2019學(xué)年遼寧省某中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山某中學(xué)、東北某中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

2018-2019學(xué)年遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍

山一中、東北育才學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題；本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用2B鉛筆將正確選項(xiàng)的代號(hào)涂黑.

1.（5分）已知集合/={1,/},尸={-1,-a},若MP有三個(gè)元素，則MP=（

）

A.{0,1}B.{-I,0}C.{0}D.{-1}

2.（5分）若復(fù)數(shù)z=Q,且z『>0,則實(shí)數(shù)。的值等于（）

1—/

A.1B.-1C.-D.--

22

3.（5分）己知條件甲：a>0,條件乙：a>bS.->~,則甲是乙的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）已知數(shù)列{”"}滿足3%=93"”，（〃wN*）且的+4+紜=9,則值I4氣y）G

3

）

A.--B.3C.-3D.-

33

5.（5分）已知非零向量b滿足|。+人|=|。一〃|=2,|=1,則a+b與〃一人的夾角為（

）

A.-B.-C.—D.—

6336

6.（5分）函數(shù)/（幻=5后（/幻，中的圖象可能是下列哪一個(gè)？（）

A.B.

7.（5分）在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)尸（x,y）的坐標(biāo)滿足方程/一2》+丁=0,點(diǎn)的坐標(biāo)

滿足方程4+62+8-%+24=0則匕的取值范圍是(

)

x-a

A.[-2,2]B.弋巨]C.[-3,-J

33

33

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序，若所得結(jié)果為70,則判斷框中應(yīng)填入（）

C.L.6D.

9.（5分）已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinx,那么下列命題中假命題是（）

A.f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

B.f（x）在［-%，0］上恰有一個(gè)零點(diǎn)

C./（X）是周期函數(shù)

D.7（x）在（乙，至）上是增函數(shù)

26

10.（5分）如圖，矩形ABCD中，AB^2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將AADE沿直線QE翻

轉(zhuǎn)成△AOEG4,0平面A8C0,若用、O分別為線段A,。、。E的中點(diǎn)，則在A4DE翻

轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.與平面AQE垂直的直線必與直線比0垂直

B.異面直線與AE所成角是定值

C.一定存在某個(gè)位置，使

D.三棱錐A-ADE外接球半徑與棱4)的長(zhǎng)之比為定值

11.(5分)已知點(diǎn)A是拋物線V=4〉的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P

在拋物線上且滿足|尸川=川「尸|,若機(jī)取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A,尸為焦點(diǎn)的橢圓

上，則橢圓的離心率為()

A.6-1B.V2-1C.D.

22

⑵(5分)若函數(shù)/(x)滿足/(x)=x(-(x)-/nx),且/(1)=』，則夕/)＜廣(1)+1的解集

eee

是()

A.(-co,-1)B.(—l,4-oo)C.(0,—)D.(—,+8)

ee

二、填空題：共4小題，每題5分，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上

13.(5分)設(shè)ae{l,3,5,7},北{2,4,6},則函數(shù)f(x)=k)g“x是增函數(shù)的概率為.

b

14.(5分)已知正實(shí)數(shù)a,〃滿足"―6+/=0,則2+4)的最小值是.

a

15.(5分)某考古隊(duì)發(fā)現(xiàn)一處石器時(shí)代的史前遺跡，其中有一樣工具，其模型的三視圖如

圖所示，則根據(jù)此三視圖計(jì)算出的幾何體的體積為c0.

16.(5分)定義：對(duì)于實(shí)數(shù)機(jī)和兩定點(diǎn)M,N,在某圖形上恰有〃(〃eN*)個(gè)不同的點(diǎn)邛，

使得￡N=m(i=l,2,...,〃)，稱該圖形滿足“w度契合”.若邊長(zhǎng)為4的正方形A8CD

中，BC=2BM,￡W=324,且該正方形滿足“4度契合”，則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是.

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿分58分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟

17.(10分)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,〃，c,已知cosA=-嚕,6=夜,c=石.

(1)求a；

(2)求cos(B-A)的值.

18.(12分)如圖，在平行四邊形A3C￡＞中，AB=\,AD=2,ZABC=-,四邊形ACM

3

為矩形，平面ACE尸，平面A88,AF=1,點(diǎn)M在線段所上運(yùn)動(dòng)，且=

(1)當(dāng)/=■!■時(shí)，求異面直線D3與所成角的大?。?/p>

2

(2)設(shè)平面M8c與平面ECD所成二面角的大小為工)，求cos?的取值范圍.

2

19.(12分)進(jìn)入二十一世紀(jì)以來(lái)，科技發(fā)展日新月異，工業(yè)生產(chǎn)更加依賴科技的發(fā)展，沈

陽(yáng)某企業(yè)積極進(jìn)行升級(jí)，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)

備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若

該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造

前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.

表1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]

頻數(shù)4369628324

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量

指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)：

設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

（2）根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

附：

P(K—k。)0.1500.1000.0500.0250.010

k<>2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c){b+d)

設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖

20.（12分）已知拋物線C的方程J=2px（p>0）,焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)尸在C上，且點(diǎn)P到

點(diǎn)尸的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1.

(1)試求出拋物線C的方程；

(2)若拋物線C上存在兩動(dòng)點(diǎn)V,N(M,N在對(duì)稱軸兩側(cè))，滿足為坐標(biāo)原

點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)尸作直線交C于A,5兩點(diǎn)，若ABUMN,線段上是否存在定點(diǎn)E,使

得四旦變］=4恒成立？若存在，請(qǐng)求出K的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

\AB\

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=J,g(x)=or+L+l(其中a>0).

XX

(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>g(x)恒成立，求a的取值范圍；

(3)設(shè)移)攔麻),尸'(X)為F(幻的導(dǎo)函數(shù)，若尸")只有兩個(gè)零點(diǎn)%,%(其中F〈9)，

求土的值.

X2

［選做題］

22.已知曲線C的參數(shù)方程為卜為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系工仍,的原點(diǎn)。為

［y=sma

極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕cos(e+()=0.

(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程及曲線G上的動(dòng)點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)o的距離IOPI的最大值；

(2)若曲線G與曲線相交于A,5兩點(diǎn)，且與x軸相交于點(diǎn)E,求IE4I+IEBI的值.

［選做題1

23.f(x)=\2x-\\-\tx+3\9tGR.

(1)當(dāng)r=2時(shí)，求出/(x)的最大值.

(2)若/(X)的最大值為2,試求出此時(shí)的正實(shí)數(shù)r的值.

2018-2019學(xué)年遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、大連八中、大連二十四

中、鞍山一中、東北育才學(xué)校高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題；本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用2B鉛筆將正確選項(xiàng)的代號(hào)涂黑.

1.(5分)已知集合何={1,a1},P={-\,-a],若MP有三個(gè)元素，則MP=(

)

A.{0,1}B.{-1,0}C.{0}D.{-1}

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算

【專題】11：計(jì)算題；37：集合思想；40：定義法；5J：集合

【分析】由MP有三個(gè)元素，得。=0,由此求出集合M={1,0),P={-1,0},由此

能求出MP.

【解答】解：集合歷={1,a2},P={—1,-a),MP有三個(gè)元素，

a2=—a,解得"=0或a=—1（舍），

,0),P=[-1,0),

:.MP={()}.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用.

2.(5分)若復(fù)數(shù)z=言，且zj3>0,則實(shí)數(shù)。的值等于()

A.1B.-1C.-D.--

22

【考點(diǎn)】45：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【專題】4R：轉(zhuǎn)化法；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；38：對(duì)應(yīng)思想

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由虛部為0且實(shí)部大于0求解.

【解答】解：z=￡l￡=^+0(l+D=￡Zl+￡+l/>Hz/3>0)

\-i(l-z)(l+z)22

。―1a+1ci+1ci—\.八

1.(-------1-------1)(y~i)=---------------z>0,

2222

—〃—十l>0八

則2，即a=1.

—=0

I2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

3.（5分）已知條件甲：a>0,條件乙：a>人且!>1,則甲是乙的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】29：充分條件、必要條件、充要條件

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；5L：簡(jiǎn)易邏輯；4R：轉(zhuǎn)化法

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出條件乙的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行

判斷即可.

【解答】解：由得1—」=—>0,

ababab

a>b,..b-a<0,

則ab<0,即a,h異號(hào)，

則a>0,b<0,

則甲是乙的必要不充分條件，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)求出乙的等價(jià)條件是

解決本題的關(guān)鍵.

4.（5分）已知數(shù)列｛《,｝滿足3%=93°",（neN*）且4+4+4=9，則圾G4氣M（=

3

）

A.--B.3C.-3D.-

33

【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式

【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；49：綜合法；35：轉(zhuǎn)化思想；11：計(jì)算題

【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的公差，然后轉(zhuǎn)化求解log1（弓+%+4）,即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意數(shù)列｛6｝滿足3%“=93%,數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4M=4+2,數(shù)列｛4｝為等

差數(shù)列，且其公差為：d=2,

生+4+4=9，則34+9d=9,解得q=—3.

4+%+%=-9+36=27；

log1（4+%+q|）=log|27=-3.

33

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力.

5.（5分）已知非零向量b滿足|。+人|=|。一〃|=2,|=1,則a+b與〃一6的夾角為（

）

A.-B.-C.—D.—

6336

【考點(diǎn)】9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

【專題】21：閱讀型；48：分析法；11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5A：平面向量及應(yīng)用

【分析】運(yùn)用向量的夾角公式和模長(zhǎng)的計(jì)算可解決此問(wèn)題.

【解答】解：設(shè)a+6與的夾角為。，6>e[0,萬(wàn)],貝ij（a+》）（〃-｝）=/-〃

由題知a-Lb

ab=0f口=G

:.（a+b）（a-b）=\-3=-2

八一21

cos"------=——

2x22

：.0=-7T

3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的夾角公式和模長(zhǎng)的運(yùn)算.

6.(5分)函數(shù)/(x)=sin(xx)e"的圖象可能是下列哪一個(gè)？（）

A.B.AW

c.D.

【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換

【專題】40：定義法；38：對(duì)應(yīng)思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，利用函數(shù)值的符號(hào)的對(duì)應(yīng)性和大小進(jìn)行排除即可.

【解答】解：函數(shù)/(-X)=sin(-萬(wàn)x)e"=-sin(^x)e-'21=-/(x),

則，(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C,

由/(x)=0得sin(;rx)=0，則;=則X=A，則x軸右側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)為1,

則/(；)=sin5e*=e-4>0,排除￡).

|f(|)|=|sin(|;r)e號(hào)|=3</",

a1

則1〃5)1</(5)，排除3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)結(jié)合排除

法是解決本題的關(guān)鍵.

7.(5分)在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足方程V-2x+丁=0,點(diǎn)QQ,。)的坐標(biāo)

滿足方程/+〃+6“-助+24=0則上心的取值范圍是()

x-a

A.[-2,2]B.C.[—3,-1]

產(chǎn)誓

33

【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系

【專題】44：數(shù)形結(jié)合法；31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5B：直線與圓

【分析】利用配方法，求出P,。的軌跡，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式得到2a的幾何意義為PQ的

x-a

斜率，利用數(shù)形結(jié)合得到斜率的最大值和最小值對(duì)應(yīng)兩圓的內(nèi)公切線，結(jié)合直線和圓相

切的等價(jià)條件求出斜率即可.

【解答】解：由f-2x+)，2=0得(x-l)2+y2=1,即P的軌跡是以8(1,0)為圓心半徑為1

的圓,

由/+從+6a-汕+24=0得(a+3)2+3-4)2=1,

即Q的軌跡是以A(-3,4)為圓心半徑為1的圓，

T的幾何意義為PQ的斜率，

x-a

由圖象知，PQ斜率的最值為兩圓的內(nèi)公切線，

A,3的中點(diǎn)C(-l,2),

設(shè)PQ的斜率為k,則過(guò)C的內(nèi)公切線方程為y-2=A(x+1),

即fcv-y+%+2=0,

圓心B的直線的距離d=與空以=1,

平方得4?+84+4=1+爐,

即3爐+8%+3=0,

/日,-8±J64-36-8+277-4+77

T>J'K=------------=--------=-------?

663

即斜率的最大值為土自，最小值為上自，

33

即T的取值范圍是[士立，±0],

x-a33

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓相交的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用兩點(diǎn)斜率的幾何意義，轉(zhuǎn)化為

求出兩圓內(nèi)公切線斜率問(wèn)題是解決本題的關(guān)犍.綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

8.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序，若所得結(jié)果為70,則判斷框中應(yīng)填入()

I開始）

A.i..4B.i..5C./..6D.5

【考點(diǎn)】EF：程序框圖

【專題】4B：試驗(yàn)法；27：圖表型；5K；算法和程序框圖；11：計(jì)算題

【分析】由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量5的值,

模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

s=0,i=0,〃=3

執(zhí)行循環(huán)體，5=1,〃=4,Z=1

不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，5=5,"=5,i=2

不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，5=15,〃=6,i=3

不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，s=35,n=7,i=4

不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，s=70,n=8,i=5

由題意，此時(shí)滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出s的值為70.

可得判斷框內(nèi)的條件為J5?

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正

確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

9.（5分）已知函數(shù)〃xXcos’x+sinx,那么下列命題中假命題是（)

A./(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

B./(x)在［-/，0］上恰有一個(gè)零點(diǎn)

C./(x)是周期函數(shù)

D.廣⑴在(工，包)上是增函數(shù)

26

【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用

【專題】11：計(jì)算題

【分析】由/(x)=cos2x+sinx,知/(-x)=oos2x-sinx,故/(九)既不是奇函數(shù)也不是偶函

數(shù)；由/(x)=cos2x+sinx=l—sir)2x+sinx=0,得sinx=*2，故.f(x)在［一］，0］_t

13

恰有2個(gè)零點(diǎn)；由f(x)=cos2JC4-sinx=1-sin2x+sinJC=-(sinx——)2+—,故/(x)是周期

24

函數(shù)，且/(x)在(乙，色)上是增函數(shù).

26

【解答】解：/(x)=cos2x+sinx,

/.f(-x)=cos2x-sinx,

故/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，即A是真命題；

由/(x)=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0,

得sinx=—―,

2

.?./(x)在［-萬(wàn)，0］上恰有2個(gè)零點(diǎn)，即3是假命題；

］3

/(x)=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-(sinx--)2+j,

??./(x)是周期函數(shù)，即C是真命題；

］3

f(x)=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-(sinx--)2+j,

.?./(；0在(乙,但)上是增函數(shù)，即。是真命題.

26

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

10.(5分)如圖，矩形A8CE)中，AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將AAOE沿直線DE翻

轉(zhuǎn)成△4OE(Ae平面A3C0,若〃、O分別為線段AC、0E的中點(diǎn)，則在翻

轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

*A

A.與平面垂直的直線必與直線垂直

B.異面直線與4后所成角是定值

C.一定存在某個(gè)位置，使小，用O

D.三棱錐A-ADE外接球半徑與棱AD的長(zhǎng)之比為定值

【考點(diǎn)】MJ：二面角的平面角及求法

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；5G：空間角

【分析】對(duì)于A,延長(zhǎng)CB,DE交于H,連接A"，運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定

理，可得BM//平面AOE,即可判斷A；

對(duì)于B,運(yùn)用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，即可判

斷5；

對(duì)于C，連接40,運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可得AC與DE垂直，即可判斷

C；

對(duì)于。，由直角三角形的性質(zhì)，可得三棱錐A-A￡>E外接球球心為O,即可判斷力.

【解答】解：對(duì)于A,延長(zhǎng)C8,DE交于H,連接A”，由E為A3的中點(diǎn)，

可得8為C”的中點(diǎn)，又M為RC的中點(diǎn)，可得平面AQE,

4”<=平面4?！?,則8M//平面ROE,故與平面AOE垂直的直線必與直線垂直，

則A正確；

對(duì)于3,設(shè)AB=2A￡>=勿，過(guò)E作EG//BM,Ge平面4OC,

則NAEG=NE4,H，

在△EAH中，EA=a，EH=DE=y/2a,=/+2a2-2a壺a(-號(hào)=6,則

NEA”為定值，即4,EG為定值，則3正確;

對(duì)于C,連接A。，可得DE_LA。，若DE工MO,即有。E_L平面A/0，

即有OE^AC，由A。在平面AB。中的射影為AC，

可得AC與AE垂直，但AC與￡>￡不垂直.

則不存在某個(gè)位置，使則C不正確；

對(duì)于。，連接Q4,由直角三角形斜邊的中線長(zhǎng)為斜邊的一半，可得

三棱錐A-ADE外接球球心為O,半徑為［a,

即有三棱錐A-AOE外接球半徑與棱4）的長(zhǎng)之比為定值.則。正確.

故選：C.

C

H

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，

考查空間想象能力和推理能力，是中檔題.

11.（5分）已知點(diǎn)A是拋物線f=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P

在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|,若w取最大值時(shí)，點(diǎn)產(chǎn)恰好在以4,F為焦點(diǎn)的橢圓

上，則橢圓的離心率為（）

A.V3-1B.0-1C.且二1D.也二

22

【考點(diǎn)】K1：圓錐曲線的綜合

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】過(guò)尸作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則由拋物線的定義，結(jié)合|PA|=m|PF|,設(shè)P4的

傾斜角為a,則當(dāng)機(jī)取得最大值時(shí)，sine最小，此時(shí)直線以與拋物線相切，求出P的

坐標(biāo)，即可求得|PA|的值，再由橢圓的定義可得2a,求得2c,由離心率的公式計(jì)算可

得所求值.

【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4），，

則拋物線的焦點(diǎn)為尸（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-l,

過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,

則由拋物線的定義可得|PN1=1Pf|,

\PA\=m\PF\,:]PA\=m\PN\,

設(shè)PA的傾斜角為a，貝Isina=)?，

m

當(dāng)機(jī)取得最大值時(shí)，sina最小，此時(shí)直線處與拋物線相切,

設(shè)直線24的方程為y=fcv-l,代入Y=4y,

可得9=4(&-1),

即x2-4kx+4=0,

..△=16d-16=0,;*=±1,

P(2,l),A(0,-l),

.?.|PA|=>/4+4=2X/2.

點(diǎn)尸恰好在以A,尸為焦點(diǎn)的橢圓上，可得：

2a=\PA\+\PF\=2-j2+2,2c=\AF\=2,

即有e=——=—i—=A/2—1.

2a2V2+2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解答此題的

關(guān)鍵是明確當(dāng)，”取得最大值時(shí)，sina最小，此時(shí)直線R4與拋物線相切，屬中檔題.

12.(5分)若函數(shù)f(x)滿足/(x)=Mf(x)-/nx),且/(1)=!，則(^(")＜廣(1)+1的解集

eee

是()

A.(-oo,—l)B.1,4-co)C.(0,—)D.(—,+8)

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想：4R：轉(zhuǎn)化法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【分析】將函數(shù)整理得(23)，=也，兩邊積分，求得函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，求得函數(shù)的單

XX

調(diào)性及r(3，則不等式轉(zhuǎn)化成《')」=”])=/,—),利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得不

eee

等式的解集.

【解答】解:f(x)=x(fr(x)-Inx),整理得于(x)-/(x)=x/nx,即(上電y=也，

XX

兩邊積分J=JInxd{lnx)=gIn2C,

整理得：/(x)=~/n2x+Cx,

/(-)=-,代入求得c=J,

ee2

/.f(x)=—In1x+—Xr

22

11/

f\x)=—In"9x+Inx+—,令I(lǐng)nx=t,teR,

;J")=；/+r+；=g?+-0，

.,"(X)單調(diào)遞增，

由f(x)=x(f\x)-Inx),/(-)=-,

ee

rd)=o，

e

由牙(e*)<rd)+l,整理得：==

eee

由函數(shù)單調(diào)性遞增，即e*<eT,

由^=,]單調(diào)遞增，則x<T,

??.不等式的解集

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求函數(shù)的解析式，不等式的解法，考查求函數(shù)的不定積分的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)

換思想，屬于難題.

二、填空題：共4小題，每題5分，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上

13.(5分)設(shè)ae{l,3,5,7},be[2,4,6),則函數(shù)=log“x是增函數(shù)的概率為

2

2~

【考點(diǎn)】C6：等可能事件和等可能事件的概率

【專題】11：計(jì)算題

【分析】列出g所有的結(jié)果，選出@>1的所有的結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式求出函數(shù)

bh

/(x)=logax是增函數(shù)的概率

b

【解答】脩*所有取值有:甘，1，斐壽先找，看共12個(gè)值,

當(dāng)@>1時(shí)，f(x)為增函數(shù)

h

七357577

百一一一一一一共有6個(gè)

222446

函數(shù)f(x)=/og“x是增函數(shù)的概率為9=1

h122

故答案為1

2

【點(diǎn)評(píng)】求某個(gè)事件的概率，應(yīng)該先判斷出實(shí)驗(yàn)所屬的概型，然后選擇合適的公式求出概率.

14.(5分)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足岫-6+/=0,則1+46的最小值是9.

【考點(diǎn)】7尸：基本不等式及其應(yīng)用

【專題】4/?：轉(zhuǎn)化法；57：不等式；38：對(duì)應(yīng)思想；11：計(jì)算題

【分析】由題意可得。=心>0,即6>1,則！+4。=±+4%=5+」一+43-1),根據(jù)

bab-\b-\

基本不等式即可求出.

【解答】解：正實(shí)數(shù)b滿足昉一〃+/=。,

/.a=----->0,即b>1

b

1+4〃=±+4。=生土壯+4〃=1+」-+4(6-1)+4

ab—\b—\b—\

=5+」一+43-1)..5+2、/」一4(力—1)=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2,"時(shí)取等號(hào)，

h—\丫/?-123

故」+46的最小值是9,

a

故答案為：9

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，考查轉(zhuǎn)化與代入思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)某考古隊(duì)發(fā)現(xiàn)一處石器時(shí)代的史前遺跡，其中有一樣工具，其模型的三視圖如

圖所示，則根據(jù)此三視圖計(jì)算出的幾何體的體積為32cm5.

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LI：由三視圖求面積、體積

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；11：計(jì)算題；49：綜合法；31：數(shù)形結(jié)合；5尸：空間位置關(guān)系與

距離

【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：

多面體看做是一個(gè)棱柱與兩個(gè)三棱錐的組合體，求解即可.

所求幾何體的體積為：2xk、3x8x2+1x2x8x2=32.

322

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面

面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

16.（5分）定義：對(duì)于實(shí)數(shù)機(jī)和兩定點(diǎn)M,N,在某圖形上恰有個(gè)不同的點(diǎn)與，

使得PiN=m(i=i,2,...,n),稱該圖形滿足“〃度契合”.若邊長(zhǎng)為4的正方形A8CD

中，BC=2BM,OV=3N4,且該正方形滿足“4度契合”，則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是

m=-^或2<%<6.

4——

【考點(diǎn)】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【專題】12：應(yīng)用題：21：閱讀型；36：整體思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5A：平面向量及應(yīng)

用

【分析】利用數(shù)量積的定義和M,N兩點(diǎn)的位置可得點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)軌跡是以(2,1)為圓心,

半徑r=+m的圓，只需該圓與正方形有4個(gè)交點(diǎn)即可.

即可求得機(jī)的取值范圍.

【解答】解，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可得N(O,1),M(4,2),

Q17

22

設(shè)片(x,y),由PjN=m(i=T,2,,?TW(x-2)+(y--)=—+m9

為圓心，半徑r=+的圓，只需該圓與正方形有4個(gè)交點(diǎn)

即可.

如圖：當(dāng)r=2,即m=-2時(shí)(圖中從內(nèi)往外第一個(gè)圓)，有4個(gè)交點(diǎn)；

4

當(dāng)動(dòng)圓在圖中第二個(gè)與第三個(gè)之間(從內(nèi)往外第一個(gè)圓)時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí):

-<r<J(0-2)2+(4--)2=—,：.2<m<6.

2V22

???答案為："2=-,或2Vme6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)文字的處理能力和數(shù)量積的定義.動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，屬于中檔題.

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿分58分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟

17.（10分）在44比1中，角A，B,C的對(duì)邊分別為a,〃，c,已知8$4=-噂,6=夜,。=石.

（1）求a；

（2）求cos（B-A）的值.

【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；56：三角函數(shù)的求值；58：解三角形

【分析】（1）直接利用余弦定理求出結(jié)果.

（2）利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系變換求出結(jié)果.

【解答】解：（1）AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

已知cosA=-^^,6=夜,。=石，

則：=/?24-c2-2abeosC=2+5-2威本（-噂）=9,

故：a=3.

（2）由于COSA=-M^,

10

則：sinA="71-cos2A=.

10

利用正弦定理：—,

sinAsinB

解得：sinB=—,

.R

所以：cosB=V1-s9in2B=—二.

則：cos（B-A）=cos8cosA+sinBsinA=*.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.

18.（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1,AD=2,ZABC=-,四邊形ACE尸

3

為矩形，平面ACE/F平面ABC。，AF=1,點(diǎn)M在線段所上運(yùn)動(dòng)，且所.

（1）當(dāng)；l=L時(shí)，求異面直線D8與8W所成角的大?。?/p>

2

（2）設(shè)平面MBC與平面E8所成二面角的大小為。（0<%乙），求cos。的取值范圍.

2

￡

【考點(diǎn)】LM-.異面直線及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法

【分析】(1)由余弦定理求出AC=K，由正弦定理求出AB,AC,由四邊形ACEF為菱

形，得E4_LAC,從而E4J_平面ABC。，以A為原點(diǎn)，4?為x軸，AC為y軸，AF為

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線OB與3M所成角的大小.

(2)求出平面ECO的一個(gè)法向量和平面的法向量，利用向量法能求出cos，的取值范

圍.

【解答】解：(1)在AABC中，43=1,BC=AD=2,ZABC=~,

3

則AC=^l2+22-2xlx2xcosy=6,

AB2+AC2=BC2,:.ABYAC,

四邊形AC所為菱形，.?.用_LAC,

平面ACEF_L平面45CD,平面4。所。1平面鉆8=47,

FAu平面ACEF,；.￡4_L平面ABCD,

以A為原點(diǎn)，/山為x軸，AC為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),3(1,0,0),C(0,6，0),E(0,6，1),F(0,0,1),

當(dāng)；l=L時(shí)，EM=-EF,M[0,—,1),

222

C

葉,1),￡>E=(1,0,1),

2

BMDE=0,BMLBE,

：.異面直線與8M所成角的大小為90。.

(2)平面ECO的一個(gè)法向量%=(0,1,0),

設(shè)M(x0,%,z(1),

由EM=2(0,-拒,0)=(0,-拒尢,0)=(Xo，%-G,Zo-l),

得M(0,6(1-2),1),

BM=(-1,而1-團(tuán)，1),BC=(-1,6，0),

設(shè)平面MBC的法向量”=(x,y,z),

則卜5C=r+g=O，取

得加=(\6,l,6/l),

[n8W=T+6(1-;l)y+z=0

。（吟'\mn\

\m\\n\V4+3A2

(Wi,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的取值范圍的求法，考查空

間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思

想，是中檔題.

19.（12分）進(jìn)入二十一世紀(jì)以來(lái)，科技發(fā)展日新月異，工業(yè)生產(chǎn)更加依賴科技的發(fā)展，沈

陽(yáng)某企業(yè)積極進(jìn)行升級(jí)，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)

備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若

該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造

前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.

表1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)140,45]

頻數(shù)4369628324

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量

指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān):

設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

(2)根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

附：

0.1500.1000.0500.0250.010

焉2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-be)2

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖

【考點(diǎn)】BL：獨(dú)立性檢驗(yàn)

【專題】12：應(yīng)用題；38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5/：概率與統(tǒng)計(jì)

【分析】(1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意計(jì)算設(shè)備改造前與改造后產(chǎn)品為合格品的概率，比較即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)題意填寫2x2列聯(lián)表如下；

設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)

合格品172192364

不合格品28836

合計(jì)200200400

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算犬=40°”(172義8-28x192/s]2210>6635,

200x200x364x36

所以有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖和頻率分布表知，設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率為這=電，

20050

設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率為%=%，

20025

顯然設(shè)備改造后產(chǎn)品合格率更高；因此設(shè)備改造后性能