāng)時，解得，∴，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)為邊時，將沿軸向下平移4個單位得，此時，四邊形是菱形；將沿軸向上平移4個單位得，此時，四邊形是菱形；如圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，當(dāng)時，四邊形是菱形；當(dāng)為對角線時，設(shè)的中點(diǎn)為T，過點(diǎn)T作，交y軸于點(diǎn)M，延長到,使連接,過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∴∴,即，解得，,∴，∴；當(dāng)，解得，，不符合題意，此情況不存；當(dāng)時，解得，，不符合題意，此情況不存在；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積，菱形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線和分類討論是解答本題的關(guān)鍵

2023年黑龍江中考數(shù)學(xué)真題及答案考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.2.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（）A.4 B.5 C.6 D.74.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A. B.5 C.和5 D.1和35.如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（）A. B. C.或 D.6.已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且7.某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（）A.5種 B.6種 C.7種 D.8種8.如圖，是等腰三角形，過原點(diǎn)，底邊軸，雙曲線過兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交雙曲線于點(diǎn)，若，則的值是（）A. B. C. D.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.10.如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的動點(diǎn)，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點(diǎn)，對角線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)，；⑤．（）A.①②③④⑤ B.①②③⑤ C.①②③ D.①②⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11.據(jù)交通運(yùn)輸部信息顯示：2023年“五一”假期第一天，全國營運(yùn)性客運(yùn)量約5699萬人次，將5699萬用科學(xué)記數(shù)法表示為__________．12.函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是____________．13.如圖，在矩形中對角線，交于點(diǎn)，請?zhí)砑右粋€條件______________，使矩形是正方形（填一個即可）14.一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些小球除標(biāo)號外完全相同，隨機(jī)摸出兩個小球，恰好是一紅一白的概率是__________．15.關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16.如圖，是直徑，切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)，連接，若，則__________．17.已知圓錐的母線長，側(cè)面積，則這個圓錐的高是__________．18.在中，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值是__________．19.矩形中，，將矩形沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若是直角三角形，則點(diǎn)到直線的距離是__________．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B在x軸上，垂直軸，且，頂點(diǎn)在直線上，；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第一個；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是__________．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，．（1）將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．（2）請畫出關(guān)于軸對稱的．（3）將著原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，求線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留）．23.如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24.某中學(xué)開展主題為“垃圾分類，綠色生活”的宜傳活動、為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況，該校團(tuán)委在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)在，將他們的得分按A：優(yōu)秀，B：良好，C：合格，D：不合格四個等級進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是__________人；（2）將條形圖補(bǔ)充完整；（3）扇形統(tǒng)計圖中C組對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是__________；（4）如果該校共有2200人，請估計該校不合格的人數(shù)．25.已知甲，乙兩地相距，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇．出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離與貨車行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）圖中的值是__________；（2）求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長時間與出租車相距．26.如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．27.2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款和用400元購進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實(shí)際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在x軸上，，的長是一元二次方程的根，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交對角線于點(diǎn)D，直線分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E，動點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個單位長度的速度沿向終點(diǎn)D運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒2個單位長度的速度沿向終點(diǎn)E運(yùn)動．兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）求直線的解析式．（2）連接，求的面積S與運(yùn)動時間t的函數(shù)關(guān)系式．（3）點(diǎn)N在運(yùn)動的過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q．使得以A，C，N，Q為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）【1題答案】【答案】C【2題答案】【答案】A【3題答案】【答案】B【4題答案】【答案】C【5題答案】【答案】A【6題答案】【答案】C【7題答案】【答案】B【8題答案】【答案】C【9題答案】【答案】D【10題答案】【答案】B二、填空題（每小題3分，共30分）【11題答案】【答案】【12題答案】【答案】【13題答案】【答案】或【14題答案】【答案】##0.6【15題答案】【答案】##【16題答案】【答案】34【17題答案】【答案】12【18題答案】【答案】##【19題答案】【答案】6或或【20題答案】【答案】三、解答題（滿分60分）【21題答案】【答案】，原式【22題答案】【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【23題答案】【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【24題答案】【答案】（1）40（2）見解析（3）（4）220人【25題答案】【答案】（1）120（2）（3）或【26題答案】【答案】圖②中，圖③中，證明見解析【27題答案】【答案】（1）A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，（2）一共有六種購買方案（3）【28題答案】【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或．

2022年黑龍江中考數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（每題3分，滿分30分）1.下列運(yùn)算中，計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C2.下列圖形是汽車的標(biāo)識，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C3.學(xué)校舉辦跳繩比賽，九年（2）班參加比賽的6名同學(xué)每分鐘跳繩次數(shù)分別是172，169，180，182，175，176，這6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.181 B.175 C.176 D.175.5【答案】D4.如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B5.2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A.8 B.10 C.7 D.9【答案】B6.已知關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】C7.國家“雙減”政策實(shí)施后，某校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動．某班同學(xué)報名參加書法和圍棋兩個社團(tuán)，班長為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形OBAD的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】D9.如圖，中，，AD平分與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若的面積是24，，則PE的長是（）A.2.5 B.2 C.3.5 D.3【答案】A10.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（）

A.①②④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①③④⑤【答案】B二、填空題（每題3分，滿分30分）11.我國南水北調(diào)東線北延工程2021-2022年度供水任務(wù)順利完成，共向黃河以北調(diào)水1.89億立方米，將數(shù)據(jù)1.89億用科學(xué)記數(shù)法表示為________．【答案】12.函數(shù)中自變量的取值范圍是______．【答案】13.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，請你添加一個條件________，使．

【答案】OB=OD（答案不唯一）14.在一個不透明的口袋中，有2個紅球和4個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個球，摸到紅球的概率是________．【答案】15.若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，則a的取值范圍是________．【答案】16.如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點(diǎn)，，則AB的長為________cm．【答案】17.若一個圓錐的母線長為5cm，它的側(cè)面展開圖的圓心角為120°，則這個圓錐的底面半徑為________cm．【答案】18.如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個動點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】19.在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在邊CD上，且，點(diǎn)P是直線BC上的一個動點(diǎn)．若是直角三角形，則BP的長為________．【答案】或或620.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點(diǎn)，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．【答案】三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．【答案】，22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

（1）將先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為23.如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積是面積的4倍，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，，24.為進(jìn)一步開展“睡眠管理”工作，某校對部分學(xué)生的睡眠情況進(jìn)行了問卷調(diào)查．設(shè)每名學(xué)生平均每天的睡眠時間為x小時，其中的分組情況是：A組：B組：C組：D組：E組：根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）本次共調(diào)查了_______名學(xué)生；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（3）在扇形統(tǒng)計圖中，求D組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；（4）若該校有1500名學(xué)生，請估計該校睡眠時間不足9小時的學(xué)生有多少人？【答案】（1）100（2）補(bǔ)全統(tǒng)計圖見解析（3）D組所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為（4）估計該校睡眠時間不足9小時的學(xué)生有375人25.為抗擊疫情，支援B市，A市某蔬菜公司緊急調(diào)運(yùn)兩車蔬菜運(yùn)往B市．甲、乙兩輛貨車從A市出發(fā)前往B市，乙車行駛途中發(fā)生故障原地維修，此時甲車剛好到達(dá)B市．甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應(yīng)乙車，把乙車的蔬菜裝上甲車后立即原路原速又運(yùn)往B市．乙車維修完畢后立即返回A市．兩車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x（h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．

（1）甲車速度是_______km/h，乙車出發(fā)時速度是_______km/h；（2）求乙車返回過程中，乙車離A市距離y（km）與乙車所用時間x（h）的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）乙車出發(fā)多少小時，兩車之間的距離是120km？請直接寫出答案．【答案】（1）10060（2）（3）3，6.3，9.126.和都是等邊三角形．（1）將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A重合），有（或）成立；請證明．（2）將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（3）將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．【答案】（1）證明見解析（2）圖②結(jié)論：，證明見解析（3）圖③結(jié)論：27.學(xué)校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．（1）求購進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？（2）設(shè)購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費(fèi)用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？【答案】（1）購進(jìn)一根A種跳繩需10元，購進(jìn)一根B種跳繩需15元（2）有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，B種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，B種跳繩21根；方案三：購買A種跳繩25根，B種跳繩20根（3）方案三需要費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是550元28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，M為BC的中點(diǎn)，OA、OB的長分別是一元二次方程的兩個根，，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿折線向點(diǎn)B運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，的面積為S．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)P，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）點(diǎn)C坐標(biāo)為（2）（3）存在點(diǎn)P或或，使是等腰三角形

2021年黑龍江中考數(shù)學(xué)真題及答案一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)的序母填涂在答題卡上）1.在，，，這四個數(shù)中，整數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)A：是無理數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)B：是分?jǐn)?shù)，不符合題意；選項(xiàng)C：是負(fù)整數(shù)，符合題意；選項(xiàng)D：是分?jǐn)?shù)，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的定義，熟練掌握整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．2.下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，即可判斷出答案．詳解：A、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；C、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；D、此圖形不中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤．故選A．點(diǎn)睛：此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，關(guān)鍵是找出圖形的對稱中心與對稱軸．3.北京故宮的占地面積約為720000m2，將720000用科學(xué)記數(shù)法表示為().A.72×104 B.7.2×105 C.7.2×106 D.0.72×106【答案】B【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：將720000用科學(xué)記數(shù)法表示為7.2×105．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4.下列說法正確的是（）A. B.若取最小值，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對值的定義和絕對值的非負(fù)性逐一分析判定即可．【詳解】解：A．當(dāng)時，，故該項(xiàng)錯誤；B．∵，∴當(dāng)時取最小值，故該項(xiàng)錯誤；C．∵，∴，，∴，故該項(xiàng)錯誤；D．∵且，∴，∴，故該項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值，掌握絕對值的定義和絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．5.已知，則分式與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】將兩個式子作差，利用分式的減法法則化簡，即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分式的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵．6.已知反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，那么一次的數(shù)的圖像經(jīng)過第（）A.一，二，三象限 B.一，二，四象限C.一，三，四象限 D.二，三，四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到，再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，∴，∴的圖像經(jīng)過第一，二，四象限，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.一個兒何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方塊的個數(shù)，能正確表示該幾何體的主視圖的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】主視圖的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形的數(shù)目為俯視圖中該列小正方數(shù)字中最大數(shù)字，從而可得出結(jié)論．【詳解】由已知條件可知：主視圖有3列，每列小正方形的數(shù)目分別為4，2，3，根據(jù)此可畫出圖形如下：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了從不同方向觀察物體和幾何圖像，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力．8.如圖，是線段上除端點(diǎn)外一點(diǎn)，將繞正方形的頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到．連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△EAF是等腰直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理即可作出判斷．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠EAF=90°，故A選項(xiàng)錯誤；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠EAF=90°，EA=AF，則△EAF是等腰直角三角形，∴EF=AE，即AE：EF=1：，故B選項(xiàng)錯誤；若C選項(xiàng)正確，則，即，∵∠AEF=∠HEA=45°，∴△EAF△EHA，∴∠EAH∠EFA，而∠EFA=45°，∠EAH45°，∴∠EAH∠EFA，∴假設(shè)不成立，故C選項(xiàng)錯誤；∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D選項(xiàng)正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確運(yùn)用反證法是解題的關(guān)鍵．9.小剛家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的總支出2019年的總支出增加了2成，則下列說法正確的是（）A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；C.2020年總支出比2019年總支出增加了2%；D.2020年其他方面的支出與2019年娛樂方面的支出相同．【答案】A【解析】【分析】設(shè)2019年總支出為a元，則2020年總支出為1.2a元，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中的信息逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：設(shè)2019年總支出為a元，則2020年總支出為1.2a元，A．2019年教育總支出為0.3a，2020年教育總支出為，，故該項(xiàng)正確；B．2019年衣食方面總支出為0.3a，2020年衣食方面總支出為，，故該項(xiàng)錯誤；C．2020年總支出比2019年總支出增加了20%，故該項(xiàng)錯誤；D．2020年其他方面的支出為，2019年娛樂方面的支出為0.15a，故該項(xiàng)錯誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖，能夠從扇形統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵．10.已知函數(shù)，則下列說法不正確的個數(shù)是（）①若該函數(shù)圖像與軸只有一個交點(diǎn)，則②方程至少有一個整數(shù)根③若，則的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)④不存在實(shí)數(shù)，使得對任意實(shí)數(shù)都成立A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】對于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；對于②：分情況討論a＝0和a≠0時方程的根即可；對于③：已知條件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情況討論a＞1或a＜0時的函數(shù)值即可；對于④：分情況討論a＝0和a≠0時函數(shù)的最大值是否小于等于0即可．【詳解】解：對于①：當(dāng)a＝0時，函數(shù)變?yōu)?，與只有一個交點(diǎn)，當(dāng)a≠0時，，∴，故圖像與軸只有一個交點(diǎn)時，或，①錯誤；對于②：當(dāng)a＝0時，方程變?yōu)?，有一個整數(shù)根為，當(dāng)a≠0時，方程因式分解得到：，其中有一個根為，故此時方程至少有一個整數(shù)根，故②正確；對于③：由已知條件得到a≠0，且a＞1或a＜0當(dāng)a＞1時，開口向上，對稱軸為，自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越大，∵，∴離對稱軸的距離一樣，將代入得到，此時函數(shù)最大值小于0；當(dāng)a＜0時，開口向下，自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越小，∴時，函數(shù)取得最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實(shí)數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)值，故③錯誤；對于④：a＝0時，原不等式變形為：對任意實(shí)數(shù)不一定成立，故a＝0不符合；a≠0時，對于函數(shù)，當(dāng)a＞0時開口向上，總有對應(yīng)的函數(shù)值，此時不存在a對對任意實(shí)數(shù)都成立；當(dāng)a＜0時開口向下，此時函數(shù)的最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實(shí)數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)值，此時不存在a對對任意實(shí)數(shù)都成立；故④正確；綜上所述，②④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分類討論的思想，本題難度較大，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵．二．填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11.________【答案】【解析】【分析】先算，再開根即可．【詳解】解：故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個數(shù)的4次方和對一個實(shí)數(shù)開根號，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．12.已知，則________【答案】【解析】【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．13.一個圓柱形橡皮泥，底面積是．高是．如果用這個橡皮泥的一半，把它捏成高為的圓錐，則這個圓錐的底面積是______【答案】18【解析】【分析】首先求出圓柱體積，根據(jù)題意得出圓柱體積的一半即為圓錐的體積，根據(jù)圓錐體積計算公式列出方程，即可求出圓錐的底面積．【詳解】Ｖ圓柱＝=，這個橡皮泥的一半體積為：，把它捏成高為的圓錐，則圓錐的高為5cm，故，即，解得（cm2），故填：18．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱體積和圓錐的體積計算公式，解題關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握圓柱體積和圓錐體積計算公式．14.如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有______個交點(diǎn)【答案】190【解析】【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個數(shù)，找出條直線相交最多有的交點(diǎn)個數(shù)公式：．【詳解】解：2條直線相交有1個交點(diǎn)；3條直線相交最多有個交點(diǎn)；4條直線相交最多有個交點(diǎn)；5條直線相交最多有個交點(diǎn)；20條直線相交最多有．故答案為：190．【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即條直線相交最多有．15.三個數(shù)3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得到，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，求解不等式組即可．【詳解】解：∵3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，∴，解得，∵這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，∴，解得，綜上所述，的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．16.如圖，作的任意一條直經(jīng)，分別以為圓心，以的長為半徑作弧，與相交于點(diǎn)和，順次連接，得到六邊形，則的面積與陰影區(qū)域的面積的比值為______；

【答案】【解析】【分析】可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個等邊三角形的面積之和，設(shè)⊙O的半徑與等邊三角形的邊長為，分別表示出圓的面積和兩個等邊三角形的面積，即可求解【詳解】連接，，，，由題可得：為邊長相等的等邊三角形可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，如圖所示：設(shè)⊙O的半徑與等邊三角形的邊長為，⊙O的面積為等邊與等邊的邊長為⊙O的面積與陰影部分的面積比為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積轉(zhuǎn)換，等邊三角形面積以及圓面積的求法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵．17.某酒店客房都有三人間普通客房，雙人間普通客房，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：三人間150元/間，雙人間140元/間．為吸引游客，酒店實(shí)行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施，一個46人的旅游團(tuán)，優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費(fèi)1310元，則該旅游團(tuán)住了三人間普通客房和雙人間普通客房共________間；【答案】18．【解析】【分析】根據(jù)客房數(shù)×相應(yīng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)=1310元列出方程并解答．【詳解】解：設(shè)住了三人間普通客房x間，則住了兩人間普通客房間，由題意，得：+=1310，解得：x=10，則：=8，所以，這個旅游團(tuán)住了三人間普通客房10間，住了兩人間普通客房8間，共18間．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，找出合適的等量關(guān)系，利用已知得出等式方程是解題關(guān)鍵．18.已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是________

【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，反向延長中線至，使得，連接，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題．【詳解】如圖，反向延長中線至，使得，連接，是的內(nèi)角平分線，由三角形三邊關(guān)系可知，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．三．解答題（本大題共10小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解有時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.計算【答案】【解析】【分析】直接利用去絕對值符號、特殊角度的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)的平方運(yùn)算計算出結(jié)果即可．【詳解】解：故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了去絕對值符號、特殊角度的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)的平方運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．20.先因式分解，再計算求值：，其中．【答案】，30【解析】【分析】先利用提公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解，再代入x的值即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵．21.解方程：【答案】【解析】【分析】去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】方程兩邊乘，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時，．∴是原分式方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．22.小明在點(diǎn)測得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，并由點(diǎn)向南偏西方向行走到達(dá)點(diǎn)測得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，繼續(xù)向正西方向行走后到達(dá)點(diǎn)，測得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，求兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果保留，參數(shù)數(shù)據(jù)）【答案】km【解析】【分析】根據(jù)題中給出的角度證明△CDB為等腰三角形，得到CB=DB=2，再證明△CBA為30°，60°，90°直角三角形，最后根據(jù)即可求出AC的長．【詳解】解：如下圖所示，由題意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，△CDB為等腰三角形，∴CB=DB=2，在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，∴△CBA為直角三角形，又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，∴△CBA為30°，60°，90°直角三角形，∴，代入，∴(km)，故兩點(diǎn)之間的距離為km．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，將題中信息轉(zhuǎn)化成已知條件，本題中得出△CDB為等腰三角形是解題的關(guān)鍵．23.如圖①是甲，乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形實(shí)心鐵塊立放其中（圓柱形實(shí)心鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上），現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲，乙兩個水槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系如圖②所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）圖②中折線表示_____________槽中水的深度與注入時間之間的關(guān)系；線段表示_____________槽中水的深度與注入時間之間的關(guān)系；鐵塊的高度為_____________．（2）注入多長時間，甲?乙兩個水槽中水的深度相同？（請寫出必要的計算過程）【答案】（1）乙，甲，16；（2）2分鐘【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象分析可知水深減少的圖象為甲槽的，水深增加的為乙槽的，并水深16cm之后增加的變慢，即可得到鐵塊的高度；（2）利用待定系數(shù)法求出兩個水槽中水深與時間的解析式，即可求解．【詳解】解：（1）圖②中折線表示乙槽中水深度與注入時間之間的關(guān)系；線段表示甲槽中水的深度與放出時間之間的關(guān)系；鐵塊的高度為16．（2）設(shè)甲槽中水的深度為，把，代入，可得，解得，∴甲槽中水的深度為，根據(jù)圖象可知乙槽和甲槽水深相同時，在DE段，設(shè)乙槽DE段水的深度為，把，代入，可得，解得，∴甲槽中水的深度為，∴甲?乙兩個水槽中水的深度相同時，，解得，故注入2分鐘時，甲?乙兩個水槽中水的深度相同．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意理解每段函數(shù)對應(yīng)的實(shí)際情況是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)，且．將沿對折，邊與邊交于點(diǎn)，且．（1）證明：四邊形為矩形；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)題意三等分點(diǎn)可得，根據(jù)對邊平行且相等得到四邊形為平行四邊形，再根據(jù)一個角為90°的平行四邊形是矩形即可得證；（2）根據(jù)角度關(guān)系可得是等邊三角形，是等邊三角形，利用割補(bǔ)法即可求出面積．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∵點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形；（2）∵，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴，，∵將沿對折，邊與邊交于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形，是等邊三角形，作B'H⊥AG于H，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定、割補(bǔ)法求面積、解直角三角形，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25.某校要從甲，乙兩名學(xué)生中挑選一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，在最近的8次選拔賽中，他們的成績（成績均為整數(shù)，單位：分）如下：甲：92，95，96，88，92，98，99，100乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98由于保存不當(dāng)，學(xué)生乙有一次成績的個位數(shù)字模糊不清，（1）求甲成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）求事件“甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)”的概率；（3）當(dāng)甲成績的平均數(shù)與乙成績的平均數(shù)相等時，請用方差大小說明應(yīng)選哪個學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽．【答案】（1）平均數(shù)為95分，中位數(shù)為95.5分；（2）；（3）甲【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；（2）設(shè)乙成績模糊不清的分?jǐn)?shù)個位數(shù)為a，求出乙成績的平均數(shù)，解不等式得到a的范圍，利用概率公式即可求解；（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，選方差較小的即可．【詳解】解：（1）甲成績的平均數(shù)為：；甲成績從小到大排列為：88，92，92，95，96，98，99，100，∴甲成績的中位數(shù)為：；（2）設(shè)乙成績模糊不清的分?jǐn)?shù)個位數(shù)為a，（a為0-9的整數(shù)）則乙成績的平均數(shù)為：，當(dāng)甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)時，即，解得，∴a的值可以為這8個整數(shù)∴P(甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù))；（3）當(dāng)甲成績的平均數(shù)與乙成績的平均數(shù)相等時，，解得，此時乙的平均數(shù)也為95，∴甲的方差為：；乙的方差為：，∵，∴甲的成績更穩(wěn)定，故應(yīng)選甲參加數(shù)學(xué)競賽．【點(diǎn)睛】本題考查求平均數(shù)、中位數(shù)和方差，以及概率公式，掌握求平均數(shù)、中位數(shù)和方差的公式是解題的關(guān)鍵．26.如圖，一次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)．以為邊作正方形，點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上，已知的面積與的面積之比為．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式：（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)及外接圓半徑的長．【答案】(1)；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；外接圓半徑的長為【解析】【分析】(1)過D點(diǎn)作DE∥y軸交x軸于H點(diǎn)，過A點(diǎn)作EF∥x軸交DE于E點(diǎn)，過B作BF∥y軸交EF于F點(diǎn)，證明△ABF≌△DAE，，的面積與的面積之比為得到，進(jìn)而得到，求出A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CP長度，Rt△CPD外接圓的半徑即為CP的一半．【詳解】解：(1)過D點(diǎn)作DE∥y軸交x軸于H點(diǎn)，過A點(diǎn)作EF∥x軸交DE于E點(diǎn)，過B作BF∥y軸交EF于F點(diǎn)，如下圖所示：∵與有公共的底邊BO，其面積之比為1:4，∴DH:OA=1:4，設(shè)，則，∵ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠EAD=90°，∵∠BAF+∠FBA=90°，∴∠FBA=∠EAD，在△ABF和△DAE中：,∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴又，∴，解得(負(fù)值舍去)，∴，代入中，∴，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式：，整理得到：，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,1）∵四邊形ABCD為正方形，∴，且，在中，由勾股定理：，∴，又△CPD為直角三角形，其外接圓的圓心位于斜邊PC的中點(diǎn)處，∴△CPD外接圓的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長，本題屬于綜合題，解題的關(guān)鍵是正確求出點(diǎn)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)．27.如圖，已知是的直徑．是的弦，弦垂直于點(diǎn)，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)

（1）求證：；（2）判斷是否成立？若成立，請證明該結(jié)論；（3）若為中點(diǎn)，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）【解析】【分析】（1）連接，可得為等腰三角形，則，結(jié)合垂經(jīng)定理和切線的性質(zhì)可得，從而可得，即可得到結(jié)論；（2）連接EC，CD，并延長交⊙O于點(diǎn)，連接，證明，在結(jié)合（1）中的結(jié)論即可求解；（3）連接OD，OG，根據(jù)垂經(jīng)定理的推論得出，，在中利用三角函數(shù)求出⊙O的半徑，在中利用三角函數(shù)即可求得長，在利用勾股定理求出，從而可求DE【詳解】（1）如圖：連接

為等腰三角形，切⊙O于點(diǎn)（2）結(jié)論成立；理由如下；如圖：連接EC，CD，并延長交⊙O于點(diǎn)，連接

為⊙O的直徑切⊙O于點(diǎn)（3）如圖：連接OD，OG，中點(diǎn)與點(diǎn)F在中有【點(diǎn)睛】本題考查了垂經(jīng)定理及推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，以及解直角三角形等知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練掌握各部分內(nèi)容，將所學(xué)知識貫穿起來．28.如圖，拋物線與軸交于除原點(diǎn)和點(diǎn)，且其頂點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線的對稱軸上存在定點(diǎn)，使得拋物線上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離總相等．①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．證明：當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，是定值，并求出該定值；（3）點(diǎn)是該拋物線上的一點(diǎn)，在軸，軸上分別找點(diǎn)，使四邊形周長最小，直接寫出的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；，證明見解析（3），【解析】【分析】（1）先求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，在設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)拋物線過原點(diǎn)，即可求出其解析式；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合題目已知列出等量關(guān)系；設(shè)直線的解析式為，直線與拋物線交于點(diǎn)，直線方程與拋物線聯(lián)立得出，在結(jié)合的結(jié)論，分別表示出的值，即可求解；（3）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求【詳解】解：（1）點(diǎn)B關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線的解析式為拋物點(diǎn)過原點(diǎn)解得拋物線解析式為：即（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為由題意可得：整理得：點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為，直線與拋物線交于點(diǎn)整理得：由得整理得：（3）點(diǎn)在拋物線上，如圖：作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)則點(diǎn)，點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則此時四邊形PQBC周長最小設(shè)直線的解析式為解得直線的解析式為點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)間距離公式，以及線段最值問題，以及點(diǎn)的對稱問題，綜合性較強(qiáng)

2020年黑龍江中考數(shù)學(xué)真題及答案考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每題3分，滿分30分）1．下列各運(yùn)算中，計算正確的是（）A． B．C． D．2．下列圖標(biāo)中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的主視圖和左視圖，則所