2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第08講 導(dǎo)函數(shù)中的同構(gòu)法（解析版）

第08講導(dǎo)函數(shù)中的同構(gòu)法目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：題型篇 1題型一：同構(gòu)函數(shù)比較大小 1題型二：通過同構(gòu)函數(shù)證明不等式 5題型三：通過同構(gòu)函數(shù)解決零點(diǎn)問題 9題型四：通過同構(gòu)函數(shù)解決恒成立問題 15第一部分：題型篇題型一：同構(gòu)函數(shù)比較大小典型例題例題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，，故設(shè)，則，求導(dǎo)得，，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，故選：B.例題2．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，考慮構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選：B.例題3．（2023春·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，由可得；由可得.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，即，即，故，因?yàn)?，所以，，即，所以，，即，所以，，所以，，因此?故選：A.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·浙江·高二期中）已知，則的大小為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)?，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，，又因?yàn)?，所?故選：D.2．（2023·山西·統(tǒng)考二模）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，于是構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，又，故，故選：B3．（2023春·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由，得，由．得，由，得．設(shè)函數(shù)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)椋?，，所以a，b，c均大于，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以．故選：A.題型二：通過同構(gòu)函數(shù)證明不等式典型例題例題1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線過點(diǎn)，求的值；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，.證明：.【答案】(1)e(2)證明見解析【詳解】（1）解：由得，.∴曲線在處的切線的方程為.根據(jù)條件得，即.設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因，所以，即e是唯一零點(diǎn).所以.（2）由（1）知，.令，得，，，.∴有兩不同解，令，∴，∴，∴，，.構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∵，∴，∵，∴，所以.例題2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)證明：；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【詳解】（1）令，，由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在遞減，遞增，即，即；（2）由可得：由（1）知（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），，所以，即；（3）由（1）知，令，可得，所以因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.精練核心考點(diǎn)1．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)，在（1）的條件下，若滿足，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1），即切點(diǎn)為，該點(diǎn)處的斜率．則，故．（2）由（1）知．則等價(jià)于，故設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即．令，則，當(dāng)，則在上為增函數(shù)．因?yàn)?，所以，又，由于，即，則，即．2．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值：(2)若，，，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)椋?；①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，若，則，時(shí)，，不合題意；若，則，不合題意；②當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；若恒成立，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，；則當(dāng)時(shí)，符合題意；綜上所述：.（2）由得：，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由得：；，，當(dāng)時(shí)，由得：，；當(dāng)時(shí)，要證，只需證，，，則只需證，又，只需證；令，，則，在上單調(diào)遞減，，，即，即得證，；綜上所述：成立.題型三：通過同構(gòu)函數(shù)解決零點(diǎn)問題典型例題例題1．（2023春·河北衡水·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，令，則，可得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題2．（2023·北京朝陽(yáng)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)恒成立，求的取值范圍；(3)證明：若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則在R上遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，若，則，在上遞減；若，則，在上遞增；綜上，時(shí)的遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間；時(shí)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；當(dāng)時(shí)，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，所以在上遞減，在上遞增，要使對(duì)恒成立，所以，只需，令且，則，即遞減，所以，故在上不存在；綜上，（3）由（2）知：時(shí)，在恒有，故不可能有零點(diǎn)；時(shí)，在上遞減，在上遞增，且，所以上，無零點(diǎn)，即，且趨向于正無窮時(shí)趨向正無窮，所以，在上存在唯一，使，要證，只需在上恒成立即可，令，若，則，令，則，即在上遞增，故，所以，即在上遞增，故，所以在上恒成立，得證；故，得證.精練核心考點(diǎn)1．（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以在上是單調(diào)遞增的，且，，所以，使得，得在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增．所以．由于，故的最大值為（2）（方法一）解：因?yàn)?，記則，∵，∴，∴在上是單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減的，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增的．當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以要使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則需要，即．，設(shè)，則有，令，．因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，∵，∴，即，設(shè)，，所以單調(diào)遞減，所以，所以a的取值范圍．（方法二）因?yàn)榱?，則，所以為單調(diào)遞增，，因此有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，令，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，，，（也可利用，），當(dāng)，，可知，即．（方法三）由（1）知是增函數(shù)且有唯一零點(diǎn)t，所以是減函數(shù)且有唯一零點(diǎn)，所以，．所以a的取值范圍為．2．（2023春·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若，判斷在區(qū)間上是否存在極小值點(diǎn)，并說明理由；(2)已知，設(shè)函數(shù).若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不存在，理由見解析(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，則.令，則，由單調(diào)遞增，且，得在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，不存在極小值點(diǎn).（2）令，則.又，所以，令，即可轉(zhuǎn)化為有解.設(shè)，則由可得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以有唯一的零點(diǎn).若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則在有解,整理得,設(shè)，由，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，則，所以，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型四：通過同構(gòu)函數(shù)解決恒成立問題典型例題例題1．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)存在正實(shí)數(shù)，使得成立，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數(shù)恒成立．即，在上恒成立令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，即，即，故的取值范圍是；（2）因?yàn)闀r(shí)，存在正實(shí)數(shù)成立，即在上有解，即在上有解，令，，又，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，則，則在上有解令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以只需，即時(shí)滿足題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．例題2．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于，都有恒成立．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題意可得當(dāng)時(shí)，，；，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，；，；，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，；，；，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，都有恒成立．等價(jià)于構(gòu)造函數(shù)，，令，解得當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以先減后增，所以，即因此成立，故對(duì)于，都有恒成立．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以所以，所以切線方程為，即.（2）由題意得，即，因?yàn)?，所以設(shè)，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，又時(shí)，，所以存在，使，令，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增