北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

北京市朝陽(yáng)區(qū)2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（選用）

（考試時(shí)間120分鐘滿分100分）

考生須知：

1.本試卷共8頁(yè)，28道小題.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱、班級(jí)、姓

名和考號(hào).

2.試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

3.在答題卡上，選擇題用25鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

4.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)

只有一個(gè).

1.剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，先后入選中國(guó)國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人

類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.以下剪紙中，為中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后得到的圖形能夠與原

圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫中心對(duì)稱圖形，據(jù)此即可解答.

【詳解】A.不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；

B.不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；

C.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；

D.不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對(duì)稱圖形的概念.

2.下列事件中，為必然事件的是（）

A.任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°B,明天會(huì)下雪

C.鄭一枚骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是7D.足球運(yùn)動(dòng)員射門(mén)一次，未射進(jìn)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可

【詳解】解：A、任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是1800是必然事件，故選項(xiàng)符合題意；

B、明天會(huì)下雪是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合題意；

C、鄭一枚骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是7是不可能事件，故選項(xiàng)不符合題意；

D、足球運(yùn)動(dòng)員射門(mén)一次，未射進(jìn)是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，解題關(guān)鍵是熟記其有關(guān)概

念.

3.二次函數(shù)y=(無(wú)+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(-1,2)B,(1,-2)C.(1,2)D.

(-L-2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖像與性質(zhì)，直接寫(xiě)出二次函數(shù)y=(x-1)?+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(1,2),即可得到答案.

【詳解】解：.?二次函數(shù)y=(x—1>+2為頂點(diǎn)式，

二二次函數(shù)y=(無(wú)—以+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖像與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)的方

法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.若關(guān)于X的方程九2+6%+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則C的值是()

A.36B.-36C.9D.-9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=62-4c=0,然后解關(guān)于C的一次方程即可.

【詳解】解：；方程/+6*+°=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

***A=62-4xlxc=0

解得。=9

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程分2+法+°=0（。*0）的跟與

A=/—4ac的關(guān)系，關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

5.如圖，在（。中，弦A3，CD相交于點(diǎn)P,ZCAB=40°,ZABD=3Q°,則NAPD

的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.70°

【答案】D

【解析】

【分析】由圓周角定理可得NC=NABD=30。，NC43=40。，然后由三角形外角的性質(zhì)，

求得NAPD的度數(shù).

【詳解】解：VZC=ZABD=30°,ZCAB=4O°,

：.ZAPD=ZCAB+ZC=70°；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.不透明袋子中裝有無(wú)差別的兩個(gè)小球，分別寫(xiě)有“問(wèn)天”和“夢(mèng)天”.隨機(jī)取出一個(gè)小

球后,放回并搖勻，再隨機(jī)取出一個(gè)小球,則兩次都取到寫(xiě)有“問(wèn)天”的小球的概率為（）

3111

A.-B.-C.-D.一

4234

【答案】D

【解析】

【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，兩次都取到寫(xiě)有“問(wèn)天”的小球的結(jié)果有1種，

再由概率公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)“問(wèn)天”為1,“夢(mèng)天”為2,畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：

共有4種等可能的結(jié)果，兩次都取到寫(xiě)有“問(wèn)天”的小球的結(jié)果有1種,

，兩次都取到寫(xiě)有“問(wèn)天”的小球的概率為‘，

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可

能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注

意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,分別以4B,C,。為圓心，2為半徑作圓，則圖中

陰影部分的面積為（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知陰影部分的面積為正方形的面積減去四個(gè)四分之一圓的面積求解即

可.

【詳解】解：：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

...正方形A5CD的面積為16,

又四個(gè)四分之一圓的面積等于一個(gè)半徑為2的圓的面積為4萬(wàn)，

陰影部分的面積16—4萬(wàn).

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的面積，正方形面積，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，構(gòu)造等面積轉(zhuǎn)

化.

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=—3?+左與x軸交于（。,0）,（反0）兩點(diǎn)，其

中a<b.將此拋物線向上平移，與x軸交于（c,0）,（1,0）兩點(diǎn)，其中c<d,下面結(jié)論正確

的是（）

A.當(dāng)相＞0時(shí),a+b=c+d,b—a>d—c

B.當(dāng)相＞0時(shí),a+b>c+d,b-a-d-c

當(dāng)根v0時(shí),a+b=c+d,b—a>d—c

D.當(dāng)mv0時(shí),a+b>c+d,b—a<d—c

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)加分情況討論，根據(jù)向上平移后對(duì)稱軸不變，平移后

的交點(diǎn)變化，進(jìn)行判斷即可

【詳解】解：當(dāng)加＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，如圖所示,

對(duì)稱軸為1=3,平移后的拋物線對(duì)稱軸1=3,

??.a+Z?=6,c+d=6

a+b=c+d,

,:a<b,c<d,

a—c<0fb—d>0?

b-d>a-c

b—a>d—c

故A正確，B錯(cuò)誤,

當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，如圖所示,

對(duì)稱軸為x=3,平移后的拋物線對(duì)稱軸1=3,

a+b=6,c+d=6

a+b=c+d,

9

：c<a9b<d,

.??〃一c〉0,b-d<0

a—c>b—d，

d-ob-a,BPb—a<d—c,

故C、D錯(cuò)誤，

綜上，故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的對(duì)稱性.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（5,1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】（―5,—1）

【解析】

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)（入，,），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（-8-y）,然后直

接作答即可.

【詳解】解:根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，可知：點(diǎn)（5,1）關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5,-1）.

故答案為:（-5,-1）.

【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，是需要熟記的基本問(wèn)題，記憶方法可以結(jié)

合平面直角坐標(biāo)系的圖形.

10.方程尤2_4=0的根是.

【答案］國(guó)=-2,X2=2

【解析】

【分析】根據(jù)直接開(kāi)平方法求解即可.

【詳解】解:X2-4=0,

丁=4，

x=+2,

即占=-2,訪=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握用直接開(kāi)平方法解一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

11.寫(xiě)出一個(gè)與拋物線y=3%2—2x+l開(kāi)口方向相同的拋物線的表達(dá)式：.

【答案】丁=3/（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得拋物線的開(kāi)口方向是由二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)確定的，故只要二次

項(xiàng)系數(shù)。>0即可.

【詳解】解：：拋物線丁=3必—2x+l開(kāi)口方向向上，

.,.與拋物線y=3_?—2x+l開(kāi)口方向相同的拋物線只要二次項(xiàng)系數(shù)a>0,

...與拋物線>=3必—2x+l開(kāi)口方向相同的拋物線為：丁=3/,不唯一.

故答案為：j=3x2(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì).

12.如圖，矩形綠地的長(zhǎng)和寬分別為30m和20m.若將該綠地的長(zhǎng)、寬各增加xm,擴(kuò)充后

的綠地的面積為加2,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系是.(填“正比例函數(shù)關(guān)系”、“一

次函數(shù)關(guān)系”或“二次函數(shù)關(guān)系”)

【答案】二次函數(shù)關(guān)系

【解析】

【分析】根據(jù)矩形面積公式求出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案.

【詳解】解：由題意得,=(30+%)(20+%)=/+50%+600,

與x之間的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，

故答案為；二次函數(shù)關(guān)系.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的定義，正確列出y與尤之間的函數(shù)關(guān)

系式是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，PA,依是圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為48連接Q4，AB,若NQ鉆=35°,

則°.

【答案】55

【解析】

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB±PB,根據(jù)一A05為等腰三角形，即

ZOAB=AOBA=35°,進(jìn)而可得ZABP=Z.OBP-AOBA=90°-35°=55°.

【詳解】解：；刈，PB是。的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,

：.OALPA,OBYPB,即NQ4P=NOBP=90°,

VJLO5為等腰三角形，

ZOAB=ZOBA=35°,

ZABP=ZOBP-ZOBA=90°-35°=55°.

故答案為：55.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì).

14.如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)，被分成12個(gè)相同的小扇形.若把某些小

扇形涂上紅色，使轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針指向紅色的概率是則涂上紅色的小扇形有

【解析】

【分析】由于轉(zhuǎn)盤(pán)被分成12個(gè)大小相同的扇形，結(jié)合指針指向紅色的概率為』，讓總份數(shù)

3

乘以相應(yīng)概率即為紅色區(qū)域的份數(shù).

【詳解】解：要使轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在紅色區(qū)域的概率為g,

只需使紅色區(qū)域占總面積的,即可，而已知整個(gè)圓面被分成12等份，

3

故只需使紅色占到12x'=4等份.

3

故涂上紅色小扇形有4個(gè)，

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.某農(nóng)科所在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗(yàn)，結(jié)果如下：

種子個(gè)數(shù)1002003004005008001100140017002000

發(fā)芽種子94187282337436718994125415311797

個(gè)數(shù)

發(fā)芽種子

0.9400.9350.9400.8430.8720.8980.9040.8960.9010.899

頻率

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，估計(jì)1000kg該種作物種子能發(fā)芽的有kg.

【答案】900

【解析】

【分析】大量重復(fù)試驗(yàn)下種子能發(fā)芽的頻率可以估計(jì)種子能發(fā)芽的概率，據(jù)此求解.

【詳解】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多頻率逐漸穩(wěn)定在0.9附近，

故種子能發(fā)芽的概率估計(jì)值為0.9.

???估計(jì)1000kg該種作物種子能發(fā)芽的有1000x0.9=900（kg）,

故答案為：900（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解大量重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事

件發(fā)生的頻率能估計(jì)概率.

16.某跨學(xué)科綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一些盒子存放實(shí)驗(yàn)材料.現(xiàn)有A,B,C三種型號(hào)的盒

子，盒子容量和單價(jià)如下表所示：

盒子型號(hào)ABC

盒子容量/升234

盒子單價(jià)/元569

其中A型號(hào)盒子做促銷(xiāo)活動(dòng)：購(gòu)買(mǎi)三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返現(xiàn)金4元，現(xiàn)有28升材料需

要存放且每個(gè)盒子要裝滿材料.

（1）若購(gòu)買(mǎi)A,B,C三種型號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)分別為2,3,4,則購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為元；

（2）若一次性購(gòu)買(mǎi)所需盒子且使購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用不超過(guò)58元，則購(gòu)買(mǎi)A,B,C三種型號(hào)的盒子

的個(gè)數(shù)分別為.（寫(xiě)出一種即可）

【答案】①.64②.答案不唯一，如3,6,1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列整式，代入數(shù)據(jù)即可求解；

（2）先假設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)的盒子3個(gè)，花費(fèi)15元，能存放6升材料，設(shè)購(gòu)買(mǎi)8,C兩種型

22

號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)為x,----------,購(gòu)買(mǎi)8,C兩種型號(hào)的盒子的費(fèi)用為V,根據(jù)題意可

4

得：j=-1.75%+49.5<47,求得x得取值范圍，分情況討論找出符合條件的數(shù)值即可

求解.

【詳解】(1)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為：2x5+3x6+4x9=10+18+36=64(元),

故答案為：64；

(2):?購(gòu)買(mǎi)三個(gè)及三個(gè)以上A型號(hào)盒子可一次性返現(xiàn)金4元，

假設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)的盒子3個(gè)，花費(fèi)15元，能存放6升材料，實(shí)際花費(fèi)為11元，

22

設(shè)購(gòu)買(mǎi)B,C兩種型號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)為無(wú)，-------，購(gòu)買(mǎi)3,C兩種型號(hào)的盒子的費(fèi)用

4

為兀根據(jù)題意可得：

整理得：y=—1.75尤+49.5

Xj=-1.75x+49.5<47,

解得：x>—,

7

22—3x

Vx和———需要同時(shí)滿足正整數(shù)，

4

22-3%

.?.當(dāng)x=2,--------=4時(shí)，購(gòu)買(mǎi)C兩種型號(hào)的盒子的費(fèi)用

4

J=2X6+4X9=48>47,不符合題意，

22

當(dāng)％=6,-------^=1時(shí)，購(gòu)買(mǎi)B,C兩種型號(hào)的盒子的費(fèi)用y=6x6+lx9=45W47,

4

符合題意，

...購(gòu)買(mǎi)A,B,C三種型號(hào)的盒子的個(gè)數(shù)分別為3,6,1(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用一方案選擇問(wèn)題、一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是正確解

讀題意，找出符合條件的取值范圍，注意盒子的個(gè)數(shù)需要是正整數(shù).

三、解答題(共68分，第17—22題，每題5分，第23—26題，每題6分，第

27—28題，每題7分).解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.解方程：x~+4x+3=Q-

【答案】西=—1,々=一3

【解析】

【分析】直接因式分解即可求解.

【詳解】爐+4%+3=0

(x+3)(x+l)=0

&=-1,x2=—3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關(guān)鍵.

18.已知二次函數(shù)幾組尤與y的對(duì)應(yīng)值如下表：

.?????

X-3-2-1134

???…

y1250-405

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)直接寫(xiě)出當(dāng)x取何值時(shí)，y<0.

【答案】(1)y=(x-l)2-4

(2)-1<^<3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)特點(diǎn)可得出，二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(3,0),頂點(diǎn)為

(1,-4),設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式為丁=。(九—4,將(3,0)代入即可；

(2)根據(jù)拋物線開(kāi)口向上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(3,0),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：根據(jù)表格，二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(—1,0)和點(diǎn)(3,0)

，對(duì)稱軸為x=I”=1,

2

即頂點(diǎn)為(1,-4),

設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x——4,

把(3,0)代入，得0=4?！?

解得：4=1,

二?二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(x--4.

【小問(wèn)2詳解】

在j=(x-l)2-4中，

函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(—1,0)和點(diǎn)(3,0),

且拋物線開(kāi)口向上，

.,.當(dāng)一1<%<3時(shí)，y<0.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)解析式，拋物線與X軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物

線的對(duì)稱性、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

19.已知x=l是關(guān)于尤的方程%2+2狽+/=3的一個(gè)根，求代數(shù)式。（。―1）+片+5。的

值.

【答案】4

【解析】

【分析】先將x=l代入方程尤2+2以+/=3得到2"+片=2,再由

a（a—l）+a~+5a=2A2+4a=2（a~+2a）,用整體代入法進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：a（a—l）+a~+5a

=a2—"+"+5。

=2a2+4a?

???X=1是關(guān)于X的方程尤2+2以+/=3的一個(gè)根，

?-1+2a+/=3.

,,Q2+2a—2?

原式=2（/+2。）=4.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入法進(jìn)行求解.

20.下面是小立設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：。及圓上一點(diǎn)A.

求作：直線A3,使得A5為。的切線，A為切點(diǎn).

①連接。4并延長(zhǎng)到點(diǎn)C；

②分別以點(diǎn)4C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)。（點(diǎn)。在直線Q4上方）;

2

③以點(diǎn)。為圓心，DA長(zhǎng)為半徑作。；

④連接CD并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)8,作直線A3.

直線A5就是所求作的直線.

根據(jù)小立設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，完成下面的證明.（說(shuō)明：括號(hào)里填推理的依據(jù)）

證明：連接AO.

V@=AD

...點(diǎn)C在CO上，

???CB是：。的直徑.

@=90°.（③）

：.AB1?.

：。4是（。的直徑，

是匚。的切線.（⑤）

【答案】①CD,②NCAB,③直徑所對(duì)的圓周角是直角，④。4,⑤經(jīng)過(guò)半徑的外

端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【解析】

【分析】根據(jù)畫(huà)法得CD=AT>,則點(diǎn)C在；。上，即CB是，：。的直徑即可得NC4B=90。,

即可得A3,Q4,根據(jù)04是?。的直徑得A3是。的切線.

【詳解】解：連接AO.

?/CD=AD,

...點(diǎn)（7在「。上，

...CB是］。的直徑.

...NC鉆=90°.（直徑所對(duì)的圓周角是直角）

：.ABrOA.

：。4是（。的直徑，

.二AB是I。的切線.（經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角的推論，切線的判定.

21.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,將&ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到DEC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在邊上，點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,求線段班），OE的

長(zhǎng).

【答案】BD=1；DE=5

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ABC三DEC,繼而即可求解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得，ABCDEC,

AB=DE，AC=DC,

,/AC=3,

DC=3,

,：BC=4,

BD=1,

在中，根據(jù)勾股定理，得AB=7AC2+BC2=5,

：.DE=5.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì).

22.圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡(jiǎn)單、施

工方便.某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面

寬AB=0.8m,求水的最大深度.

【答案】0.8m

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OC，于點(diǎn)C,連接。4,根據(jù)垂徑定理得到AC=0.4,再在Rt_ACO

中，根據(jù)勾股定理可求出OC,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖，作OCLAB于點(diǎn)C,連接。4,

VZACO=90°,AC=-AB,

2

VAB=0.8,

AC=0.4,

在Rt_ACO中，根據(jù)勾股定理，得OC=1o4—AC?=0.3，

???03+0.5=0.8,

.?.水的最大深度為0.8m.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+2m-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求m的取值范圍；

（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值.

【答案】（1）m<—；（2）m=2.

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于0,列出關(guān)于m的

不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍；

（2）找出m取值范圍中的正整數(shù)，然后分別代入原方程，求出方程的根，經(jīng)檢驗(yàn)即可得

到滿足題意的m的值.

【詳解】(1)?.,依題意，得4=(-4)2-4(2m-1)>0,

??mV—,

2

即m的取值范圍是m<—；

2

(2)為正整數(shù)，

.'.m=l或2,

當(dāng)m=l時(shí)，方程為x2-4x+l=0的根x=2七上不是整數(shù)；

當(dāng)m=2時(shí)，方程為X?-4x+3=0的根xi=l,X2=3,都是整數(shù)，

綜上所述，m=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的根與A=b?-4ac

有如下關(guān)系：

(1)△>0域程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)△=0-方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)△<0期程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

24.如圖，O的半徑OC與弦AB互相垂直，垂足為。，連接AC,OB.

(1)求證：2Z4+Zfi=90。；

(2)延長(zhǎng)80交(。于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作;。的切線交B4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若

AC//BE,EF=4,求/3的度數(shù)及AC的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)NB=30。；AC=2用

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得出NO=2NA,由NODfi=90°,即可得證；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NC43=NB,根據(jù)(1)的結(jié)論得出3/6=90°,即可求得

ZB=30°,根據(jù)所是;O的切線，在RtABEF中,勾股定理求得BE的長(zhǎng)，繼而求得

OC=OB=2g，進(jìn)而即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：VOCLAB,

：./ODB=96°,

/.NO+N3=90。

?/Z.O=2ZA,

，2ZA+ZB=90°.

【小問(wèn)2詳解】

解：AC//BE,

:.ZCAB=ZB.

2ZCAB+ZB=90°,

：.3/5=90°.

/.ZS=30°.

，ZCAB=30°

EF是C。的切線，

：.ZFEB=90°.

'：EF=4,

：.BF=8

在RtABEF中，由勾股定理，得BE=\IBF2-EF-=4-73-

OC=OB=20

???OD=g，

CD=2』-石=5

AC=26

/1）【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定

C

理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

25.一位運(yùn)動(dòng)員在距籃圈中心（點(diǎn)C）水平距離5m處豎直跳起投籃（A為出手點(diǎn)），球運(yùn)

行的路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為3m時(shí)，達(dá)到最高點(diǎn)（點(diǎn)3）,此時(shí)高度

為3.85m,然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心（點(diǎn)C）到地面的距離為3.05m,該運(yùn)動(dòng)員

身高1.75m,在這次跳投中，球在頭頂上方0.15m處出手，球出手時(shí)，他跳離地面的高度

是多少？

C

A

地面

【答案】0.15m

【解析】

【分析】設(shè)拋物線的表達(dá)式為丁=奴2+3.85,根據(jù)題意可知圖象經(jīng)過(guò)的坐標(biāo)，由此可得。

的值，然后將x=—3代入拋物線解析式，得y=2.05,再由2.05—1.75—0.15=0.15即可

求解.

【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系x0y，

則5（0,3.85）,0（2,3.05）,

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y^ax2+3.85,

?.?拋物線經(jīng)過(guò)C（2,3.05）,

???代入得。=—0.2,

拋物線的表達(dá)式為y=-0.2V+3.85,

當(dāng)先=—3時(shí)，J=2.05,

2.05-1.75-0.15=0.15,

球出手時(shí)，他跳離地面高度是0.15m.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，利用二次函數(shù)解決拋物線形的實(shí)際問(wèn)題時(shí),

要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上是解題關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,間，（4,〃）在拋物線y=一2Ma〉0）上.

舛

4-

3-

2-

1-

-4-3-2-io-i234X

-1-

-2-

-3-

-4-

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求機(jī)，孔的值;

(2)點(diǎn)(//)在此拋物線上，若存在使得求。的取值范圍.

【答案】(1)771=0；"=8

2,

(2)—<<2<1

5

【解析】

【分析】⑴將。=1代入拋物線得到y(tǒng)=f—2x,再將點(diǎn)(2,間，(4,〃)代入拋物線即可

求加，n值；

(2)由加=4。-4,〃=16。一8,“2〈〃得4。一4<16。-8,解得a>工,再根據(jù)二次函

3

數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，即可求出。的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y=f—2x,

當(dāng)尤=2時(shí)，m=0,

當(dāng)x=4時(shí)，n=8,

m=0,n=8；

【小問(wèn)2詳解】

(2)由〃z=4a—4,n=16a—8,m〃得4a—4<16a—8

解得a>—

3

根據(jù)題意，拋物線的對(duì)稱軸為％=工,

a

;?！?。，

0<—<3,

a

當(dāng)1<工<3時(shí),

a

當(dāng)x=0時(shí)，y=0；當(dāng)x=l時(shí)，y=a-2,

y隨x的增大而減小，

?**a—2<0,

*.*m<t<n,

4i—4<0且16a—8>a—2,

2?

**?一<〃<1,

5

當(dāng)0<!41時(shí)，總有rv根（九，不符合題意，

a

綜上，。的取值范圍是■|<a<L

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是

根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解，注意分類討論.

27.如圖，在」WC中，ZA=a（0°<a<90°）,將5C邊繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（180°—。）

得到線段CD.

（1）判斷與NACD的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）將AC邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)&得到線段CE,連接OE與AC邊交于點(diǎn)M（不與點(diǎn)

A,C重合）.

①用等式表示線段到/之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若=AC=b,直接寫(xiě)出A"的長(zhǎng).（用含a,〃的式子表示）

【答案】（1）ZB=ZACD,見(jiàn)解析

（2）?DM=EM,見(jiàn)解析；@AM=b--a

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出N5+NBC4=180?！猚,根據(jù)已知得出

ZACD+ZBCA=180°-a,等量代換及即可得證；

（2）①延長(zhǎng)C4至點(diǎn)N,使CN=BA,證明AABC必NCD,進(jìn)而證明

叢CME”ANMD,即可得出=

②根據(jù)△ABC之△”?￡>得出AB=NC=a,根據(jù)ACMEdNMD,得出

CM=NM=-NC=-a,根據(jù)AM=AC—MC=b—工。即可求解.

222

【小問(wèn)1詳解】

ZB=ZACD.

證明：根據(jù)題意，ZBCD=1800-a.

：.ZACD+ZBCA=180°-a

ZA=a

/.ZB+ZBG4=180°-6z

:.ZB=ZACD.

【小問(wèn)2詳解】

①DM=EM.

證明：延長(zhǎng)C4至點(diǎn)N,使CN=BA.

'：CB=CD,ZB=ZACD,

???△ABC/△NCD.

AAC=ND,ZN=ZBAC

VAC=CE,

：.CE=ND

,/ZACE=ZBAC=a,

：.ZACE=ZN.

,：ZCME=ZNMD,

/.ACME咨ANMD.

：-DM=EM.

②：AABCdNCD,

AB=NC=a,

△CME/△N