高中數(shù)學(xué)同步指導(dǎo)試卷蘇教版（2019）必修第二冊(cè)立體幾何初步

必修第二冊(cè)立體幾何初步

一、單選題

1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的體積為（）

俯視圖

A.8B.16C.24D.32

2.四氯化碳是一種有機(jī)化合物，分子式為CC1-是一種無色透明液體，易揮發(fā)，曾

作為滅火劑使用.四氯化碳分子的結(jié)構(gòu)為正四面體結(jié)構(gòu)，四個(gè)氯原子（C1）位于正四

面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，碳原子（C）位于正四面體的中心.則四氯化碳分子的碳氯鍵（C-

C1）之間的夾角正弦值為（）.

3.在棱長為6的正方體內(nèi)有一個(gè)正四面體，該四面體外接球的球心與正方體的中心重

合，且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該四面體的棱長的最大值為（).

A.26B.4C.36D.2瓜

4.在正方體ABCO-A4GR中，AB=2E為棱BB、的中點(diǎn)，則平面AEQ截正方體

ABCO-AAGR的截面面積為（）

5.如圖，正三棱錐A-BC3中，BC=42AD,該三棱錐外接球的表面積為12兀，則

正三棱錐A-5C￡＞的體積為（）

A.2B.-C.立D.立

323

6.設(shè)，小〃，/是三條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題，其中

正確的是（）

A.若alj?,lua,mup,則/B.若a〃4,lua,mup,則/〃機(jī)；

C.若/J_a,1〃B，則D.若/ua,/_!_〃?，/±n,m//p,n//p9

則a邛.

7.某兒何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：c/n3）是

()

俯視圖

8.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐的體積為

（）

A.67rB.66兀C.9色兀D.12萬

二、多選題

9.（多選）已知A,B,C表示不同的點(diǎn)，/表示直線，。，夕表示不同的平面，則下

列推理正確的是（）

A.Ael,Asa,Bel,8ea=/uaB.Awa,Aw/,Bea,

Bw0=anB=AB

C.Iga,Ae/=>D.Awa,Ac/,/(fa=>/ca=A

10.若m,〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的有

()

A.若a〃尸，"?ua,則加〃尸B.若a_1_/?,機(jī)J_a,則m〃/

C.若m〃*mLa,則〃J_aD.若他JL〃，m//a,貝!]〃//a

11.如圖，在正方體ABC。-A[8]GR中,43=2,￡,尸,6,“分別為48,。。1，401,人。

的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.A.H1EF

B.〃平面￡>￡尸

c.G尸與A8所成的角的余弦值為它

6

D.點(diǎn)片到平面EFG的距離為6

12.某藝術(shù)比賽提倡能力均衡發(fā)展，特別將水晶獎(jiǎng)杯設(shè)計(jì)成具有對(duì)稱美的形狀.其形

如圖所示，是將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)，作平行于底面的截面得到所有

棱長均為。的空間幾何體，則下列說法正確的是（）

B.該幾何體的外接球表面積為日7/

12

C.該幾何體的表面積為D.該幾何體中，二面角A—8C-。的余

弦值為:

第II卷(非選擇題)

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三、填空題

13.已知三棱錐4一58的所有棱長均為2,點(diǎn)E,F分別為CD3C中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線

A尸上，點(diǎn)N在平面上，則CW+MN的最小值為.

14.已知A、B、C、。為空間不共面的四個(gè)點(diǎn)，且3c=80=248=20，則當(dāng)三棱

錐A-BCD體積最大時(shí)，其外接球的表面積為.

15.三棱錐P-A8C中，△P4C與AABC均為邊長為26的等邊三角形，平面E4CL

平面ABC,則該三棱錐的外接球的表面積為.

16.如圖，在正四棱錐P-43CO中，為棱尸8的中點(diǎn)，A為棱PO的中點(diǎn)，則棱錐

P—A6CD與棱錐A-8C。的體積之比為

四、解答題

17.用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：

(1)邊長為3cm的正三角形；

(2)邊長為4cm的正方形；

(3)邊長為2cm的正八邊形.

18.如圖甲，在RMA5C中，ZB=90°,BC=1,AB=2,D、E分別是AB、AC邊上的

UUUUL1U1

動(dòng)點(diǎn)(除去端點(diǎn))，滿足而=2而，4￡=/14(7.現(xiàn)將4ADE沿。E折起，使點(diǎn)A到

達(dá)點(diǎn)4的位置，連接A》，AC得到如圖乙所示的四棱錐4-QBCE.

圖甲

⑴設(shè)/為平面ADE與平面A'8C的交線，求證：，/平面DBCE；

（2）若則當(dāng)4為何值時(shí)，四棱錐4㈤8CE的體積最大？

19.某型號(hào)氧氣瓶形狀如圖所示，可看作是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)組合而成（設(shè)氧氣

瓶中氧氣已充滿，圖中所給尺寸是氧氣瓶的內(nèi)徑尺寸）.某潛水員身背該型號(hào)氧氣瓶潛

入水深am的湖底進(jìn)行某項(xiàng)工作，其勻速下潛和上浮的速度均為vm/min.該潛水員下

潛時(shí)每分鐘耗氧量與其下潛速度的平方成正比，經(jīng)測驗(yàn)，當(dāng)其下潛速度為1m/min

時(shí)，每分鐘耗氧0.2L；在湖底工作時(shí)，每分鐘耗氧0.4L；上浮時(shí)，每分鐘耗氧0.2

L.若下潛與上浮時(shí)，他的速度均不能超過pm/min,試問：該潛水員在湖底最多能工

作多長時(shí)間（萬取3.14,氧氣瓶體積計(jì)算精確到1L,“，°為常數(shù)）？

20.如圖，四邊形A8C￡>為正方形，PD_L平面A2C￡>,PD=DC,點(diǎn)、E、尸分別為

AD.PC的中點(diǎn).

p

⑴證明：DF〃平面PBE；

(2)求三棱錐P-B。尸的體積與四棱錐尸-ABC。的體積之比.

21.如圖，在長方體A88-AMG2的各面所在的平面中，分別寫出與直線AB,

平面SACJ■平面ABC,SA—AB-AC=2,

(1)求證：SB1AC；

(2)求直線SA與BC所成角的余弦值.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

首先還原幾何體，再利用錐體的體積公式，即可求解.

【詳解】

由題意可知幾何體的形狀如圖：

AC=2,CD=4,BC=6,AC，CD,88E是矩形，ACVBC,所以幾何體的體積為

-x4x6x2=16.

3

故選：B.

2.D

【解析】

【分析】

將四面體放入正方體中進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合正方體和正四面體的幾何特點(diǎn)，借助余弦定理即可

容易求得結(jié)果.

【詳解】

如圖所示，正方體的棱長為d正四面體4-38的棱長為0a，

答案第1頁，共19頁

A

又該正方體的體對(duì)角線長度為島，故OA=OB=^a,

2

根據(jù)題意可知，所求夾角為

2223a2+3a22a2

.,一在、皿一/曰OA+OB-AB44'~'1

在AOAB中，由余弦定理可得：cosZAOB=—…八?！?----------安------=--.

2°AX°B2X3〃3

4

故sinNAOB=述，即四氯化碳分子的碳氯鍵（C-C1）之間的夾角正弦值為辿.

33

故選：D.

3.D

【解析】

【分析】

結(jié)合正方體的內(nèi)切球及其內(nèi)切球的正四面體的結(jié)構(gòu)特征，利用勾股定理求得所求的最大棱

長.

【詳解】

由題意得，該正四面體在正方體的內(nèi)切球內(nèi)，故該四面體內(nèi)接于球時(shí)棱長最大.

正方體的內(nèi)切球半徑為，-=3,如圖，記正四面體為P-ABC,棱長為m。為底面ABC的

中心，

四面體外接球的球心為。，連接PO,OC,O'C,則PO_L底面ABC,

故選：D

答案第2頁，共19頁

4.D

【解析】

【分析】

先作出平面AE。截正方體A8CO-A與GR的截面，再求出截面的高，由梯形面積公式得

出截面面積.

【詳解】

取8。的中點(diǎn)為M,連接EM,則且則EM〃AR.又正

方體中，AB=2,所以MR=AE=-22+產(chǎn)=石,BCt=ADt=2A/2,因此

EM=；BQ=72,所以平面AER截正方體A8CO-ABGA所得的截面為等腰梯形

EMRA,因此該等腰梯形的高為/?=/科2_（半0_J=8?=乎，所以該截面

1g

的面積為S=5（4"+EM）?=].

5.B

【解析】

答案第3頁，共19頁

【分析】

根據(jù)三棱錐的幾何特點(diǎn)，結(jié)合正方體外接球的球半徑公式，求得三棱錐A-8a）的棱長，

再根據(jù)棱錐體積的計(jì)算公式，代值計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)槿忮FA-BCD為正三棱錐，所以BC=CD=BD,AB=AD=AC.

又因?yàn)锽C=VL4D，所以三條側(cè)棱48，AD,AC兩兩垂直，不妨設(shè)43=A￡>=AC=a,

則三棱錐外接球即為棱長為a的正方體的外接球，且球的直徑為Ga.

又三棱錐外接球的表面積為12兀，即外接球的直徑為26,即。=2,

114

所以正三棱錐A-5CO的體積丫=,*5*2*2*2=§.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考察三棱錐的外接球半徑的求解，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為求

正方體外接球的半徑，屬中檔題.

6.C

【解析】

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)A,B,D,舉出符合選項(xiàng)條件的事例判斷；對(duì)于C,推理說明判斷作答.

【詳解】

對(duì)于A,在長方體A8CO-A8C。中，令平面ABC。為平面a,平面48瓦A為平面?，

如圖,

直線AB為直線/,直線4/為直線〃，?滿足a，A/ua,muA,而/與膽不垂直，A不正

確;

對(duì)于B,在A選項(xiàng)的長方體ABS-AMGR中，令平面A8C。為平面a,平面4/心馬為

平面。,

答案第4頁，共19頁

直線AB為直線/,直線AR為直線，力滿足a//⑸/ua,〃?up,而/，機(jī)，B不正確;

對(duì)于C,過/作平面/C夕=/',如圖，因///夕，則/〃/,又/_La,而/'u￡,于是得

I'La,所以a_L#,C正確；

71,\

I

對(duì)于D,在A選項(xiàng)的長方體ABCQ-AMGR中，令平面ABCD為平面a,平面ABCQ為

平面夕，

直線AB為直線/,直線A￡),3c分別視為〃?，n,滿足/ua,/_Lm,/_!_〃,《?///,”〃/,而

a!Ip,D不正確.

故選：C

7.B

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖，還原幾何體，再根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式求組合體的體積即可.

【詳解】

根據(jù)三視圖還原幾何體如下：

直棱柱ABC-OEF底面是NCA8為直角的等腰直角三角形，且AC=AB=2,高AD=2；

答案第5頁，共19頁

棱錐G—￡)￡力和棱柱ABC—戶同底，且高DG=2,

故該組合體的體積V=gx；x2x2x2+gx2x2x2號(hào).

故選：B.

8.C

【解析】

【分析】

設(shè)圓錐的高為〃，母線長為/,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出/=2r,再利用勾股定理求出

h,最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得；

【詳解】

解：設(shè)圓錐的高為〃，母線長為/,則圓錐的側(cè)面積S=；x2》r/=2乃，，故

I=2r=6,h=\ll2-r2=3^，故圓錐的體積V=g乃=9心■.

故選：C.

9.ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)公理1可知A正確；

根據(jù)公理3可知B正確；

易知D正確；

點(diǎn)A可以為/,a的交點(diǎn)，C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

10.AC

【解析】

【分析】

根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可求得答案.

【詳解】

對(duì)于A,由面面平行性質(zhì)：兩平面平行，在一平面內(nèi)的任意直線與另一平面平行.而

a//(3,mua,故m〃尸，A正確；

答案第6頁，共19頁

對(duì)于B,aLpjnka,此時(shí)"?有可能在平面廠內(nèi)，故不能得到也〃?，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由于“〃明則"可經(jīng)平移到與m重合的位置而平移不改變直線與平面是否直，

m\.a,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)m〃e,m<za,過機(jī)上一點(diǎn)作直線〃_Ltz,此時(shí)機(jī)_L〃，不能得到〃//a,D錯(cuò)

誤.

綜上，AC正確.

故選：AC.

11.AD

【解析】

【分析】

根據(jù)線線垂直、線面平行、線線角、點(diǎn)面距等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.

【詳解】

A選項(xiàng):取BC中點(diǎn)為M,則易得：BFLB、M,故B尸，A”與48,A”，BF[}AB=B,

可得AaJL平面AB戶，又EFu平面A8尸，故A正確；

B選項(xiàng)：若4優(yōu)〃平面DEF,則。G〃平面￡>EF或￡>G在平面￡>EF內(nèi)，顯然不成立，B錯(cuò)

誤；

C選項(xiàng)：取。。中點(diǎn)為。，則A2〃AB,/GA2即為所求角，tan/GFQ=正，故

cosNGFQ=與,D錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：三棱錐4-EFG中，EF=FG=GE=R,B\E=B\F=B\G=5

n_XV6_rr

等邊三角形EFG的外接圓半徑為K==

所以4到平面EFG的距離為J（以）2-（拒了=73.D正確.

故選：AD

答案第7頁，共19頁

12.AB

【解析】

【分析】

補(bǔ)全幾何體為棱長為3〃的正三棱錐，應(yīng)用棱錐體積、表面積的求法求幾何體的體積、表面

積，再由幾何法求幾何體外接球的半徑，進(jìn)而求外接球面積，根據(jù)四面體的性質(zhì)判斷二面

角A-8C-力與棱錐側(cè)面夾角的關(guān)系，通過求棱錐側(cè)面夾角余弦值求二面角的余弦值.

【詳解】

補(bǔ)全幾何體為棱長為3a的正三棱錐，如下圖示，

?'?幾何體體積（總母.坐胃"/,

V=4vMMBC=、g9a②ag/.W=

故A正確；

若。,O"分別是面ABC、底面PCW的中心，由題設(shè)易知：0,0"=瓜1-&=巫。,若

33

答案第8頁，共19頁

幾何體外接球半徑「，則J/_oY+M—OR?=QG,即卜一專+產(chǎn)工=當(dāng)°,

解得產(chǎn)=?/,則幾何體的外接球表面積4%產(chǎn)%故B正確.

82

i

幾何體的表面積S=4(SBCGHFD+SABC)=+4a^=1al,故C錯(cuò)誤；

由正四面體的性質(zhì)及圖知：二面角A-8C-￡>為正四面體相鄰兩個(gè)面夾角的補(bǔ)角，而正四

面體相鄰兩個(gè)面夾角的余弦值為g,則二面角A-8C-D的余弦值為故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

13.畫+1

62

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出圖像，可得點(diǎn)R到平面ABE的距離/7就是CM+MN的最小值，由題意計(jì)算

OF,AF,從而得NEAR,sinNO4F,cosNOAF,可得sin/OAR,利]用/?=A/?sinN04/?計(jì)算

出CM+MN的最小值.

【詳解】

如圖所示，山題意可得C￡>_L平面4?E,取8E中點(diǎn)。，把平面AFC圍繞直線A尸旋轉(zhuǎn)到與

平面A廠。重合，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)R,因?yàn)椤Ｊ?,所以直線OFJ■平面4科，所以點(diǎn)R到平

面ABE的距離〃就是CM+MV的最小值，且九=ARsinNOAR,AR=AC=2,又點(diǎn)E,尸分

別為8,3C中點(diǎn)，三棱錐A-88的所有棱長均為2,所以

OF=-CE=-,AF=y]AB2-BF2=>/3,可得

22

1—

NE4R=NFAC=30°,sinNOAF="=3=且'cosZOAF=--,所以

AF666

所以〃=ARsinNOAR=^^+L

sinZOAR=sin(/E4R+/OAF)=

12462

故答案為：苴1+L

62

答案第9頁，共19頁

A

14.18兀

【解析】

【分析】

由題可得當(dāng)朋、BC、8。兩兩垂直時(shí)，三棱錐的體積最大，將三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)長寬高分

別為2近，2應(yīng)，近的長方體，即得.

【詳解】

當(dāng)8A、BC、8。兩兩垂直時(shí)，如圖三棱錐A-8CD的底面△88的面積和高同時(shí)取得最大

值，則三棱錐的體積最大，

此時(shí)將三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)長寬高分別為2近，2夜，血的長方體，

長方體的外接球即為三棱錐的外接球，

球的半徑r=gJ(2&『+(0『+(2&y=呼，表面積為4口2=187t.

故答案為：18幾

15.207r

【解析】

答案第10頁，共19頁

【分析】

計(jì)算出外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.

【詳解】

等邊三角形PAC、等邊三角形ABC的高為sin巴x=@乂26=3,

32

2

等邊三角形PAC,等邊三角形A3C的外接圓半徑為3'耳=2,

設(shè)。分別是等邊三角形PAC、等邊三角形ABC的中心，

設(shè)。是三棱錐尸-48C的外接球的球心，R是外接球的半徑，

則店=OT=22+『=5,

所以外接球的表面積為4兀斤=20兀.

故答案為：207t

16.4:1

【解析】

【分析】

根據(jù)圖形可求出％-ABC，VQ-ACD,?匕-，遇4與棱錐P-ABC。的體積之比，即可求出結(jié)

果.

【詳解】

如圖所示：

答案第11頁，共19頁

p

棱錐A-BCR可看成正四棱錐尸-鉆8減去四個(gè)小棱錐的體積得到，

設(shè)正四棱錐P-ABCZ)的體積為V,名為PB的中點(diǎn)，R為尸。的中點(diǎn)，

所以力-樹=7匕%「A。=~A^,而匕-%A~T^C-PBD=T^P-BCD=77'

4444y

同理匕-m=如，

O

故棱錐A-BCR的體積的為1；

44884

即棱錐尸-MCD與棱錐A-BCR的體積之比為4:1

故答案為：4:1.

17.(1)作圖見解析

(2)作圖見解析

(3)作圖見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對(duì)應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確

定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，連線可得直觀圖；

(2)根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對(duì)應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確

定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，連線可得直觀圖；

(3)根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出對(duì)應(yīng)斜二測坐標(biāo)系，確

定多邊形各頂點(diǎn)在直觀圖中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，連線可得直觀圖.

(1)

解：如圖①所示，以8c邊所在的直線為x軸，以BC邊的高線A。所在直線為y軸，建立

平面直角坐標(biāo)系，

答案第12頁，共19頁

畫對(duì)應(yīng)的X,軸、y'軸，使Nx'O'y'=45。,

在V軸上截取OB'=(yC=OB=OC=\.5cm,在y'軸上截取0W=1。4,

連接HB，、AC'、BC,則VAFG即為等邊AABC的直觀圖，如圖③所示.

⑵

解：如圖④所示，以48、4。邊所在的直線分別為x軸、y軸建立如下圖所示的平面直角

坐標(biāo)系，

畫對(duì)應(yīng)的x'軸、y'軸，使Nx'A'y'=45,

在V軸上截取AB=AB=4cm,在y'軸上截取A'D'=^AD=2cm,

作。C7/x'軸，且￡>'C'=4cm,連接

則平行四邊形A'B'C'D'即為正方形ABCD的直觀圖，如圖⑥所示.

(3)

解：如圖⑦所示，畫正八邊形0ABeDEFG,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,?！晁谥本€分別

為x軸、丁軸建立平面直角坐標(biāo)系xQy,

設(shè)點(diǎn)8、G在x軸上的射影點(diǎn)分別為M、N,

答案第13頁，共19頁

畫對(duì)應(yīng)的X,軸、y'軸，使Nx，oy=45,

在V軸上截取O'A'=O4=2cm,A!M'=AM,ON'=ON,

在y'軸上截取C）E=^OE,作E'D'Z/x'軸且￡￡）'=2cm,

作"57/y軸，且=作N'G7/y軸，且NG'.NG,

作8'C7/y'軸，且8c=1cm,作GF少軸,且GF=1cm,

連接O'A、A'B\BC\CD\￡>'￡、EF'、F'G、CO,

則八邊形aA'B'CO'EF'G'為正八邊形。4BCDEFG的直觀圖，如圖⑨所示.

18.（1）證明見解析

⑵人且

3

【解析】

【分析】

（1）先證明線線平行，再證明線面平行即可；

（2）根據(jù)四棱錐體積公式求出四棱錐A-O8CE的體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值.

⑴

由題意可知\^AD=2.AB,AE=ZAC,

|AB|\AC\

則Z）E〃BC,且由|=2九|屁|=2,

而。E（Z平面A'BC,比u平面A'BC

；.DE〃平面#BC,

?.?平面A'BCCI平面=〃/,

而平面敗F,龍u平面Z）BCE=>/〃平面￡>BCE：

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(2)

由(1)知QE〃8C,ZB=90°,

故。E_LAD,

由此可知AD_L￡>E,

又A'D±BD,BDcDE=￡>,r.A'。_L平面DBCE

,

匕甌￡=-5WH；OfiC￡XAD=-X"+')(2-2'[x24

A-UDCE3n>ft^DDCE32

2?

=—4(1+A)(l—A)=—(4—)

V'=|(1-322)=|(14-y/3A)(l-y/3A),

QO<2<1

/在(0,立)上為正，在(蟲,1)上為負(fù)，

33

??.V在(0,乎)上為增函數(shù)，在(3,1)上為減函數(shù)

所以當(dāng)2=@時(shí)四棱錐4-圓券體積最大..

3

19.當(dāng)pNl時(shí)，潛水員在湖底最多能工作42.5-n分鐘：當(dāng)p<l時(shí)，潛水員在湖底最多能工

公1「…Ln02。1

作——17-0.2即+----分鐘.

0.4(P)

【解析】

【分析】

先求出氧氣瓶中氧氣的體積丫=17L.設(shè)潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q,則

02

。=心.計(jì)算出D.2,得到來回途中需氧量為ax0.2v+axj,ve(O,p］和在湖底的工作時(shí)

間為看17-(0.2〃丫+呼)］由此能夠求出潛水員在湖底最多工作時(shí)間.

【詳解】

氧氣瓶中氧氣的體積

23

V=^ltt+V^|jEf=^xl0x50+^-x10x1(4+20+100)?5413^-?16997CW?17L.

設(shè)潛入水下。米過程中的每分鐘需氧量為Q,則Q=抄2小＞0).

因當(dāng)速度為1，〃/加”時(shí)，每分鐘需氧量0.2L,所以40.2,故來回途中需氧量為

答案第15頁，共19頁

—4.(。,川，則在湖底的工作時(shí)間為人。2小

02

因?yàn)?.2QU+QX——20.4。,當(dāng)且僅當(dāng)u=l時(shí)取等號(hào).

v

所以①當(dāng)以時(shí)，和7-"v+呼)

的最大值是42.5-a.

②當(dāng)pvl時(shí)，u?0,p],

因?yàn)椋?,

「0.2〃、巖⑺-叭皿廳。，

17-0.2卯+----

[P)2vp

即當(dāng)。=口時(shí)，在湖底的工作時(shí)間的最大值為L17-0.2ap+-分鐘.

0.4]IpJJ

因此，當(dāng)?多時(shí)，潛水員在湖底最多能工作42.5七分鐘：當(dāng)內(nèi)1時(shí)，潛水員在湖底最多能

工作上17-1。.2在+管J分鐘.

20.(1)證明過程見解析；

嗎

【解析】

【分析】

(1)作出輔助線，證明出平行四邊形，得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；(2)由中點(diǎn)關(guān)

系及正方形得到體積之比為J.

4

(1)

取PB中點(diǎn)H,連接FH,EH,因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AO、PC的中點(diǎn).

所以Ff/〃CB,FH=^BC,因?yàn)樗倪呅?BCC為正方形，所以8c〃A。，且BC=4。，所

以DE〃FH,DE=FH,所以四邊形。EH尸為平行四邊形，所以DF〃HE,因?yàn)镺F(Z平面

PBE,HEu平面PBE,故OF〃平面PBE

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p

(2)

因?yàn)槭荘C的中點(diǎn)，所以Vp_M>F=JVp_BDc，因?yàn)樗倪呅蜛