全國自考復變函數(shù)論試題和答案

2011年10月全國自考復變函數(shù)論試題和答案

2011年10月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

復變函數(shù)論試卷

（課程代碼02011）

本試卷共8頁，滿分100分，考試時間150分鐘。

總分題號二三四五

核分人題分248103523

復查人得分

復查總分一____________總復行人（簽名）

一、單項選擇題（每小題2分，共24分）

得分評卷人復查人在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案,并

將其代碣寫在題干后面的括號內。不選、錯選或多

選者，該題無分。

1Arg(1-i)=[]

A.fB為整數(shù))

C~fD-孑+2A"（4為整數(shù)）

2,下列方程中____給出的曲線是圓（2是實參數(shù)）【】

Az=（1+Bz=rcost+irsint

C,z=/+—Dz=，+4

l?

3.下列函數(shù)中,在z平面上處處解析的函數(shù)是【】

A/（z）=zBf（z）=y

C/（z）=zDf\z）=zRez

4函數(shù)/G）在z平面上【】

A處處可微，處處解析B.處處不可微，處處不解析

C僅在直線y二”上可微，處處不解析D僅在z=0處可微，處處不解析

復變函數(shù)論試卷第1頁（共8頁）

5￡n(-1)=[I

A.TTiBiri+2kni(k為整數(shù))

77.D爭+2妹i（A為整數(shù)）

C2l

6若C為單位圓周Izl=1,則下列積分中值不為零的是【】

A.f—B[-j—----

kcoszJc?+2z+2

C[-D[也

k2T+5z+6JcZ

7.騫級數(shù)￡5■的收斂半徑為

【1

A2B1

C—2D3

8函數(shù)zsiiu在零點？=0的階數(shù)是[]

A.1B2

C3D4

9.若。為/（z）的孤立奇點，目我何仁）=8,則：=。是/"）的【】

J-

A解析點B極點

C.本性奇點D.可去奇點

10若z=a是函數(shù)f(z)的二階極點，則Re叭:)=[】

t-ta

ALim(z-a)2/(z)BLim(z-a)2/*(5)

x—Mla-Hf

CLiml{z-a)/(z)DLim[2(z-a)/(z)+(z-a)'/'(z)]

11方程/-5--2*+l=0在單位圓IJ<1內根的個數(shù)為【】

B3

C5D8

12.1+i關于單位圓周Izl=1的對稱點是

B

C.y(l+i)Dy(l-i)

復變函數(shù)論試卷第2頁（共8頁）

得分評卷入復查人

二、填空題(每小題2分，共8分)

13方程z3=-8在復數(shù)域中共有個根

14若/(z)=u(x,T)+加(孫y)在點z=工+小斛析，則/'(z)=:

15.若"z)在區(qū)域。內解析，在方=O+C上連續(xù)，則有=

16.z=0是函數(shù)f(z)=z-sinz的階零點.

得分評卷人復查人

三、判斷題(每小題2分，共10分)

你認為正確的在題后括號內劃“，”，反之劃“X”。

17任何一個半平面都包含?()

18.若/(z)在區(qū)域。內處處可微，則/(z)在。內解析()

19函數(shù)/?)=，是以2*為周期的周期函數(shù).()

20因為函數(shù)〃z)=十在圓域Iz-1I</內解析，所以它是該圓域內的整函數(shù)

)

21-察級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一奇點.)

得分評卷入復查人

四、計算題(每小題7分，共35分)

22.計算積分L(z-)?+廿)&,積分路徑C是連接由0到1+i的直線段

復變函數(shù)論試卷第3頁(共8X)

23計算積分/三號」心,C：IzI=2.

24.將函數(shù)三|按％-1的籍展開，并指明其收斂范圍

**

復變函數(shù)論試卷第4頁（共8頁）

25計算積分嘉L2電

26求將上半z平面/儂>0共形變換成單位圓IR<1的線性變換3=L⑺，使合

條件=O,Lr(i)>0

復變函數(shù)論試卷第5頁(共8頁)

得分評卷人復森人

五、證明題（共23分）

27證明復平面上的圓周可以寫成加￡+所+瓦+C=0

其中4c為實數(shù),4*0,6為復數(shù)，且IBI?>AC（7分）

復變函數(shù)論試卷第6貝（共8頁）

28.判斷函數(shù)/(z)=eM(xcosy-j-siny)+ie*(ycosy+xsiny)在z平面上的可微性和

解析性（8分）

復變函數(shù)論試卷第7頁（共8頁）

29.證明方程/f=z（A>1）在單位圓iz\<1內恰有一個根，且為實根（8分）

復變函數(shù)論試卷第8頁（共8頁）

2011年10月全國自考復變函數(shù)論參考答案

--*I頁選擇題(每小題2分，共24分)Q2M

1D2B3A4C5B6D1B8B9B10D

11C12C

二.填空題(每小殛2分，共8分)

133Hu,+iv,15—1163

■,2xiJ,_z

三、判斷題(銀小題2分，共10分)

WX18VJ9V20X21V

四、計算題(每小題7分，共35分)

22解由了從。到1+i的離線段為

C:y=N,04xg1.......................2分

丁足選x為參數(shù)TJz=x+jy=x+UN(l+i)x,得

^(x-y+xx5)d!z=1(x-x+ix2)</(l+i)x..........4分

=?】+[)卜'辦

?Q一】)...................6分

3o

=-g(l-i)?…:.........................;...........................7分

23解:/(z)=2z2-z+l在全z平面上解析……........2分

二/(z)=2zi-z+l右圈域M<2內解析,在國42上連續(xù)，z=】處忖<2內一電.

由同g積分公式...................一….4分

(2z2-Z+1,、2J/八

I■—，一.Uz工2開J(2z-2+11?*?―????.................>.-KAy

<z—1'47

=2^ri(2-1+1)=4TII..............................-7分

。解—7"U-1)-7~—...........................................??2分

z+12+(z-l)

=?￡（-三）=E（T旨D-..........6分

由1f3Vl知收斂覆的為|z-l|v2............7分

25解:/（2）=-二在2平面上只有兩個一級極點2=七，由定理知——2分

1+Z

由了兩個有白均在囪網(wǎng)上1=2的內部，由團數(shù)（殘數(shù)）定理得

41-二由=工力n[Res〃z）+R^/（z）]........6分

&”-b

=，=sinf??????????…??7分

2i

26解將上下平面Imz>0變成單付圓網(wǎng)<1,并將上學z平面上一點i變?yōu)檠坌?/p>

0=0的線性變換為0=e"^_-??—―-..........,2分

z+i

jr/T

乂由r（i）>0知夕一X=o.RP/?=-.......................6分

22

故所求線性變摸為0=iT....................................-7分

2+1

五.證明題（其中27鹿7分.2829每小題8分，共23分）

21證明設81的一般方科為4（，+y2）+3x+，y+C=0⑴?“1分

其中〃工0,且4MG。為超數(shù).當B'+O'>4/C時，即為實圓因*=交

>=:二土，x'+y',五代入方程(D有

2i

I1

4一-+—(6+Di)z+C=()???,..................3分

22

MP/"+A7+"z+C=0,其中4c為實數(shù)，A^Q.尸=，5+Di),且

=!(6]+D,)>L4AC—AC...............$分

44

反之，設有方程4z5+