浙江省2024屆高三數(shù)學上學期11月聯(lián)考試題含解析

Page22考生須知：1．本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出分式不等式和絕對值不等式，根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】，即或，解得或，則或，則，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可.【詳解】由題意得，則，故選：C.3.已知平面向量，，均為單位向量，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用向量加法的三角形不等式，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】平面向量，，均為單位向量，則，當且僅當同向共線時取等號，則當時，與共線，反之，與共線并且方向相反時，，所以“”是“與共線”的充分不必要條件，A正確.故選：A4.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長就無限接近圓的周長，并由此求得圓周率的近似值．如圖當時，圓內(nèi)接正六邊形的周長為，故，即．運用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（）A.時， B.時，C.時， D.時，【答案】A【解析】【分析】求出正十二邊形的周長，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成個如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點，則為的中點，且，因為，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長為，所以，.故選：A.5.已知等比數(shù)列滿足，，則的值不可能是（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出首項和公比即可得解.【詳解】設(shè)公比為，由，，得，解得或或或.故選：D.6.第33屆夏季奧運會預(yù)計在2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增電子競技和沖浪兩個競賽項目以及滑板等5個表演項目．現(xiàn)有三個場地，，分別承擔競賽項目與表演項目比賽，其中電子競技和沖浪兩個項目僅能，兩地承辦，且各自承辦其中一項.5個表演項目分別由，，三個場地承辦，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）A.150種 B.300種 C.720種 D.1008種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)與排列數(shù)的計數(shù)方法，結(jié)合分類分步兩個基本原理求解即可得的答案.【詳解】首先電子競技和沖浪兩個項目僅能兩地舉辦，且各自承辦其中一項有種安排；再次5個表演項目分別由三個場地承辦，且每個場地至少承辦其中一個項目則有種，故總數(shù)為種不同的安排方法.故選：B.7.已知是奇函數(shù)，實數(shù)、均小于，為自然對數(shù)底數(shù)，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得出，由已知可得出，，由結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，可得出，可得出，并推導(dǎo)出、，即可得解.【詳解】對任意的，，則函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，所以，，，則函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意，因為，，則，，因為，則，所以，，即，即，即，因為，，則，則，故，即，又因為，即，可得或，則或，即，同理可知，，故.故選：B.8.橢圓的左焦點為，右頂點為，過點的傾斜角為的直線交橢圓于點，（點在軸的上方）．若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，代入橢圓方程化簡得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】顯然，則由題意得，則，又因為點在橢圓上，所以，即，即，根據(jù)得，整理得.所以，解得，(其中均舍去)，故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，對任意的恒成立，則（）A.的一個周期為 B.的圖像關(guān)于直線對稱C.區(qū)間上有1個極值點 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】【分析】對于A，求得最小正周期即可判斷；對于B，由題意求得，檢驗是否為即可判斷；對于CD，由可得，從而可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒有極值點，即可判斷.【詳解】對于A，的最小正周期，A錯；對于B，因為對任意的恒成立，所以當時，取得最大值，所以，解得，又因為，所以，所以，所以當時，，所以的圖像關(guān)于直線對稱，B對；對于CD，因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒有極值點，C錯D對.故選：BD.10.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)對立事件的性質(zhì)結(jié)合已知可得，利用條件概率公式和全概率公式推導(dǎo)可判斷ABD；舉特例可判斷C.【詳解】由對立事件性質(zhì)知，，又，所以，因為，所以，所以，B正確；又因為，所以，得，D正確；由，得，則，又，所以，故，A錯誤；以擲一顆骰子為例，不妨記事件A：擲出的點數(shù)為奇數(shù)；事件B：擲出的點數(shù)為1點或3點.則：擲出的點數(shù)為偶數(shù)；：擲出的點數(shù)為2點或4點或5點或6點.易知，，，所以滿足題設(shè)，，但，故C錯誤.故選：BD11.在底面為菱形的直四棱柱中，為中點，點滿足，，（）A.當時， B.當時，C.當時，平面 D.當時，平面【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)共面向量定理和共線向量定理結(jié)論結(jié)合線面垂直的判定、面面平行的判定和性質(zhì)一一分析即可.【詳解】由題意得三向量共面，當，根據(jù)共線向量定理的結(jié)論知（不與邊界點重合），因為底面為菱形的直四棱柱，，底面，因為平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對B，若，且由A知，又因為平面，且，所以平面，根據(jù)A中的同樣方法可證明平面，則，顯然不可能，故B錯誤；對C，當時，設(shè)的中點為，的中點為，則，則根據(jù)可知（不包含邊界），根據(jù)中位線可知，平面，平面，所以平面，同理根據(jù)可得平面，因為，且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故C正確；對D，由平面與平面相交，所以平面與平面相交，則無法得到平面，故D錯誤.故選：AC.12.已知定義在上的函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，，，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性對稱性，再得到的周期性的對稱性，最后由求導(dǎo)得到和的周期性和對稱性，代入求解即可.【詳解】由題意得，所以，兩式相減可得①，所以關(guān)于點中心對稱，又因為為奇函數(shù)，所以②，即，所以關(guān)于點中心對稱，而定義域為，所以，A正確；②式兩邊對求導(dǎo)可得，所以是偶函數(shù)，以替換①中的可得，所以，所以是最小正周期為4的周期函數(shù)，因為，所以也是最小正周期為4的周期函數(shù)，即，兩邊求導(dǎo)可得，所以也是最小正周期為4的周期函數(shù)，所以不恒成立，B錯誤；由①得，令，解得，所以③，即關(guān)于直線對稱，以替換③中的可得，由②可知，所以④，所以，所以C正確；由上可知關(guān)于點中心對稱，所以又因為是偶函數(shù)，所以又因為是最小正周期為4的周期函數(shù)，所以，由條件可得，所以，由④知，所以，D正確，故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：解決這類題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱與周期的關(guān)系，若關(guān)于兩點（縱坐標相同）或者兩條直線（平行于軸）對稱，則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍，若關(guān)于一點和一直線（平行于軸）對稱，則周期為這點和這條直線的距離的四倍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知銳角滿足；則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式、和差角的正弦公式計算得解.【詳解】銳角滿足，則，所以.故答案為：14.已知，，，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】依題意得，，則，由基本不等式求解即可.【詳解】解：依題意得，，則，故，當且僅當時等號成立，又，解得，所以的最小值為.故答案為：.15.已知拋物線，圓，若拋物線與圓有四個公共點，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線與圓的交點個數(shù)聯(lián)立消元列不等式求解即可得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立方消去整理得因為拋物線與圓有四個公共點，所以，且所以解得，則的取值范圍為.故答案為：.16.體積為的直三棱柱中，，，則此三棱柱外接球的表面積的最小值為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)直三棱柱的高為，外接圓的半徑為，，直三棱柱外接球的的半徑為，根據(jù)棱柱的體積可得，利用正弦定理求出外接圓的半徑，再利用勾股定理求出的最小值，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.【詳解】設(shè)直三棱柱的高為，外接圓的半徑為，，直三棱柱外接球的的半徑為，則，所以，在中，由余弦定理可得，則，所以，所以，令，則，則，當且僅當，即，即時取等號，所以此三棱柱外接球的表面積的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）證明：；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正、余弦定理進行角換邊即可證明；（2）首先求出，再結(jié)合三角形面積公式得，最后利用（1）中結(jié)論和余弦定理即可求出周長.【小問1詳解】由正弦定理及余弦定理可得：化簡得：.【小問2詳解】因為，且為三角形內(nèi)角，.，所以.由余弦定理可得:，所以，，，即，所以周長為.18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，為的重心，．（1）當直線平面時，求的值；（2）當時，求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形重心定理求解即得.（2）在平面內(nèi)作，以點為原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】連接，由四邊形是矩形，得是中點，而為的重心，則點在線段上，有，于是，由平面，平面，平面平面，得，因此，所以.【小問2詳解】在中，，則，有，在平面內(nèi)作，由平面平面，平面平面，得平面，顯然射線兩兩垂直，以點為坐標原點，射線分別為軸非負半軸，建立空間直角坐標系，由（1）知，，則，，設(shè)平面一個法向量為，則，令，得，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，因此，從而，所以平面與平面的夾角的大小為.19.電網(wǎng)公司將調(diào)整電價，為此從某社區(qū)隨機抽取100戶用戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖．調(diào)價方案為：月用電量在以下（占總數(shù)的71%）的用戶電價不變，月用電量在以上則電價將上浮10%．（1）求和的值；（2）若采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，從月用電量不低于的用戶中抽9戶用戶，再從這9戶用戶中隨機抽取3戶，記月用電量在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖利用頻率之和為可求得的值，結(jié)合百分位數(shù)的估計可得的值；（2）利用分層抽樣得兩組各抽取樣本數(shù)，結(jié)合超幾何分布求解概率即可得分布列，從而可求數(shù)學期望.【小問1詳解】因為所以第一到第六組的頻率依次為：前三組頻率之和為，前四組頻率之和為，則第71百分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，所以，解得；小問2詳解】月用電量在，的頻率分別為：，據(jù)按比例分配的分層隨機抽樣可知：用電量在，分別有人，人，從而可取的值為：0，1，2，3.故的分布列為：則20.已知各項非零的數(shù)列，其前項的和為，滿足．（1）若，證明：；（2）是否存在常數(shù)，使得是等差數(shù)列？若存在，求出的所有可能值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合已知可得，再借助推理即得.（2）假定存在，利用等差數(shù)列的通項公式建立關(guān)于的恒等式，再分析計算判斷即得.【小問1詳解】由和，得，又數(shù)列的首項不為零，則，由，于是，由，得，所以.【小問2詳解】由，得，有，兩式相減并整理得：，假設(shè)存在常數(shù)，使得是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則有，因此對任意，恒成立，從而，解得(舍去)或，由，解得，則，所以存在，使得是等差數(shù)列，此時.21.雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在上．當時，，且的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）若點在第一象限，且有，求點的橫坐標．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點的坐標，進而求出，再結(jié)合三角形面積求出即得.（2）設(shè)出點的坐標，利