2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第09講 工具篇（借助隱零點(diǎn)洛必達(dá)法則中值定理泰勒展開式二次導(dǎo)等工具解決導(dǎo)數(shù)問題）（原卷版）

第09講工具篇（借助隱零點(diǎn)，洛必達(dá)法則，中值定理，泰勒展開式，二次導(dǎo)等工具解決導(dǎo)數(shù)問題）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：題型篇 1題型一：借助隱零點(diǎn)解決導(dǎo)數(shù)問題 1題型二：借助洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題 10題型三：借助泰勒展開式解決導(dǎo)數(shù)問題 16題型四：通過二次求導(dǎo)解決導(dǎo)數(shù)問題 28第一部分：題型篇 題型一：借助隱零點(diǎn)解決導(dǎo)數(shù)問題典型例題例題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有且只有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.例題2．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.例題3．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)的最大值.精練核心考點(diǎn)1．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且，求證：且.2．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知、為函數(shù)（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）圖象上任意的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，證明：.題型二：借助洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題典型例題例題1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型.兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（）A．0 B． C．1 D．2例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求在點(diǎn)，處的切線方程；(2)若，證明：在，上恒成立；(3)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型，兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則______．2．（2023·山東濰坊·高三濰坊一中?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍．題型三：借助泰勒展開式解決導(dǎo)數(shù)問題典型例題例題1．（多選）（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）泰勒公式通俗的講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式由此可以判斷下列各式正確的是（

）．A．（是虛數(shù)單位） B．（是虛數(shù)單位）C． D．例題2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為____，精確到0.01的近似值為______．例題3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，.(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.現(xiàn)已知，利用上述知識，試求的值.例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大小．（3）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．精練核心考點(diǎn)1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家泰勒1712年提出了泰勒公式，這個(gè)公式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容之一.其正弦展開的形式如下：，（其中，），則的值約為（1弧度）（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若恰為的極小值點(diǎn).①證明：；②求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若，，又由泰勒級數(shù)知：，證明：題型四：通過二次求導(dǎo)解決導(dǎo)數(shù)問題典型例題例題1．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0，求的值．(2)當(dāng)時(shí)．設(shè)函數(shù)，求證：與在上均單調(diào)遞增；例題3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，求的值；(2)若在的切線中，存在著過原點(diǎn)的切線，求的取值范圍．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，為的導(dǎo)函數(shù)且.(1)求實(shí)數(shù)a的值，并判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)