高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例2

教學(xué)基本信息

課題第三章3.1.1方程的根與函數(shù)零點

作者及

山西省壽陽一中李莉

工作單位

指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

我們現(xiàn)在要由以前老師的教轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)，并且要調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

和主動性，教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

教材分析

函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)

的連接紐帶。無論是數(shù)學(xué)條件自身的理論研究，還是在實際生活中的應(yīng)用，函數(shù)與方程都有

著不可替代的作用。從更高層次上來講，函數(shù)的思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，因此節(jié)

內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重中之重

學(xué)習(xí)函數(shù)零點概念的目的是把函數(shù)與方程聯(lián)系起來，用函數(shù)的觀點研究方程，從本質(zhì)上

說就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進一

步學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎(chǔ).另一方面，函數(shù)零點概念的形成

和零點存在性定理的發(fā)現(xiàn)，符合從特殊到一般的認識規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的概括歸納能力,

也為數(shù)形結(jié)合思想提供了廣闊的平臺

學(xué)情分析

在高中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與性質(zhì)，掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象

與性質(zhì)。

通過以二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)為例，引入函數(shù)零點的概念，說明方

程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，學(xué)生更容易接受。學(xué)生學(xué)習(xí)的難點是準確理解零點存

在性定理，并針對具體函數(shù)（或方程），能求出存在零點（或根）的區(qū)間。

教學(xué)目標

通過本節(jié)課教學(xué)，我們要求學(xué)生：理解并掌握方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)

系，并且學(xué)會將求方程的根的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點的問題以及理解零點存

在性定理。

1、了解函數(shù)零點的概念；

2、理解函數(shù)零點的存在性定理;

3、掌握零點存在的判定方法。

教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：零點的求法

教學(xué)難點：函數(shù)零點存在性定理。

教學(xué)過程

1.方程的根與相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系

復(fù)習(xí)總結(jié)一元二次方程與相應(yīng)函數(shù)與x軸的交點及其坐標的關(guān)系:

一元二次方程根的情況判斷:_____________________

圖象與x軸交點個數(shù):_____________________

圖象與x軸交點坐標:_____________________

意圖：回顧二次函數(shù)圖象與x軸的交點和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相

應(yīng)方程關(guān)系作準備。

問題一、上述結(jié)論對其他函數(shù)成立嗎？為什么？

畫出函數(shù)的圖象：>=2x-4、1y=2*-8、比較函數(shù)圖象

與X軸的交點和相應(yīng)方程的根的關(guān)系。

函數(shù)F-7(x)的圖象與X軸交點，即當了㈤該方程有幾個根，F(xiàn)-7(x)

的圖象與x軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標。

意圖：通過各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)。

2.函數(shù)零點概念

對于函數(shù)了?/卜)，把使/(x)-。的實數(shù)x叫做函數(shù)八，⑴的零點。

說明：函數(shù)零點不是一個點，而是具體的自變量的取值。

3.方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

方程WX)■。有實數(shù)根<=>函數(shù)的圖象與X軸有交點

函數(shù)了―/（x）有零點

以上關(guān)系說明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為

函數(shù)問題來求解，同樣，函數(shù)問題有時也可轉(zhuǎn)化為方程問題.這正是函數(shù)與方程

思想的基礎(chǔ)。

4.零點存在性定理

問題二、觀察圖象（氣溫變化圖）片段，根據(jù)該圖象片段，將其補充成完整

函數(shù)圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃?為什么？（假設(shè)氣溫是連續(xù)變化

的）

意圖：通過類比得出零點存在性定理。

給出零點存在性定理：如果函數(shù)y在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條

曲線，并且有/⑷那么，函數(shù)在區(qū)間（a5）內(nèi)有零點.即存在

叫,使得/卜）=0,這個c也就是方程/卜）=°的根。

問題三、不是連續(xù)函數(shù)結(jié)論還成立嗎？請舉例說明。

＞=2+2

結(jié)合函數(shù)’X的圖象說明。

問題四、若/⑷函數(shù)y在區(qū)間在比可上一定沒有零點嗎？

問題五、若/⑷/傳）＜。，函數(shù)了在區(qū)間在口可上只有一個零點嗎？可能

有幾個？

問題六、/⑷/（力）＜0時，增加什么條件可確定函數(shù)尸?/㈤在區(qū)間在口可上只

有一個零點？

意圖：通過四個問題使學(xué)生準確理解零點存在性定理。

5.例題：求函數(shù)〃]）=A]+206的零點的個數(shù)。

問題七、能否確定一個區(qū)間，使函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點。

問題八、該函數(shù)有幾個零點？為什么？

意圖：通過例題分析，學(xué)會用零點存在性定理確定零點存在區(qū)間，并且結(jié)合

函數(shù)性質(zhì)，判斷零點個數(shù)的方法。

六.目標檢測設(shè)計

1.函數(shù)”x)=(x+4)(x-4)(x+2)在區(qū)間15,6］上是否存在零點？若存在，

有幾個？

2.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根

(1)2x(x-2)=-3.

(2)產(chǎn)+4=4"

3.指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間

(1)/(x)=-?-3x+5.

⑵〃x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x。

最后，師生共同小結(jié)(略)。

思考題：函數(shù)"x)=lnx+2x-6的零點在區(qū)間口』內(nèi)有零點，如何求出這個

零點？設(shè)計意圖：為下一節(jié)“二分法”的學(xué)習(xí)做準備。

教預(yù)設(shè)學(xué)

教師活動設(shè)計意圖

學(xué)環(huán)節(jié)生行為

學(xué)生獨

立思考完成

給出幾個具體由具體的一元二次方程和二次

解答，觀察、

創(chuàng)設(shè)情的一元二次方程函數(shù)到一般的一元二次方程和二次

思考、總結(jié)、

境的根及其相應(yīng)的函數(shù)，既有利于學(xué)生掌握知識，又有

概括得出結(jié)

二次函數(shù)的圖像助于學(xué)生抽象思維能力的形成

論，并進行

交流

認真理

引導(dǎo)學(xué)生仔細

解函數(shù)零點讓學(xué)生觀察二次函數(shù)在區(qū)間端

體會函數(shù)零點的

組織探的意義，并點上的函數(shù)值之積的特點，引導(dǎo)學(xué)生

概念、函數(shù)零點的

究(1)根據(jù)函數(shù)零發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零

意義、函數(shù)零點的

點的意義探點的判定方法

求法

索其求法

分析函

數(shù)，按提示

探索，完成

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合解答，并認

函數(shù)圖像，分析函真思考；結(jié)

讓學(xué)生認識到函數(shù)圖像及基本

數(shù)在區(qū)間端點上合函數(shù)圖

組織探性質(zhì)在確定函數(shù)零點中的重要作用，

的函數(shù)值的符號像，思考、

究(2)提高學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問

情況，與函數(shù)零點討論、總結(jié)、

題的能力

是否存在之間的歸納得出函

關(guān)系數(shù)零點存在

的條件，并

進行交流、

評析

☆板書設(shè)計

方程的根與函數(shù)的零

點2.零點的定義

例1

一.復(fù)習(xí)引導(dǎo)3.零點存在性定理

四.小結(jié)

二.新課講授4.應(yīng)用

五.作業(yè)

1.一元二次方程與二次函三.例題