北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

北京市朝陽區(qū)2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測

九年級數(shù)學(xué)試卷（選用）

（考試時間120分鐘滿分100分）

考生須知：

1.本試卷共8頁，28道小題.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級、姓

名和考號.

2.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

3.在答題卡上，選擇題用25鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

4.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項

只有一個.

1.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人

類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.以下剪紙中，為中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后得到的圖形能夠與原

圖形重合，那么這個圖形就叫中心對稱圖形，據(jù)此即可解答.

【詳解】A.不是中心對稱圖形，故不符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故不符合題意；

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對稱圖形的概念.

2.下列事件中，為必然事件的是（）

A.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°B,明天會下雪

C.鄭一枚骰子，向上一面的點數(shù)是7D.足球運動員射門一次，未射進

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念對各個選項進行判斷即可

【詳解】解：A、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是1800是必然事件，故選項符合題意；

B、明天會下雪是隨機事件，故選項不符合題意；

C、鄭一枚骰子，向上一面的點數(shù)是7是不可能事件，故選項不符合題意；

D、足球運動員射門一次，未射進是隨機事件，故選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】此題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，解題關(guān)鍵是熟記其有關(guān)概

念.

3.二次函數(shù)y=(無+2的頂點坐標(biāo)為()

A.(-1,2)B,(1,-2)C.(1,2)D.

(-L-2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的圖像與性質(zhì)，直接寫出二次函數(shù)y=(x-1)?+2的頂點坐標(biāo)

為(1,2),即可得到答案.

【詳解】解：.?二次函數(shù)y=(x—1>+2為頂點式，

二二次函數(shù)y=(無—以+2的頂點坐標(biāo)為(1,2),

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)頂點式的圖像與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)頂點式得到頂點坐標(biāo)的方

法是解決問題的關(guān)鍵.

4.若關(guān)于X的方程九2+6%+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則C的值是()

A.36B.-36C.9D.-9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=62-4c=0,然后解關(guān)于C的一次方程即可.

【詳解】解：；方程/+6*+°=0有兩個相等的實數(shù)根

***A=62-4xlxc=0

解得。=9

故選：c.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程分2+法+°=0（。*0）的跟與

A=/—4ac的關(guān)系，關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實

數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)A<0時，方程無實數(shù)根.

5.如圖，在（。中，弦A3，CD相交于點P,ZCAB=40°,ZABD=3Q°,則NAPD

的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.70°

【答案】D

【解析】

【分析】由圓周角定理可得NC=NABD=30。，NC43=40。，然后由三角形外角的性質(zhì)，

求得NAPD的度數(shù).

【詳解】解：VZC=ZABD=30°,ZCAB=4O°,

：.ZAPD=ZCAB+ZC=70°；

故選：D.

【點睛】此題考查了圓周角定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.不透明袋子中裝有無差別的兩個小球，分別寫有“問天”和“夢天”.隨機取出一個小

球后,放回并搖勻，再隨機取出一個小球,則兩次都取到寫有“問天”的小球的概率為（）

3111

A.-B.-C.-D.一

4234

【答案】D

【解析】

【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，兩次都取到寫有“問天”的小球的結(jié)果有1種，

再由概率公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)“問天”為1,“夢天”為2,畫樹狀圖如圖：

共有4種等可能的結(jié)果，兩次都取到寫有“問天”的小球的結(jié)果有1種,

，兩次都取到寫有“問天”的小球的概率為‘，

4

故選：D.

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可

能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注

意此題是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.如圖，正方形A8CD的邊長為4,分別以4B,C,。為圓心，2為半徑作圓，則圖中

陰影部分的面積為（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知陰影部分的面積為正方形的面積減去四個四分之一圓的面積求解即

可.

【詳解】解：：正方形ABCD的邊長為4,

...正方形A5CD的面積為16,

又四個四分之一圓的面積等于一個半徑為2的圓的面積為4萬，

陰影部分的面積16—4萬.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了圓的面積，正方形面積，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，構(gòu)造等面積轉(zhuǎn)

化.

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=—3?+左與x軸交于（。,0）,（反0）兩點，其

中a<b.將此拋物線向上平移，與x軸交于（c,0）,（1,0）兩點，其中c<d,下面結(jié)論正確

的是（）

A.當(dāng)相＞0時,a+b=c+d,b—a>d—c

B.當(dāng)相＞0時,a+b>c+d,b-a-d-c

當(dāng)根v0時,a+b=c+d,b—a>d—c

D.當(dāng)mv0時,a+b>c+d,b—a<d—c

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對加分情況討論，根據(jù)向上平移后對稱軸不變，平移后

的交點變化，進行判斷即可

【詳解】解：當(dāng)加＞0時，拋物線開口向上，如圖所示,

對稱軸為1=3,平移后的拋物線對稱軸1=3,

??.a+Z?=6,c+d=6

a+b=c+d,

,:a<b,c<d,

a—c<0fb—d>0?

b-d>a-c

b—a>d—c

故A正確，B錯誤,

當(dāng)機＜0時，拋物線開口向下，如圖所示,

對稱軸為x=3,平移后的拋物線對稱軸1=3,

a+b=6,c+d=6

a+b=c+d,

9

：c<a9b<d,

.??〃一c〉0,b-d<0

a—c>b—d，

d-ob-a,BPb—a<d—c,

故C、D錯誤，

綜上，故選：A.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的對稱性.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點（5,1）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是.

【答案】（―5,—1）

【解析】

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點（入，,），關(guān)于原點的對稱點是（-8-y）,然后直

接作答即可.

【詳解】解:根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知：點（5,1）關(guān)于原點。中心對稱的點的坐標(biāo)為（-5,-1）.

故答案為:（-5,-1）.

【點睛】本題考查關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)的關(guān)系，是需要熟記的基本問題，記憶方法可以結(jié)

合平面直角坐標(biāo)系的圖形.

10.方程尤2_4=0的根是.

【答案］國=-2,X2=2

【解析】

【分析】根據(jù)直接開平方法求解即可.

【詳解】解:X2-4=0,

丁=4，

x=+2,

即占=-2,訪=2.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握用直接開平方法解一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

11.寫出一個與拋物線y=3%2—2x+l開口方向相同的拋物線的表達式：.

【答案】丁=3/（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得拋物線的開口方向是由二次項系數(shù)符號確定的，故只要二次

項系數(shù)。>0即可.

【詳解】解：：拋物線丁=3必—2x+l開口方向向上，

.,.與拋物線y=3_?—2x+l開口方向相同的拋物線只要二次項系數(shù)a>0,

...與拋物線>=3必—2x+l開口方向相同的拋物線為：丁=3/,不唯一.

故答案為：j=3x2(答案不唯一).

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì).

12.如圖，矩形綠地的長和寬分別為30m和20m.若將該綠地的長、寬各增加xm,擴充后

的綠地的面積為加2,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系是.(填“正比例函數(shù)關(guān)系”、“一

次函數(shù)關(guān)系”或“二次函數(shù)關(guān)系”)

【答案】二次函數(shù)關(guān)系

【解析】

【分析】根據(jù)矩形面積公式求出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案.

【詳解】解：由題意得,=(30+%)(20+%)=/+50%+600,

與x之間的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，

故答案為；二次函數(shù)關(guān)系.

【點睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的定義，正確列出y與尤之間的函數(shù)關(guān)

系式是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，PA,依是圓。的兩條切線，切點分別為48連接Q4，AB,若NQ鉆=35°,

則°.

【答案】55

【解析】

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB±PB,根據(jù)一A05為等腰三角形，即

ZOAB=AOBA=35°,進而可得ZABP=Z.OBP-AOBA=90°-35°=55°.

【詳解】解：；刈，PB是。的兩條切線，切點分別為AB,

：.OALPA,OBYPB,即NQ4P=NOBP=90°,

VJLO5為等腰三角形，

ZOAB=ZOBA=35°,

ZABP=ZOBP-ZOBA=90°-35°=55°.

故答案為：55.

【點睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì).

14.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成12個相同的小扇形.若把某些小

扇形涂上紅色，使轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向紅色的概率是則涂上紅色的小扇形有

【解析】

【分析】由于轉(zhuǎn)盤被分成12個大小相同的扇形，結(jié)合指針指向紅色的概率為』，讓總份數(shù)

3

乘以相應(yīng)概率即為紅色區(qū)域的份數(shù).

【詳解】解：要使轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在紅色區(qū)域的概率為g,

只需使紅色區(qū)域占總面積的,即可，而已知整個圓面被分成12等份，

3

故只需使紅色占到12x'=4等份.

3

故涂上紅色小扇形有4個，

故答案為：4.

【點睛】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.某農(nóng)科所在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗，結(jié)果如下：

種子個數(shù)1002003004005008001100140017002000

發(fā)芽種子94187282337436718994125415311797

個數(shù)

發(fā)芽種子

0.9400.9350.9400.8430.8720.8980.9040.8960.9010.899

頻率

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，估計1000kg該種作物種子能發(fā)芽的有kg.

【答案】900

【解析】

【分析】大量重復(fù)試驗下種子能發(fā)芽的頻率可以估計種子能發(fā)芽的概率，據(jù)此求解.

【詳解】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著實驗次數(shù)的增多頻率逐漸穩(wěn)定在0.9附近，

故種子能發(fā)芽的概率估計值為0.9.

???估計1000kg該種作物種子能發(fā)芽的有1000x0.9=900（kg）,

故答案為：900（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關(guān)鍵是了解大量重復(fù)試驗中某個事

件發(fā)生的頻率能估計概率.

16.某跨學(xué)科綜合實踐小組準(zhǔn)備購買一些盒子存放實驗材料.現(xiàn)有A,B,C三種型號的盒

子，盒子容量和單價如下表所示：

盒子型號ABC

盒子容量/升234

盒子單價/元569

其中A型號盒子做促銷活動：購買三個及三個以上可一次性返現(xiàn)金4元，現(xiàn)有28升材料需

要存放且每個盒子要裝滿材料.

（1）若購買A,B,C三種型號的盒子的個數(shù)分別為2,3,4,則購買費用為元；

（2）若一次性購買所需盒子且使購買費用不超過58元，則購買A,B,C三種型號的盒子

的個數(shù)分別為.（寫出一種即可）

【答案】①.64②.答案不唯一，如3,6,1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列整式，代入數(shù)據(jù)即可求解；

（2）先假設(shè)購買A型號的盒子3個，花費15元，能存放6升材料，設(shè)購買8,C兩種型

22

號的盒子的個數(shù)為x,----------,購買8,C兩種型號的盒子的費用為V,根據(jù)題意可

4

得：j=-1.75%+49.5<47,求得x得取值范圍，分情況討論找出符合條件的數(shù)值即可

求解.

【詳解】(1)購買費用為：2x5+3x6+4x9=10+18+36=64(元),

故答案為：64；

(2):?購買三個及三個以上A型號盒子可一次性返現(xiàn)金4元，

假設(shè)購買A型號的盒子3個，花費15元，能存放6升材料，實際花費為11元，

22

設(shè)購買B,C兩種型號的盒子的個數(shù)為無，-------，購買3,C兩種型號的盒子的費用

4

為兀根據(jù)題意可得：

整理得：y=—1.75尤+49.5

Xj=-1.75x+49.5<47,

解得：x>—,

7

22—3x

Vx和———需要同時滿足正整數(shù)，

4

22-3%

.?.當(dāng)x=2,--------=4時，購買C兩種型號的盒子的費用

4

J=2X6+4X9=48>47,不符合題意，

22

當(dāng)％=6,-------^=1時，購買B,C兩種型號的盒子的費用y=6x6+lx9=45W47,

4

符合題意，

...購買A,B,C三種型號的盒子的個數(shù)分別為3,6,1(答案不唯一).

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用一方案選擇問題、一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是正確解

讀題意，找出符合條件的取值范圍，注意盒子的個數(shù)需要是正整數(shù).

三、解答題(共68分，第17—22題，每題5分，第23—26題，每題6分，第

27—28題，每題7分).解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：x~+4x+3=Q-

【答案】西=—1,々=一3

【解析】

【分析】直接因式分解即可求解.

【詳解】爐+4%+3=0

(x+3)(x+l)=0

&=-1,x2=—3.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關(guān)鍵.

18.已知二次函數(shù)幾組尤與y的對應(yīng)值如下表：

.?????

X-3-2-1134

???…

y1250-405

(1)求此二次函數(shù)的表達式；

(2)直接寫出當(dāng)x取何值時，y<0.

【答案】(1)y=(x-l)2-4

(2)-1<^<3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)特點可得出，二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(-1,0)和點(3,0),頂點為

(1,-4),設(shè)該二次函數(shù)的表達式為丁=。(九—4,將(3,0)代入即可；

(2)根據(jù)拋物線開口向上，經(jīng)過點(-1,0)和點(3,0),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)表格，二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(—1,0)和點(3,0)

，對稱軸為x=I”=1,

2

即頂點為(1,-4),

設(shè)該二次函數(shù)的表達式為y=a(x——4,

把(3,0)代入，得0=4?！?

解得：4=1,

二?二次函數(shù)的表達式為y=(x--4.

【小問2詳解】

在j=(x-l)2-4中，

函數(shù)圖像經(jīng)過點(—1,0)和點(3,0),

且拋物線開口向上，

.,.當(dāng)一1<%<3時，y<0.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)解析式，拋物線與X軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物

線的對稱性、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

19.已知x=l是關(guān)于尤的方程%2+2狽+/=3的一個根，求代數(shù)式。（。―1）+片+5。的

值.

【答案】4

【解析】

【分析】先將x=l代入方程尤2+2以+/=3得到2"+片=2,再由

a（a—l）+a~+5a=2A2+4a=2（a~+2a）,用整體代入法進行計算即可得到答案.

【詳解】解：a（a—l）+a~+5a

=a2—"+"+5。

=2a2+4a?

???X=1是關(guān)于X的方程尤2+2以+/=3的一個根，

?-1+2a+/=3.

,,Q2+2a—2?

原式=2（/+2。）=4.

【點睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入法進行求解.

20.下面是小立設(shè)計的“過圓上一點作這個圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。及圓上一點A.

求作：直線A3,使得A5為。的切線，A為切點.

①連接。4并延長到點C；

②分別以點4C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點。（點。在直線Q4上方）;

2

③以點。為圓心，DA長為半徑作。；

④連接CD并延長，交。于點8,作直線A3.

直線A5就是所求作的直線.

根據(jù)小立設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成下面的證明.（說明：括號里填推理的依據(jù)）

證明：連接AO.

V@=AD

...點C在CO上，

???CB是：。的直徑.

@=90°.（③）

：.AB1?.

：。4是（。的直徑，

是匚。的切線.（⑤）

【答案】①CD,②NCAB,③直徑所對的圓周角是直角，④。4,⑤經(jīng)過半徑的外

端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【解析】

【分析】根據(jù)畫法得CD=AT>,則點C在；。上，即CB是，：。的直徑即可得NC4B=90。,

即可得A3,Q4,根據(jù)04是?。的直徑得A3是。的切線.

【詳解】解：連接AO.

?/CD=AD,

...點（7在「。上，

...CB是］。的直徑.

...NC鉆=90°.（直徑所對的圓周角是直角）

：.ABrOA.

：。4是（。的直徑，

.二AB是I。的切線.（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角的推論，切線的判定.

21.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,將&ABC繞點C逆時針旋

轉(zhuǎn)得到DEC,使點A的對應(yīng)點。落在邊上，點2的對應(yīng)點為E,求線段班），OE的

長.

【答案】BD=1；DE=5

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ABC三DEC,繼而即可求解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得，ABCDEC,

AB=DE，AC=DC,

,/AC=3,

DC=3,

,：BC=4,

BD=1,

在中，根據(jù)勾股定理，得AB=7AC2+BC2=5,

：.DE=5.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì).

22.圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡單、施

工方便.某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面

寬AB=0.8m,求水的最大深度.

【答案】0.8m

【解析】

【分析】過點。作OC，于點C,連接。4,根據(jù)垂徑定理得到AC=0.4,再在Rt_ACO

中，根據(jù)勾股定理可求出OC,進而即可求解.

【詳解】解：如圖，作OCLAB于點C,連接。4,

VZACO=90°,AC=-AB,

2

VAB=0.8,

AC=0.4,

在Rt_ACO中，根據(jù)勾股定理，得OC=1o4—AC?=0.3，

???03+0.5=0.8,

.?.水的最大深度為0.8m.

【點睛】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+2m-1=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求m的取值范圍；

（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值.

【答案】（1）m<—；（2）m=2.

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0,列出關(guān)于m的

不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍；

（2）找出m取值范圍中的正整數(shù)，然后分別代入原方程，求出方程的根，經(jīng)檢驗即可得

到滿足題意的m的值.

【詳解】(1)?.,依題意，得4=(-4)2-4(2m-1)>0,

??mV—,

2

即m的取值范圍是m<—；

2

(2)為正整數(shù)，

.'.m=l或2,

當(dāng)m=l時，方程為x2-4x+l=0的根x=2七上不是整數(shù)；

當(dāng)m=2時，方程為X?-4x+3=0的根xi=l,X2=3,都是整數(shù)，

綜上所述，m=2.

【點睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的根與A=b?-4ac

有如下關(guān)系：

(1)△>0域程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)△=0-方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)△<0期程沒有實數(shù)根.

24.如圖，O的半徑OC與弦AB互相垂直，垂足為。，連接AC,OB.

(1)求證：2Z4+Zfi=90。；

(2)延長80交(。于點E，過點E作;。的切線交B4的延長線于點尸.若

AC//BE,EF=4,求/3的度數(shù)及AC的長.

【答案】(1)見解析(2)NB=30。；AC=2用

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得出NO=2NA,由NODfi=90°,即可得證；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NC43=NB,根據(jù)(1)的結(jié)論得出3/6=90°,即可求得

ZB=30°,根據(jù)所是;O的切線，在RtABEF中,勾股定理求得BE的長，繼而求得

OC=OB=2g，進而即可求解.

【小問1詳解】

證明：VOCLAB,

：./ODB=96°,

/.NO+N3=90。

?/Z.O=2ZA,

，2ZA+ZB=90°.

【小問2詳解】

解：AC//BE,

:.ZCAB=ZB.

2ZCAB+ZB=90°,

：.3/5=90°.

/.ZS=30°.

，ZCAB=30°

EF是C。的切線，

：.ZFEB=90°.

'：EF=4,

：.BF=8

在RtABEF中，由勾股定理，得BE=\IBF2-EF-=4-73-

OC=OB=20

???OD=g，

CD=2』-石=5

AC=26

/1）【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定

C

理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

25.一位運動員在距籃圈中心（點C）水平距離5m處豎直跳起投籃（A為出手點），球運

行的路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運行的水平距離為3m時，達到最高點（點3）,此時高度

為3.85m,然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心（點C）到地面的距離為3.05m,該運動員

身高1.75m,在這次跳投中，球在頭頂上方0.15m處出手，球出手時，他跳離地面的高度

是多少？

C

A

地面

【答案】0.15m

【解析】

【分析】設(shè)拋物線的表達式為丁=奴2+3.85,根據(jù)題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此可得。

的值，然后將x=—3代入拋物線解析式，得y=2.05,再由2.05—1.75—0.15=0.15即可

求解.

【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系x0y，

則5（0,3.85）,0（2,3.05）,

設(shè)拋物線的表達式為y^ax2+3.85,

?.?拋物線經(jīng)過C（2,3.05）,

???代入得。=—0.2,

拋物線的表達式為y=-0.2V+3.85,

當(dāng)先=—3時，J=2.05,

2.05-1.75-0.15=0.15,

球出手時，他跳離地面高度是0.15m.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識，利用二次函數(shù)解決拋物線形的實際問題時,

要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上是解題關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系中，點（2,間，（4,〃）在拋物線y=一2Ma〉0）上.

舛

4-

3-

2-

1-

-4-3-2-io-i234X

-1-

-2-

-3-

-4-

(1)當(dāng)。=1時，求機，孔的值;

(2)點(//)在此拋物線上，若存在使得求。的取值范圍.

【答案】(1)771=0；"=8

2,

(2)—<<2<1

5

【解析】

【分析】⑴將。=1代入拋物線得到y(tǒng)=f—2x,再將點(2,間，(4,〃)代入拋物線即可

求加，n值；

(2)由加=4。-4,〃=16。一8,“2〈〃得4。一4<16。-8,解得a>工,再根據(jù)二次函

3

數(shù)的性質(zhì)以及對稱軸進行分類討論，即可求出。的取值范圍.

【小問1詳解】

解：當(dāng)a=l時，函數(shù)表達式為y=f—2x,

當(dāng)尤=2時，m=0,

當(dāng)x=4時，n=8,

m=0,n=8；

【小問2詳解】

(2)由〃z=4a—4,n=16a—8,m〃得4a—4<16a—8

解得a>—

3

根據(jù)題意，拋物線的對稱軸為％=工,

a

;?！?。，

0<—<3,

a

當(dāng)1<工<3時,

a

當(dāng)x=0時，y=0；當(dāng)x=l時，y=a-2,

y隨x的增大而減小，

?**a—2<0,

*.*m<t<n,

4i—4<0且16a—8>a—2,

2?

**?一<〃<1,

5

當(dāng)0<!41時，總有rv根（九，不符合題意，

a

綜上，。的取值范圍是■|<a<L

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是

根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解，注意分類討論.

27.如圖，在」WC中，ZA=a（0°<a<90°）,將5C邊繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)（180°—。）

得到線段CD.

（1）判斷與NACD的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）將AC邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)&得到線段CE,連接OE與AC邊交于點M（不與點

A,C重合）.

①用等式表示線段到/之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若=AC=b,直接寫出A"的長.（用含a,〃的式子表示）

【答案】（1）ZB=ZACD,見解析

（2）?DM=EM,見解析；@AM=b--a

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出N5+NBC4=180?！猚,根據(jù)已知得出

ZACD+ZBCA=180°-a,等量代換及即可得證；

（2）①延長C4至點N,使CN=BA,證明AABC必NCD,進而證明

叢CME”ANMD,即可得出=

②根據(jù)△ABC之△”?￡>得出AB=NC=a,根據(jù)ACMEdNMD,得出

CM=NM=-NC=-a,根據(jù)AM=AC—MC=b—工。即可求解.

222

【小問1詳解】

ZB=ZACD.

證明：根據(jù)題意，ZBCD=1800-a.

：.ZACD+ZBCA=180°-a

ZA=a

/.ZB+ZBG4=180°-6z

:.ZB=ZACD.

【小問2詳解】

①DM=EM.

證明：延長C4至點N,使CN=BA.

'：CB=CD,ZB=ZACD,

???△ABC/△NCD.

AAC=ND,ZN=ZBAC

VAC=CE,

：.CE=ND

,/ZACE=ZBAC=a,

：.ZACE=ZN.

,：ZCME=ZNMD,

/.ACME咨ANMD.

：-DM=EM.

②：AABCdNCD,

AB=NC=a,

△CME/△N