高中數(shù)學(xué)解題方法技巧

目錄

前言.............................................2

第一章中學(xué)數(shù)學(xué)解題基本方法....................3

一、配方法................................3

二、換元法................................7

三、待定系數(shù)法...........................14

四、定義法................................19

五、數(shù)學(xué)歸納法...........................23

六、參數(shù)法...............................28

七、反證法...............................32

八、消去法..............................

九、分析和綜合法........................

十、特殊和一般法........................

十一、類比和歸納法....................

十二、視察和試驗法....................

第二章中學(xué)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想.................35

一、數(shù)形結(jié)合思想.........................35

二、分類探討思想.........................41

三、函數(shù)和方程思想.......................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想.....................54

第三章高考熱點(diǎn)問題和解題策略.................59

一、應(yīng)用問題.............................59

二、探究性問題...........................65

三、選擇題解答策略.......................71

四、填空題解答策略.......................77

附錄..........................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析....................

二、兩套高考模擬試卷....................

三、參考答案............................

前B

美國聞名數(shù)學(xué)教化家波利亞說過，駕馭數(shù)學(xué)就意味著要擅長解題。而當(dāng)我們解題時遇到一

個新問題，總想用熟識的題型去“套”，這只是滿意于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理

解透徹及融會貫穿時，才能提出新看法、巧解法。高考試題非常重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查,

特殊是突出考查實(shí)力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成實(shí)力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：視察和分析、概括和抽象、分析和綜合、特殊和一般、類比、歸納和演

繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想、轉(zhuǎn)化(化歸)思想等。

數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)學(xué)問是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可

以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能遺忘。而數(shù)學(xué)思想

方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)悟和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的相識、處理

和解決，駕馭數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)學(xué)問遺忘了，數(shù)學(xué)

思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化和可操作

性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它和數(shù)學(xué)基本方法常常在

學(xué)習(xí)、駕馭數(shù)學(xué)學(xué)問的同時獲得。

可以說，“學(xué)問”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心就是

提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的相識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)就是“實(shí)力”。

為了幫助學(xué)生駕馭解題的金鑰匙，駕馭解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)

基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析和綜

合法、特殊和一般法、類比和歸納法、視察和試驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)和

方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想、轉(zhuǎn)化(化歸)思想。最終談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和

高考中的幾個熱點(diǎn)問題，并在附錄部分供應(yīng)了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再

現(xiàn)性題組是一組簡潔的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行具體的解答和分析，對方

法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的選

取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)學(xué)問。

第一章中學(xué)數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知

和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，須要我們適當(dāng)預(yù)料，并且合理運(yùn)用“裂項”和“添

項”、“配”和“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知

中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的探討和求解，或者缺項的二次曲線的

平移變換等問題。

配方法運(yùn)用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a?+2+b2,將這個公式敏

捷運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2—2=(a—b)2+2；

a2++b2=(a+b)之一=(a—b)?+3=(a+g)2+(等b)2；

a2+b2+c2+++=-[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(++)=(a+b—c)2—2()="??

結(jié)合其它數(shù)學(xué)學(xué)問和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+2a=1+2aa=(a+a)2；

x2H--y—(x+—)2-2=(x——)2+2;...等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a“｝中，at52a353725,則a3+a5=（.

2.方程x?+y2—4—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.1<k<lB.k〈+或k>lC.keRD.k=5或k=l

3.已知4a+4a=i,則a+a的值為。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=5（-2x?+5x+3）的單調(diào)遞增區(qū)間是。

A.（一8,B.諄8）c.（一九曰D.3）

5.已知方程②（2）1=0的兩根X1、x2,則點(diǎn)Pt?）在圓-4上，則實(shí)數(shù)a=。

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性施?”+產(chǎn)a廣，將己知等式左邊后配方（a3+a$）2易

求。答案是：50

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式（x—a）?+（y—b）2=r2,解/〉0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成（2a+2a）2—22a2a=l,求出aa,然后求出所求式的平方

值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3—VTT。

II、示范性題組：

例L己知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線

長為。

A.2V5B.V14C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為，則，而欲求對角線長怖F7,

將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為，由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為

24”而得：。

長方體所求對角線長為：yjx2+y2+z2—7（x+y+z）2-2（xy+yz+xz）=V62-11=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，視察和分析三

個數(shù)學(xué)式，簡潔發(fā)覺運(yùn)用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這

也是我們運(yùn)用配方法的一種解題模式。

例2.設(shè)方程x2++2=0的兩實(shí)根為p、q,若（K）2+（4）2W7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

qp

【解】方程X?++2=0的兩實(shí)根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,=2,

（與2+（g）2===KP+4）二2Pm2_2p2q2=忘7,解得kW—或訪。

qp（pq）~

又：p、q為方程x?++2=0的兩實(shí)根，，△=k2—820即k22播或—

綜合起來，k的取值范圍是：一Ji6WkW—20或者2&WkWa6。

【注】關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方程有兩根時,

可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p+q、后，視察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)

想到先通分后配方，表示成p+q和的組合式。假如本題不對“△”探討，結(jié)果將出錯，即使

有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“△”的探討，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤

為留意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿意a2++?0,求（”項+（）小。

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為(1)2+G)+l=0,則￡=3(3為1的立方虛根)；

bbb

或配方為(a+b)2=o則代入所求式即得。

【解】由a2++20變形得：(T)2+(T)+1=0'

bb

設(shè)3=g,則32+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：—33=石3=1。

bcoa

又由屋++20變形得：(a+b)2=,

所以()1998+()1998=(土)999+(2)999=(3)999+(^)999=川硼+萬999=2。

abahba

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算表

達(dá)式中的高次嘉。一系列的變換過程，有較大的敏捷性，要求我們擅長聯(lián)想和綻開。

【另解】由a2++b?=0變形得：(?)2+(?)+1=0,解出2=后，化成三角形式，代

入所求表達(dá)式的變形式《)翊+(2)則后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到3時進(jìn)

ba

行解題。

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由屋++^=0解出：a=b,干脆代入所

求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最終的計算。

m、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)2+(x—b)2(a、b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.C.D.最小值不存在

2.a、B是方程X，-2+a+6=0的兩實(shí)根，則(a-1)?+(BT)?的最小值是。

A.一普B.8C.18D.不存在

3.已知x、y￡R+,且滿意x+3y—1=0,貝U函數(shù)t=2*+8>有。

A.最大值2近B.最大值立C.最小值2四B.最小值立

22

4.橢圓x2—2+3y?+a2—6=0的一個焦點(diǎn)在直線x+y+4=0上，則a=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2VT荷森+J2+2COS8的結(jié)果是。

A.24B.24-44C.-24D.44-24

6.設(shè)巳和F2為雙曲線式一y2=l的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿意Ns=90°,則△峰

4

的面積是。

7.若X〉一1,則f(x)=x?+2x+_L的最小值為。

X+1

8.已知生(3<a<2JI,(a-B)=li,(a+B)=-3,求2a的值。(92年高考題)

24135

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=?++C,給定m、n(m<n)，且滿意A?[()?+22]+2Am()-]+B?+

C2=0o

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個實(shí)數(shù)t,使當(dāng)tG()時，f(x)<0?若不存在，說出理由；若存在，指出t

的取值范圍。

4422

10.設(shè)s>l,t>l,mGR,x=s+,,y=5+,+m(s+,),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個實(shí)根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這

叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換探討

對象，將問題移至新對象的學(xué)問背景中去探討，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、困難問題簡潔化,

變得簡潔處理。

換元法又稱協(xié)助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，

隱含的條件顯露出來，或者把條件和結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭熳R的形式，把困難的計算和推

證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在探討方

程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或

者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變

形才能發(fā)覺。例如解不等式：4，+2，-2與0,先變形為設(shè)2'=t(t〉0),而變?yōu)槭熳R的一元

二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中和三角學(xué)

問中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)+的值域時，易發(fā)覺xG[O,1],設(shè)x=2a,

ae[0,1],問題變成了熟識的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)當(dāng)是發(fā)覺

值域的聯(lián)系，又有去根號的須要。如變量x、y適合條件x?+y2=r2(r>0)時，則可作三角

代換x=。、y=。化為三角問題。

均值換元，如遇到乂+丫=$形式時，設(shè)X='+t,y=；—t等等。

我們運(yùn)用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要留意新變量范圍

的選取，確定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的

jr

t〉0和a￡[0,—]o

I、再現(xiàn)性施組：

1=?+的最大值是。

2.設(shè)f(x2+l)=〃(4—X，)(a>l),則f(x)的值域是。

3.已知數(shù)列｛a,J中，3)=—1,an+l?a?=a?+I—a?,則數(shù)列通項a〃=。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿意x?+2—1=0,則x+y的取值范圍是。

5.方程=3的解是。

6.不等式2(2，-1)?2(2向—2)〈2的解集是。

【簡解】1小題：設(shè)=-[—五L，&],則y=]/+t一51對稱軸t=—1,當(dāng)t=&一,yg

=:+&；

2

2小題：設(shè)X?+I=t(t2l),則f(t)="[-(l)2+4],所以值域為(-8/]；

3小題：已知變形為」一一‘■=一1,設(shè)b,=’,則b|=-1“=-1+(n—1)(T)=-n,

a“+i%%

所以a“=一工；

n

4小題：設(shè)x+y=k,則x2—2+1=0,△udk?—420,所以k21或kW—1；

5小題：設(shè)3*=y,則3y?+2y—1=0,解得y=；,所以x=-1；

6小題：設(shè)2(2'—l)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以

n、示范性題組：

例1.實(shí)數(shù)X、y滿意4x2—5+4y2=5(①式),設(shè)s=x?+y2,求J----bf—的值。

°max°min

(93年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到2a+2a=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入①式求5四和S,面的

值。

【解】設(shè)代入①式得：4S—5s?aa=5

解得S=；

V-1^2a3W8—52aW13A—

133

.11_313_16_8

一。+=一歷+歷一歷一1

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由2a=的有界性而求，即解不等式：W1。這種

方法是求函數(shù)值域時常常用到的“有界法”。

【另解】由S=x?+y2,設(shè)x2=g+t,y2=g—t,

則=±代入①式得：4S±5=5,

移項平方整理得100239S2-160S+100=0。

???39S2-1605+100^0解得：《〈SW5

.1,13113168

SmaxS*1010105

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x2+y2和三角公式

2a+2a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)覺用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。其次種

解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x?+y2而依據(jù)均值換元的思路，設(shè)x2=*+t、

2

y2=2-t,削減了元的個數(shù)，問題且簡潔求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、

2

不等式性質(zhì)法、分別參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)x=a

+b,y=a—b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y=a-

b,代入①式整理得3a2+13b2=5,求得a2@[0,1],所以S=(a—b)2+(a+b)?=2(a?+

10,20,_1010,京卡1.1g,士

b2)=—+—a2e[r—,再求「十「的值。

13J?max3min

例2.△的三個內(nèi)角A、B、C滿意：A+C=2B,+=一，求的值。(96年全國理)

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得；由“A+C

=120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè)，再代入可求a即。

【解】由△中已知A+C=2B,可得，

由A+C=120°,設(shè)，代入已知等式得：

+=+=+===—2后，

解得：苧，即：

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°□所以+=—

=-2V2,設(shè)=--Jl=一V2-m,

所以=,=,兩式分別相加、相減得：

+=2==,

-=-2=—V3=,

行

即：=一,--,代入？+2=1整理得：3m‘一16m—12=0,解出m?=6,代入==下。

【注】本題兩種解法由“A+C=120。"、"+=—2孤”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合

三角形角的關(guān)系和三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由己知想到均值換元外，還要求對三角公式的運(yùn)用相

當(dāng)嫻熟。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算干脆解出：由A+C=2B,得A+C=120°,

B=60°。所以+=—=一2&，即+=—2后，和積互化得：

2=—行[()+(),即=半一&()=芋一加(22—1),整理得：4V22+2-3V2=0,

解得：=節(jié)

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(+)-----2a?的最大值和最小值。

【解】設(shè)+=3則te[-V2,V2],由(+)2=1+2?得：?二

y

，2"+；(a>0),te，-[-V2,V2]

V2

t=-近時，取最小值：-2a2-2aa—；

當(dāng)2a時，t=近,取最大值：-2a2+2/a—；；

當(dāng)0<2aWa時，t=2a,取最大值：；。

flV2

_1-(Oo<a<—)

???f(x)的最小值為一2a2—2&a-最大值為『2。

22廠1后

—2<?_+2v2a——(n>—

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)+=t后，抓住+和?的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問

題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得簡潔求解。換元過程中確定要留意新的參數(shù)的

范圍(tF[-72,V2])和+對應(yīng)，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類探討

的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種狀況進(jìn)行探討。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有和的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的

題型時，即函數(shù)為f(土，)，常常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一

次函數(shù)的探討。

例4.設(shè)對所于有實(shí)數(shù)x,不等式、+2x2急+2〉。恒成立，求a的取值范圍。（87年

全國理）

【分析】不等式中2、2念、2三項有何聯(lián)系？進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)覺，再實(shí)

施換元法。

【解】設(shè)貝！12=2=3+2=3—,-^7=3—t,2=2,^^=-2t,

?+12222aza+1z-2a

代入后原不等式簡化為（3-t）x2+2-2t>0,它對一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：

\，解得...t<0gp2—<0

[A=4r2+8r（3-0<02a+\

0<—<1,解得0<a<l。

a+1

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)

元，關(guān)鍵是發(fā)覺已知不等式中，、2烏、2三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，

運(yùn)用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運(yùn)算非常嫻熟。一般地，解指數(shù)和對數(shù)的不等式、

方程，有可能運(yùn)用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)覺它們的

聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思索解法時要留意的一點(diǎn)。

例5.已知=,且+=（②式），求土的值。

【解】設(shè)==k則。=,0=，且20+2。=k2（22）=l,代入②式得：+==%

即：

xy3

X2.1初,且o-F1.X.yf百

設(shè)一r=t,則mt+-=1120,解得：t=3或彳..一=±6或±?

y-t33y3

【另解】由±==0,將等式②兩邊同時除以，再表示成含。的式子：1+,。=

y

（l+tg2O）x---—=—20,設(shè)20=t,貝！13t2—10t+3=0,

災(zāi)"再）3

，t=3或;，解得土=±6或土半。

3y3

【注】第一種解法由=而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，削減了變量的個數(shù)。其次種解法將已

知變形為土=，不難發(fā)覺進(jìn)行結(jié)果為0,再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較嫻熟。

y

在解高次方程時，都運(yùn)用了換元法使方程次數(shù)降低。

例6.實(shí)數(shù)x、y滿意+=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范圍。

【分析】由已知條件+=1,可以發(fā)覺它和a?+b2=l有相像之處，于是實(shí)施三角換元。

【解】由+=1,設(shè)三」=0,亨=0，

34

即：代入不等式x+y—k>0得：

36+49-k>0,即k<3。+4。=5（。+?。?/p>

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式恒

成立的問題，再運(yùn)用“分別參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地,

在遇到和圓、橢圓、雙曲線的方程相像的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題

時，常常運(yùn)用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式++c>0

(a>0)所表示的區(qū)域為直線++c=0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式

恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上x+y-

k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y—k=O在和橢圓下部相切的切線之

下時。當(dāng)直線和橢圓相切時，方程組

'叱一)+：()'+=所有相等的一組實(shí)數(shù)解，

消元后由△=()

尤+y一4=0

可求得k=-3,所以k<-3時原不等式恒成立。

-k>0

m、鞏固性題組：k平面

1.已知f(x3)=(x〉0),則f(4)的值為。區(qū)域

A.22B.12C.22D.24

333

2.函數(shù)y=(x+l)4+2的單調(diào)增區(qū)間是。

A.[-28)B.[-1°°)D.(-88)C.(-81]

3.設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差d=g,且S[oo=145,1^21+23+25+..+2緲的值為。

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x?+4y2=4x,則x+y的范圍是。

5.已知a20,b20,a+b=l,則+的范圍是。

6.不等式&>+之的解集是(4),則a=,b=

2o

7.函數(shù)y=2x+G的值域是。

8.在等比數(shù)列｛a“｝中，a1+a?+…+a”>=2,a”+an+…+230=12,求231+232+…+a6(>。

9.實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值：對隨意實(shí)數(shù)x,不等式2+2+4m—l<0恒成立。

10.已知矩形,頂點(diǎn)C(4,4),A點(diǎn)在曲線X2+y2=2

(x>0〉0)上移動，且、始終平行x軸、y軸，求矩形的最

小面積。

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后依據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的

方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(X)三g(X)的充要條件是:

對于一個隨意的a值，都有f(a)=g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。運(yùn)用待定系數(shù)法，就是把具有

某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要推斷一個問題

是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，假如具

有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解

析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。

運(yùn)用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

其次步，依據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：

①

利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②

③由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

④利用定義本身的屬性列方程；

利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其

中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最終解所得的

方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線

的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)f(x)=1"+m,f(x)的反函數(shù)fT(x)=-5,那么m、n的值依次為。

A.—,—2B.——,2C.—,2D.——,—2

2222

2.二次不等式？++2>0的解集是(一：，；)，則a+b的值是。

A.10B.-10C.14D.-14

3.在(1—x3)(1+x)］。的綻開式中，X，的系數(shù)是。

A.-297B.-252C.297D.207

31

4.函數(shù)y=a—3x(b<0)的最大值為最小值為一5，則y=-43的最小正周期是。

5.和直線L：2x+3y+5=0平行且過點(diǎn)A(14)的直線L'的方程是。

6.和雙曲線x2—J=1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是。

【簡解】1小題：由f(x)=5+m求出f-Yx)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2小題：由不等式解集(一；，；)，可知一g、：是方程？++2=0的兩根，代入兩根，列出

關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得a+b,選D；

3小題：分析X，的系數(shù)由C：。和(-1)￡兩項組成，相加后得爐的系數(shù)，選D；

4小題：由己知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案等；

5小題：設(shè)直線L'方程2x+3y+c=0,點(diǎn)A(14)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0；

222

6小題：設(shè)雙曲線方程*2—3=入，點(diǎn)(2,2)代入求得入=3,即得方程3一氣■二屋

II、示范性題組：

例1.已知函數(shù)丫=的最大值為7,最小值為一1,求此函數(shù)式。

【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，事實(shí)上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就

是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”。

【解】函數(shù)式變形為：(y—m)x2—4V3x+(y—n)=0,xGR,由已知得y—mWO

△=(-4g)?—4(y—m)(y—n)20即：y?—(m+n)y+(—12)WO①

不等式①的解集為(-1,7),則一1、7是方程y?—(m+n)y+(-12)=0的兩根，

14-(m+n)+mn-12=0

代入兩根得:

49-7(/n+77)+mn-12=0

，y=或者y=

此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y+l)(y—7)W0,即y2-6y-7^0,然后和不等式①比較系數(shù)

而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。

【注】在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n須要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問

題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種

方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等

式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念

理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)

于x的一元二次方程，可知其有解，利用△》(),建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就

是值域，運(yùn)用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。

例2.設(shè)橢圓中心在(21),它的一個焦點(diǎn)和短軸兩端連線相互垂直，且此焦點(diǎn)和長軸較近的

端點(diǎn)距離是加一石，求橢圓的方程。

【分析】求橢圓方程，依據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。

設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定口理建立一個方程，

再將焦點(diǎn)和長軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為a—c的值后列出其次個方

程。

【解】設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c,則，|

解得:

/.所求橢圓方程是：器+?=1

也可有垂直關(guān)系推證出等腰△'F'后，由其性質(zhì)推證出等腰4

B，0,h，再進(jìn)行如下列式：，更簡潔求出a、b的值。

【注】圓錐曲線中，參數(shù)(a、b、c、e、p)的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確

定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)(a、b、c、e)不變，

本題就利用了這一特征，列出關(guān)于a-c的等式。

一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程(或

幾何數(shù)據(jù))一幾何條件轉(zhuǎn)換成方程一求解一已知系數(shù)代入。

例3.是否存在常數(shù)a、b、c,使得等式1?2z+2?32+…+n(n+l)2=(2++c)對一切

自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。(89年全國高考題)

【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n=l、2、

3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對全部

自然數(shù)n都成立。

【解】假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n=l,得4=g(a+b+c)；n=2,得22=g(4a

o2

+2b+c)；n=3,得70=9a+3b+c。整理得：

,解得，

于是對n=l、2、3,等式1?2?+2+…+n(n+l)2=(3n2+lln+10)成立，下面用數(shù)

學(xué)歸納法證明對隨意自然數(shù)n,該等式都成立：

假設(shè)對n=k時等式成立，即1?22+2?32+-+k(k+l)2=(3k2+llk+10)；

當(dāng)！)=1;+1時，1?22+2?324------Fk(k+1)2+(k+1)(k+2)2=(3k2+1lk+10)+(k+

1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24)=[3(k+D2+ll(k

+1)+10],

也就是說，等式對n=k+l也成立。

綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。

【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)

了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以依據(jù)先試值、再猜想、最終歸

納證明的步驟進(jìn)行。本題假如記得兩個特殊數(shù)列V+23+…+力、產(chǎn)+22+…求和的公

式，也可以抓住通項的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而干脆求解：由n(n+l)2=n3+2n2+n得S“

=1,22+2?324Fn(n+1)2=(I3+23Hbn3)+2(12+224Fn2)+(1+24Fn)

=+2X+=(3n2+lln+10),綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll>c=10時，題設(shè)的等式對一切自然

數(shù)n都成立。

例4.有矩形的鐵皮，其長為30,寬為14,要從四角上剪掉邊長為的四個小正方形，將剩

余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？

【分析】實(shí)際問題中，最大值、最小值的探討，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函

數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的探討。

【解】依題意，矩形盒子底邊邊長為(30—2x),底邊寬為(14—2x),高為。

盒子容積V=(3O-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x,

明顯：15—x>0,7-x>0,x>0o

設(shè)V==(15a-)(7b-)x(a>0>0)

ab

—〃一/7+l=O

{15。-ax-ib-bx-x

i3

解得：a=-,b=-,x=3o

44

ii-3-64,153、—64八364

從而V=〒(—--x)x^—()3=牙KXZO2r7=576。

3444433

所以當(dāng)x=3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576、

【注】均值不等式應(yīng)用時要留意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿意時要湊配系數(shù)，可以用“待

44

定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令v=2(15a—)(7—X)或4(15-X)(7a-),再由運(yùn)用

abab

均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”

和“函數(shù)思想”。

m>鞏固性題組：

1.函數(shù)y="的x￡[28)上恒有〉1,則a的取值范圍是。

A.2>a>_L且a關(guān)1B.0〈a〈_L或l〈a<2C.Ka<2D.a>2或0<a〈_l

222

2.方程x?++q=0和x?++p=。只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為。

A.1B.-1C.p+qD,無法確定

3.假如函數(shù)y=2x+a?2x的圖像關(guān)于直線x=-2L對稱，那么a=。

8

A.41B.-41C.1D.-1

4.滿意C：+l?C：+2?C：+…+n?C；；<500的最大正整數(shù)是。

A.4B.5C.6D.7

5.無窮等比數(shù)列{a,J的前n項和為S,,=a-_L,則全部項的和等于。

A.-1B.1C.1D.和a有關(guān)

22

6.(1+)9=bo+]+2------匕力若b()+b|+b2T-----Fb9=-1,則k=。

7.經(jīng)過兩直線llx—3y—9=0和12x+y—19=0的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(32)的直線方程為。

8.正三棱錐底面邊長為2,側(cè)棱和底面所成角為60°,過底面一邊作截面，使其和底面

成30°角，則截面面積為。

9.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)=15,且f(2)、f⑸、(fl4)成等比數(shù)列，求f⑴+

￡(2)+—+1'(111)的值。

10.設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)(-1,6)和(T2),對稱軸和x軸平行，開口向右，直線y=2x+7和

拋物線截得的線段長是4而，求拋物線的方程。

四、定義法

所謂定義法，就是干脆用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定

義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬

性來明確概念。

定義是千百次實(shí)踐后的必定結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡

潔地說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最干脆的方法，本講讓我

們回到定義中去。

I、再現(xiàn)性題組：

1.已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，AUB的元素個數(shù)為n,則。

A.2Wn