2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)68古典概型與幾何概型理

PAGE課后限時(shí)集訓(xùn)68古典概型與幾何概型建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為()A.eq\f(2,3) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)B[設(shè)5只兔子中測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測(cè)量過(guò)這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選B.]2．(2019·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考)“上醫(yī)醫(yī)國(guó)”出自《國(guó)語(yǔ)·晉語(yǔ)八》，比喻高賢能治理好國(guó)家．現(xiàn)把這四個(gè)字分別寫(xiě)在四張卡片上，其中“上”字已經(jīng)排好，某幼童把剩余的三張卡片進(jìn)行排列，則該幼童能將這句話(huà)排列正確的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,12)A[幼童把這三張卡片進(jìn)行隨機(jī)排列，基本事件總數(shù)n＝3，∴該幼童能將這句話(huà)排列正確的概率P＝eq\f(1,3).故選A.]3．(2019·江淮十校模擬)《易經(jīng)》是我國(guó)古代預(yù)測(cè)未來(lái)的著作，其中同時(shí)拋擲三枚古錢(qián)幣觀察正反面進(jìn)行預(yù)測(cè)未知，則拋擲一次時(shí)出現(xiàn)兩枚正面、一枚反面的概率為()A.eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)C[拋擲三枚古錢(qián)幣出現(xiàn)的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8種，其中出現(xiàn)兩正一反的共有3種，故所求概率為eq\f(3,8).故選C.]4．將一個(gè)骰子連續(xù)擲3次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為()A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,9)C.eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)A[一個(gè)骰子連續(xù)擲3次，落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)可能出現(xiàn)的組合數(shù)為63＝216種．落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列，當(dāng)向上點(diǎn)數(shù)若不同，則為(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，共有2×6＝12種情況；當(dāng)向上點(diǎn)數(shù)相同，共有6種情況．故落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為eq\f(12＋6,216)＝eq\f(1,12).]5.(2019·濟(jì)南模擬)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力游戲，被譽(yù)為“東方魔板”．如圖，這是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，其中1號(hào)板與2號(hào)板為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，3號(hào)板與5號(hào)板為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，7號(hào)板為一個(gè)等腰直角三角形，4號(hào)板為一個(gè)正方形，6號(hào)板為一個(gè)平行四邊形．現(xiàn)從這個(gè)大正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C.eq\f(3,16) D．eq\f(3,8)C[設(shè)大正方形的面積為4S，則5號(hào)板與7號(hào)板的面積之和為eq\f(3,4)S，所以從這個(gè)大正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是eq\f(\f(3,4)S,4S)＝eq\f(3,16).]二、填空題6．有一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______．eq\f(2,3)[由題意得該圓柱的體積V＝π×12×2＝2π.圓柱內(nèi)滿(mǎn)足點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的幾何體為以圓柱底面圓心為球心的半球，且此半球的體積V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，所以所求概率P＝eq\f(V－V1,V)＝eq\f(2,3).]7．(2019·江蘇高考)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是________．eq\f(7,10)[從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，基本事件總數(shù)n＝10，選出的2名同學(xué)中沒(méi)有女同學(xué)包含的基本事件個(gè)數(shù)：m＝3，∴選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是p＝1－eq\f(m,n)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).]8．如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測(cè)試中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為_(kāi)_______．0．3[依題意，記題中被污損的數(shù)字為x，若甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)，則有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此時(shí)x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.]三、解答題9．已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①?gòu)某槿〉?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,12).10．(2019·成都七中模擬)某學(xué)校為擔(dān)任班主任的教師辦理手機(jī)語(yǔ)音月卡套餐，為了解通話(huà)時(shí)長(zhǎng)，采用隨機(jī)抽樣的方法，得到該校100位班主任每人的月平均通話(huà)時(shí)長(zhǎng)T(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率．(1)求圖中m的值；(2)估計(jì)該校擔(dān)任班主任的教師月平均通話(huà)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)；(3)在[450,500)，[500,550]這兩組中采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率．[解](1)依題意，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：50×(m＋0.0040＋0.0050＋0.0066＋0.0016＋0.0008)＝1，解得m＝0.0020.(2)設(shè)該校擔(dān)任班主任的教師月平均通話(huà)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為t.因?yàn)榍?組的頻率之和為(0.0020＋0.0040)×50＝0.3<0.5，前3組的頻率之和為(0.0020＋0.0040＋0.0050)×50＝0.55>0.5，所以350<t<400，由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390.所以該校擔(dān)任班主任的教師月平均通話(huà)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為390分鐘．(3)由題意，可得在[450,500)內(nèi)抽取6×eq\f(0.0016,0.0016＋0.0008)＝4人，分別記為a，b，c，d，在[500,550]內(nèi)抽取2人，記為e，f，則6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15種等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一組的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7種取法，所以從這6人中隨機(jī)抽取的2人恰在同一組的概率P＝eq\f(7,15).1．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“sinx≤eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[在[0，π]上，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))時(shí)，sinx≤eq\f(1,2)，故概率為eq\f(\f(π,3),π)＝eq\f(1,3).]2．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語(yǔ)》知識(shí)大賽”，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“雖然你的成績(jī)比乙好，但是你倆都沒(méi)得到第一名”；對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”．從上述回答分析，丙是第一名的概率是()A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)B[因?yàn)榧缀鸵叶疾豢赡苁堑谝幻缘谝幻豢赡苁潜?、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對(duì)丙、丁、戊都沒(méi)有影響，所以這三個(gè)人獲得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是eq\f(1,3).故選B.]3．(2019·河南洛陽(yáng)統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線(xiàn)ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為_(kāi)_______．eq\f(7,12)[依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿(mǎn)足直線(xiàn)ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿(mǎn)足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率為eq\f(21,36)，即eq\f(7,12).]4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿(mǎn)足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿(mǎn)足a·b<0的概率．[解](1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以滿(mǎn)足a·b＝－1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)．故滿(mǎn)足a·b＝－1的概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．滿(mǎn)足a·b<0的基本事件的結(jié)果為A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．畫(huà)出圖像如圖所示，矩形的面積為S矩形＝25，陰影部分的面積為S陰影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故滿(mǎn)足a·b<0的概率為eq\f(21,25).1．如圖，B是AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC，AC為直徑作半圓，從B作BD⊥AC，與半圓相交于D，AC＝6，BD＝2eq\r(2)，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是()A.eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D．eq\f(2,3)C[連接AD，CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BD2＝AB·BC，設(shè)AB＝x(0＜x＜6)，則有8＝x(6－x)，得x＝2，所以AB＝2，BC＝4，由此可得圖中陰影部分的面積等于eq\f(π×32,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π×12,