2018學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2017-2018學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）若拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-7,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2=-28yB.x2=28yC.y2=-28xD.y2=28x

22

2.（5分）若雙曲線E:?=l的左、右焦點分別為《，F(xiàn),點P在雙曲線E上，且|PF、|=3,

2

則IP月I等于（）

A.11B.9C.5D.3

3.（5分）直線a與平面a所成角的為30",直線人在平面。內(nèi)，且與b異面，若直線々與

直線b所成的角為°,貝）

A.0°<30°B.0°<^?90°C.30。轟/90°D.30。效帥180°

4.（5分）設(shè)〃,b為向量，貝IJI“切=|。||口是”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）設(shè)機，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）

A.mLa,n工0,且二_1/，則機_L〃B.mlla,nil/},且a///,則用//〃

C.mLa,nu。，mLn,則戊_1,D.mua,nua馳all。

22

6.（5分）橢圓":「+與=1（。>6>0）長軸上的兩個頂點4、8,點尸為橢圓M上除A、

a"b

3外的一個動點，若。4%=0且。3尸3=0,則動點。在下列哪種曲線上（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

7.（5分）如圖，小于90。的二面角-力中Oe/,A,Bea,且NMB為鈍角，ZA'OB'

是NAO8在￡內(nèi)的射影，則下列結(jié)論一定錯誤的是（）

A.N4OQ為鈍角B.ZA'OB'>ZAOB

C.ZAOB+AAOA!<71D.ZBrOB+ZBOA+ZAOAr>n

22

8.（5分）在橢圓A+A=l（〃〉匕＞0）上有一點P,橢圓內(nèi)一點。在P%的延長線上，滿足

ab

QF.VQP,若sinN耳PQ=2，則該橢圓離心率取值范圍是（）

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.

22

9.（6分）雙曲線土-2-=1的焦距為，漸近線方程為

54

10.（6分）命題“若實數(shù)“滿足小2,則儲＜4”的逆否命題是命題（填“真”或者

“假”）；否命題是命題（填“真”或者"假”）.

11.（6分）已知AABC是邊長為1的正三角形，R4_L平面ABC,且E4=l,則尸3與平面PAC

所成角的正弦值為.若點A關(guān)于直線PC的對稱點為。，則直線AD與8c所成角

的余弦值是.

12.（6分）已知直線AM,相交于點A1,且直線40的斜率與直

線9的斜率的差是則點'的軌跡C的方程是.若點尸為軌跡C的焦點，P

2

是直線=T上的一點，。是直線尸R與軌跡C的一個交點，且PP=3FPC，則

\QF\=.

13.（4分）過正四面體ABC。的中心且與一組對棱AB和CD所在直線都成60。角的直線有

條.

22

14.（4分）已知雙曲線3-斗=1（〃＞0,10）上一點尸到兩漸近線的距離分別為4，d2,

ab

若44=；刈，則雙曲線的離心率為.

15.（4分）四棱錐尸-ABC。中，PAL^^ABCD,ABAD=90°,PA=AB=BC=-AD=l,

2

BC/IAD,已知。為四邊形ABC。內(nèi)部一點，且二面角。一一A的平面角大小為:，

若動點。的軌跡將四邊形ABCD分成面積為岳，SJH＜邑）的兩部分,則H:S2=.

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22

16.（15分）已知從橢圓C:、+1=l（a＞人＞0）上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點

礦b

又點A是橢圓與無軸正半軸的交點，點3是橢圓與y軸正半軸的交點，且A8//OP,

（I）求橢圓c的方程；

（II）在橢圓C中，求以點0（-2,1）為中點的弦MN所在的直線方程.

17.（15分）如圖，三棱柱A2C-A4G中，側(cè)棱朋，平面ABC,AA8C為等腰直角三角

形，ZBAC=9Q°,B.AB=AAl,E,F,G分別是CCrBC,A片的中點.

（I）求證：①FG//平面ACGA；②片尸_L平面g1；

（II）求直線G尸與平面所成角.

18.（15分）如圖，平行四邊形A8C￡>_L平面COE,AD=DC=DE=A,ZADC=60°,

ADLDE

（I）求證：小，平面48。；

（II）求二面角C-AE-D的余弦值的大小.

19.(15分)拋物線V=2px,p>Q,尸為拋物線的焦點，A,3是拋物線上兩點，線段

AB的中垂線交x軸于，a>0,m=\AF\+\BF\.

(I)證明：。是p,"Z的等差中項；

(II)若機=3p,/為平行于y軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求

直線/的方程.

22

20.(14分)已知橢圓E:土+乙=1的左、右頂點分別為A,B,M,N是橢圓E上異于

43

A,3的兩點，直線AM,BN交于點P(4J).

(I)若直線MN與x軸垂直，求實數(shù)f的值；

(II)記APMN,APAB的面積分別是E(t),S,⑺，求電。的最小值.

-S2(t)

2017-2018學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三（上）期末數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）若拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-7,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.X2=-28yB.x2=28yC.y2=-28.xD.y1=28x

【考點】K7：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【專題】11：計算題

【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程求得p,則拋物線方程可得.

【解答】解：準(zhǔn)線方程為x=-7

2

p=14

二.拋物線方程為V=28x

故選：D.

【點評】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.屬基礎(chǔ)題.

22

2.（5分）若雙曲線￡:]4=1的左、右焦點分別為《，耳，點尸在雙曲線E上，且|尸￡|=3,

則I尸鳥I等于（）

A.11B.9C.5D.3

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)

【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】確定P在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義可得結(jié)論.

【解答】解：由題意，雙曲線E:上-工=1中。=3.

916

|尸片|=3,;.P在雙曲線的左支上，

由雙曲線的定義可得|「6|-|3|=6,

PF21=9.

故選：B.

【點評】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）直線。與平面a所成角的為30°,直線。在平面a內(nèi)，且與方異面，若直線。與

直線》所成的角為夕，貝1（）

A.0°＜（p?30°B.0°＜（p?90°C.30°轟⑦90°D.30啜加180°

【考點】LM：異面直線及其所成的角

【專題】39：運動思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5G：空間角

【分析】由平面的一條斜線與平面內(nèi)所有直線所成角的最小角為線面角，最大角為90。，可

得直線a與直線b所成的角的范圍.

【解答】解：如圖，

設(shè)a?=A,

a在平面a內(nèi)的射影為，，在平面e內(nèi)過A與〃垂直的直線為，

6是平面c內(nèi)與a異面的直線，

當(dāng)b/田時，a與/的角最小為30。,當(dāng)6//W時，a與》的角最大為90。.

.?.30。鈾90°.

故選：C.

【點評】本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中

檔題.

4.（5分）設(shè)a,b為向量，則|a8|=|a||b|是"。//6"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件；91：向量的概念與向量的模；96：平行向量

（共線）

【專題】5A：平面向量及應(yīng)用

【分析】利用向量的數(shù)量積公式得到＜26=1o||eft,根據(jù)此公式再看8|=|a|g|與

al1b之間能否互相推出，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論.

【解答】解：ab^a\\b\cosO,

若a,"為零向量，顯然成立；

若|a，|=|a|g|ncose=±l則a與6的夾角為零角或平角,即a//6,故充分性成立.

而a//6,則。與，的夾角為為零角或平角，有|ab|=|a||6|.

因此|a6|=|。||6|是。//匕的充分必要條件.

故選：C.

【點評】本題考查平行向量與共線向量，以及充要條件，屬基礎(chǔ)題.

5.（5分）設(shè)機，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）

A.mLa,nip,且a_L力，貝I]_L〃B.m/la,n//￡,且a//￡,則m//〃

C.mVa,wu夕，mLn,則a_L/D.〃?utz,,“z/R,"http://力，則a//"

【考點】LP-.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離

【分析】利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對選項分別分析選擇.

【解答】解：對于A,"1力，且a_L￡,利用面面垂直的性質(zhì)定理得到作垂直于

交線的直線"'與￡垂直，又〃_L￡,得到"http://〃'，又加J_c,得到7W_L〃，所以〃Z_L〃；

故A正確；

對于3,?i//a,〃///7,且a//6，則〃?與〃位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或者異面；

故3錯誤；

對于C,mVa,nu0,m±n,則er與?？赡芷叫?；故C錯誤；

對于。，mua,“Ue,ml//3,"http://￡,則a與4可能相交；故。錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查了線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運用；關(guān)鍵是由已知條件，

正確運用定理的條件進行判斷.

6.(5分)橢圓二+與=1(。>6>0)長軸上的兩個頂點A、8,點P為橢圓"上除A、

a"b

8外的一個動點，若。4%=0且。3尸5=0,則動點。在下列哪種曲線上()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【考點】K4：橢圓的性質(zhì)

【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；5E：圓錐曲線中的最值與范

圍問題

【分析】根據(jù)橢圓方程算出A(-a,0),B(a,0).設(shè)尸回〃)，Q(x,y),可得QA、PA關(guān)于加、

〃、x、y的坐標(biāo)形式，由QA出=0建立關(guān)系式,化簡得m+。=-旦-，同理由沙尸3=0

x+a

建立關(guān)系式，得加一。=一」匕，再將所得的兩個式子對應(yīng)相乘，結(jié)合點P(九〃)是橢圓

x—a

2222

5+4=1上的點，化簡得=+與=1,即為動點。的軌跡方程，可得本題答案.

abaa

F

【解答】解：設(shè)P5㈤,Q(x,y)

22

橢圓M的方程為=+多=1(穌6>0),

ab

作出橢圓如圖所示，可得長軸的端點為4-〃,0),8(4,0)

/.QA=(x+a,y),PA=(jn+a,ri)

QAPA=0,/.(x+a)(m+a)+ny=0,可得根+〃=——

x+a

同理根據(jù)QBPB=0,可得機—a=——9—…②

x—a

①x②，可得病—.…③

%-a

22

點P(m,n)是橢圓T+斗=1上的動點，

ab

；g+4=l,整理得/=。片_病)，

a2b-a2

仔V2丫22

代入③可得：4=1(/一環(huán))1=，化簡得=+與=1

ax-aaa

F

此方程對應(yīng)的圖形是焦點在y軸上的橢圓，可得動點。的軌跡是一個橢圓，3項是正確答

案

故選：B.

【點評】本題給出橢圓的長軸為AB,橢圓上的動點尸滿足若21PA=0且。3尸8=0,求

動點0的軌跡方程，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、向量數(shù)量積的計算公式和動點軌

跡方程的求法等知識，屬于中檔題.

7.（5分）如圖，小于90。的二面角-4中Oe/,A,Bea,且aMB為鈍角，ZA'OB'

是NAOB在月內(nèi)的射影，則下列結(jié)論一定錯誤的是（）

C.ZAOB+ZAOA'<nD.AB'OB+ZBOA+ZAOA'>n

【考點】MJ：二面角的平面角及求法

【專題】11：計算題；38：對應(yīng)思想；49：綜合法；5G：空間角

【分析】由題意畫出圖形，由已知二面角々-/-夕小于90。，NAOB為鈍角，結(jié)合余弦定理

可得N4O9是鈍角，由此可得答案.

【解答】解:如圖，在打內(nèi)射線OA上取點A,過A作交線I的平行線AB交射線OB于點、B,

過A作垂足為4,過3作38垂直于夕，垂足為笈，連接48,則有AB//A宣，

且>18=A笈，

設(shè)OA=。，OB=b,AB=c,貝！|<。，OB'<b,

NA08為鈍角，a2+b2<c2,則(OA。?+(OE)?<a?+從<<?=(43乎,

在^A'OB'中,由余弦定理可得ZA'OB'>ZAOB為鈍角.

ZAOB+ZAOA'>71.

??,錯誤的選項是c,

故選：c.

【點評】本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查空間想象能力和思維能力，關(guān)鍵是

理解點在面上的射影的概念，是中檔題.

22

8.（5分）在橢圓「+與=1（。>6>0）上有一點尸，橢圓內(nèi)一點。在尸鳥的延長線上，滿足

ab"

【考點】K4：橢圓的性質(zhì)

【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】滿足。耳，。尸，點。與點層重合時，sinN片=不妨設(shè)|尸片|=13,則

\PF2（=12.可得：e=（.因此e>g.當(dāng)點。在最下端時，/居。鳥最大，此時耳.可

得點。在橢圓的內(nèi)部，當(dāng)》=c時，e=*，即可得出.

【解答】解：滿足。片，。尸,

.,.點。與點馬重合時，sinN耳尸。=三

不妨設(shè)|用1=13,則］］尸月|=12.

可得：e=-A_=l.因止匕e＞」.

13+1255

當(dāng)點。在最下端時，N片。耳最大，此時月。.

可得點。在橢圓的內(nèi)部，當(dāng)>=C,e=與,因此e〈孝.

綜上可得：—<e<.

52

故選：C.

【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能

力與計算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.

22

9.（6分）雙曲線三-乙=1的焦距為6，漸近線方程為

54

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)

【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得雙曲線的焦點位置以及。、6的值，計算

可得c的值，即可得雙曲線的焦距，由雙曲線的漸近線方程分析可得答案.

22

【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為土-匕=1,

54

其焦點在無軸上，且。=百，b=5y4=2,

貝!jc=J5+4=3，

則雙曲線的焦距2c=6,

漸近線方程為y=

±

故答案為：6,y=~Y~X-

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

10.（6分）命題“若實數(shù)。滿足氏2,則/<4”的逆否命題是假命題（填“真”或者

“假”)；否命題是命題(填“真”或者"假”).

【考點】21：四種命題

【專題】38：對應(yīng)思想；40：定義法；5L：簡易邏輯

【分析】根據(jù)四種命題的定義，寫出原命題的否命題，逆否命題，判斷真假即可.

【解答】解：命題“若實數(shù)。滿足4,2,則儲<4”的逆否命題是“若/..4,貝3>2"，

是假命題.

命題“若實數(shù)。滿足4,2,則/<4”的否命題是“若實數(shù)。滿足。>2,貝U/..4,是真命

題.

故答案為假；真.

【點評】本題考察了命題的否定以及四種命題之間的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題.

11.(6分)已知必尤是邊長為1的正三角形，平面A8C,且E4=l,則依與平面尸AC

所成角的正弦值為—,若點A關(guān)于直線尸C的對稱點為。，則直線AD與BC所成

—4—

角的余弦值是.

【考點】LM-.異面直線及其所成的角；MI：直線與平面所成的角

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5G：空間角

【分析】取AC中點。，連接8。，P0,則PB與平面P4C所成角是，求得

BO

si.nNBP℃O=---=——巫.

BP4

建立空間直角坐標(biāo)系，易得AD與尸。的交點〃為尸。中點，

A(0,0,0),B(g,I,0),C(0,1,0),H(0,1),

0+—+0萬

cos<AH,BC>=---。-上即可,

,04

lx——

2

【解答】解：如圖，取AC中點。，連接8。，P0,

AABC是邊長為1的正三角形，R4_L平面ABC

BOLAC,BO_L平面APC

.?.則pg與平面PAC所成角是ZBPO,

可得50=正，PB=y/2

2

sinZBPO=^網(wǎng)

BP4

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，易得AD與尸C的交點”為尸C中點,

A(0,0,0),B*,0),C(0,1,0),H(0,￡

2

AH=(0,I，1),BC=(-^fI，0)

OH-----F06

cos<AH,BC>=—=—

1A/24

lx——

2

故答案為：呼，呼.

44

【點評】本題考查了空間線線角，線面角的計算，屬于中檔題.

12.(6分)已知4(1,1),5(-1,-),直線AM,8M相交于點且直線AM的斜率與直

44

線的斜率的差是;，則點M的軌跡C的方程是_f=4y(xw±i)_.若點/為軌跡

C的焦點，P是直線=上的一點，。是直線口與軌跡C的一個交點，且

FP=3FFQ,貝U|QF|=.

【考點】J3：軌跡方程

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題

【分析】設(shè)M(x,y)由直線AM的斜率與直線3"的斜率的差是工，得

2

11

y—y—]

-kBM=--一生=一，由此能求出點"的軌跡C的方程;求出尸(0,1),作敘上

x-1x+12

軸于M點，作軸于N點，由些=1,得。（±2亙，1）,由此能求出|QF|.

FN333

【解答】解：設(shè)M（x,y）,

4（1,3，3（-1」），直線AM,8似相交于點M,且直線AM的斜率與直線的斜率的

44

差是工,

2

11

y——y——.

j1441

-kAM~kBM=---；-------~，

x-1x+12

整理，得點M的軌跡。的方程是f=4y（xw±l）.

點尸為軌跡C的焦點，.?./（0,1）,

P是直線/:y=-1上的一點，。是直線尸尸與軌跡C的一個交點，且尸尸=3尸尸

作QMJ_y軸于“點，作PNLy軸于N點,

則13咨》

??IQF1=J（土手o）、（卜了=1.

【點評】本題考查點的軌跡方程的求法，考查線段長的求法，考查直線方程、直線的斜率、

拋物線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

13.（4分）過正四面體ABC。的中心且與一組對棱AB和C。所在直線都成60。角的直線有

心條.

【考點】LM：異面直線及其所成的角

【專題】44：數(shù)形結(jié)合法；47?：轉(zhuǎn)化法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角

【分析】如圖所示，設(shè)過正四面體A8C。的中心為P.則過點P且與平面ABC平行的平面

EBG分別與平面平面ACD相交于直線EF,EG.可得直線EG是分別與一組對

棱和CO所在直線都成60°角的直線.因此過點P與直線EG平行的直線滿足條件.同

理即可得出另外3條滿足條件的直線.

【解答】解：如圖所示，設(shè)過正四面體A8C。的中心為P.

則過點P且與平面ABC平行的平面EFG分別與平面ABD，

平面ACD相交于直線EF,EG.

則直線EG是分別與一組對棱AB和CD所在直線都成60°角的直線.

因此過點P與直線EG平行的直線滿足條件.

同理直線FG是分別與一組對棱AB和CD所在直線都成60。角的直線.

因此過點P與直線FG平行的直線滿足條件.

同理：通過作與AC。平面平行的平面，可得兩條滿足條件的直線.

即符合題意的平面有4條.

【點評】本題考查線面平行、空間角，考查空間想象能力、推理論證能力，屬于中檔題.

22

14.（4分）已知雙曲線]-方=1（。>0,6>0）上一點P到兩漸近線的距離分別為4，d2,

若d乩=]ab,則雙曲線的離心率為或乎

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】根據(jù)雙曲線方程可得它的漸近線方程為法土以=0,利用點到直線的距離，以及尸

滿足雙曲線的方程，最后利用雙曲線離心率的公式，可以計算出該雙曲線的離心率.

22

【解答】解：雙曲線二-當(dāng)=1（。>0/>0）的兩條漸近線的方程為云-ay=o或法+-=0,

ab

點P（x0,%）到兩條漸近線的距離之積為

Ibx0-ay0\|bxQ+ay0\2

h—1，—~-ab,

yfa1+b2yja2+b15

即稱小

又點P(xo,%)滿足雙曲線的方程,

:.b2x^-a2yl=a2b2,

a2b22,

—-=—ab

a+b5

22

即2a+2b=5abf

**-b=2clb——ci,

2

故答案為：雜或昱.

2

【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題.

15.(4分)四棱錐尸-ABC。中，PA±^ABCD,ZBAD=90°,PA=AB=BC=-AD=l,

2

BC//AD,已知。為四邊形ABC。內(nèi)部一點，且二面角。一尸。一A的平面角大小為二,

若動點。的軌跡將四邊形ABCD分成面積為H,反(HVS?)的兩部分，則d：S2=

(354):4_.

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積

【專題】34：方程思想；41：向量法；5Q：立體幾何

【分析】建立空間坐標(biāo)系，求出平面R4D和平面尸。。的法向量％,%，令0<%,n2>=豐

解出。的軌跡與y軸的交點坐標(biāo)，求出SrS2得出比值.

【解答】解：以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)。的軌跡與y軸的交點坐標(biāo)為。(0,b,0)(6>0).

由題意可知A(0,0,0),0(2,0,0),尸(0,0,1),

.—(-2,0,1),DQ=(-2,b,0).AD=(2,0,0).

設(shè)平面"D的法向量為4=(為，％,4),平面尸。。的法向量為%=(%，%，z2)

,"]DP=0nDP=0

則5,<2.

“AD=0\n2DQ=0

_2工]+Z]=0—2々+z2=0

即

2%=0-2X2+by2=0

7

令M=0得々=（。,1，0）,令z2=2得%=（1,—，2）.

b

24

々々=Z，141=1,|〃21=45+3?

二面角Q-PO-A的平面角大小為￡,

2

n1nl^2Rnb

1

cos<>=-—―=——.艮I」j——

I%II%I21425

??SMQ=3ADAQ=

255

2占_32*

S梯形ABC。-S.DQ=5X（1+2）X1-----------------

525

&<邑，.2=1-竽，s2百

邑=亍.

/.SX:S2=（3君-4）:4.

故答案為（36-4）:4.

【點評】本題考查了二面角的計算，使用向量可比較方便的找到。的軌跡.屬于中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22

16.（15分）已知從橢圓。:3+[=1（。>6>0）上一點尸向尤軸作垂線，垂足恰為左焦點

ab

月.又點A是橢圓與入軸正半軸的交點，點3是橢圓與y軸正半軸的交點，且A5//OP,

|4A|二加+班.

(I)求橢圓c的方程；

(II)在橢圓C中，求以點。(-2,1)為中點的弦MN所在的直線方程.

【考點】KL-.直線與橢圓的綜合

【專題】15：綜合題；38：對應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題

【分析】(I)易求點尸坐標(biāo)，由自戶=左.，由斜率公式可得匕，c關(guān)系，進而可得a,c

關(guān)系，由|KA|=Ji6+括.關(guān)于a,c的方程，可求得c,進而可得a,b；

(II)故設(shè)直線MN的方程為>=左。+2)+1,代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理即可求出.

【解答】解：(I)由題意知：P(-G—),A(a,O),B(O,b),

a

bh2hh2

故勉=-9,%=-2,BP解得6=C,

aacaac

又a+c=A/10+\/5,a~=b~+c~t

解得a==c=,

22

故橢圓c的方程為c：'+匕=1；

105

(II)因為點。(-2,1)在橢圓內(nèi)，且顯然直線MN的斜率存在，

故設(shè)直線MN的方程為了=左。+2)+1,M(x，%),N(%，y2),

代入橢圓方程得(2k2+l)x2+(8k2+4k)x+8/+8%-8=0,

故占+x,=-8'：軟=-4,解得k=1,

故直線MN的方程為y=x+3.

【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程，考查計算能力，屬

于中檔題.

17.(15分)如圖，三棱柱ABC-44G中，側(cè)棱朋，平面ABC,AA8C為等腰直角三角

形，NA4c=90。，S.AB=AAl,E,F,G分別是CCrBC,A片的中點.

(I)求證：①FG//平面ACGA；②與尸，平面g1；

(II)求直線GF與平面AE尸所成角.

【考點】LS：直線與平面平行；LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5G：空間角

【分析】(I)①連接48,則ABX=G.連接A。，由歹，G分別是8C,A4的中

點，得GP//AC.即可；②只需證明A尸，旦尸，B[F工EF,即可證明用/，平面AE尸；

(II)以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=A4,=1,則A(0,0,0),E(0,1,1),

F(1,1,0),G(1,0,1).求出面AEF得法向量為〃=(無,Xz),由

c京即F,G￡G〃亙可得直線G尸與平面"F所成角.

IFG|\n2

【解答】解：(I)證明：①如圖1,連接A0,則A3ABl=G.

連接A。，

F,G分別是BC,A耳的中點，:.GFIIA.C.

且G尸c平面ACC]A，ACu平面ACC]A.

尸G//平面ACGA；

圖1

②等腰直角三角形AABC中下為斜邊的中點，

AF±BC

又直三棱柱A8C-A4G，.?.面48(7_1面88℃,

.?.就_L面C]B,..AFLB.F

222

設(shè)AB=A4.=1,:.BjE=EF=%,B、E=g,:.B^+EF=BtE,

:.BtF±EF

又AFEF=F,.?.耳尸_1_面4￡尸.

解：(II)如圖以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=朋=1,則4(0,0,0),E(0,

1,J,F(1,10),G(1,oi).

設(shè)面AEF得法向量為“=(x,y,z),則/G=(0,-g,g)

nAE=y+—z=0

由<]2],可得〃=(i,—i,2).

nAF=-x-\--y=0

[22,

/“FGnA/3

cos<n,FG>=-------=——.

\FG\\n\2

直線GF與平面AEF所成角的正弦值為昱,

2

/.直線GF與平面所成角-.

3

【點評】本題考查的知識點是直線與平面平行、垂直的判定及線面角的求法，屬于中檔題.

18.（15分）如圖，平行四邊形ABCD_L平面COE,AD=DC=DE=4,ZADC=60°,

AD±DE

（.I）求證：DE_L平面ABC。；

（II）求二面角C-AE-〃的余弦值的大小.

【考點】LW：直線與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法

【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空

間角

【分析】（I）過A作交DC于證明AHLQE,ADLDE,然后證明DE_L

平面ABCD；

（11）過。作6_14￡）交40于加，過C作CN_LAE交相1于N,連接MN.說明NCNM

就是所求二面角的一個平面角.然后求解即可.

【解答】（本題滿分15分）

證明：（I）過A作AH_LDC交DC于H.

平行四邊形ABCD±平面CDE

r.AH_L平面C￡>E

又DEu平面COE

A/7_L￡）E'…①由已知A￡>_LDE…②，AHAD=A...@

由①②③得，平面ABC。；...（7分）

解：（II）過C作CM_LA￡>交"）于M,過C作CN_LAE交AE于N,

連接MN.

由（I）得DE_L平面A8CD,

又DEu平面ADE,

平面ADE_L平面ABCD.

CMLAE,

又CN垂直AE,且CMCN=C.

平面CMN,得角CNM就是所求二面角的一個平面角.

又CM=20,MN=近,

...（8分）

【點評】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想

象能力以及計算能力.

19.（15分）拋物線丁=2px,p>0,歹為拋物線的焦點，A,8是拋物線上兩點，線段

AB的中垂線交無軸于。（。,0）,?>0,m=\AF\+\BF\.

（I）證明：a是p,m的等差中項；

（II）若相=3p,/為平行于y軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求

直線/的方程.

【考點】K8：拋物線的性質(zhì)；KN：直線與拋物線的綜合

【專題】38：對應(yīng)思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】（/）根據(jù)IDA|=I。例得出a，"Z,2的關(guān)系得出