2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第01講 集合（解析版）

第01講集合目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：題型篇 1題型一：重點(diǎn)考查集合元素的互異性 1題型二：重點(diǎn)考查集合的列舉法描述法 3題型三：重點(diǎn)考查包含關(guān)系（分類討論+數(shù)軸工具） 5題型四：重點(diǎn)考查集合的并交補(bǔ)（數(shù)軸工具） 9題型五：高觀點(diǎn)下的集合新定義問題 12第二部分：方法篇 16方法一：圖的實(shí)際應(yīng)用 16方法二：分類討論的數(shù)學(xué)思想 19第三部分：易錯(cuò)篇 21易錯(cuò)點(diǎn)一：子集關(guān)系空集優(yōu)先考慮 21第一部分：題型篇題型一：重點(diǎn)考查集合元素的互異性典型例題例題1．（2023春·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，或，解得或或，故實(shí)數(shù)組成的集合為.故選：C.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)_______.【答案】4或【詳解】∵，∴，即，此時(shí)符合題意；，即，此時(shí)，不滿足元素的互異性，故舍去；，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；綜上，或.故答案為：4或.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_____．【答案】1【詳解】因?yàn)椋@然，故，則；此時(shí)兩集合分別是，則，解得或.當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足題意.所以故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時(shí)，符合題意；綜上所述：.故選：A.2．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由知：，當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；當(dāng)，即或，若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；若，則，，滿足要求.綜上，.故選：A3．（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽市第一中學(xué)?？计谀┤艏吓c滿足，則實(shí)數(shù)__________.【答案】0或【詳解】∵，∴或解得，或故答案為：0或題型二：重點(diǎn)考查集合的列舉法描述法典型例題例題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，因?yàn)?，所以集合是由所有奇?shù)的一半組成，而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.故選：B例題2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列與集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由解得或，所以，C正確；選項(xiàng)A不是集合，選項(xiàng)D是兩條直線構(gòu)成的集合，選項(xiàng)B表示點(diǎn)集，故選：C例題3．（2023·高一單元測(cè)試）若集合，用列舉法表示______．【答案】【詳解】集合，則是6的正約數(shù)，而6的正約數(shù)有1，2，3，6，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題可知而；根據(jù)并集運(yùn)算可得，故選：C．2．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，故故選：B4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）把集合用列舉法表示出來_______________.【答案】【詳解】因?yàn)榍?，所以x的所有取值為4,5,6，故答案為：題型三：重點(diǎn)考查包含關(guān)系（分類討論+數(shù)軸工具）典型例題例題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┮阎?，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】集合，又，，所以，故實(shí)數(shù)a的取值集合為，故選：C.例題2．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，若，則.故選：B.例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且與有包含關(guān)系，求的取值范圍.【答案】(1)5(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以或，解得或，?（2）因?yàn)锳與C有包含關(guān)系，，至多只有兩個(gè)元素，所以.當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)無解；綜上，a的取值范圍為.例題4．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，解得，所以，若，則，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，則滿足題意，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.精練核心考點(diǎn)1．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，且，所?故選：B2．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榧?，，所以，，所以選項(xiàng)A,B,D均不正確，因?yàn)橹械乃性乜杀硎緸?，滿足集合中元素的表示形式，故，所以，故C正確，故選：C3．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，全集(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以或，又，所以.（2）由題可得：當(dāng)時(shí)，有，解得a的取值范圍為；當(dāng)時(shí)有，解得a的取值范圍為，綜上所述a的取值范圍為.4．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)集合，.(1)若，試用區(qū)間表示集合、，并求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，，(2).【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由得，解得，所以.由得，則有，解得，所以.因此.（2）解：由得，解得，所以.由（1）得，由于，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型四：重點(diǎn)考查集合的并交補(bǔ)（數(shù)軸工具）典型例題例題1．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？家荒＃┤艏?，，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】，，且，，又，則，的元素個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：例題2．（多選）（2023秋·高一單元測(cè)試）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】如圖，在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則或，所以陰影部分所表示的集合為，再根據(jù)集合的運(yùn)算可知，陰影部分所表示的集合也可表示為，所以選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)CD不正確，故選：AD.例題3．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）集合，.(1)用區(qū)間表示集合；(2)若，，求，的取值范圍.【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由，有，解得或，∴；（2），，對(duì)于，可得，又，解得或；∵，得，，∴a，b的取值范圍是，；綜上，，，.例題4．（2023秋·重慶江北·高一?？计谀┘?(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)問題：已知______，求的取值范圍.從下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面的問題中，并進(jìn)行解答.（若選擇多個(gè)方案分別解答，則按第一個(gè)解答記分）①；②；③.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由題知，，因?yàn)?，解得，所以，?dāng)時(shí)，，所以.（2）選①或②，由題知，由（1）得，，由題得，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，或.選③，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，或，解得，或，綜上，或.精練核心考點(diǎn)1．（2023·河南開封·開封高中?？家荒＃┮阎?，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?故選：D.2．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，結(jié)合交集的定義可得.故選：B.3．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，(2)（【詳解】（1）解不等式，得，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，；（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則，解得:，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.4．（2023春·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，集合.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，即，解得，即；當(dāng)時(shí)，由得，故，所以.（2）因?yàn)?，所以，若，得；若，有，得，綜上，故.題型五：高觀點(diǎn)下的集合新定義問題典型例題例題1．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合的全集為，定義一種運(yùn)算，，若全集，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得，或，則，故選：C例題2．（多選）（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預(yù)測(cè)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．是一個(gè)戴德金分割B．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．沒有最大元素，也沒有最小元素【答案】BD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故B正確；對(duì)于C，若M有一個(gè)最大元素，設(shè)為a，N有一個(gè)最小元素，設(shè)為b，則，則，而內(nèi)也有有理數(shù)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，故選：BD例題3．（多選）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“·”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的，，有，如果的運(yùn)算還滿足：①，有；②，使得，有，③，，使，則稱關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群【答案】CD【詳解】對(duì)于A：若，對(duì)所有的a、，有，滿足乘法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為1，但當(dāng)時(shí)，不存在，使得，即③不成立，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，且，但，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，對(duì)所有的a、，有，滿足加法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為0，，，使，即③成立；即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；當(dāng)時(shí)，，滿足的，即②成立；，，使，即③成立；即選項(xiàng)D正確.故選：CD.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結(jié)合新定義可知，又，所以．故選：A2．（多選）（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，故B正確；對(duì)于C，所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有四種情況，即剛好分成共4類，故，故C正確.對(duì)于D，若整數(shù)屬于同一“類”，則，故，所以；反之，不妨設(shè)，則，若，則，即，所以整數(shù)屬于同一“類”；故整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，即D正確.故選：BCD.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義：若對(duì)非空數(shù)集中任意兩個(gè)元素、，實(shí)施“加減乘除”運(yùn)算（如、、、），其結(jié)果仍然是P中的元素，則稱數(shù)集是一個(gè)“數(shù)域”.下列四個(gè)命題：①有理數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集，則數(shù)集是數(shù)域；③數(shù)域必是無限集；④存在無窮多個(gè)數(shù)域；上述命題錯(cuò)誤的序號(hào)是_________.【答案】②【詳解】解：根據(jù)題意，由數(shù)域的定義可知，對(duì)于①，從有理數(shù)集中任取兩個(gè)有理數(shù)、，則、、、都是有理數(shù)，故有理數(shù)是數(shù)域，故命題①正確；對(duì)于②，已知有理數(shù)集，若,則,此時(shí)數(shù)集不是數(shù)域，故命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)數(shù)域，(假設(shè))，則，則，同理，故數(shù)域必為無限集，所以命題③正確；對(duì)于④，形如為無理數(shù)這樣的數(shù)集都是數(shù)域，故存在無窮多個(gè)數(shù)域，所以命題④正確，所以上述命題錯(cuò)誤的序號(hào)是：②.故答案為：②.第二部分：方法篇方法一：圖的實(shí)際應(yīng)用典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）向某50名學(xué)生調(diào)查對(duì)，兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成，其余20人不贊成；有33人贊成，其余17人不贊成；且對(duì)，都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對(duì)，都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對(duì)，都贊成的學(xué)生人數(shù)為（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】D【詳解】記贊成A的學(xué)生組成集合A，贊成B的學(xué)生組成集合B，50名學(xué)生組成全集U，則集合A有30個(gè)元素，集合B有33個(gè)元素.設(shè)對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則集合的元素個(gè)數(shù)為，如圖，由Venn圖可知，，即，解得，所以對(duì)A，B都贊成的學(xué)生有21人.故選：D例題2．（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習(xí)）學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.那么只參加游泳一項(xiàng)比賽的有____人.【答案】9【詳解】只參加游泳一項(xiàng)比賽的有：.故答案為：例題3．（2023·高一單元測(cè)試）高一某班有學(xué)生人，其中參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有人，參加物理競(jìng)賽的有人，另外有人兩項(xiàng)競(jìng)賽均不參加，則該班既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加物理競(jìng)賽的有___.人．【答案】【詳解】設(shè)該班既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加物理競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)為，以集合表示該班集體，集合表示參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生組成的集合，集合表示參加物理競(jìng)賽的學(xué)生組成的集合，如下圖所示：由題意可得，解得.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023·河北廊坊·高一?？茧A段練習(xí)）七寶中學(xué)2020年的“藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)正如火如荼準(zhǔn)備中，高一某班學(xué)生參加大舞臺(tái)和風(fēng)情秀兩個(gè)節(jié)目情況如下：參加風(fēng)情秀的人數(shù)占該班全體人數(shù)的八分之三；參加大舞臺(tái)的人數(shù)比參加風(fēng)情秀的人數(shù)多3人；兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)比兩個(gè)節(jié)目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人，則此班的人數(shù)為______.【答案】40【詳解】設(shè)為七寶中學(xué)高一某班全體學(xué)生，集合參加大舞臺(tái)的學(xué)生，集合參加風(fēng)情秀的學(xué)生，設(shè)兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)為，只參加風(fēng)情秀的人數(shù)為，兩個(gè)節(jié)目都不參加的人數(shù)為，只參加大舞臺(tái)的人數(shù)為，則由參加風(fēng)情秀的人數(shù)占該班全體人數(shù)的八分之三，得，解得，所以總的人數(shù)為人.故答案為：2．（2023·北京通州·高一統(tǒng)考）為了方便居民購(gòu)買新鮮、安全、價(jià)廉的蔬菜，某社區(qū)搭建從“菜園子”到“菜籃子”的直通車，建起多家“社區(qū)直銷店”，不僅便利了居民生活，也提高了農(nóng)民收入.某“社區(qū)直銷店”第一天直銷蔬菜種，第二天直銷蔬菜種，第三天直銷蔬菜種.其中，前兩天直銷的蔬菜中有種相同，后兩天直銷的蔬菜中有種相同.第一天直銷但第二天沒直銷的蔬菜有__________種，這三天直銷的蔬菜最少有__________種.【答案】

16

29【詳解】設(shè)分別表示第一天，第二天，第三天直銷蔬菜品種所組成的集合，三天中直銷相同的蔬菜有種，第一天與第三天直銷的蔬菜有種相同，依題意可得如下的圖，第一天直銷但第二天沒直銷的蔬菜有種，因?yàn)閳D中所標(biāo)注的各數(shù)均為自然數(shù)，所以，，這三天直銷的蔬菜品種有：，又因?yàn)?，所以，所以這三天直銷的蔬菜最少有29種.故答案為：16；293．（2023·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，同時(shí)參加由徑和球類比賽的有___________人?只參加游泳一項(xiàng)比賽的有___________人?【答案】

3

9【詳解】解：如圖所示：設(shè)A={游泳}，B={田徑}，C={球類}，由題意得：，，所以，則，，所以，所以參加由徑和球類比賽的有3人，只參加游泳一項(xiàng)比賽的有9人，故答案為：3，9方法二：分類討論的數(shù)學(xué)思想典型例題例題1．（2023·湖南湘潭·高一校聯(lián)考期末）設(shè)全集，，．(1)若，求．(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以或，；（2