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文檔簡(jiǎn)介
2.2.1等差數(shù)列
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課將探究一類特殊的數(shù)列一一等差數(shù)列.本節(jié)課支配2課時(shí),第1課
時(shí)是在生活中詳細(xì)例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念,接著用不完全歸納法歸
納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,最終依據(jù)這個(gè)公式去進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.第2課時(shí)主要
是讓學(xué)生明確等差中項(xiàng)的概念,進(jìn)一步嫻熟駕馭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與其推導(dǎo)
的公式,并能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象相識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì).讓學(xué)生明白一個(gè)數(shù)列
的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù),使學(xué)生學(xué)會(huì)用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)
系解決某些問(wèn)題.在學(xué)法上,引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探究,同時(shí)激勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑,
學(xué)會(huì)探究.在問(wèn)題探究過(guò)程中,先從視察入手,發(fā)覺問(wèn)題的特點(diǎn),形成解決問(wèn)
題的初步思路,然后用歸納方法進(jìn)行摸索,提出猜想,最終采納證明方法(或舉
反例)來(lái)檢驗(yàn)所提出的猜想.其中例1是鞏固定義,例2到例5是等差數(shù)列通項(xiàng)
公式的敏捷運(yùn)用.
在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性,盡可能
讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)學(xué)問(wèn)的形成和發(fā)展過(guò)程,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)愛好,發(fā)揮他們的主觀能
動(dòng)性與其在教學(xué)過(guò)程中的主體地位.使學(xué)生相識(shí)到生活離不開數(shù)學(xué),同樣數(shù)學(xué)
也是離不開生活的.學(xué)會(huì)在生活中挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,使數(shù)學(xué)生活
化,生活數(shù)學(xué)化.
數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中處于一個(gè)學(xué)問(wèn)匯合點(diǎn)的地位,很多學(xué)問(wèn)都與數(shù)
列有著親密聯(lián)系,過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯等學(xué)問(wèn)在這一章
均得到了較為充分的應(yīng)用,而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容
作了鋪墊.教材實(shí)行將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)
的內(nèi)在聯(lián)系,而數(shù)列正是在將各學(xué)問(wèn)溝通方面發(fā)揮了重要作用.因此本節(jié)內(nèi)容
是培育學(xué)生視察問(wèn)題、啟發(fā)學(xué)生思索問(wèn)題的好素材.
三維目標(biāo)
1.通過(guò)實(shí)例理解等差數(shù)列的概念,通過(guò)生活中的實(shí)例抽象出等差數(shù)列模型,
讓學(xué)生相識(shí)到這一類數(shù)列是現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的數(shù)列模型.同時(shí)經(jīng)驗(yàn)由發(fā)覺
幾個(gè)詳細(xì)數(shù)列的等差關(guān)系,歸納出等差數(shù)列的定義的過(guò)程.
2.探究并駕馭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,由等差數(shù)列的概念,通過(guò)歸納或迭加
或迭代的方式探究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.通過(guò)與一次函數(shù)的圖象類比,探究等
差數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.
3.通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的探討,使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系,
滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn),加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛
好.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):等差數(shù)列的概念,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差中項(xiàng)與性質(zhì),會(huì)
用公式解決一些簡(jiǎn)潔的問(wèn)題.
教學(xué)難點(diǎn):概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法,以與從函數(shù)、
方程的觀點(diǎn)看通項(xiàng)公式,并會(huì)解決一些相關(guān)的問(wèn)題.
課時(shí)支配
2課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路L(干脆導(dǎo)入)老師引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)過(guò)的數(shù)列的概念以與通項(xiàng)
公式,可有意識(shí)地在黑板上(或課件中)出示幾個(gè)數(shù)列,如:數(shù)列1,2,3,…,
數(shù)列0,0,0,…,數(shù)列0,2,4,6,…等,然后干脆引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例,
不知不覺中就已經(jīng)進(jìn)入了新課.
思路2.(類比導(dǎo)入)老師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列的概念與通項(xiàng)
公式,使學(xué)生明白我們現(xiàn)在要探討的就是一列數(shù).由此我們聯(lián)想:在初中我們
學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù),探討了它的一些運(yùn)算與性質(zhì),則我們能不能也像探討實(shí)數(shù)一樣,
來(lái)探討它的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)呢?由此導(dǎo)入新課.
推動(dòng)新課
錯(cuò)誤!
錯(cuò)誤!
1回憶數(shù)列的概念,數(shù)列都有哪幾種表示方法?
2閱讀教科書本節(jié)內(nèi)容中的①②③3個(gè)背景實(shí)例,熟識(shí)生活中常見現(xiàn)
象,寫出由3個(gè)實(shí)例所得到的數(shù)列.
3視察數(shù)列①②③,它們有什么共同特點(diǎn)?
4依據(jù)數(shù)列①②③的特征,每人能再舉出2個(gè)與其特征相同的數(shù)列
嗎?
5什么是等差數(shù)列?怎樣理解等差數(shù)列?其中的關(guān)鍵字詞是什么?
6數(shù)列①②③存在通項(xiàng)公式嗎?假如存在,分別是什么?
7等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?怎樣推導(dǎo)?
活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列與其簡(jiǎn)潔表示法一一列表法、
通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法,這些方法從不同角度反映了數(shù)列的特點(diǎn).然后
引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例模型,指導(dǎo)學(xué)生寫出這3個(gè)模型的數(shù)列:
①22,22.5,23,23.5,24,24.5,…;
②2,9,16,23,30;
③89,83,77,71,65,59,53,47.
這是由日常生活中常常遇到的實(shí)際問(wèn)題中得到的數(shù)列.視察這3個(gè)數(shù)列發(fā)
覺,每個(gè)數(shù)列中相鄰的后項(xiàng)減前項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù).當(dāng)然這里我們是拿后項(xiàng)
減前項(xiàng),其實(shí)前項(xiàng)減后項(xiàng)也是一個(gè)常數(shù),為了后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)便利,這個(gè)依次
不能顛倒.
至此學(xué)生會(huì)相識(shí)到,具備這個(gè)特征的數(shù)列模型在生活中有很多,如上節(jié)提
到的堆放鋼管的數(shù)列為100,99,98,97,…,某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)的座位排列:
第一排15個(gè)座位,向后依次為17,19,21,23,…,等等.
以上這些數(shù)列的共同特征是:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于
同一個(gè)常數(shù)(即等差).這就是我們這節(jié)課要探討的主要內(nèi)容.老師先讓學(xué)生試
著用自己的語(yǔ)言描述其特征,然后給出等差數(shù)列的定義.
等差數(shù)列的定義:一般地,假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)
的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公
差,公差通常用字母d表示.
老師引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)定義:這里公差d肯定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得,若前
項(xiàng)減后項(xiàng)則為一d,這就是為什么前面3個(gè)模型的分析中總是說(shuō)后項(xiàng)減前項(xiàng)而不
說(shuō)前項(xiàng)減后項(xiàng)的緣由.明顯3個(gè)模型數(shù)列都是等差數(shù)列,公差依次為0.5,7,
-6.
老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生在學(xué)習(xí)
中常常遇到一些概念,能否抓住定義中的關(guān)鍵字,是能否正確、深化地理解和
駕馭概念的重要條件,這是學(xué)好數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的重要一環(huán).因此老師應(yīng)當(dāng)教
會(huì)學(xué)生如何深化理解一個(gè)概念,以培育學(xué)生分析問(wèn)題、相識(shí)問(wèn)題的實(shí)力)
這里“從其次項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”是等差數(shù)列定義中的核心部分.用
遞推公式可以這樣描述等差數(shù)列的定義:對(duì)于數(shù)列仆,若一T=d(d是與n無(wú)關(guān)
的常數(shù)或字母),nN2,neN*,則此數(shù)列是等差數(shù)列.這是證明一個(gè)數(shù)列是等
差數(shù)列的常用方法.點(diǎn)撥學(xué)生留意這里的“n22”,若n包括1,則數(shù)列是從
第1項(xiàng)向前減,明顯無(wú)從減起.若n從3起先,則會(huì)漏掉az—ai的差,這也不
符合定義,如數(shù)列1,3,4,5,6,明顯不是等差數(shù)列,因此要從意義上深刻理解
等差數(shù)列的定義.
老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列①②③的通項(xiàng)公式,學(xué)生依據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)
列通項(xiàng)公式的定義,視察每一數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系會(huì)很快寫出:①=21.5
+0.5n,②=7n—5,③=—6n+95.
以上這幾個(gè)通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn),無(wú)論是在求解方法上,還是在所求的
結(jié)果方面都存在很多共性.老師點(diǎn)撥學(xué)生探求,對(duì)隨意等差數(shù)列alfa2,
as,…,,…,依據(jù)等差數(shù)列的定義都有:
0^2—3.1—d,
33-a2=d,
一=d,
所以a2=a1+d,
a3=a?+d=(a1+d)+d=ai+2d,
a4=a3+d=(a)+2d)+d=ai+3d.
學(xué)生很簡(jiǎn)潔猜想出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=a+(n—l)d后,老師適時(shí)點(diǎn)明:
我們歸納出的公式只是一個(gè)猜想,嚴(yán)格的證明須要用到后面的其他學(xué)問(wèn).
老師可就此進(jìn)一步點(diǎn)撥學(xué)生:數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是很重要的思索方法,
后面還要特地探究它.數(shù)學(xué)中有很多聞名的猜想,如哥德巴赫猜想常被稱為數(shù)
學(xué)皇冠上的明珠,對(duì)于它的證明中國(guó)已處于世界領(lǐng)先地位.很多聞名的數(shù)學(xué)結(jié)
論都是從猜想起先的.但要留意,數(shù)學(xué)猜想僅是一種數(shù)學(xué)想象,在未得到嚴(yán)格
的證明前不能當(dāng)作正確的結(jié)論來(lái)用.這里我們歸納猜想的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
=ai+(n—l)d是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明白的,只是現(xiàn)在我們學(xué)問(wèn)受限,無(wú)法證明,所以
說(shuō)我們先承認(rèn)它.激勵(lì)學(xué)生只要?jiǎng)?chuàng)新探究,獨(dú)立思索,也會(huì)有自己的新穎發(fā)
覺.
老師依據(jù)教學(xué)實(shí)際狀況,也可引導(dǎo)學(xué)生得出等差數(shù)列通項(xiàng)公式的其他推導(dǎo)
方法.例如:
方法一(疊加法):???{}是等差數(shù)列,
??--1=d,
-i--2=d,
-2--3=d,
a2-a1—d.
兩邊分別相加得一ai=(n—l)d,
所以=ad(n—l)d,
方法二(迭代法):{}是等差數(shù)列,則有
=-i+d,
=_2+d+d
=-2+2d
=_3+d+2d
=-3+3d
=a)+(n—1)d.
所以=a1+(n—l)d.
探討結(jié)果:
⑴?(4)略.
(5)假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常
數(shù),則這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.其中關(guān)鍵詞為“從第2項(xiàng)起”、“等于同一
個(gè)常數(shù)”.
(6)三個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,它們分別是:=21.5+0.5n,=7n—5,=一
6n+95.
(7)可用疊加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:=a,+(n-l)d.
錯(cuò)誤!
例1(教材本節(jié)例2)
活動(dòng):本例的目的是讓學(xué)生熟識(shí)公式,使學(xué)生從中體會(huì)公式與方程之間的
聯(lián)系.教學(xué)時(shí)要使學(xué)生相識(shí)到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于、a-d、
n(獨(dú)立的量有3個(gè))的方程,以便于學(xué)生能把方程思想和通項(xiàng)公式相結(jié)合,解決
等差數(shù)列問(wèn)題.本例中的(2)是推斷一個(gè)數(shù)是否是某等差數(shù)列的項(xiàng).這個(gè)問(wèn)題可
以看作(1)的逆問(wèn)題.須要向?qū)W生說(shuō)明的是,求出的項(xiàng)數(shù)為正整數(shù),所給數(shù)就是
已知數(shù)列中的項(xiàng),否則,就不是已知數(shù)列中的項(xiàng).本例可由學(xué)生自己獨(dú)立解決,
也可做板演之用,老師只是對(duì)有困難的學(xué)生賜予恰當(dāng)點(diǎn)撥.
點(diǎn)評(píng):在數(shù)列中,要讓學(xué)生明確解方程的思路.
變式訓(xùn)練
(1)100是不是等差數(shù)列2,9,16,…的項(xiàng),假如是,是第幾項(xiàng)?假如不是,
請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)—20是不是等差數(shù)列0,—3,—7,…的項(xiàng),假如是,是第幾項(xiàng)?假如
不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)由題意,知Iat—2,d=9—2=7.因而通項(xiàng)公式為=2+(n—1)X7
=7n-5.
令7n—5=100,解得n=15,所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).
(2)由題意可知a=0,d=-3,因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為=-n+.
令-n+=—20,解得n=.因?yàn)?n+=—20沒有正整數(shù)解,所以一20不
是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
例2一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差d>0,從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大,求
公差d的范圍.
活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生視察題意,思索條件”從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大”
的含義,應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)條件?是否僅是a10>l呢?d>0的條件又說(shuō)明什
么?老師可讓學(xué)生合作探究,放手讓學(xué)生探討,不要怕學(xué)生出錯(cuò).
解:???40,設(shè)等差數(shù)列為{},則有aiVazVa3V…VagVaXauV…,
由題意,得錯(cuò)誤!
即錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!
解得VdW.
點(diǎn)評(píng):本例學(xué)生很簡(jiǎn)潔解得不完整,解完此題后讓學(xué)生反思解題過(guò)程.本
題主要訓(xùn)練學(xué)生敏捷運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以與對(duì)公差的深刻理解.
變式訓(xùn)練
在數(shù)列{}中,已知、=1,=+(n6N*),求aso.
解:已知條件可化為一=(n£N*),
由等差數(shù)列的定義,知{}是首項(xiàng)為=1,公差為d=的等差數(shù)列,
...=1+(50—1)X=.
??3-50=?
例3已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式=+q,其中p、q是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是否肯
定是等差數(shù)列?若是,首項(xiàng)與公差分別是什么?
活動(dòng):要判定{}是不是等差數(shù)列,可以利用等差數(shù)列的定義,依據(jù)一r(n
>1)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).
這事實(shí)上給出了推斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的一個(gè)方法:假如一個(gè)數(shù)列
的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)的一次型函數(shù),則這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列.因而把
等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)聯(lián)系了起來(lái).本例設(shè)置的“旁注”,目的是為了
揭示等差數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征:對(duì)于通項(xiàng)公式形如=+q的數(shù)列,肯定是
等差數(shù)列,一次項(xiàng)系數(shù)P就是這個(gè)等差數(shù)列的公差,首項(xiàng)是p+q.因此可以深
化學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解,同時(shí)還可以從多個(gè)角度去看待等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,
有利于以后更好地把握等差數(shù)列的性質(zhì).在教學(xué)時(shí)老師要依據(jù)學(xué)生解答的狀況,
點(diǎn)明這點(diǎn).
解:當(dāng)nN2時(shí),(取數(shù)列{}中的隨意相鄰兩項(xiàng)t與(nN2))
—-i=(+q)—[p(n—1)+q]=+q—(—p+q)=p為常數(shù),
所以{}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a=p+q,公差為p.
點(diǎn)評(píng):(1)若p=0,則{}是公差為0的等差數(shù)列,即為常數(shù)列q,q,q,….
(2)若pXO,則是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點(diǎn)(n,)均
在一次函數(shù)y=+q的圖象上,一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p,直線在y軸上的截距為
(3)數(shù)列{}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)=+q(p、q是常數(shù)),稱其為第
3通項(xiàng)公式.
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列的通項(xiàng)公式=6n—L問(wèn)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?若是等差數(shù)
列,其首項(xiàng)與公差分別是多少?
解:"一=[6(n+DT]-(6n-l)=6(常數(shù)),
,{}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為a=6X1—1=5,公差為6.
點(diǎn)評(píng):該訓(xùn)練題的目的是進(jìn)一步熟識(shí)例3的內(nèi)容.須要向?qū)W生強(qiáng)調(diào),若用
—T=d,則必需強(qiáng)調(diào)n?2這一前提條件,若用+1-=d,則可不對(duì)n進(jìn)行限制.
錯(cuò)誤!
1.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng);
(2)—401是不是等差數(shù)列一5,-9,-13,…的項(xiàng)?假如是,是第幾項(xiàng)?
2.求等差數(shù)列3,7,11,…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).
答案:
1.解:(1)由a,=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+(20-l)X(-3)
=-49.
(2)由a=-5,d=—9—(―5)=—4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為
=-5—4(n—1)——4n—1.
由題意知,本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得一401=一如一1成立.解
這個(gè)關(guān)于n的方程,得n=100,即一401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).
2.解:依據(jù)題意可知由=3,d=7-3=4.
???該數(shù)列的通項(xiàng)公式為=3+(n—1)X4,
即=4n—l(n21,nGN*).
/.a.i=4X4—1=15,aio=4X10—1=39.
錯(cuò)誤!
1.先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些學(xué)問(wèn)?要留意的是什么?都
用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?
2.老師進(jìn)一步集中強(qiáng)調(diào),本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公
式,等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”.這是我們探討有關(guān)等差數(shù)列的主要?jiǎng)由?/p>
點(diǎn),是推斷、證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列和解決其他問(wèn)題的一種基本方法,
要留意這里的“等差”是對(duì)隨意相鄰兩項(xiàng)來(lái)說(shuō)的.
錯(cuò)誤!
習(xí)題2—2A組1、2.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)突出了重點(diǎn)概念的教學(xué),突出了等差數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式
的相識(shí)與應(yīng)用.等差數(shù)列是特殊的數(shù)列,定義恰恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的
精確反映和高度概括,精確地把握定義是正確相識(shí)等差數(shù)列,解決相關(guān)問(wèn)題的
前提條件.通項(xiàng)公式是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系,是探討一個(gè)數(shù)列的重要工具.因
為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式親密相關(guān),因此通過(guò)函數(shù)圖
象探討數(shù)列性質(zhì)成為可能.
本教案設(shè)計(jì)突出了教法學(xué)法與新課程理念的接軌,引導(dǎo)綜合運(yùn)用視察、歸
納、猜想、證明等方法探討數(shù)學(xué),這是一種特別重要的學(xué)習(xí)方法;在問(wèn)題探究
求解中,常常是先從視察入手,發(fā)覺問(wèn)題的特點(diǎn),形成解決問(wèn)題的初步思路,
然后用歸納方法進(jìn)行摸索,提出猜想,最終采納證明方法(或舉反例)來(lái)檢驗(yàn)所
提出的猜想.
本教案設(shè)計(jì)突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練.通過(guò)一題多解,多題一解的訓(xùn)練,比
較優(yōu)劣,換個(gè)角度視察問(wèn)題,這是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素養(yǎng).只有在學(xué)習(xí)過(guò)程
中有意識(shí)地將學(xué)問(wèn)遷移、組合、融合,激發(fā)新穎心,體驗(yàn)多樣性,學(xué)懂學(xué)透,
融會(huì)貫穿,創(chuàng)新思維才能與日俱增.
(設(shè)計(jì)者:周長(zhǎng)峰)
第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路L(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié)課我們探討了數(shù)列中的一個(gè)重要概念一一等差數(shù)
列的定義,讓學(xué)生回憶這個(gè)定義,并舉出幾個(gè)等差數(shù)列的例子.接著老師引導(dǎo)
學(xué)生探究自己所舉等差數(shù)列例子中項(xiàng)與項(xiàng)之間有什么新的發(fā)覺?比如,在同一
個(gè)等差數(shù)列中,與某一項(xiàng)“距離”相等的兩項(xiàng)的和會(huì)是什么呢?由此綻開新課.
思路2.(干脆導(dǎo)入)老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容:等差數(shù)列的定
義以與等差數(shù)列的通項(xiàng),之后干脆提出等差中項(xiàng)的概念讓學(xué)生探究,由此而綻
開新課.
推動(dòng)新課
錯(cuò)誤!
錯(cuò)誤!
錯(cuò)誤!
活動(dòng):借助課件,老師引導(dǎo)學(xué)生先回憶等差數(shù)列的定義,一般地,假如一
個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即一T=d(n22,
neN*),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(通常用字
母"d”表示).
再一起回顧通項(xiàng)公式,等差數(shù)列{}有兩種通項(xiàng)公式:=+(n—01'或=+
q(p、q是常數(shù)).
由上面的兩個(gè)公式我們還可以得到下面幾種計(jì)算公差d的方法:①d=-7;
②d=;③d=.
對(duì)于通項(xiàng)公式的探究,我們用歸納、猜想得出了通項(xiàng)公式,后又用疊加法
與迭代法推導(dǎo)了通項(xiàng)公式.
老師指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本等差中項(xiàng)的概念,引導(dǎo)學(xué)生探究:假如我們?cè)跀?shù)a
與數(shù)b中間插入一個(gè)數(shù)A,使三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,則數(shù)A應(yīng)滿意什么
樣的條件呢?
由定義可得A—a=b—A,即A=.
反之,若A=,則A—a=b—A,
由此可以得A=a,A,b成等差數(shù)列.
由此我們得出等差中項(xiàng)的概念:假如三個(gè)數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列,則A
叫做x和y的等差中項(xiàng).假如A是x和y的等差中項(xiàng),則A=.
依據(jù)我們前面的探究不難發(fā)覺,在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有
窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).
如數(shù)列:1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項(xiàng),也是1和9的等差
中項(xiàng).
9是7和11的等差中項(xiàng),也是5和13的等差中項(xiàng).
等差中項(xiàng)與其應(yīng)用問(wèn)題的解法關(guān)鍵在于抓住a,A,b成等差數(shù)列2A=a
+b,以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或干脆由a,A,b間的關(guān)系
證得a,A,b成等差數(shù)列.
依據(jù)等差中項(xiàng)的概念我們來(lái)探究這樣一個(gè)問(wèn)題:如上面的數(shù)列
1,3,5,7,9,11,13,…中,我們知道2a5=a3+a7=ai+a9=az+a8,則你能發(fā)覺什
么規(guī)律呢?再驗(yàn)證一下,結(jié)果有a2+aio=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6.由此我們
猜想這個(gè)規(guī)律可推廣到一般,即在等差數(shù)列{}中,若m、n、p、qGN*且m+n=
p+q,則+=+,這個(gè)猜想與上節(jié)的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想方法是一樣的,
是我們歸納出來(lái)的,沒有嚴(yán)格證明,不能說(shuō)它就肯定是正確的.讓學(xué)生進(jìn)一步
探究怎樣證明它的正確性呢?只要運(yùn)用通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項(xiàng)為a”
則+=a1+(m-1)d+ai+(n-1)d=2a1+(m+n—2)d,
+=a1+(p-1)d+ai+(q-1)d=2a1+(p+q—2)d.
因?yàn)槲覀冇衜+n=p+q,所以上面兩式的右邊相等,所以+=+.
由此我們的一個(gè)重要結(jié)論得到了證明:在等差數(shù)列{}的各項(xiàng)中,與首末兩
項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和.另外,在等差數(shù)列中,若m+n=p+q,
則上面兩式的右邊相等,所以+=+.同樣地,我們還有:若m+n=2p,則+
=2.這也是等差中項(xiàng)的內(nèi)容.
我們自然會(huì)想到由+=+能不能推出m+n=p+q呢?舉個(gè)反例,這里舉個(gè)
常數(shù)列就可以說(shuō)明結(jié)論不成立.
這說(shuō)明在等差數(shù)列中,+=+是m+n=p+q成立的必要不充分條件.由此
我們還進(jìn)一步推出+1—=(1=+2—+”即2+1=++〃這也是證明等差數(shù)列的常用
方法.
同時(shí)我們通過(guò)這個(gè)探究過(guò)程明白:若要說(shuō)明一個(gè)猜想正確,必需經(jīng)過(guò)嚴(yán)格
的證明,若要說(shuō)明一個(gè)猜想不正確,僅舉一個(gè)反例即可.
探討結(jié)果:(1)(2)略.
(3)假如三個(gè)數(shù)x,A,y成等差數(shù)列,則A叫做x和y的等差中項(xiàng),且A=
(4)得到兩個(gè)重要結(jié)論:①在數(shù)列{}中,若2+i=++2(n£N*),則{}是等差
數(shù)列.
②在等差數(shù)列中,若m+n=p+q(m、n、p、q^N*),則+=+.
錯(cuò)誤!
例1在等差數(shù)列{}中,若ai+ac=9,a1=7,求a.3,a9.
活動(dòng):本例是一道基本量運(yùn)算題,運(yùn)用方程思想可由已知條件求出a,d,
進(jìn)而求出通項(xiàng)公式,則a3,ag不難求出.應(yīng)要求學(xué)生駕馭這種解題方法,理解
數(shù)列與方程的關(guān)系.
解:由已知,得錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!
.?.通項(xiàng)公式為=21+(n—l)d=-8+5(n—1)=5n—13.
??——2f32.
點(diǎn)評(píng):本例解法是數(shù)列問(wèn)題的基本運(yùn)算,應(yīng)要求學(xué)生嫻熟駕馭,當(dāng)然對(duì)學(xué)
有余力的同學(xué)來(lái)說(shuō),老師可引導(dǎo)探究一些其他解法,如ai+a6=a』+a3=9.
a3=9—&=9-7=2.
由此可得d=a“一a:s=7—2=5.
.?.a9=a.i+5d=32.
點(diǎn)評(píng):這種解法奇妙,技巧性大,需對(duì)等差數(shù)列的定義與重要結(jié)論有深刻
的理解.
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{}對(duì)隨意的P,q£N*滿意+,=+,且a?=—6,則而等于()
A.-165B.-33C.-30D.-
21
答案:C
解析:依題意知,a2=a〕+ai=2a1,ai=a?=—3,+i=+a[=—3,
可知數(shù)列{}是等差數(shù)列,a,o=ai+9d=-3-9X3=-3O.
例2(教材本節(jié)例5)
活動(dòng):本例是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的敏捷運(yùn)用.正如邊注所說(shuō),相當(dāng)于已知
直線過(guò)點(diǎn)(1,17),斜率為-0.6,求直線在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.可
放手讓學(xué)生完成本例.
變式訓(xùn)練
等差數(shù)列{}的公差dVO,且a2?a,=12,a2+a4=8,則數(shù)列{}的通項(xiàng)公
式是…()
A.=2n—2(nGN*)B.=2n+4(nGN*)
C.=-2n+12(nGN*)D.=-2n+10(n£N*)
答案:D
解析:由題意知錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!
所以由=ai+(n—l)d,得=8+(n—1)(—2)=—2n+10.
例3已知a、b、c成等差數(shù)列,則a?(b+c),b2(c+a),c?(a+b)是否成
等差數(shù)列?
活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生思索a、b、c成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為什么形式的等式?
本題的關(guān)鍵是考察在a+c=2b的條件下,是否有以下結(jié)果:a2(b+c)+c2(a+
b)=2b2(a+c).老師可讓學(xué)生自己探究完成,必要時(shí)賜予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.
解:Ya、b、c成等差數(shù)列,
/.a+c=2b.
又Va-(b+c)+c,(a+b)—2b-(c+a)
=a2b+a2c+J+2—2b'c—2:
=(a2b—22)+(J2b%)+(a2c+2)
=(a-2b)+(c—2b)+(a+c)
=——+2
=0,
a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).
.-.a2(b+c),b2(c+a),c“a+b)成等差數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):假如a、b、c成等差數(shù)列,常轉(zhuǎn)化為a+c=2b的形式,反之,假如
求證a、b、c成等差數(shù)列,常改證a+c=2b.有時(shí)還需運(yùn)用一些等價(jià)變形技巧,
才能獲得勝利.
例4在一1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a、b、c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求
此數(shù)列.
活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以考慮:一是利用等差數(shù)列的定義與通
項(xiàng);一是利用等差中項(xiàng)加以處理.讓學(xué)生自己去探究,老師一般不要賜予提示,
對(duì)個(gè)別探究有困難的學(xué)生可適時(shí)地給以點(diǎn)撥、提示.
解:(方法一)設(shè)這些數(shù)組成的等差數(shù)列為{},由已知,為=-1,a$=7,
.*.7=-l+(5-l)d,即d=2.
二所求的數(shù)列為一1,1,3,5,7.
(方法二):一1,a,b,c,7成等差數(shù)列,
,b是一1,7的等差中項(xiàng),a是一1,b的等差中項(xiàng),c是b,7的等差中項(xiàng),
即b==3,a==l,c==5.
,所求數(shù)列為-1,1,3,5,7.
點(diǎn)評(píng):通過(guò)此題可以看出,應(yīng)多角度思索,多角度視察,正像前面所提出
的那樣,盡量換個(gè)角度看問(wèn)題,以開闊視野,培育自己求異發(fā)散的思維實(shí)力.
變式訓(xùn)練
數(shù)列。中,a3=2,a7=l,且數(shù)列{}是等差數(shù)列,則a”等于()
A.-D.5
答案:B
解析:設(shè)=,則b3=,b?=,
因?yàn)椋堑炔顢?shù)列,可求得公差d=,
所以b“=b7+(11—7)d=,即a“=-1=.
例5某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元,起步價(jià)為10元,即最初的4千米(不
含4千米)計(jì)費(fèi)10元.假如某人乘坐該市的出租車前往14處的目的地,且一
路暢通,等候時(shí)間為0,須要支付多少元的車費(fèi)?
活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型.在這里也就是建立等差
數(shù)列的數(shù)學(xué)模型.引導(dǎo)學(xué)生找出首項(xiàng)和公差,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的學(xué)問(wèn)解
決實(shí)際問(wèn)題.
解:依據(jù)題意,當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4時(shí),每增加1,乘客須
要支付L2元.所以,我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列{}來(lái)計(jì)算車費(fèi).
令a=11.2表示4處的車費(fèi),公差d=1.2,貝",當(dāng)出租車行至14處時(shí),
n=ll,此時(shí)須要支付車費(fèi)a“=ll.2+(11-1)X1.2=23.2(元).
答:須要支付車費(fèi)23.2元.
點(diǎn)評(píng):本例中令a,=11.2,這點(diǎn)要引起學(xué)生留意,這樣一來(lái),前往14處
的目的地就相當(dāng)于n=ll,這點(diǎn)極簡(jiǎn)潔弄錯(cuò).
錯(cuò)誤!
1.己知等差數(shù)列{}中,a,+a3+a5+a7=4,則az+ai+ae等于()
A.3B.4C.5D.6
2.在等差數(shù)列{}中,已知a】=2,a2+a3=13,則a+as+ae等于()
A.40B.42C.43D.45
答案:
1.解析:由a1+a3+a5+ar=4,知4a1=4,即a?—1.
??&2+9-4+%=3al~~3.
答案:A
2.解析:Ya2+a3=13,
,
..2a1+3d=13.
?..ai=2,Ad=3.
而a,+a$+3,6--3a$3(ai+4d)42.
答案:B
錯(cuò)誤!
1.先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些學(xué)問(wèn)?要留意的是什么?都
用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你是如何通過(guò)舊學(xué)問(wèn)來(lái)獲得新學(xué)問(wèn)的?你在這節(jié)課
里最大的收獲是什么?
2.老師進(jìn)一步畫龍點(diǎn)睛,本節(jié)課我們?cè)谏瞎?jié)課的基礎(chǔ)上又推出了兩個(gè)很重
要的結(jié)論,一個(gè)是等差數(shù)列的證明方法,一個(gè)是等差數(shù)列的性質(zhì),要留意這些
重要結(jié)論的敏捷運(yùn)用.
錯(cuò)誤!
課本習(xí)題2—2A組5、6、7.
設(shè)計(jì)感想
本教案是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的,設(shè)計(jì)的活動(dòng)主要都是
學(xué)生自己完成的.特殊是上節(jié)課通項(xiàng)公式的歸納、猜想給學(xué)生留下了很深的記
憶;本節(jié)課只是接著對(duì)等差數(shù)列進(jìn)行這方面的探究.
本教案除了支配教材上的兩個(gè)例題外,還針對(duì)性地選擇了既具有典型性又
具有啟發(fā)性的幾道例題與變式訓(xùn)練.為了學(xué)生的課外進(jìn)一步探究,在備課資料
中摘選了部分備用例題與備用習(xí)題,目的是讓學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的有關(guān)學(xué)問(wèn)作進(jìn)
一步拓展探究,以開闊學(xué)生的視野.
本教案的設(shè)計(jì)意圖還在于,加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系.這不僅有利于學(xué)問(wèn)的
融會(huì)貫穿,加深對(duì)數(shù)列的理解,運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題,
而且反過(guò)來(lái)可使學(xué)生對(duì)函數(shù)的相識(shí)深化一步,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是好玩的,探
究是愉悅的,歸納猜想是令人激昂的,借此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好.
備課資料
一、備用例題
【例1】梯子最高一級(jí)寬33,最低一級(jí)寬為110,中間還有10級(jí),各
級(jí)的寬度成等差數(shù)列,計(jì)算中間各級(jí)的寬度.
解:設(shè){}表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列,由已知條件,可知
ai=33,a12=110,n=12,所以%2=ai+(12—1)d,即得110=33+lld,解之,
得d=7.
因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a1=54,a5=61,%=68,a7=75,
as=82,ag=89,ai0=96,a“=103.
答:梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是40,47,54,61,68,75,
82,89,96,103.
【例2】己知,,成等差數(shù)列,求證:,,也成等差數(shù)列.
證明:因?yàn)?,,成等差?shù)列,所以=+,化簡(jiǎn)得2=b(a+c),所以有
+======2?.
因而,,也成等差數(shù)列.
【例3】設(shè)數(shù)列{}{}都是等差數(shù)列,且由=35,-=75,a2+b2=100,求
數(shù)列{+}的第37項(xiàng)的值.
分析:由數(shù)列{}{}都是等差數(shù)列,可得{+}是等差數(shù)列,故可求出數(shù)列{十}
的公差和通項(xiàng).
解:設(shè)數(shù)列{}{}的公差分別為d?d2,則加++)—(+)=(+L)+(+L)
=&+d2為常數(shù),所以可得{十}是等差數(shù)列.設(shè)其公差為d,則公差d=(a?+b2)
-(ai+bj=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10X(37-1)=-250.
所以數(shù)列{十}的第37項(xiàng)的值為一250.
點(diǎn)評(píng):若一個(gè)數(shù)列未告知我們是等差數(shù)列時(shí),應(yīng)先由定義法判定它是等差
數(shù)列后,方可運(yùn)用通項(xiàng)公式=ai+(n—l)d.但對(duì)客觀試題則可以干脆運(yùn)用某些
重要結(jié)論,干脆判定數(shù)列是否為等差數(shù)列.
二、備用習(xí)題
1.已知等差數(shù)列{}中,a7+a9=16,%=1,則a】?的值是()
A.15B.30C.31D.64
2.在數(shù)列{}中3+i=3+2(nGN*),Ka2+a4+a7+a9=20,則所為()
A.5B.7C.8D.10
3.在等差數(shù)列,中,ai+3a8+a15=120,則3ag—a”的值為()
A.6B.12C.24D.48
4.已知方程(x2—2x+m)(x2—2x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差
數(shù)列,則一等于()
A.1
5.在等差數(shù)列{}中,a$=3,%=—2,則aa+a5+…+ai()=.
6.已知a、b、c成等差數(shù)列,且
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