浙江省溫州市共美聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.下列直線中與直線x-2yH=0垂直的一條是（）

A.2^+yH=0B.2x-4y+2=0C.2妙4yH=0D.2x-4yH=0

2.雙曲線卷一\=i的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（±1,0）B.（±3,0）C.（0,±1）D.（0,±3）

3.已知圓V+/+2x-2j/+a=0截直線A+J/+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.-2B.-4C.-6D.-8

4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組、,則A+V的取值范圍為（）

2x+y43

A.[-2,0]B.[-2,2]C.[2,4]D.[-2,4]

5.已知數(shù)列｛&｝的前"項(xiàng)和為S,貝"S=p〃2+g〃（。、,是常數(shù)）"是“｛d｝成等差數(shù)列”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也比不要條件

6.已知勿，"表示兩條不同直線,a表示平面，下列說法正確的是（）

A.若m//a,n//a,則m//nB.若/77±a,/7Ca,貝1Jm-Ln

C.若ml.a,ml.n,則"〃aD.若m//a,ml.n,則nl.a

7.已知48、緲是橢圓￥+^l（a>b>0）的短軸和長軸，點(diǎn)￡是橢圓弧沏上異于8

TT

的任意一點(diǎn)，將坐標(biāo)平面沿X軸折疊成大小為a（0<。<彳）的二面角，記

則（）

A.a2QB.a>4)C.a<0D.aW。

MAV,且附在

8.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知彳（-1,0）,B（2,0）,動點(diǎn)照滿足

MB

直線ax-y-2a=0上.若滿足條件的點(diǎn)〃是唯一的，則a=（）

A.土亨B.±V3C.弧D.李

9.正方形/坑步沿對角線曲折成直二面角，下列結(jié)論：①/〃與SC所成的角為60°;②4c

與劭所成的角為90°;③%與面4曲所成角的正弦值為乂與；④二面角4-8C-，的平

3

面角正切值是、歷；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

22

10.設(shè)雙曲線￥-勺1心>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,F2.若左焦點(diǎn)￡關(guān)于其中

一條漸近線的對稱點(diǎn)位于雙曲線上，則該雙曲線的離心率e的值為（）

A.73B.3C.75D.5

二、填空題

11.經(jīng)過兩點(diǎn)4（2,3）,B（1,4）的直線的斜率為;傾斜角為.

12.已知橢圓C：則該橢圓的長軸長為;焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

13.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體最長的一條棱的長度是cm-,

體積為cm.

14.如圖所示，AC,勿分別在平面a和平面B內(nèi)，在a與B的交線/上取線段46=1,AC

±/,BD±/,4仁1,BD=1,CD=2,則AB與曲所成的角為;二面角a-/-0

的大小為.

ca

B

/PD/

'x-2y+10>0,

15.在平面區(qū)域］x+2y-6》0,內(nèi)含有一個(gè)圓，當(dāng)圓的面積最大時(shí)圓記為。M則。解的

.2x-y-740.

方程為.

2?

16.已知過橢圓C：2—+丫2=1的左焦點(diǎn)尸的直線交。于4,8兩點(diǎn)，若|〃1+2|胴々恒

2，

成立，則〃的最大值為.

17.在平面直角坐標(biāo)系x"中，已知點(diǎn)/(-4,0),B(0,4),從直線43上一點(diǎn)。向圓

x?+/=4引兩條切線股PD,切點(diǎn)分別為C,D.設(shè)線段緲的中點(diǎn)為題則線段■長的

最小值為.

三、解答題

18.已知直線/:y=k/1,圓C:(x-1)2+(y+1)2=12.

(1)試證明：不論A■為何值，直線/與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)求直線/被圓C截得的最短弦長.

19.如圖，〃_L正方形微所在平面，"是"C的中點(diǎn)，二面角的大小為45°.

(1)設(shè)/是平面2俗與平面的的交線，證明必〃/;

(2)在棱是否存在一點(diǎn)乂使"-ZW-C為60°的二面角.若不存在，說明理由；若

存在，求/W長.

20.已知拋物線。/=4x,過焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線C交于的N兩點(diǎn)、.

(1)若直線/的傾斜角為45°,求|掰V|的長；

(2)設(shè)"在準(zhǔn)線上的射影為4,求證：A,0,及三點(diǎn)共線(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

21.如圖，設(shè)矩形/慶膽所在平面與梯形4廢尸所在平面相交于4?.若4Q1,BC=M，AF

=FE=EC=\.

(1)求證：AUDE;

(2)若DE=1,求用"與面4支廠所成角的正弦值.

22.如圖，橢圓C:三%=1(a>h>0)的離心率為追，點(diǎn)附(-2,1)是橢圓內(nèi)一點(diǎn),

a*/2

過點(diǎn)照作兩條斜率存在且互相垂直的動直線/“/2,設(shè)4與橢圓C相交于點(diǎn)4,B,人與

橢圓C相交于點(diǎn)。，E.當(dāng)M恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，|4夕|=丁正.

(I)求橢圓C的方程；

(II)求而,底的最小值.

參考答案

一、選擇題

1.下列直線中與直線x-2yH=0垂直的一條是()

A.2x+y+1=0B.2x-4j/+2=0C.2jt+4y+1=0D.2x-4>+1=0

【分析】由題意利用兩條直線垂直的判斷方法，得出結(jié)論.

解：已知直線x-2y+1=0的斜率為

而直線2戶六1=0的斜率為-2,它與已知直線的斜率之積等于-1,故它和已知直線垂

直，故滿足條件，故4滿足條件；

而直線2x-4j/+2=0的斜率為它與已知直線的斜率之積不等于-1,故它和已知直線

不垂直，故不滿足條件，故5不滿足條件；

而直線2A+4尸1=0的斜率為-告，它與已知直線的斜率之積不等于-1,故它和已知直

線不垂直，故不滿足條件，故C不滿足條件；

而直線2x-4yH=0的斜率為它與已知直線的斜率之積不等于-1,故它和已知直線

不垂直，故不滿足條件，故。不滿足條件，

故選：4

22

2.雙曲線［一_3_=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(±1,0)B.(±3,0)C.(0,±1)D.(0,±3)

【分析】直接利用雙曲線方程求解焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.

22___

解：雙曲線2—工一=1，焦點(diǎn)在x軸上，c={5+4=3,

54

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0).

故選：B.

3.已知圓V+JA2X-2y+a=0截直線/尸2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()

A.—2B?—4C.-6D.—8

【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出弦心距，再由條件根據(jù)弦長公式求得a的值.

22

解：圓f+/+2x-2y+a=0即(A+1)+(y-1)=2-a,

故弦心距占上焊切-=舊.

72

再由弦長公式可得2-a=2+4,：.a=-4,

故選：B.

y'x

4.已知實(shí)數(shù)x,v滿足不等式組、,則A+V的取值范圍為()

2x+y43

A.[-2,0]B.[-2,2]C.[2,4]D.[-2,4]

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用平移法進(jìn)行求

解即可

解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分).

令z=/y得y=-A+Z,

平移直線y=-A+Z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-A+N經(jīng)過點(diǎn)/(-1,5)時(shí)，直線y=-A+Z的截距最大，

此時(shí)z最大.

即—=-1+5=4.

當(dāng)直線y=-A+Z經(jīng)過點(diǎn)8(-1,-1)時(shí)，直線y=-A+N的截距最小,

此時(shí)z最小.

即zmin=-1-1=-2.

故選：D.

5.已知數(shù)列｛a〃｝的前"項(xiàng)和為Sn,則“￡=p〃2+s（p、q是常數(shù)）"是“｛a〃｝成等差數(shù)列”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也比不要條件

【分析】Sn=pn+qn（p、<7是常數(shù)），""2時(shí)，an=S?-S?-A.n=\時(shí)，金=S=6g,可

得a.=2pn->q.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

解：S?=pn+qn（p、g是常數(shù)），

2

",2時(shí)，a?=Sn-Sn-\=pn+qn-[p（n-1）+q（n-1）]=2pn-p^q.

n=1時(shí)，a、=&=fq,對于上式也成立.

,,.a?=2pn-pi-q.

｛劣｝成等差數(shù)列，反之也成立.

u

ASn=prf+qn（p、q是常數(shù)）”是“｛a｝成等差數(shù)列”的充要條件.

故選：C.

6.已知〃，〃表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法正確的是（）

A.若m//a,n//a,則m//nB.若ml.a,nc.a,則

C.若加_La,ml.n,則〃〃aD.若加〃a,ml.n,則a

【分析】4運(yùn)用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，即可判斷；

B.運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，即可判斷；

C.運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；

D.運(yùn)用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定，即可判斷.

解：A.若加〃a,n//a,則m,〃相交或平行或異面，故4錯(cuò)；

B.若ml.a,no.a,則ml.n,故8正確；

C.若ml.a,mA-n,則〃〃a或/7Ca,故C錯(cuò)；

D.若m//a,ml.n,則"〃a或/xza或"_La,故。錯(cuò).

故選：B.

22

7.已知/8、3是橢圓J+J-l（a>b>0）的短軸和長軸，點(diǎn)￡是橢圓弧例上異于夕

的任意一點(diǎn)，將坐標(biāo)平面沿x軸折疊成大小為a（O<a的二面角，記NAOE=Q,

則（）

A.a》。B.a>$C.a<cj>D.aS。

【分析】由題意畫出圖形，利用直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角的最

小角得答案.

解：如圖，

折疊后，04看作是橢圓弧G緲?biāo)谄矫娴囊粭l斜線，其射影為第，

則a為平面網(wǎng)的一條斜線與平面網(wǎng)所成角，而非為平面CBD內(nèi)的一條與必不重合

也不平行的直線，

。為"與如所成角，根據(jù)直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角的最小角，

可知aVQ.

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知4（-1,0）,B（2,0）,動點(diǎn)照滿足惜卜V，且"在

直線ax-y-2a=0上.若滿足條件的點(diǎn)照是唯一的，則a=（）

A.±器B.±73C.V3D.李

Oo

【分析】先求出動點(diǎn)照的軌跡方程為圓，結(jié)合題意利用直線和圓相切，求出a即可.

I221

解：（1）設(shè)動點(diǎn)M（x,y）,由題意得J（x+1

Hx-2）2+y22

化簡可得：（/2）2+y=4,

二動點(diǎn)"的軌跡方程為（/2）2+/=4.曲線C是以（-2,0）為圓心，2為半徑的圓，

且"在直線ax-y-2a=0上，

故直線與圓相切，且切點(diǎn)為M

卜2a-2a|

由1。一二2,得3a'I,

3+1

士尊

a=

故選：A.

9.正方形4坑步沿對角線劭折成直二面角，下列結(jié)論：①42與仇7所成的角為60°;②AC

與劭所成的角為90°；③/與面/緲?biāo)山堑恼抑禐榱xa；④二面角〃的平

3

面角正切值是“歷；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【分析】取故中點(diǎn)0,連結(jié)40,CO,以0為原點(diǎn)，0C為x軸，如為y軸，04為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法和空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一判斷四

個(gè)命題得結(jié)論.

解：取8〃中點(diǎn)0,連結(jié)AO,CO,

?.?正方形微沿對角線劭折成直二面角，

...以0為原點(diǎn)，OC為x物,必為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)—1,則A(0,0,1),8(0,-1,0),C(1,0,0),/?(0,1,0),

AD=(O,1,-1),BC=(1,1,0),

cosV而，BC>rAD?BC=_1_1

lAD1-lBCIV2'V22

...異面直線4夕與切所成的角為60°,故①正確;

AC=(1，0,T)，BD=(0,2,0),

7AC?BD=0?:.ACLBD,故②正確；

設(shè)平面/微的一個(gè)法向量為;=(x,y,z),

t?AC=x-z=Oe-/、一?.、

由L,______,取Z=1,得t=(l,1,1),BC=(1,1,0),

Lt,AD=y-z=O

，一■—?

設(shè)BC與面AGD所成角為。，則sin6=|cos<BC,t>I=I1|

舟坐故③正瑞__

平面町的法向量3=(0,0,1),BA=(0,1,1),BC=(1,1,0),

設(shè)平面48c的法向量1r=(x,y,z),

則,?上v+z0,取*=1,得；=（1,-1,1）,

,m*BC=x+y=0

m*n1

cos<m,

Im|*|n|迎f

>_V6

.\sin<,n--?

m3

.??二面角/-宓-〃的平面角正切值是：血，故④正確.

故選：A.

10.設(shè)雙曲線4?-工力l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為石，F(xiàn)2.若左焦點(diǎn)打關(guān)于其中

一條漸近線的對稱點(diǎn)位于雙曲線上，則該雙曲線的離心率e的值為()

A.帆B.3C.衣D.5

【分析】設(shè)左焦點(diǎn)石(-c,0),漸近線方程為7=且X，對稱點(diǎn)為戶(/77,ri),運(yùn)用中

a

點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方

程，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值.

解：設(shè)A(-C,0),漸近線方程為y=?x,

a

對稱點(diǎn)為F(加，n),

即有二二=一.，

m+cb

且Q〃=Q，

解得加上!二亙1,n=--,

CC

將尸(b2-a2,_辿)，即(c2a2,_2ab

cccc

/2n2、2.2,2

代入雙曲線的方程可得?'二一：，—-*,=1,

c，」cb

2

化簡可得上彳-4=1,即有e?=5,

a」

解得e=

故選：C.

二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分，共36分

11.經(jīng)過兩點(diǎn)4(2,3),B(1,4)的直線的斜率為-1;傾斜角為135°

【分析】利用直線方程斜率公式和斜率與傾斜角的關(guān)系直接求解.

解：經(jīng)過兩點(diǎn)4(2,3),B(1,4)的直線的斜率為：

傾斜角為135°.

故答案為：-1,135°.

12.已知橢圓C：則該橢圓的長軸長為焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(±J7,0)

【分析】利用橢圓方程求解a,b,c,推出結(jié)果即可.

解：橢圓C：可得a=4,b=3,

則該橢圓的長軸長：8,

C=716T='~H，焦點(diǎn)坐標(biāo)(±0)

故答案為：8；(±V7,0).

13.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體最長的一條棱的長度是_4;,r3_cm;

體積為cm.

—3—

正視圖

/俯視圖

【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，判斷棱長，然后幾何體的體積即可.

解：由題意可知幾何體的組合體如圖：是正方體的一部分，一個(gè)四棱錐，最長的棱長為

PC==4^3,(cni)

幾何體的體積為：《X4X4X4/生(cm)

故答案為：小打l，等64.

14.如圖所示，AC,劭分別在平面a和平面B內(nèi)，在a與B的交線/上取線段441,AC

±/,BD1./,AC=\,BD=1,CD=2,則48與5所成的角為60°;二面角a-/-

【分析】作出圖形，由異面直線所成角及二面角的定義直接可以得解.

解：如圖，在平面B內(nèi)過點(diǎn)4作4￡〃劭，且AE=BD,又ABLBD,則4刎7為矩形，連接

CE,DE,

\ABrAC,

:?EDIAC,

大EDLAB,ABQAC=A,

???￡P(guān)_L平面ACE,

:.EDIEC,

：.CE=V3,COS/CDE^,即N緲￡=60°,則48與緲?biāo)傻慕菫?0°；

又做_L/,則4EL/,又4?_L/,NG4￡■為二面角a-/-B的平面角，

又cosNCAEql+：《丁=二,則NG44120。.

故答案為：60°,120°.

\\1

J7?—4-------1

D

'x-2y+10>0,

15.在平面區(qū)域｛x+2y-6>0,內(nèi)含有一個(gè)圓，當(dāng)圓的面積最大時(shí)圓記為。的，則。解的

2x-y-7^0.

方程為(x-3)2+Q-4)?5.

【分析】先畫出該平面區(qū)域，明確區(qū)域所圍成的平面圖形的形狀，再由面積最大的圓則

為該平面圖形的內(nèi)切圓.再由圓的相關(guān)條件求圓的方程.

解：畫出該區(qū)域得三角形/8C,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

/(-2,4),8(4,1),C(8,9),

且為直角三角形，三邊長分別為3旄，叭石，5灰,

由于面積最大，故圓”是48C內(nèi)切圓，「遙；

設(shè)"（a,6）,則」a-2%10L」a+2j-6|=12a苫7]_=泥;

V5V5V5

解得a=3,6=4;

所以圓"的方程為（x-3）2+（y-4）』5.

故答案為：（x-3）2+（y-4）2=5.

16.已知過橢圓C:幺+丫2=1的左焦點(diǎn)尸的直線交。于4,6兩點(diǎn)，若|〃1+2|明》々恒

2丫

成立，則〃的最大值為_3&+1_.

【分析】由題意畫出圖形，再由|〃1+2|母1=|〃1+|明+|明=|初+|陰，結(jié)合橢圓上

的點(diǎn)右端點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最大求解.

解：如圖,

\AF\+2\BF\=\AF\+\BF\+\BF\=\AB\+\BF\,

?.?|四|的最大值為2M，|明的最大值為我+1,

.?.|/+2|明23&+1,

又|〃1+2|明'A■恒成立，則〃的最大值為3&+L

故答案為：3，5+l.

17.在平面直角坐標(biāo)系x"中，已知點(diǎn)4(-4,0),B(0,4),從直線上一點(diǎn)。向圓

f+/=4引兩條切線%,PD,切點(diǎn)分別為C,D.設(shè)線段做的中點(diǎn)為M則線段4"長的

最小值為3\/3.

【分析】根據(jù)題意，求出直線48的方程，設(shè)?(癡，戰(zhàn))，分析可得點(diǎn)C、〃在以。。為

直徑的圓上，求出以。為直徑的圓的方程，分析可得而所在直線方程為：xox^yoy=4,

又由直線"的方程，聯(lián)立3個(gè)方程可得點(diǎn)明的軌跡方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可

得答案.

解：根據(jù)題意，4(-4,0),8(0,4),則直線的方程為*-尸4=0,

設(shè)P(%，％),則%=祈+4,①，

如圖：義蟲OD'DP,OCS.CP,則點(diǎn)C、〃在以W為直徑的圓上，

又由華的中點(diǎn)即該圓圓心為(①，迎)，其半徑為』明=3x,

2222

則以。。為直徑的圓的方程為x+y-xox-yoy=O,

x2+y2=4

聯(lián)立兩圓的方程＜,一,,,,可得必所在直線方程為：x0^y0y=4,

x"+y-xox-yQy=O

又由線段曲的中點(diǎn)為照則直線掰Aby-yox=O,③

聯(lián)立①②③消去如yo,可得"的軌跡方程為(*弓)？+(y-J)2=~2,

其圓心為(-[,冷，半徑占年；

又由又/(-4,0),則|第|的最大值為、號號+浮=3加；

故答案為：3加

.V

三、解答題：5小題，共74分

18.已知直線/:y=kx^\,圓C-.(x-1)2+(y+1)2=12.

(1)試證明：不論〃為何值，直線/與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)求直線/被圓C截得的最短弦長.

【分析】(1)聯(lián)立直線/與圓C方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判

別式恒大于0,得到不論〃為何實(shí)數(shù)，直線/和圓G總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)設(shè)直線與圓相交于/(*,M),8(茲，必)，表示出直線/被圓C截得的弦長，

4k+3

設(shè)----T,討論出力的最大值，即可確定出弦長的最小值.

1+k/

y=kx+l

解：(1)由消去v得到(V+1)x-(2-4A)x-7=0,

l(x-l)2+(y+D9=12

(2-4/f)z+28〃+28>0,

,不論〃為何實(shí)數(shù)，直線/和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)設(shè)直線與圓相交于4(%,,yi),B(.x2,必)，

則直線/被圓C截得的弦長|四|=-引=2［忙4k+1產(chǎn)"=2、

V1+k2V1+k2

4k+3,

令±=T,則有次2-4A+(t-3)=0,

l+k’

當(dāng)t=0時(shí)，k=;

4

當(dāng)力*0時(shí)，由&GR,得到△=16-4力(力-3)>0,

解得：-1WtW4,且件0,

4k+3

則力=彳定"的最大值為4,此時(shí)|48|最小值為2小，

則直線/被圓C截得的最短弦長為2技.

19.如圖，*_L正方形微所在平面，"是QC的中點(diǎn)，二面角P-Z7C-4的大小為45°.

(1)設(shè)/是平面以8與平面9的交線，證明3〃/;

(2)在棱48是否存在一點(diǎn)乂使"-ZW-C為60°的二面角.若不存在，說明理由；若

存在，求加長.

【分析】(1)先證明必〃平面外8,再利用線面平行的性質(zhì)即得證；

(2)易知二面角。4的平面角，由此建立空間直角坐標(biāo)系，并求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，

設(shè)“(X,0,0),求出平面的法向量，根據(jù)"-ZW-C的二面角為60°,建立方程，解

出即可得出結(jié)論.

解：(1)證明：?.?四邊形48，步為正方形，

:.CD//AB,

又48在平面多佃內(nèi)，必不在平面叫8內(nèi)，

...而〃平面PAB,

又平面過直線曲，且平面以8n平面"面=/,

/.CD///;

(2)I?力_L正方形/仇盟所在平面，

二易知二面角P-OC-4的平面角即為/物=45°,

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4戶分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方形的邊長為2,

則。(0,2,0),。(0,0,2),C(2,2,0),"(1,1,1),設(shè)及(x,0,0),

易得平面威?的一個(gè)法向量為1=(0,0,1),

設(shè)平面初”的一個(gè)法向量為扇=(a,b,c),又而=(-1,1,-1),M=(l-x,1,1),

f.,.

n*MD=-a+b-c=0——xx、

則―?，則可取n=(、l，—，--1),

,n*NM=(l-x)a+b+c=0//

一-|--11

Icos<m.n>I_~\2cos60°=y,解得x=3-逐，

故存在存在一點(diǎn)乂使M-DN-C為60°的二面角，且.

20.已知拋物線C:/=4x,過焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線C交于M"兩點(diǎn).

(1)若直線/的傾斜角為45°,求|掰V|的長；

(2)設(shè)"在準(zhǔn)線上的射影為4,求證：A,0,〃三點(diǎn)共線(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

【分析】(1)由題意知直線/的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求

出弦長桃；

(2)設(shè)直線/的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之積，得出縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出AO,

。”的斜率，值相等，應(yīng)該一點(diǎn)0可得三點(diǎn)共線.

解：(1)由題意知拋物線的焦點(diǎn)尸(1,0),直線/的傾斜角為45°,則直線的斜率為

1,

所以直線/的方程：x=yH,設(shè)"(x,。，及(x',,聯(lián)立直線與拋物線的方程整

理得：y-4y-4=0,

所以y*\/=4,yy=-4,

所以弦長|喇==迎W16+16=8,

所以|掰V|的長為8;

(2)顯然直線/的斜率不為0,設(shè)直線方程為：x=w+1,設(shè)"(x,y),/V(%,,/),

由題意知4(-1,y),

4

聯(lián)立直線與拋物線的方程整理為：y-4my-4=0,y+y'=4m,yy'=-4,y=----

y

V4V'ri2-=4

因?yàn)閗0A=—=-y=r一，&=J—=v'~

-1yx----y

4

:.k/)A=kon,AO,又公用0點(diǎn),

所以4,0,及三點(diǎn)共線.

21.如圖，設(shè)矩形46曲所在平面與梯形/座廣所在平面相交于/C.若BC=M，af

=FE=EC=1.

(1)求證：AUDE；

(2)若DE=1,求萌與面/交尸所成角的正弦值.

【分析】(1)連結(jié)4C、BD,交于點(diǎn)0,連結(jié)OE=CE=AF=\,AC=BD=2,從而△

必。是邊長為1的正三角形，取。C中點(diǎn)G,連結(jié)％,EG,連結(jié)。G,EG,從而EGLAC,

DG1.AC,由此能求出4aL平面〃￡現(xiàn)由此能證明4C_LDE.

(2)過B作BHLAO,交40于點(diǎn)“，連結(jié)/7/,以，為原點(diǎn)，HB為x場,HC為y軸,過〃

作平面485的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出世"與面4支廠所成

角的正弦值.

解：(1)證明：連結(jié)47、BD,交于點(diǎn)0,連結(jié)0E,

?矩形/腦所在平面與梯形4廢尸所在平面相交于AG.

AB=y,BC=M，AF=FE=EC=\.

：.0E=GE=AF=X,AC=BD==2,

△緲。是邊長為1的正三角形，

取。C中點(diǎn)G,連結(jié)〃G,EG,連結(jié)。G,EG,

:.EG'AC,DG2-AC,

■:DGCEG=G,：.AG1.平面DEG,

■:D氏平面DEG,：.AC1.DE.

(2)解：'：DE=\,，三棱錐￡-網(wǎng)和三棱錐￡-48。都是棱長為1的正四面體，

過B作BHLAO,交47于點(diǎn)〃，連結(jié)FH,

V?1

:?BF=EF=HG=3FH=BH=EG===,CG==,ZBCA=30°,

22

：.BG===^~.

2

...以〃為原點(diǎn)，HB為x場,HC為y場,過〃作平面/8曲的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

B嗎,0,0),E*,1,1),BE=(-率1,1),

平面/阪的法向量口=(0,0,1),

設(shè)史與面加孑所成角為e,

_2

則sin6=4BEinj_=_3=1

1BEI-1n|樽.2

二把與面/郎所成角的正弦值為

Z

A

X