高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 8.3 冪級(jí)數(shù)

8.3冪級(jí)數(shù)8.3.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念是定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).稱(chēng)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).

定義1設(shè)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,表達(dá)式

例如,級(jí)數(shù)所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為發(fā)散域.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體，稱(chēng)為收斂域,發(fā)散點(diǎn).定義2如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),否則,稱(chēng)為設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和為余項(xiàng)(x在收斂域上)注意:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)(x∈D)定義3

在收斂域D上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).函數(shù)則項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.是公比為x的幾何級(jí)數(shù),在收斂域內(nèi),其和函數(shù)是發(fā)散域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)橥砝?級(jí)數(shù)解由比值判別法,有

原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例1求級(jí)數(shù)

的收斂域.(1)當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;故,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2)當(dāng)(3)當(dāng)形如8.3.2冪級(jí)數(shù)及其收斂性稱(chēng)為x的冪級(jí)數(shù).稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).簡(jiǎn)稱(chēng)冪級(jí)數(shù).的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù),設(shè)其意義在于用多項(xiàng)式近似s(x).是公比為x的幾何級(jí)數(shù),其收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)在一般的情形下,冪級(jí)數(shù)的收斂域都是區(qū)間.證(1)定理8.13(阿貝爾定理)則它在滿(mǎn)足的一切x處發(fā)散.處收斂,處發(fā)散,若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)即存在常數(shù)

M>0,使得則它在滿(mǎn)足的一切x處絕對(duì)收斂;從而數(shù)列有界,由結(jié)論(1),這與所設(shè)矛盾.使級(jí)數(shù)收斂,若有一點(diǎn)x1適合則級(jí)數(shù)在處應(yīng)收斂,收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域幾何說(shuō)明推論8.1也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確定冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;冪級(jí)數(shù)發(fā)散.冪級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):如果冪級(jí)數(shù)

不是僅在x=0一點(diǎn)收斂,冪級(jí)數(shù)的收斂域一定是下列四個(gè)區(qū)間之一:

規(guī)定:定義(1)冪級(jí)數(shù)只在x=0處收斂,規(guī)定收斂域?yàn)閤=0;(2)冪級(jí)數(shù)對(duì)一切

x都收斂,規(guī)定收斂域?yàn)檎龜?shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.問(wèn)題:如果冪級(jí)數(shù)處條件收斂,其收斂半徑R=?證設(shè)定理8.14由比值判別法,則如果冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù)收斂半徑收斂,發(fā)散,并且從某個(gè)n開(kāi)始從而級(jí)數(shù)發(fā)散.從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(1)如果收斂,從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.收斂半徑發(fā)散,收斂半徑(2)如果(3)如果例1求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.解故發(fā)散;故收斂域?yàn)槭諗?解例2求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.收斂域?yàn)榻鈨H在x=0收斂.例3求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.所以,收斂半徑為解例4求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.收斂;故收斂域?yàn)閇1,3].收斂.所以,當(dāng)收斂,定理8.15

(收斂半徑的根值計(jì)算法)解例5求冪級(jí)數(shù)

的收斂半徑與收斂域.原級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散.解原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.例6求冪級(jí)數(shù)的收斂域.級(jí)數(shù)發(fā)散.原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.3.3冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的收斂半徑分別為R1和R2,取其中性質(zhì)2和函數(shù)且逐項(xiàng)求導(dǎo)后收斂半徑不變.并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

性質(zhì)1和函數(shù)在收斂域上連續(xù).設(shè)性質(zhì)3和函數(shù)有逐項(xiàng)積分公式逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變.若注:冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變,

但是收斂域可能不同.解例7

求冪級(jí)數(shù)

的和函數(shù).解例8

求冪級(jí)數(shù)

的和函數(shù).當(dāng)x=0時(shí),顯然s(0)=1.故s(x)在點(diǎn)x=0是連續(xù)的.事實(shí)上,另外,由,有解例9

求的收斂域及和函數(shù)，故并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.冪級(jí)