《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第2節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二章

第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值知識(shí)分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或

，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.減函數(shù)2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意x∈I，都有

；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對(duì)于任意x∈I，都有

；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x)≥M1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若對(duì)任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù). (

)

解析

此單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，故單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞).√×(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若f(1)<f(3)，則f(x)為增函數(shù). (

)(4)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞).(

)解析

(3)應(yīng)對(duì)任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上為增函數(shù)，但y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，＋∞).××B，C中函數(shù)y＝x2－x與y＝lnx－x在(0，＋∞)內(nèi)不單調(diào)，D中y＝ex在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù).A24.(2021·長沙檢測(cè))函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (

) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)

解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù).

要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間. ∵函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞).D又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，故排除A，C；D解析

∵f(x)的定義域?yàn)閇1，＋∞)，∴f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝9.9考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦2解析

由圖象知，只有y＝x

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.故選A.考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)///////自主演練A解析

由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函數(shù)的定義域?yàn)?－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，則y＝log

t，易知其為減函數(shù).則本題等價(jià)于求函數(shù)t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的單調(diào)遞減區(qū)間.A3.(2021·重慶聯(lián)考)下列函數(shù)的圖象既關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，又在區(qū)間[－1，0]上為增函數(shù)的是 (

) A.y＝sinπx B.y＝|x－1| C.y＝cosπx D.y＝ex＋e－xC解析

A中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝sinπ＝0≠±1，所以y＝sinπx不關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則A錯(cuò)誤.D中，y＝f(x)＝ex＋e－x，則f(0)＝2，f(2)＝e2＋e－2，則f(0)≠f(2)，所以y＝ex＋e－x不關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則D錯(cuò)誤.函數(shù)的圖象如圖所示的實(shí)線部分，根據(jù)圖象，g(x)的遞減區(qū)間是[0，1).[0，1)1.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有：(1)定義法；(2)圖象法；(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性；(4)導(dǎo)數(shù)法.2.函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.感悟升華考點(diǎn)二函數(shù)的最值(值域)///////師生共研3所以f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－1，1]上的最大值為f(－1)＝3.1解析法一在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象如圖所示的實(shí)線部分.易知點(diǎn)A(2，1)為圖象的最高點(diǎn)，因此h(x)的最大值為h(2)＝1.當(dāng)0<x≤2時(shí)，h(x)＝log2x是增函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，h(x)＝3－x是減函數(shù)，因此h(x)在x＝2時(shí)取得最大值h(2)＝1.1.求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.2.對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.感悟升華D因?yàn)閤≥1，ACD解析

f(－3.9)＝－3.9－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正確；顯然x－1＜[x]≤x，因此0≤x－[x]＜1，∴f(x)無最大值，但有最小值且最小值為0，B錯(cuò)誤，C正確；考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用///////多維探究角度1利用單調(diào)性比較大小C又log38<2<21.3<21.4＝40.7，∴f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即b<a<c.解析由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函數(shù)，且31.2>3，1＝log33<log35<log327＝3，0<3－0.2<1，即31.2>log35>3－0.2>0，所以f(31.2)>f(log35)>f(3－0.2)，即a>c>b.D角度2求解函數(shù)不等式【例3】(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

____________________________.

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lnx＋2x在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 且f(1)＝ln1＋2＝2， 所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，【例3】(2)(2021·青島聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)對(duì)于任意x∈[1，2]恒成立，則a的最大值為________.

解析由于f(x)滿足f(x)＝f(－x)，可知f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， ∵f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減， ∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.

根據(jù)f(x)的圖象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，－14解析

易知f(x)在(－∞，2)上遞減，在[2，＋∞)上遞增，且x<2時(shí)，22－x>22－2＝1，∴f(x)min＝f(2)＝1，又a≤f(x)≤b的解集恰好為[a，b].∴必然有a≤1，此時(shí)22－1＝2，所以b≥2.令22－x＝4，得x＝0，所以a＝0，于是b－a＝4.1.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.2.求解函數(shù)不等式，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.3.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.感悟升華解析因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，又因?yàn)閘og34>1>2

>2

>0，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(log34)<f(2

)<f(2

).C所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù).對(duì)于結(jié)構(gòu)相同(相似)的不等式(方程)，通常考慮變形，構(gòu)造函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)，尋找變量之間的關(guān)系，達(dá)到解題目的.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象.構(gòu)造函數(shù)破解不等式(方程)問題【典例】(2020·全國Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則 (

) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2

解析由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得

2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.

令f(x)＝2x＋log2x，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.

又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)， ∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)， ∴a<2b.故選B.B1.破解此類題的關(guān)鍵：一是細(xì)審題，盯題眼，如本題的題眼為“2a＋log2a＝4b＋2log4b”；二是巧構(gòu)造，即會(huì)構(gòu)造函數(shù)，注意活用基本初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；三是會(huì)放縮，即會(huì)利用放縮法比較大小.2.(1)本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性，比較大小等知識(shí)；(2)邏輯推理是解決數(shù)學(xué)問題最常用、最重要的手段，將題目變形“22b＋log2b<22b＋log2(2b)”時(shí)要充分借助選項(xiàng)與提供的信息.素養(yǎng)升華【訓(xùn)練】(2020·全國Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，則 (

) A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0 C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0

解析

原已知條件等價(jià)于2x－3－x<2y－3－y， 設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－3－x.

因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x與y＝－3－x在R上均單調(diào)遞增， 所以f(x)在R上單調(diào)遞增.

即f(x)<f(y)，所以x<y， 即y－x>0，所以A正確，B不正確.

因 為|x－y|與1的大小不能確定，所以C，D不正確.A課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1.(2021·青島一中月考)函數(shù)f(x)＝log

(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (

) A.(－∞，－2) B.(2，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，＋∞)

解析

f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(2，＋∞)， 令t＝x2－4，易知t＝x2－4在(－∞，－2)上單調(diào)遞減， 又y＝log

t是減函數(shù)， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2).A解析

滿足條件的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∵f(x)＝x－1為奇函數(shù)，f(x)＝2x＋1非奇非偶，f(x)＝cosx為周期函數(shù)，且在(0，＋∞)上不單調(diào)，∴A，C，D項(xiàng)均不正確，只有f(x)＝log2|x|為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞增.B解析對(duì)f(x)＝3x－2cosx求導(dǎo)得f′(x)＝3＋2sinx，則有f′(x)＝3＋2sinx>0在R上恒成立，則f(x)在R上為增函數(shù).所以b<c<a.D且f(2)＝0，所以n＝2.根據(jù)題意，x∈(m，n]時(shí)，ymin＝0.∴m的取值范圍是[－1，2).DC6.定義max{a，b，c}為a，b，c中的最大值，設(shè)M＝max{2x，2x－3，6－x}，則M的最小值是 (

) A.2 B.3 C.4 D.6

解析畫出函數(shù)M＝max{2x，2x－3，6－x}的圖象(如圖)， 由圖可知，函數(shù)M在A(2，4)處取得最小值22＝6－2＝4， 故M的最小值為4.C二、填空題7.若函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集為______________.

解析由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x為奇函數(shù)， 又易證在定義域R上，f(x)是增函數(shù)， 則不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等價(jià)于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，8.函數(shù)y＝|x|(1－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________________.解析

y＝|x|(1－x)函數(shù)的大致圖象如圖所示.9.(2021·山東師大附中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________________.(－∞，1]

當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<a時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，又f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，所以a≤1.三、解答題10.函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求方程f(x)＝0的解； ∴f(x)的定義域?yàn)?－3，1).

則f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1)， 令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1， 經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足原方程成立.10.函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (2)若函數(shù)f(x)的最小值為－1，求a的值.

解

由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)， 由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)， ∴l(xiāng)oga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，(2)f(x)在R上單調(diào)遞增.證明如下：∵f(x)的定義域?yàn)镽，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，∵y＝2x在R上單調(diào)遞增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上單調(diào)遞增.解∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(ax)