蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-1-1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件

平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓,兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點間的距離叫作橢圓的焦距.第3章圓錐曲線與方程3.1

橢圓知識點1

橢圓的定義3.1.1

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知識點2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

點P(x0,y0)與橢圓

+

=1(a>b>0)的位置關(guān)系:(1)點P在橢圓上?

+

=1;(2)點P在橢圓內(nèi)部?

+

<1;(3)點P在橢圓外部?

+

>1.知識點3

點與橢圓的位置關(guān)系

1.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷一般地,聯(lián)立直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)與橢圓

+

=1(a>b>0)的方程,得

整理,得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程.知識點4

直線與橢圓的位置關(guān)系位置關(guān)系Δ的取值交點的個數(shù)相交Δ>02相切Δ=01相離Δ<002.弦長公式設(shè)直線l:y=kx+b與橢圓交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1P2=

|x1-x2|=

·

或P1P2=

|y1-y2|=

·

(k≠0).知識拓展1.若動點M與定點F(c,0)之間的距離和它到定直線l:x=

的距離之比是常數(shù)

(0<c<a),則動點M的軌跡叫作橢圓,定點為橢圓的一個焦點.2.已知定點A(-a,0),B(a,0),若直線AM、BM相交于點M,且它們的斜率之積為-

,則點M的軌跡是橢圓(不包含點A、B).知識辨析1.平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓嗎?2.橢圓

+

=1(a>b>0)和橢圓

+

=1(a>b>0)的焦點雖然不同,但都滿足a2=b2+c2,這種說法正確嗎?3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫成mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式,反過來,若一個方程是mx2+ny2=1(m>0,

n>0)的形式,它一定表示橢圓嗎?一語破的1.不一定.當(dāng)常數(shù)大于兩定點之間的距離時,點的軌跡是橢圓;當(dāng)常數(shù)等于兩定點之間的距離

時,點的軌跡是線段;當(dāng)常數(shù)小于兩定點之間的距離時,點的軌跡不存在.2.正確.焦點無論是落在x軸上還是y軸上,都滿足a2=b2+c2,且a>b,a>c.3.不一定.若m=n,則該方程表示的圖形是圓.

1.定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)橢圓的定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般是先“定性”,即判斷焦點所在的坐標(biāo)軸,再“定量”,即確定a,b

的值.(2)求a,b的值時可利用條件直接求出,也可用待定系數(shù)法設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后計算.如果明確橢圓的焦點在x軸或y軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為

+

=1或

+

=1(a>b>0).如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設(shè)為mx2+ny2

=1(m>0,n>0,m≠n).定點1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解關(guān)鍵能力定點破典例求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為(0,-2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過點

;(2)焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(

,-2)和B(-2

,1)兩點.思路點撥

(1)定性:設(shè)橢圓的方程為

+

=1(a>b>0)

定量:求a,b的值

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析

(1)由題意知,橢圓的焦點在y軸上,∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).由橢圓的定義,知2a=

+

=2

,即a=

.又c=2,∴b2=a2-c2=6.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.(2)設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵A(

,-2)和B(-2

,1)兩點在橢圓上,∴

即

解得

∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.

1.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三角形.關(guān)于橢圓的焦點三角

形問題,通常利用橢圓的定義,并結(jié)合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知識求解.2.焦點三角形的常用結(jié)論(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知F1

=P

+P

-2PF1·PF2·cos∠F1PF2.(3)設(shè)P(xP,yP),則焦點三角形F1PF2的面積為c·|yP|=

PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan

.定點2橢圓的焦點三角形問題典例已知點P是橢圓

+

=1上的點,點F1,F2是橢圓的兩個焦點,若△F1PF2中有一個角的大小為

,則△F1PF2的面積為

.

3

或6

解析

由橢圓方程知a=5,b=3,則c=

=4.若∠F1PF2=

,則

=b2tan

=9tan

=3

;若∠PF1F2=

,設(shè)PF1=m,則PF2=2a-m=10-m,由余弦定理得P

=P

+F1

-2PF1·F1F2cos∠PF1F2,即(10-m)2=m2+64-8m,解得m=3,∴

=

PF1·F1F2·sin∠PF1F2=

×3×8×

=6

;同理可得,當(dāng)∠PF2F1=

時,

=6

.綜上所述,△F1PF2的面積為3

或6

.

1.求相交弦的長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點的坐標(biāo),用兩點間的距離公式求弦長.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程,消元,得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程,設(shè)兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)弦長公式AB=

|x1-x2|

,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求弦長.2.與橢圓中點弦有關(guān)的三種題型及解法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求中點坐標(biāo):聯(lián)立直線和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去x(或y)得到一元二

次方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.(2)利用點差法求直線斜率或方程:利用弦的端點在橢圓上,將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程,然定點3直線與橢圓的相交弦問題后作差,得到中點坐標(biāo)和直線斜率的關(guān)系,即若橢圓方程為

+

=1(a>b>0),直線與橢圓相交于點A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,且弦AB的中點為M(x,y),則

①-②,整理得a2(

-

)+b2(

-

)=0,所以

=-

·

=-

·

.這樣就建立了中點坐標(biāo)與直線斜率之間的關(guān)系,從而使問題得以解決.(3)利用共線法求直線方程:設(shè)橢圓

+

=1(a>b>0)與直線AB的一個交點為A(x,y),另一個交點為B,如果弦AB的中點為P(x0,y0),那么利用中點坐標(biāo)公式可得B(2x0-x,2y0-y),則有

+

=1,

+

=1,兩式作差即可得所求直線的方程.其中點差法是解決中點弦問題最常用的方法,點差法中體現(xiàn)的設(shè)而不求思想還可以用于

解決對稱問題.典例已知橢圓

+

=1和點P(4,2),直線l經(jīng)過點P且與橢圓交于A,B兩點.(1)當(dāng)直線l的斜率為

時,求線段AB的長度;(2)當(dāng)P恰好為線段AB的中點時,求l的方程.思路點撥

(1)求出直線方程

聯(lián)立直線與橢圓的方程,得方程組

解方程組得交點坐標(biāo)

由兩點間距離公式求得弦長.(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)

利用“點差法”求出kAB

得出直線l的方程.解析

(1)由已知可得直線l的方程為y-2=

(x-4),即y=

x.由

得x2-18=0,解得x=±3

.設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),不妨令xA=3

,xB=-3

,則A

,B

,所以AB=

=3

,所以線段AB的長度為3

.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有

兩式相減,得

+

=0,整理,得kAB=

=-

.又P(4,2)是線段AB的中點,所以