線性代數(shù)期末考試考核試卷

線性代數(shù)期末考試考核試卷考生姓名：__________答題日期：__________得分：__________判卷人：__________

一、單項選擇題（本題共20小題，每小題1分，共20分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.矩陣的轉(zhuǎn)置是將原矩陣的行變?yōu)榱?，下列哪個選項描述正確？

A.若A為m×n矩陣，則A的轉(zhuǎn)置為n×m矩陣

B.若A為m×n矩陣，則A的轉(zhuǎn)置為m×n矩陣

C.對角矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣與原矩陣相同

D.所有矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣都與原矩陣相同

（答題括號：________）

2.若向量組線性無關(guān)，則該向量組中任意向量都可以由其余向量線性表示，以下哪個選項是正確的？

A.向量組中每個向量都可以由其他向量線性表示

B.向量組中至少有一個向量不能由其余向量線性表示

C.向量組中只有零向量可以由其余向量線性表示

D.線性無關(guān)的向量組必包含零向量

（答題括號：________）

3.設(shè)A為3×3矩陣，且|A|=0，則以下哪個結(jié)論一定成立？

A.A為非奇異矩陣

B.A的列向量線性相關(guān)

C.A的行向量線性無關(guān)

D.A的逆矩陣存在

（答題括號：________）

4.以下哪個向量組構(gòu)成一個基？

A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)

B.(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)

C.(1,2,3),(2,4,6),(1,1,1)

D.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)

（答題括號：________）

5.若矩陣A的秩為r，則A的所有r階子式不為零的極大階數(shù)是？

A.r-1

B.r

C.r+1

D.任意階數(shù)

（答題括號：________）

（以下題目類似，省略以節(jié)約空間）

6....

（答題括號：________）

7....

（答題括號：________）

...

20....

（答題括號：________）

二、多選題（本題共20小題，每小題1.5分，共30分，在每小題給出的四個選項中，至少有一項是符合題目要求的）

1.以下哪些條件可以保證一個線性方程組有唯一解？

A.方程組中方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)

B.方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩

C.方程組中的每個方程都是線性方程

D.方程組的系數(shù)矩陣是非奇異的

（答題括號：________）

2.關(guān)于向量空間，以下哪些說法是正確的？

A.向量空間中的任意兩個向量可以相加

B.向量空間中的任意向量與任意標量可以相乘

C.向量空間中的加法滿足交換律和結(jié)合律

D.向量空間中必須包含零向量

（答題括號：________）

3.若矩陣A和B都是可逆矩陣，以下哪些結(jié)論是正確的？

A.A和B的乘積AB也是可逆矩陣

B.A的逆矩陣與B的逆矩陣的乘積等于AB的逆矩陣

C.A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是可逆矩陣

D.A和B的逆矩陣的乘積等于B和A的逆矩陣的乘積

（答題括號：________）

4.以下哪些向量組是線性相關(guān)的？

A.(1,2),(2,4)

B.(1,0),(0,1),(1,1)

C.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)

D.(1,1),(1,-1)

（答題括號：________）

5.在求解線性方程組時，以下哪些情況下可以使用高斯消元法？

A.系數(shù)矩陣是方陣

B.系數(shù)矩陣是非奇異的

C.方程組中方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)

D.方程組可能有無窮多解

（答題括號：________）

（以下題目類似，省略以節(jié)約空間）

6....

（答題括號：________）

7....

（答題括號：________）

...

20....

（答題括號：________）

三、填空題（本題共10小題，每小題2分，共20分，請將正確答案填到題目空白處）

1.設(shè)矩陣A為\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，若向量\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\)在矩陣A的列空間內(nèi)，則滿足方程\(Ax=\begin{bmatrix}5\\7\end{bmatrix}\)，解得\(y=\_\_\_\_\_\_\_\_\)。

（答題括號：________）

2.若向量組\(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\)線性無關(guān)，則向量組\(\vec{u}+\vec{v},\vec{v}+\vec{w},\vec{w}+\vec{u}\)也一定線性\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

（答題括號：________）

3.矩陣的跡等于其\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的對角線元素之和。

（答題括號：________）

...

10.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，則向量\(\vec{a}\)的2倍是\(\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。

（答題括號：________）

四、判斷題（本題共10小題，每題1分，共10分，正確的請在答題括號中畫√，錯誤的畫×）

1.若矩陣A的行列式|A|不為零，則A的逆矩陣一定存在。（答題括號：________）

2.兩個向量垂直的充要條件是它們的點積為零。（答題括號：________）

3.任何矩陣的伴隨矩陣都是方陣。（答題括號：________）

...

10.若線性方程組有兩個解，則該方程組必定有無數(shù)個解。（答題括號：________）

五、主觀題（本題共4小題，每題10分，共40分）

1.已知向量組\(\vec{v}_1=(1,2,3)\)，\(\vec{v}_2=(2,0,1)\)，\(\vec{v}_3=(0,1,2)\)。證明向量組\(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\)線性無關(guān)，并找出一個向量\(\vec{v}\)使得\(\vec{v}\)可以由\(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\)線性表示。

2.設(shè)矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求矩陣\(A\)的行列式，逆矩陣，以及\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣。

3.給定線性方程組：

\[

\begin{cases}

x+2y-z=4\\

2x-y+3z=-6\\

-x+y+2z=7

\end{cases}

\]

求解該線性方程組的解。

4.設(shè)\(P\)是一個\(3\times3\)的可逆矩陣，且\(P^{-1}AP\)是一個對角矩陣，其中對角線上的元素為\(a,b,c\)。證明\(A\)的特征值為\(a,b,c\)。

標準答案

一、單項選擇題

1.A

2.B

3.B

4.D

5.B

...

20.（根據(jù)實際題目內(nèi)容填寫答案）

二、多選題

1.BCD

2.ABCD

3.ABC

4.AB

5.ABC

...

20.（根據(jù)實際題目內(nèi)容填寫答案）

三、填空題

1.1

2.線性無關(guān)

3.主

...

10.（根據(jù)實際題目內(nèi)容填寫答案）

四、判斷題

1.√

2.√

3.√

...

10.×

五、主觀題（參考）

1.向量組線性無關(guān)，可以通過計算行列式不為零來證明。一個可以由給定向量組線性表示的向量可以是它們的線性組合，例如\(a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3\)，其中\(zhòng)(a,b,c\)是適當?shù)南禂?shù)。

2.行列式為\(1\times4-2\times3=-2\)，逆矩陣為\(\begin{bmatrix}-2&1\