2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點全題型突破（新教材新高考）第04講 一元二次不等式、分式不等式、絕對值不等式（解析版）

第04講一元二次不等式、分式不等式、絕對值不等式目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：題型篇 1題型一：重點考查因式分解法解一元二次不等式 1題型二：重點考查將分式不等式化為整式不等式 3題型三：重點考查絕對值（單個）不等式的解法 5題型四：重點考查含參數(shù)的一元二次不等式與分類討論 6題型五：重點考查一元二次不等式與韋達定理 12第二部分：方法篇 17一元二次不等式恒成立（有解）問題 17方法一：二次函數(shù)在上恒成立問題：法 17方法二：二次函數(shù)在上有解問題：法 19方法三：二次函數(shù)在非上恒成立：分離參數(shù)法 20方法四：二次函數(shù)在非上有解問題：分離參數(shù)法 23方法五：已知參變量范圍，求自變量范圍：變更主元法 25第三部分：易錯篇 29易錯點一：一元二次不等式首項系數(shù)未化“正” 29不等式左右兩邊同除一個負數(shù)，不等號要改變 29第一部分：題型篇題型一：重點考查因式分解法解一元二次不等式典型例題例題1．（2023·高一課時練習(xí)）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)或(2)或(3)或，(4)【詳解】（1）由，得，解得或，所以不等式的解集為或.（2）由，得，，解得或，所以不等式的解集為或.（3）由，得，解得（舍去）或，得或，所以不等式的解集為或.（4）由，得，解得或（舍去），所以，所以不等式的解集為.精練核心考點1．（2023秋·云南怒江·高一?？计谀┙庖辉尾坏仁剑?1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可知，不等式的解集為.（2）解得，故由不等式，得，故不等式的解集為.題型二：重點考查將分式不等式化為整式不等式典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式．【答案】【詳解】,等價轉(zhuǎn)化為，解得所以不等式的解集為．例題2．（2023·高一課時練習(xí)）求不等式的解集．【答案】【詳解】由題意知，原不等式兩邊同乘以，得且，即且，因此原不等式的解集為．例題3．（2023秋·上海崇明·高一統(tǒng)考期末）解下列不等式：.【答案】.【詳解】由化簡為：，即，等價于，解得，故解集為.精練核心考點1．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）（1）解不等式；【答案】（1）或；【詳解】（1）因為，所以，即，所以，所以，解得或，所以原不等式的解集為或.2．（2023·高一課時練習(xí)）解下列不等式：；【答案】由，可得，所以，解得，所以原不等式的解集為；3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式．【答案】或【詳解】，解得或，所以不等式的解集為或，4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列不等式(1)(2)(3)【答案】(1)或(2)(3)或【詳解】（1）可化為，解得：或，所以原不等式的解集為：或.（2）可化為，解得：，所以原不等式的解集為：.（3）可化為：，用“穿針引線法”如圖示：所以原不等式的解集為：或.題型三：重點考查絕對值（單個）不等式的解法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】或，或，所以，，故選：B例題2．（2023·高一課時練習(xí)）解不等式．【答案】【詳解】當時，原不等式化為，即，此時不等式的解為；當時，原不等式化為，即，此時不等式的解為．綜上，原不等式的解集為．精練核心考點1．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則，即，解得，所以，由，即，解得，即，所以.故選：D2．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，即，所以，所以，由，得，所以，解得，所以，所以．故選：A．3．（2023·高一課時練習(xí)）解絕對值不等式【答案】.【詳解】不等式，可得：，可得，解得；不等式的解集為.故答案為：.題型四：重點考查含參數(shù)的一元二次不等式與分類討論典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析.【詳解】由得或.當，即時，不等式解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為．綜上：時，不等式解集為；時，解集為；時，解集為．例題2．（2023春·四川瀘州·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，解不等式.【答案】答案見解析【詳解】①當時，；∴.②當時，由得或，（i）當即時，，（ⅱ）當即時，，（ⅲ）當即時，，綜上，當時，所求不等式的解集為.當時，所求不等式的解集為，當時，所求不等式的解集為，當時，所求不等式的解集為.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【答案】見解析【詳解】方程：且解得方程兩根：；當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：綜上所述,當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：例題4．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知，解關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析【詳解】當時，不等式為，解得；當時，不等式化為，當時，不等式為，解得；當時，不等式為，若，不等式為，解得；若，解得或；，解得或.綜上所述，當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是或；當時，原不等式的解集是或．例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式【答案】答案不唯一，具體見解析【詳解】解：關(guān)于x的不等式可化為（1）當時，，解得．（2）當，所以所以方程的兩根為-1和，當，即時，不等式的解集為或}，當，即時，不等式的解集為．當，即時，不等式的解集為或}，．（3）當時，因為方程的兩根為—1和，又因為，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或}，精練核心考點1．（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學(xué)校校考開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若關(guān)于x的不等式的解集為，求的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)36【詳解】（1）因為，所以，即．當時，不等式的解集為．當時，不等式的解集為．當時，不等式的解集為．（2）由題意，關(guān)于的方程有兩個不等的正根，由韋達定理知解得．則，，因為，，所以，當且僅當，且，即時，等號成立，此時，符合條件，則．綜上，當且僅當時，取得最小值36．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若對于一切實數(shù)x，恒成立，求m的取值范圍；(2)解不等式．【答案】(1)(2)見解析（1）當時，顯然滿足題意，當時，由題意得，解得，綜上，m的取值范圍是（2），化簡得，①時，解集為，②時，，原不等式解集為，③時，解集為，④時，，原不等式解集為，⑤時，，原不等式解集為，3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式．【答案】詳見解析.【詳解】原不等式變形為．①當時，；②當時，不等式即為，當時，x或；由于，于是當時，；當時，；當時，．綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．4．（2023·高一課時練習(xí)）若，解關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析.【詳解】當時，，當時，，當時，，解得，當時，，若，則，若，則或，若，則或，所以當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是或；當時，原不等式的解集是或．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式．【答案】答案見解析.【詳解】解：（1）當時，原不等式，解得，不等式解集為；（2）當時，，開口向上，由圖象得：若時，，的兩個零點為，，不等式的解集為；若時，，不等式解集為；（3）當時，，的兩個零點為，開口向下，由圖象得不等式解集為；綜上可知，當時不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為．題型五：重點考查一元二次不等式與韋達定理典型例題例題1．（多選）（2023春·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法中正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為或【答案】ABD【詳解】因為關(guān)于x的不等式的解集為或，所以且方程的根為，故A正確；則，所以，所以，故C錯誤；則不等式即為不等式，解得，所以不等式的解集為，故B正確；不等式即為不等式，即為，解得或，所以不等式的解集為或，故D正確.故選：ABD.例題2．（2023·高一課時練習(xí)）已知不等式的解集為，則不等式的解集為______．【答案】【詳解】因為不等式的解集為，所以，可得，所以可化為，因為，所以可化為，即，解得：或，所以不等式的解集為.故答案為：.例題3．（2023春·新疆昌吉·高三?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集為，則不等式的解集為______________．【答案】【詳解】因為不等式的解集為，所以1和2是方程的兩根，且，由韋達定理可得則不等式可化為，即即，解得所以不等式解集為故答案為:例題4．（2023·高一單元測試）已知關(guān)于的不等式的解集為．(1)求實數(shù)，的值；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以與是方程的兩個實數(shù)根，且．由根與系數(shù)的關(guān)系，得,解得，所以實數(shù).（2）由（1）知，不等式可化為，即．當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．綜上所述：當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．精練核心考點1．（多選）（2023秋·江西新余·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式解集為，則（

）A． B．C． D．不等式的解集為【答案】BCD【詳解】對于A，因為不等式解集為，所以，故A錯誤；對于B，易得是方程的兩個不等實根，所以，又，所以，故B正確；對于C，令，滿足，則可化為，故C正確；對于D，由選項AB分析可得，即，又，所以可化為，故，解得，即的解集為，故D正確.故選：BCD.2．（2023·高一課時練習(xí)）知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為______．【答案】2【詳解】∵的解集為，∴,且方程的兩根為m，，∴,，∴，∵，∴，即，當且僅當時取“=”．∴，當且僅當時取“=”，∴的最小值為2．故答案為：23．（2023·高一課時練習(xí)）已知不等式的解集為，求不等式的解集.【答案】或【詳解】依題意，和是方程的兩根，法1：由韋達定理，，解得，法2：直接代入方程得，，解得，不等式為，即：，解得：或，不等式的解集為或.4．（2023·高一課時練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為,則______，______．【答案】

【詳解】解：由題意知，，且是關(guān)于的方程的兩個根，∴,解得或,又因為，∴.故答案為：-3，-3.第二部分：方法篇一元二次不等式恒成立（有解）問題方法一：二次函數(shù)在上恒成立問題：法典型例題例題1．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【詳解】對一切實數(shù)都成立，①時，恒成立，②時，，解得，綜上可得，.故選：A.例題2．（2023春·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【詳解】由題意可知，恒成立，當時，恒成立，當時，，解得，綜上：，故的取值范圍為.故答案為：.例題3．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式對恒成立，則的取值范圍是__________，的最小值為__________．【答案】

【詳解】當時，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當時，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.因為，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．故答案為：；.精練核心考點1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的范圍是____________.【答案】【詳解】當時，顯然成立；當時，要使問題成立，則二次函數(shù)圖像恒在x軸上方，有.綜上，.故答案為：.2．（2023春·廣東汕頭·高一?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【詳解】關(guān)于的不等式的解集為.當時，原不等式為，該不等式在上恒成立；當時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：3．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，滿足；當時，需滿足，解得.綜上所述：.故答案為：方法二：二次函數(shù)在上有解問題：法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題“，”是真命題，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C．） D．【答案】D【詳解】由題意，命題“，”是真命題故，解得或.則實數(shù)的取值范圍是故選：D.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解答】當時，不等式為有解，故，滿足題意；當時，若不等式有解，則滿足，解得或；當時，此時對應(yīng)的函數(shù)的圖象開口向下，此時不等式總是有解，所以，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.精練核心考點1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中學(xué)?？计谀┤裘}“，使得不等式”成立，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】命題“，使得不等式”成立，當時，不等式為，顯然有解，成立；當時，開口向下，必然，使得不等式成立，；當，即，解得或，所以或．綜上可得或．故選：．2．（2023·高一課時練習(xí)）（1）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；【答案】（1）；【詳解】（1）①當時，，解得：，滿足題意；②當時，令，則此二次函數(shù)開口向下，必滿足題意；③當時，，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為；方法三：二次函數(shù)在非上恒成立：分離參數(shù)法典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）對任意的，不等式都成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為對任意的，都有恒成立，∴對任意的恒成立．設(shè)，，，當，即時，，∴實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.例題2．（2023秋·高一課時練習(xí)）若不等式對一切都成立，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：因為不等式對一切恒成立，所以對一切恒成立，令，可知成立，當，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：.例題3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若時，恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】時，恒成立，即恒成立，即恒成立.令（），則，，當且僅當，即，等號成立，故，即a的取值范圍為.精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【詳解】由題意，當時，恒成立，等價于當時，恒成立，進一步等價于，等價于，設(shè)，，由勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當時，當時，，，故答案為：．2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是____________．【答案】【詳解】由不等式對恒成立，可轉(zhuǎn)化為對恒成立，即，而，當時，有最大值，所以，故答案為：．方法四：二次函數(shù)在非上有解問題：分離參數(shù)法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為不等式在上有解，所以不等式在上有解，令，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是故選：B例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，，即，故問題轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)，則，，對于，當且僅當時取等號，則，故，故選：A例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】因為，所以由得，因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以只需小于等于的最大值，當時，，當時，，當且僅當時，等號成立，故的最大值為1，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.精練核心考點1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）若不等式在上有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，設(shè)，，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有最小值為，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：C．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為________．【答案】【詳解】在內(nèi)有解，，其中；設(shè)，則當時，，，解得：，的取值范圍為.故答案為：.3．（2023·高三課時練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間(0，2]上有解，則實數(shù)的取值范圍是____________【答案】【詳解】因為，所以，由得，因為關(guān)于的不等式在區(qū)間(0，2]上有解，所以只需小于等于的最大值，又，當且僅當時，等號成立，所以，則，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.方法五：已知參變量范圍，求自變量范圍：變更主元法典型例題例題1．（2023·高一課時練習(xí)）已知對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立，所以對任意，恒成立，所以對任意，，所以，解得，故實數(shù)x的取值范圍是．故選：D．例題2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．【答案】C【詳解】解：令，則不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范圍為．故選：C．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【詳解】令，當時，恒成立，只需即解得或．所以實數(shù)x的取值范圍是．故答案為：例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】．【詳解】解：由題意不等式對恒成立，可設(shè)，，則是關(guān)于的一次函數(shù)，要使題意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集為，所以的取值范圍是．精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：恒成立，即，對任意得恒成立，