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文檔簡介
其中p,q為常數(shù).7.5.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為
依照線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論:
7.5常系數(shù)齊次線性微分方程
只要求出方程(7-11)的兩個線性無關(guān)的特解,就可以得到方程(7-11)的通解,也是全部解.
特解是故有為敘述方便,我們稱
為方程(7-11)的特征多項式,
代入方程,得的特征方程,稱為方程(7-11)稱的根為方程(7-11)特征根.因因此,的解等價于:
r是特征方程的根.因為一階常系數(shù)齊次線性微分方程
的一個可得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為情形1:特征方程有兩個不相等的實根根據(jù)特征根的三種不同的情形分別討論如下:
可得一特解故齊次方程的通解為設(shè)另一特解為于是情形2:特征方程有兩個相等的實根故齊次方程的通解為利用歐拉(Euler)公式得兩個線性無關(guān)的特解及齊次方程解的疊加原理,得實函數(shù)解情形3:特征方程有一對共軛復(fù)根特征方程常系數(shù)齊次線性方程通解的表達式特征根的情況實根復(fù)根實根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法,稱為特征方程法.綜上所述,求解的一般步驟:寫出特征方程求出特征根根據(jù)不同情況得到相應(yīng)的通解解特征方程為特征根為例1求方程的通解.故所求通解為解第一步先求通解特征根為原方程通解為例2求方程滿足初始條件的特解.由于線性微分方程的通解就是其全部解,求線性微分方程滿足某個初始條件的特解可以分為兩步:求方程的通解代入初始條件確定通解中的任意常數(shù)特征方程為由得故所求特解為第二步確定常數(shù)C1,C2解特征方程為特征根為故所求通解為例3求方程的通解.特征方程為7.5.2n階常系數(shù)齊次線性方程n階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為特征根的情況
通解中的對應(yīng)項
其中
為常數(shù).特征根為故,所求通解為解特征方程為例4求方程的通解.特征根為所求微分方程為解由題設(shè)知,
特征方程為例5已知一個常系數(shù)線性微分方程的通解為其中為任意常數(shù),求這個微分方程
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