高等數(shù)學教程　下冊　第4版 課件 8.3 冪級數(shù)

8.3冪級數(shù)8.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念是定義在上的函數(shù)項級數(shù).稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項無窮級數(shù).

定義1設是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,表達式

例如,級數(shù)所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體，稱為收斂域,發(fā)散點.定義2如果數(shù)項級數(shù)收斂,則稱為級數(shù)的收斂點,否則,稱為設函數(shù)項級數(shù)的部分和為余項(x在收斂域上)注意:函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)(x∈D)定義3

在收斂域D上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).函數(shù)則項級數(shù)的收斂問題.是公比為x的幾何級數(shù),在收斂域內(nèi),其和函數(shù)是發(fā)散域為其收斂域為同理例如,級數(shù)解由比值判別法,有

原級數(shù)絕對收斂.例1求級數(shù)

的收斂域.(1)當原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;故,原級數(shù)的收斂域為(2)當(3)當形如8.3.2冪級數(shù)及其收斂性稱為x的冪級數(shù).稱為冪級數(shù)的系數(shù).簡稱冪級數(shù).的函數(shù)項級數(shù),稱為的冪級數(shù),設其意義在于用多項式近似s(x).是公比為x的幾何級數(shù),其收斂域為級數(shù)在一般的情形下,冪級數(shù)的收斂域都是區(qū)間.證(1)定理8.13(阿貝爾定理)則它在滿足的一切x處發(fā)散.處收斂,處發(fā)散,若冪級數(shù)若冪級數(shù)即存在常數(shù)

M>0,使得則它在滿足的一切x處絕對收斂;從而數(shù)列有界,由結論(1),這與所設矛盾.使級數(shù)收斂,若有一點x1適合則級數(shù)在處應收斂,收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域幾何說明推論8.1也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):如果冪級數(shù)

不是僅在x=0一點收斂,冪級數(shù)的收斂域一定是下列四個區(qū)間之一:

規(guī)定:定義(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂,規(guī)定收斂域為x=0;(2)冪級數(shù)對一切

x都收斂,規(guī)定收斂域為正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.問題:如果冪級數(shù)處條件收斂,其收斂半徑R=?證設定理8.14由比值判別法,則如果冪級數(shù)的所有系數(shù)收斂半徑收斂,發(fā)散,并且從某個n開始從而級數(shù)發(fā)散.從而級數(shù)絕對收斂.(1)如果收斂,從而級數(shù)絕對收斂.收斂半徑發(fā)散,收斂半徑(2)如果(3)如果例1求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解故發(fā)散;故收斂域為收斂.解例2求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.收斂域為解僅在x=0收斂.例3求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.所以,收斂半徑為解例4求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.收斂;故收斂域為[1,3].收斂.所以,當收斂,定理8.15

(收斂半徑的根值計算法)解例5求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.原級數(shù)的一般項不趨于零,收斂域為級數(shù)發(fā)散.解原級數(shù)絕對收斂,級數(shù)發(fā)散.例6求冪級數(shù)的收斂域.級數(shù)發(fā)散.原級數(shù)的收斂域為8.3.3冪級數(shù)的性質(zhì)及冪級數(shù)的和函數(shù)的收斂半徑分別為R1和R2,取其中性質(zhì)2和函數(shù)且逐項求導后收斂半徑不變.并有逐項求導公式

性質(zhì)1和函數(shù)在收斂域上連續(xù).設性質(zhì)3和函數(shù)有逐項積分公式逐項積分后收斂半徑不變.若注:冪級數(shù)逐項微分與逐項積分后收斂半徑不變,

但是收斂域可能不同.解例7

求冪級數(shù)

的和函數(shù).解例8

求冪級數(shù)

的和函數(shù).當x=0時,顯然s(0)=1.故s(x)在點x=0是連續(xù)的.事實上,另外,由,有解例9

求的收斂域及和函數(shù)，故并求數(shù)項級數(shù)的和.冪級