2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第02講 等比數(shù)列（解析版）

第02講等比數(shù)列目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：等比數(shù)列的定義 1題型二：等比中項(xiàng) 3題型三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 5題型四：等比數(shù)列的性質(zhì) 7題型五：等比數(shù)列的函數(shù)特征 10角度1：等比數(shù)列的單調(diào)性 10角度2：求等比數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng) 12題型六：等比數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì) 15角度1：等比數(shù)列片段和性質(zhì) 15角度2：等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和 17題型一：等比數(shù)列的定義典型例題例題1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，整理得，且，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則，所以.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【詳解】由題意得：，，，即，，，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即，解得：，故選：C.例題3．（2023春·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則=______.【答案】1【詳解】因?yàn)?，，故，所以，故公比，，則.故答案為：1精練核心考點(diǎn)1．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．54 B．93 C．153 D．162【答案】D【詳解】當(dāng)時，則.當(dāng)時，．又因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以，解得：，所以，所以．故選：D.2．（2023秋·吉林長春·高三?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和，n為正整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為______.【答案】【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)時，，顯然當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，而，因?yàn)閚為正整數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，則必滿足，即，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故答案為：3．（2023春·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)積為，若，則______.【答案】8【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，可得，即.又，，解得，，故，，.故答案為：8.題型二：等比中項(xiàng)典型例題例題1．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則公比（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】為等比數(shù)列，則有，且，所以．因?yàn)?，所以，所以，?故選：B例題2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值是（

）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】B【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號．所以的最小值為4．故選：B．例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且，，成等比數(shù)列，則__________.【答案】【詳解】依題意，有，解得，故.因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，解得，故.故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)公比為，所以，又，所以，故選：C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)且遞增的等比數(shù)列中，，則（

）A．96 B．192 C．384 D．768【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，∵數(shù)列為正數(shù)且遞增的等比數(shù)列，則，由，則，可得，則，解得或（舍去），故.故選：D.3．（多選）（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列，若則（

）A． B．當(dāng)時，C．和的等比中項(xiàng)為4 D．【答案】ABD【詳解】由題意，，即，故A正確；當(dāng)時，，所以，故B正確；因?yàn)椋院偷牡缺戎许?xiàng)為4或，故C錯誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.故選：ABD.題型三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式典型例題例題1．（2023·陜西咸陽·?？既＃┮阎缺葦?shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，所以，又由，即，則，故.故選：C例題2．（2023春·高二課時練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，求通項(xiàng)公式.【答案】.【詳解】設(shè)公比為q，由題意得，解得.∴.例題3．（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可求得，所以，即.精練核心考點(diǎn)1．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可得，解得，又由，所以，所以.故選：B.2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）若數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以.故選：B3．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則____；使成立的的最小值為____．【答案】【詳解】由，得：，所以，故，故得：，由于為整數(shù)，故的最小值為7，故答案為：，7題型四：等比數(shù)列的性質(zhì)典型例題例題1．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【詳解】由可得，又，故，則，解得，即.故選：D例題2．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）正項(xiàng)等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】由等比數(shù)列中，設(shè)公比為，且，由得，故，由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故最小值為，故選：B例題3．（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列.(1)若，且，求的值；(2)若數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，，求，的等比中項(xiàng).【答案】(1)6(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以；?）設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q，因?yàn)?，所?由已知得，即，解得，若G是，的等比中項(xiàng)，則有，所以，所以，的等比中項(xiàng)為.例題4．（2023春·湖北荊州·高二?？茧A段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是______．【答案】8【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為8．故答案為：8．精練核心考點(diǎn)1．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由可得：，又，，由可得：，，解得：，，，，解得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即的最小值為.故選：A3．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，若，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】B【詳解】由韋達(dá)定理可得，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，則，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，則，故.故選：B.4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，目，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】由題意等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，目，則，故，所以，故選：C題型五：等比數(shù)列的函數(shù)特征角度1：等比數(shù)列的單調(diào)性典型例題例題1．（多選）（2023秋·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BC【詳解】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，設(shè)等比數(shù)列公比為，則有，解得，所以，，數(shù)列是遞減數(shù)列，故A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確；數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，當(dāng)，；當(dāng)，，即，；，，所以的最大值為，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯誤.故選：BC.例題2．（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則為遞增數(shù)列的充要條件是（

）A．， B．，C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，若，則數(shù)列為擺動數(shù)列，與題意不符，所以，.①若，則對任意的，，由可得，即；②若，則對任意的，，由可得，此時.所以，為遞增數(shù)列的充要條件是，或，

，當(dāng)，時，，則；當(dāng)，時，，則.因此，數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是.故選：C.例題3．（2023春·高二課時練習(xí)）已知為等比數(shù)列，，，以表示的前項(xiàng)積，則使得達(dá)到最大值的是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【詳解】為等比數(shù)列，，，，，，，．故是一個減數(shù)列，前4項(xiàng)都大于1，從第五項(xiàng)開始小于1，以表示的前項(xiàng)積，則使得達(dá)到最大值的是4，故選：．角度2：求等比數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】D【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，若，當(dāng)時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因?yàn)?，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯誤．故選：．例題2．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，若，，則當(dāng)取得最大值時，_______________．【答案】6【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調(diào)遞減，且，因?yàn)?，，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)取得最大值時，．故答案為：6例題3．（2022·全國·高二假期作業(yè)）公比為q的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，則的單調(diào)性為___________（填“單調(diào)遞增”“單調(diào)遞減”“不單調(diào)”）；當(dāng)___________時，取得最大值.【答案】單調(diào)遞增2022【詳解】若，則，不合題意，所以，又因?yàn)?，所以，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以，故均大?，并且從第2023項(xiàng)起，所以是數(shù)列中的最大項(xiàng).故答案為：單調(diào)遞增；.題型五精練核心考點(diǎn)1．（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┰O(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1＞a2＞a3”是“數(shù)列{an}是遞減數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1＞a2＞a3，所以a1＞a1q＞a1q2，解得或，故數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；反之，若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，則a1＞a2＞a3，所以a1＞a2＞a3是數(shù)列{an}是遞減數(shù)列的充分必要條件，故選：C.2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時的值為9，故選：B.3．（2023春·河南洛陽·高二洛陽市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，并且滿足，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①②；③是中的最大值；④使成立的最大自然數(shù)是2019，期中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】因?yàn)?，故可得，因?yàn)?，故可得，因?yàn)?，若，則和均大于1，與已知矛盾，故，因此，，數(shù)列是個遞減數(shù)列.對①，因?yàn)閿?shù)列是個減數(shù)列，且，故，故①錯誤；對②，，因?yàn)?，故，故②正確；對③，，因?yàn)?，?shù)列是減數(shù)列，且，

故中最大值為，故③錯誤；對④，，，故成立的最大自然數(shù)是2018，故④錯誤.綜上所述，只有1個正確.故選：A.4．（多選）（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．若，則n最大為4038．【答案】ABD【詳解】對A，∵，，，且數(shù)列為等比數(shù)列，∴，，∴，因?yàn)?，∴，故A正確；對B，∵，∴，故B正確；對C，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，因?yàn)?，，所以是?shù)列中的最大項(xiàng)，故C錯誤；對D，，因?yàn)?，，故，，故，即，故n最大為4038，故D正確．故選：ABD．5．（多選）（2022秋·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為并滿足，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C．當(dāng)時，取最大值 D．當(dāng)時，【答案】BCD【詳解】，所以，即.所以.因?yàn)?，所以，即等比?shù)列為遞減數(shù)列.對選項(xiàng)A，因?yàn)闉檫f減數(shù)列，所以，故A錯誤.對選項(xiàng)B，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，即，故B正確.對選項(xiàng)C，因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞減數(shù)列，，所以，，即當(dāng)時，取最大值，故C正確.對選項(xiàng)D，，又因?yàn)?，，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，故D正確.故選：BCD題型六：等比數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)角度1：等比數(shù)列片段和性質(zhì)典型例題例題1．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．12 B．36 C．31 D．33【答案】C【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，所以不妨設(shè)則.由分段后性質(zhì)可知：構(gòu)成等比數(shù)列.由，即，解得：.所以.故選：C例題2．（2023秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（

）A．270 B．150 C．80 D．70【答案】B【詳解】根據(jù)題意等比數(shù)列的公比.由等比數(shù)列的性質(zhì)有，成等比數(shù)列所以有，則，所以，故選：B例題3．（2023·高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則____________．【答案】27【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，故，即，解得，同理可得，所以.故答案為：27.例題4．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.【答案】510【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，，，…，，…構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且是該等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，所以.故答案為：510.角度2：等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和典型例題例題1．（2023春·高二課時練習(xí)）在數(shù)列中，，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】解：由題意得，，，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，.若為奇數(shù)，則為3的倍數(shù)，不是的倍數(shù)，不合題意；當(dāng)為偶數(shù)，則，即，所以.故選：B例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵，，∴，解得，.∴，，，故選：A.例題3．（2023春·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為______．【答案】450【詳解】在等比數(shù)列中，公比，則有，而，于是得，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．故答案為：450題型六精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)和為，則前項(xiàng)和為A． B． C． D．【答案】