湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第1章數(shù)列1-3-1 1-3-2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)課件

1.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一個常數(shù),

那么這個數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比.2.等比數(shù)列中的每一項都不為0,因此公比q≠0.3.如果一個數(shù)列不是從第2項起,而是從第3項或第4項起每一項與它的前一項之

比都是同一個常數(shù),那么此數(shù)列不是等比數(shù)列.1.3.1等比數(shù)列及其通項公式1.3等比數(shù)列1.3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)1|

等比數(shù)列的概念1.等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1涉及四個量a1,an,n,q,只要知道其中任意三個量,就

能求出第四個量.2.等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1

(q≠0)可以推廣為an=amqn-m(q≠0),即已知等比數(shù)列的任意兩項,都可以求出數(shù)列的任何一項.2

|

等比數(shù)列的通項公式1.“a,G,b成等比數(shù)列”等價于“G2=ab(a,b均不為0)”,當(dāng)a,b同號時,a,b的等比中

項有兩個,且它們互為相反數(shù).2.在一個等比數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項

與后一項的等比中項.3|

等比中項1.在等比數(shù)列{an}中,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則akal=aman.特別地,若m+n=2r(m,n,r

∈N+),則aman=

.2.若數(shù)列{an}是公比為q(q>0)且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logban}(b>0且b

≠1)是公差為logbq的等差數(shù)列;若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列{

}(b>0且b≠1)是公比為bd的等比數(shù)列.3.在公比為q(q≠-1)的等比數(shù)列{an}中,依次取相鄰k項的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或

)的等比數(shù)列.4.若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則數(shù)列{λan}(λ≠0)是公比為q的等比數(shù)列,數(shù)列

是公比為

的等比數(shù)列,數(shù)列{

}是公比為q2的等比數(shù)列,數(shù)列{|an|}是公比為

|q|的等比數(shù)列.4|等比數(shù)列的性質(zhì)5.若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則在數(shù)列{an}中,每隔k(k∈N+)項取出一項,按

原來的順序排列,所得數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為qk+1.6.在等比數(shù)列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差數(shù)列,則am,an,ap成等比數(shù)列.7.若{an},{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列,公比分別是p和q,則數(shù)列{anbn}與

也都是等比數(shù)列,公比分別為pq和

.1.等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q>0且q≠1時,等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f(x)=

·qx(x∈R)當(dāng)x=n時的函數(shù)值,即an=f(n).(2)任意指數(shù)型函數(shù)f(x)=kax(k,a是常數(shù),k≠0,a>0且a≠1),則f(1)=ka,f(2)=ka2,……,

f(n)=kan,……構(gòu)成等比數(shù)列{kan},其首項為ka,公比為a.2.等比數(shù)列的單調(diào)性5|等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)a1的正負a1>0a1<0q的范圍0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1{an}的單調(diào)性單調(diào)遞減不具有單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增不具有單調(diào)性單調(diào)遞減1.如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于一個常數(shù),這個數(shù)列是

等比數(shù)列嗎?不一定.當(dāng)這個常數(shù)為同一個常數(shù)時才是等比數(shù)列.2.存在既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列的數(shù)列嗎?存在.當(dāng)數(shù)列為非零常數(shù)列時,它既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,常數(shù)列0,0,0,…是等

差數(shù)列,不是等比數(shù)列.3.2和8的等比中項是4嗎?不是.應(yīng)該是±4,可以說4是2和8的等比中項.4.若等比數(shù)列{an}的首項為正,則該數(shù)列的所有奇數(shù)項都是正數(shù)嗎?是.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則其奇數(shù)項為a2n-1=a1q2(n-1)=a1(q2)n-1(n∈N+),因此當(dāng)a1>

0時,a2n-1>0.等比數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項、偶數(shù)項的符號分別相同.知識辨析1.定義法:若數(shù)列{an}滿足

=q(q為常數(shù)且不為零)或

=q(n≥2,q為常數(shù)且不為零),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.2.等比中項法:對于數(shù)列{an},若

=anan+2且an≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.3.通項公式法:若數(shù)列{an}的通項公式為an=cqn(c≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.其中,定義法和等比中項法可作為證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù).1等比數(shù)列的判定(證明)

典例已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=2an+n-4.(1)求a1的值;(2)若bn=an-1,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.解析

(1)因為Sn=2an+n-4,所以當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1+1-4,解得a1=3.(2)證明:因為Sn=2an+n-4,所以當(dāng)n≥2時,Sn-1=2an-1+n-5,所以Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)(n≥2),即an=2an-1-1(n≥2),所以an-1=2(an-1-1)(n≥2),又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2),易知b1=a1-1=2≠0,所以數(shù)列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.1.在解決等比數(shù)列問題的過程中常需要設(shè)未知量,為了盡量減少未知量的個數(shù),常

采用對稱設(shè)法:當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時,先設(shè)中間一個數(shù)為a,再以公比為q向兩邊對稱依次設(shè)項即

可.如三個數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為

,a,aq.當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)且公比大于0時,先設(shè)中間兩個數(shù)為

和aq,再以公比為q2向兩邊對稱依次設(shè)項即可.如四個數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為

,

,aq,aq3.2.構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式當(dāng)已知數(shù)列{an}不是等比數(shù)列時,往往需要利用待定系數(shù)法構(gòu)造與之相關(guān)的

等比數(shù)列.利用等比數(shù)列的通項公式求出包含an的關(guān)系式,進而求出an.常見類型:2等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化為an+1-

=c

,當(dāng)a1-

≠0時,數(shù)列

為等比數(shù)列,從而把一個非等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題;也可消去常數(shù)項,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N+),兩式相減,得an+1-an=c(an-an-1),當(dāng)a2-a1

≠0時,數(shù)列{an+1-an}是公比為c的等比數(shù)列.(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化為an+1-

=c

或?qū)⑦f推公式兩邊同除以dn+1化為(1)型或兩邊同除以cn+1,累加求通項.(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化為an+1-

=c

+dn,即(2)型.

典例1在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項公式.思路點撥思路一:引入?yún)?shù)λ,使an+1+λ=3(an+λ),則數(shù)列{an+λ}為等比數(shù)列.思路

二:通過觀察遞推公式的特征,直接消去常數(shù),轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項公式.解析

解法一:令an+1+λ=3(an+λ),即an+1=3an+2λ,又an+1=3an+2,∴λ=1,∴an+1+1=3(an+1).∵a1+1=2,∴數(shù)列{an+1}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列,∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.解法二:∵an+1=3an+2,∴an=3an-1+2(n≥2),兩式相減,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4,∴{an+1-an}是首項為4,公比為3的等比數(shù)列,∴an+1-an=4×3n-1.∴3an+2-an=4×3n-1,∴an=2×3n-1-1.解題模板

構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式:在條件中出現(xiàn)an+1=kan+b時,往往構(gòu)造等比

數(shù)列{an+λ},方法是把an+1+λ=k(an+λ)與an+1=kan+b對照,求出λ后再求解.

典例2在數(shù)列{an}中,已知a1=

,an+1=

an+

,求數(shù)列{an}的通項公式.思路點撥根據(jù)遞推公式的特征,用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求解.解析

令an+1-A×

=

,得an+1=

an+

×

.根據(jù)已知條件得

=1,即A=3,所以an+1-3×

=

.又a1-3×

=-

≠0,所以

是首項為-

,公比為

的等比數(shù)列,所以an-3×

=-

×

,所以an=3×

-2×

.方法歸納

形如an=pan-1+kqn(n≥2,pqk≠0,p≠1,q≠1)的遞推公式,除利用待定系數(shù)

法直接化為等比數(shù)列外,也可以兩邊同除以qn得

=

·

+k,進而化為等比數(shù)列,還可以兩邊同除以pn得

=

+k

,再利用累加法求出

,進而求得an.1.與等比數(shù)列有關(guān)的問題中,常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運算,若按常規(guī)的解題方

法,則需建立關(guān)于a1,q的方程組求解,這種方法運算量比較大,如果結(jié)合等比數(shù)列的

有關(guān)性質(zhì)來求解,那么會起到化繁為簡的效果.2.在應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時,需時刻注意等比數(shù)列性質(zhì)成立的前提條件.3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

典例已知{an}為等比數(shù)列.(1)若{an}滿足a2a4=

,求a1

a5;(2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.解析

(1)在等比數(shù)列{an}中,∵a2a4=

,∴

=a1a5=a2a4=

,∴a1

a5=

.(2)由等比中項,化簡條件得

+2a6a8+

=49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7.(