高中數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第二冊第四章《概率與統(tǒng)計》知識點清單

新教材人教B版2019版數(shù)學選擇性必修第二冊

第四章知識點清單

目錄

第四章概率與統(tǒng)計

4.1條件概率與事件的獨立性

4.1.1條件概率

4.1.2乘法公式與全概率公式

4.1.3獨立性與條件概率的關系.

4.2隨機變量

4.2.1隨機變量及其與事件的聯(lián)系

4.2.2離散型隨機變量的分布列

4.2.3二項分布與超幾何分布

4.2.4隨機變量的數(shù)字特征

4.2.5正態(tài)分布

4.3統(tǒng)計模型

4.3.1-元線性回歸模型

4.3.2獨立性檢驗

4.4數(shù)學探究活動：了解高考選考科目的確定是否與性別有關

第四章概率與統(tǒng)計

4.1條件概率與事件的獨立性

4.1.1條件概率

一、條件概率

1.條件概率的概念：設A,B為兩個事件，一般地，當事件B發(fā)生的概率大于。時

(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作

P(A|B),而且P(A|B)=端，.

注意：P(A|B)與P(B|A)的意義不一樣，一般情況下，它們也不相等.

二、條件概率的性質(zhì)

假設A,B,C都是事件，且P(A)>0,則條件概率滿足如下性質(zhì)：

(1)P(B|A)G[O,1]；

(2)P(A|A)=1；

(3)如果B與C互斥，則P((BUC)|A)=P(B|A)+P(C|A).

三、條件概率的求解

1.利用定義，分別求P(A)和P(AAB),得P(B|A)二嚕黑，這是通用的求條件概率的

方法.

2.借助古典概型的概率公式，先求事件A包含的樣本點個數(shù)n(A),再求在事件A發(fā)

生的條件下事件B包含的樣本點個數(shù)，即n(AB),得P(B|A)=喘.

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4.1.2乘法公式與全概率公式

一、乘法公式

1.由條件概率的計算公式P(B|A尸靄可知，P(BA)=P(A)P(B|A).一般地，這個結論

稱為乘法公式.

2.乘法公式的推廣

假設A表示事件，匚1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,則

P(A1A2A3)=P(A1)-P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3AA2)表示已知Al與A2都發(fā)生時A3發(fā)生

的概率，而P(AiA2A3)表示Ai,A2,A3同時發(fā)生的概率.

二、全概率公式

L一般地，如果樣本空間為Q,而A,B為事件，則P(B):P(A)P(B|A)+P(1)P(B|彳).這

稱為全概率公式.

2,全概率公式的推廣

若樣本空間Q中的事件A］，A2,4滿足：

⑴任意兩個事件均互斥，即AA尸i,j=l,2,…，n,iXj；

(2)Ai+A2T—4An二Q；

(3)P(A)〉0,i=l,2,n.

則對Q中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+-+BAn,

且P(B)二斃iP(BA尸斃iP(ADP(B|Ai).

三、貝葉斯公式*

P(A)P(B|A)_P(A)P(B|A)

1.一般地,當1〉P(A)〉O且P(B)〉O時,有P(A|B)=

P(B)-P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

這稱為貝葉斯公式.

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2.貝葉斯公式的推廣

若樣本空間Q中的事件A］，A2,A,、滿足：

⑴任意兩個事件均互斥，即AAi,i,j=l,2,…，n,iXj；

(2)Ai+A2T—卜An=Q,

(3)l>P(Ai)>0,i=l,2,…，n.

則對Q中的任意概率非零的事件B,有P(AJB)二等給=JR黑窯A)

四、乘法公式及其應用

1.乘法公式實質(zhì)上是條件概率公式的變形，當P(A)>0時，已知P(A),P(B|A),P(AB)

中的兩個就可以求得第三個.

2.在利用公式P(AiA2-An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|AiA2)--P(An|A1A2-An-i)(P(A1)>0,P(AA…

AQ>0)計算概率時，注意根據(jù)題意正確表示出相關事件并求出其中涉及的概率.

五、全概率公式的應用

全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求最后結果的概率，解題步驟如下:

⑴求劃分后的每個小事件的概率，即P(A,),i=1,2,n；

⑵求每個小事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)；

⑶利用全概率公式計算P(B),即P(B)=通P(A,)P(B|A,).

六、貝葉斯公式的應用*

貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發(fā)生的原因，在運用貝葉斯公式時，一般已知和

未知條件如下：

(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P(A)已知；

⑵事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P(B|A)已

知；

⑶P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；

⑷求解的目標是用A的某種情況A的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P(A,|B).

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4.1.3獨立性與條件概率的關系.

一、事件的相互獨立性

當P(B)>0時,A與B獨立的充要條件是P(A|B)=P(A).

二、相互獨立事件的概率的求解

求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法

⑴利用相互獨立事件的定義直接求解.

⑵正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算.

4.2隨機變量

4.2.1隨機變量及其與事件的聯(lián)系

4.2.2離散型隨機變量的分布列

一、隨機變量

1.定義：一般地，如果隨機試驗的樣本空間為0,而且對于Q中的每一個樣本點，

變量X都對應有唯一確定的實數(shù)值，就稱X為一個隨機變量.隨機變量所有可能的

取值組成的集合，稱為這個隨機變量的取值范圍.

2.表示：隨機變量一般用大寫英文字母x,Y,z,…或小寫希臘字母［n，4…表示

3.分類

⑴離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值是可以一一列舉出來的，則

稱X為離散型隨機變量.

⑵連續(xù)型隨機變量：如果隨機變量X的取值范圍包含一個區(qū)間，則稱X為連續(xù)型隨

機變量.

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二、隨機變量之間的關系

一般地，如果X是一個隨機變量，a,b都是實數(shù)且aWO,則丫=aX+b也是一個

隨機變量.由于X=t的充要條件是丫=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b).

三、離散型隨機變量的分布列

1.⑴定義：一般地，當離散型隨機變量X的取值范圍是{Xl,X2,X.時，如果對任

意k￡{l,2,n),概率P(X二Xk尸Pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的.離

散型隨機變量X的概率分布可以用表格表示為

這個表格稱為X的概率分布或分布列.

⑵離散型隨機變量X的概率分布還可以用圖1或圖2來直觀表示，其中，圖1中，

Xk上的矩形寬為1、高為po因此每個矩形的面積也恰為p二圖2中，Xk上的線段長

為Pk.P，

Pk

Pn

/-I

x\芍…X匹既...

X,...xnx

2.性質(zhì)

(l)Pk、O,k=l,2,n；

(2)Sk=iPk=pi+p2+-+pn=l.

四、兩點分布

1.兩點分布的定義

一般地，如果離散型隨機變量X的分布列為

X10

PP1-P

其中0<p<l,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布(或0-1分布).

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2.伯努利試驗

一個所有可能結果只有兩種的隨機試驗，通常稱為伯努利試驗.因此兩點分

布也常稱為伯努利分布，兩點分布中的P也常被稱為成功概率.

五、離散型隨機變量的分布列

1.求離散型隨機變量X的分布列的步驟

⑴理解隨機變量X的意義，寫出隨機變量X可能取的全部值；

⑵求隨機變量X取每個值的概率；

⑶寫出隨機變量X的分布列.

2.兩個相關的隨機變量的分布列

一般地，若X是隨機變量，則Y=f(X)也是隨機變量.已知隨機變量X的分布列，

求隨機變量Y=f(X)的分布列，其關鍵是弄清X取每個值時相對應的Y的值，若f(X)的

取值出現(xiàn)重復，則需要把它們的相應概率相加，所求即為Y的取值概率.

4.2.3二項分布與超幾何分布

一、二項分布

1.n次獨立重復試驗

在相同條件下重復n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此

時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.

2.二項分布

一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為P，記q=l-p,且n次獨

立重

復試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是｛0,1,k,n),而且

P(X=k)=Cjpkqn-k,k=0,1,n,因此X的分布列如下表所示.

X01kn

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p喘p°qn禺pd"C軻qn”CJJP'V

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由于表中的第二行恰好是二項展開式(q+p)三C：p°q"+禺pd、…+C&pkqn"+…+

喘p"q°中對應項的值，因此稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作X~B(n,p).

注意：兩點分布是一種特殊的二項分布，即n=l時的二項分布.

二、超幾何分布

一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<N),從所有

物品中隨機取出n件(nWN),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變

量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與n中的較小者，t在n

不大于乙類物品件數(shù)(即門忘1\1-171)時取0,否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-

(N-M)),而且P(X=k)=CM泮M,k=t,t+1,…，s,則稱X服從參數(shù)為N,n,M的

超幾何分布，記作X~H(N,n,M).

特別地，如果X?H(N,n,M)且n+M-NWO,則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此

時X的分布列如下表所示.

X01kS

「0「nplpn—1「kpn-k「Sr-n-s

PCMCN-M

rnrnrn4

CNCN

三、二項分布

1.利用二項分布模型解決實際問題的一般步驟

⑴根據(jù)題意設出隨機變量；

⑵分析隨機變量是否服從二項分布；

⑶若服從二項分布，則求出參數(shù)n和p的值；

⑷根據(jù)需要列出相關式子并解決問題.

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四、超幾何分布

1.利用超幾何分布模型解決實際問題的一般步驟

⑴辨模型：結合實際情境分析是不是不放回抽樣，且所求概率分布問題是由差異明

顯的兩部分組成，如“男生、女生”“正品、次品”等，或可轉化為具有明顯差異的

兩部分，只有具有該特征的概率模型才可能為超幾何分布模型.

⑵算概率：可以直接借助公式P(X二k)二破滬求解，也可以利用排列組合及概率

知識求解，借助公式求解時應明確參數(shù)M,N,n,k的含義.

⑶寫分布列：把求得的概率通過表格表示出來.

4.2.4隨機變量的數(shù)字特征

一、離散型隨機變量的均值

1.定義：一般地，如果離散型隨機變量x的分布列如表所示.

XX1x2XkXn

PPlP2PkPn

則稱E(X)=XR+X2P2+-+XnPn=IXiXR為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望(簡稱

為

期望).離散型隨機變量的均值刻畫了隨機變量的平均取值.

2.幾個常見均值的計算公式

⑴若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則E(X)=p；

⑵若隨機變量X服從參數(shù)為np的二項分布，即X?B(n,p),則E(X)二np；

⑶若隨機變量X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布，即X~H(N,n,M),則E(X)=詈；

⑷若X與丫都是隨機變量，且丫=aX+b(a盧0),則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

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二、離散型隨機變量的方差

1,定義：如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.

XX1X2XkXn

PPlP2PkPn

則稱D(X)=[XLE(X)]2p]+[x2-E(X)]2P2+-+[Xn-E(X)]2Pk￡匕[Xi-E(X)]2p為離散型隨

機變量x的方差，而為離散型隨機變量x的標準差.

離散型隨機變量的方差和標準差反映了隨機變量的離散程度(或波動大小).

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2.D(X)二%1[xt-E(X)]pFSilix?p,-[E(X)]=E(X)-[E(X)].簡記為“方差等于平方的

均值減去均值的平方”.

3.幾個常見方差的計算公式

⑴若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則D(X)=p(l-p).

⑵若隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，即X~B(n,p),則D(X)=np(l-p).

⑶若X與丫都是離散型隨機變量，且丫=aX+b(a尹0),則D(Y)=D(aX+b)=a?D(X).

三、求離散型隨機變量X的數(shù)學期望、方差(標準差)

1.求離散型隨機變量X的數(shù)學期望、方差(標準差)的一般步驟

(1)理解X的意義，并寫出X的全部取值.

⑵求出X取每個值的概率.

(3)寫出X的分布列(有時也可省略).

⑷利用定義求E(X),D(X)(VD(X)).

在隨機變量X?的均值比較好計算的情況下，運用關系式D(X)=E(X2)-[E(X)F不失為

一種比較實用的方法.

2.求離散型隨機變量的均值與方差(標準差)時，一般先分析隨機變量的分布特征，

看其是不是常見的特殊分布，若是，直接用公式求解；若不是，按求均值與方差(標準差)的一般步

驟進行求解.

3.已知隨機變量￡的均值、方差，求W的一次函數(shù)n=aW+b(afO)的均值、方差，可直接用W的均

值、方差的性質(zhì)求解.

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4.2,5正態(tài)分布

一、正態(tài)曲線

1.正態(tài)曲線的概念

一般地，稱Cp(x)=^4^e-(202(其中產(chǎn)E(x),即X的均值；o=JD(X),即X的

標準差)對應的圖象為正態(tài)曲線(或鐘形曲線)，(p(x)也常常記為(pM.o(x).

2.正態(tài)曲線的性質(zhì)

⑴正態(tài)曲線關于x=n對稱(即以決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低

的特點；

⑵正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；

(3)。決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：。越大，說明標準差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所

以

曲線越"胖1?。越小，說明標準差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.

二、正態(tài)分布

1.正態(tài)分布的概念

一般地，如果隨機變量X落在區(qū)間［a,b］內(nèi)的概率，總是等于仇,0(x)對應的正態(tài)曲線

與x軸在區(qū)間［a,b］內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為口與。的正態(tài)分布，記作

X?Nga2),此時仇,°(x)稱為X的概率密度函數(shù).

2.若X?Ngo2),貝IJ

P(|j-o^X^|j+a)~68.3%,

P(H-2QWXW1+2CJ)=95.4%,

P(H-3oWXW|j+3o戶99.7%.

3.“3o原則”

由P(n-3oWXW|j+3o尸99.7%知，隨機變量X約有99.7%的可能會落在距均值3個

標準差的范圍之內(nèi)，也就是說只有約0.3%的可能會落入這一范圍之外(這樣的事件可

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看成小概率事件），這一結論通常稱為正態(tài)分布的“3。原則”

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三、標準正態(tài)分布

1.以=0且0=1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X?N(0,1).

2.任意正態(tài)分布丫?N(|j,4)都可以通過X二丫轉化為標準正態(tài)分布X?N(0,1).

3.如果X~N(0,1),那么對于任意a,通常記①⑻二P(X<a),且有如下性質(zhì)：

(1)0(-a)—1-0(a),

(2)P(|X|<a)=2ch(a)-l；

(3)P(|X|>a)=2[l-0)(a)].

四、正態(tài)分布的概率問題

在正態(tài)分布下求概率的關鍵在于恰當?shù)乩谜龖B(tài)曲線的對稱性，把待求概率的

區(qū)間轉化為已知概率的區(qū)間.當條件中無已知概率時，則要將區(qū)間轉化為三個特殊區(qū)

間：[上0,|d+o],[|J-2o,|j+2o],[|J-3a,n+3o],利用隨機變量X在這三個特殊區(qū)

間取值的概率進行計算.

一般地，若隨機變量X服從正態(tài)分布N(u，o2),則

(l)P(X^a)=l-P(X<a)；

⑵對任意的實數(shù)a,有P(XWn-a);P(X2n+a)；

(3)P(aWXWb)=P(XWb)-P(X<a).

五、正態(tài)分布的實際應用

利用服從正態(tài)分布N(露V)的隨機變量x在三個特殊區(qū)間上取值的概率，可以

解決兩類實際問題：

一類是估計在某一范圍內(nèi)的數(shù)量，具體方法是先確定隨機變量在該范圍內(nèi)取值的

概率，再乘樣本容量.

另一類是利用“3。原則”作決策.決策步驟如下：①確定一次試驗中取值a是否落

入范圍63o,口+3o]內(nèi)；②作出判斷，若a￡[|a-3o,n+3o],則接受統(tǒng)計假設，

若a用口-3o,pi+3o],則拒絕統(tǒng)計假設.

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4.3統(tǒng)計模型

4.3.1一元線性回歸模型

一、相關關系

1.相關關系：兩個變量之間有關系，但沒有達到可以互相決定的程度，它們之間的

關系帶有一定的隨機性，這種關系稱為相關關系.

2.散點圖：將成對樣本數(shù)據(jù)用平面直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)

計圖稱為散點圖.

3.線性相關：如果由變量的成對數(shù)據(jù)、散點圖或直觀經(jīng)驗可知，變量x與變量y之

間的關系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫，則稱x與y線性相關.如果一個變量增大，

另一個變量大體上也增大，則稱這兩個變量正相關；如果一個變量增大，另一個變

量大體上減少，則稱這兩個變量負相關.

二、回歸直線方程

1.回歸直線方程

一般地，已知變量x與y的n對成對數(shù)據(jù)(x,y,),i=l,2,3,…，n.任意給定一個

一次函數(shù)y=bx+a,對每一個已知的x,由直線方程可以得到一個估計值，^bx+a,

AAAAAAA

如果一次函數(shù)y=bx+a能使殘差平方和即EL】(yi-yj取得最小值，則y=bx+a稱為y

關于x的回歸直線方程，對應的直線稱為回歸直線.因為是使得平方和最小，所以其

中涉及的方法稱為最小二乘法.

在回歸直線方程〉￡+3中，/前￥建(安空.”「吵,；.y.bx,其中，贏

乙i=i2ui=ixj—nx

為回歸系數(shù)，實際上也就是回歸直線方程的斜率.

2.回歸直線方程的性質(zhì)

⑴回歸直線一定過點區(qū)y).

AA

(2)y與x正相關的充要條件是b>0,v與x負相關的充要條件是b<0.

(3)證勺實際意義：當x增大一個單位時，?增大1個單位.

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三、相關系數(shù)

1.對于變量X與y的n對成對數(shù)據(jù)(X,y,),i=l,2,3,n,一般用

「I'匕(%-初力一刃'隨修力一網(wǎng)來衡量丫與*的線性相關性強

J次](Xi-X)2Zn=i(yi-y)2J(%]X2-nx2)(2n=iy2_ny2)

弱，這里的r稱為線性相關系數(shù)，簡稱為相關系數(shù).

2.相關系數(shù)的性質(zhì)

(l)|r|^l,且y與x正相關的充要條件是r>0,y與x負相關的充要條件是r<0.

(2)|r|越小，說明兩個變量之間的線性相關性越弱，也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]

有價值，即方程越不能反映真實的情況；|r|越大，說明兩個變量之間的線性相關性越

強，也就是得出的回歸直線方程越有價值.

(3)|r|-l的充要條件是成對數(shù)據(jù)構成的點都在回歸直線上.

四、非線性回歸

如果具有相關關系的兩個變量x,y不是線性相關關系，那么稱為非線性相關關

系，所得到的方程稱為非線性回歸方程(也簡稱為回歸方程).

一般地，非線性回歸方程的曲線類型可以通過作出散點圖進行猜測，而回歸方

程有時可以通過變量替換后，借助求回歸直線的過程確定.

五、兩個變量相關性的判斷

1.判斷兩個變量相關性的方法

⑴利用散點圖判斷：通過散點圖觀察點的分布是否存在一定的規(guī)律，若點大致在一

條直線附近擺動，則對應變量線性相關，否則不具有線性相關關系.當線性相關時，

若點自左向右呈上升趨勢，則變量間具有正相關關系；若點自左向右呈下降趨勢，

則變量間具有負相關關系.

⑵利用樣本相關系數(shù)判斷：樣本相關系數(shù)r是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關程

度，是定量分析法.川刻畫了樣本點集中于某條直線的程度.川越接近L散點圖中的

樣本點分布越接近一條直線，兩個變量的線性相關程度越強.

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六、回歸直線方程的求解與應用

1.求回歸直線方程中系數(shù)的方法

⑴公式法：利用公式，求出b,a.

（2）待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心（見。求系數(shù).

2.回歸直線方程的應用

⑴利用回歸直線方程進行預測：把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值.

⑵利用回歸直線判斷正、負相關：決定正相關還是負相關的是回歸系數(shù)

七、非線性回歸

1.建立非線性回歸模型的基本步驟

⑴確定研究對象，明確涉及的變量；

⑵畫出確定好的變量間的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；

⑶由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關系，一般選用反比例函數(shù)模

型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型等）；

⑷通過換元，將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型；

⑸按照公式計算回歸直線方程中的參數(shù)，得到回歸直線方程；

⑹消去新元，得到非線性回歸方程.

2.常見的非線性回歸方程的轉換

曲線方程曲線（曲線的一部分）變換公式變換后的線性函數(shù)

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