《數(shù)學》復習人教A（新高考）-第1節(jié)　平面向量的概念及線性運算

第五章

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有

又有

的量叫做向量，向量的大小叫做向量的

.(2)零向量：

的向量，其方向是任意的.(3)單位向量：長度等于

的向量.(4)平行向量：方向

或

的非零向量.平行向量又叫

.規(guī)定：0與任一向量

.(5)相等向量：長度

且方向

的向量.(6)相反向量：長度

且方向

的向量.大小方向長度(或模)長度為01個單位相同相反共線向量平行相等相同相等相反2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝

.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝減法減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝

；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向

；當λ＜0時，λa的方向與a的方向

；當λ＝0時，λa＝λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得

.3.共線向量定理b＝λa解析

(2)若b＝0，則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上.√√××AA解析

根據(jù)向量的有關(guān)概念可知ABC正確，對于D，當λ＝μ＝0時，a與b不一定共線，故D錯誤.ABC又O為△ABC的外接圓的圓心，根據(jù)加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.A6.(2020·武漢質(zhì)檢)設a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－2a)共線， 則λ＝________.

解析

由已知2a－b≠0，依題意知向量a＋λb與2a－b共線，設a＋λb＝k(2a－b)，則有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因為a，b是兩個不共線向量，故a與b均不為零向量，

考點分層突破題型剖析考點聚焦2解析

A不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.考點一平面向量的概念///////自主演練BCC正確.∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.D不正確.當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件.故選BC.DD1.相等的向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.2.向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負數(shù)，可以比較大小.向量可以平移，與起點無關(guān)，平移后的向量與原向量相等.3.(1)單位向量的特征是長度都是1個單位.(2)零向量的特征是長度是0，并規(guī)定零向量與任何向量平行.感悟升華角度1平面向量的加、減運算的幾何意義【例1】已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下列結(jié)論正確的是(

) A.a∥b B.a⊥b C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b考點二向量的線性運算///////多維探究B解析連接CD，∵C，D是半圓弧的三等分點，∴CD∥AB，且AB＝2CD，DA1.(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.感悟升華解析

∵E是AD的中點，

A又知D是BC的中點，解析如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形，且P恰為其中心，BACD則點M在邊CB的延長線上，故B錯誤；則點M是△ABC的重心，故C正確；則M為AN的中點，考點三共線定理及其應用///////師生共研＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，D∴E為CD中點，又∵點B，F(xiàn)，D共線，1.證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.2.向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.感悟升華解析因為A，B，C三點共線，則λa＋b＝m(a＋μb)，由于a與b不共線，所以λμ＝1.D所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.不合題意，舍去.故x＝－1.{－1}課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3解析

利用向量運算，易知A，D中的式子結(jié)果為零向量.AD所以A，B，D三點共線.故選A.A3.設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (

) A.a與λa的方向相反 B.a與λ2a的方向相同

C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a

解析

當λ＞0時，a與λa的方向相同，A錯，a與λ2a的方向相同，B正確； 當|λ|<1時，|－λa|<|a|，C錯；|－λa|＝|λ||a|，D錯，故選B.B解析因為G為△ABC的重心，A∵E為BC的中點，F(xiàn)為AE的中點，D解析連接AE，因為F為DE的中點，CB解析

取AC的中點D，連接OD，所以O是AC邊上的中線BD的中點，所以S△ABC＝2S△OAC，所以△ABC與△AOC面積之比為2∶1.D點O在線段CD上(與點C，D不重合)，所以x＝－y，

二、填空題9.設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝____________.

解析

∵向量a，b不平行， ∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行， 則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，0故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形.直角三角形因為D為OB的中點，

13.(多選題)(2021·武漢模擬)瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心間的距離是垂心和重心間的距離之半.這個定理就是著名的歐拉線定理.設△ABC中，點O，H，G分別是其外心、垂心、重心，則下列四個選項中結(jié)論正確的是 (