高中數(shù)學(xué)二維形式的柯西不等式練習(xí)題含答案

高中數(shù)學(xué)二維形式的柯西不等式練習(xí)題含答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.二維形式的柯西不等式可用()表示.

A.a2+b2>2ab(a,beR)

B.(a2+b2)(c2+d2)>(ab+cd)2(a,b,c,dER)

C.(a2+h2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,dE：R)

D.(a2+h2)(c2+d2)<(ac+bd)2{a,b,c,dER)

2.已知a,beR,a24-b2=4,求3a+2b的取值范圍為()

A.3a+2b<4B.3a+2b42舊C.3a+2b>4D.不確定

3.已知x,y,z,a,b,c,k均為正數(shù)，Kx24-y24-z2=10,a2+62+c2=90,

ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),則k=()

ii

A-B-C.3D.9

93

4.已知％,y,z均為正數(shù)，且x+y+z=2,則?+JR+的最大值是（）

A.2B.2V2C.2V3D.3

5.己知x,y均為正數(shù)，且滿足峭=巴"，華+號(hào)=#石，則工的值

42，xyx2y23（xz+yz）y

為（）

A.2B.lC.V3D.i

2

6.若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a?++c?=1,則3ab-3bc+2c?的最大值為()

A.lB.2C.3D.4

7.用柯西不等式求函數(shù)y=727^3+后+"^多的最大值為()

A.V22B.3C.4D.5

8.若2x+3y+5z=29,則函數(shù)〃=V2x+1+J3y+4+，5z+6的最大值為()

A.V5B.2V15C.2V30D.V30

9.設(shè)％、y、z是正數(shù)，且％2+4y2+922=4,2%+4y+3z=6,則％+y+z等于（）

10.實(shí)數(shù)=1,2,3,4,5,6）滿足（@2—。1）2+（。3—。2）2+（@4—@3）2+（。5—04）?+

2

（a6-a5）=1則（g+。6）—（%+%）的最大值為（）

A.3B.2V2C.V6D.1

11.請(qǐng)用柯西不等式求解.已知a、b、x、y都是正實(shí)數(shù)，且?+；=1,則x+y的最小

值為.

12.已知a,b,c都是正數(shù)，且2a+b+c=6,則M+出?+ac+be的最大值為

13.若x、y為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式捻+3-8§+9+15的取值范圍是-

14.若M+爐=1,%24-y2=4,則a%+by的最大值為.

15.若p,q,丁為正實(shí)數(shù)，且：+：+，=1,則p+q+r的最小值是.

16.已知：不等式（％+Qy）（x+y）N25盯對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最

小值為.

17.若實(shí)數(shù)％,y,z滿足/+y2+z2=1,則％y+yz+z%的取值范圍是.

18.已知小+2b2+c2=4,則2Q+2b+c的最大值為.

19.已知a,b,c,d都是正數(shù)，a2+b24-c2=d2,a+b+c=dx,貝k的取值范圍

是.

20.設(shè)a,b,m,nG/?,且a?+52=3,巾。+瓶人=3,則gn?+幾2的最小值為

21.己知Q,b,c為正實(shí)數(shù)，且Q+6+C=2.

試卷第2頁(yè)，總24頁(yè)

⑴求證:ab+bc+ac<l；

(2)若Q,b,C都小于1,求+c2的取值范圍.

22.設(shè)a,b,c,de/?,a24-Z)2=c24-d2=1,求abed的最大值.

23.在空間直角坐標(biāo)系0-xyz中，坐標(biāo)原點(diǎn)為0,P點(diǎn)坐標(biāo)為(居y,z).

(1)若點(diǎn)P在無軸上，且坐標(biāo)滿足|2%-5|W3,求點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離的最小值；

(2)若點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為2g,求x+y+z的最大值.

24.已知關(guān)于大的不等式等2—無+Jx+1<m對(duì)于任意的％G[-1,2]恒成立

(1)求m的取值范圍；

(2)在(1)的條件下求函數(shù)/(m)=m+癡+的最小值.

25.己知X],x2,...xneR+,且…=1，求證：(V2+xx)(V2+x2)...(V2+

n

xn)>(V2+i).

26.若實(shí)數(shù)％,y,z滿足4x+3y+12z=1,求％?+y2+z2的最小值.

27.已知|x-2y|=5,求證：%24-y2>5.

28.已知aNO,b>0,c>0,a+b+c=l,丫=券+捻+盤-求'max=?

2222

29.己知(a?-%)2+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-as)=1,求5+

@5)一+。4)的最大值.

30.已知x,y,z滿足x-1=拳=等，試求當(dāng)x,y,z分別為何值時(shí)，x2+y2+z2

有最小值，最小值為多少.

31.若M2幽貯出對(duì)一切實(shí)數(shù)a、b、c都成立，求最小的實(shí)數(shù)M.

32.已知la4-6=1,求證：a，+力3+3ab=i.

33.正數(shù)a,b,c,A,B,C滿足條件a+A=b+B=c+C=k證明：aB+bC+

cA<k2.

34.(1)設(shè)函數(shù)/(%)=(%+1|+|%|(xER),求f(x)的最小值，34.

(2)當(dāng)a+2b+3c=m(a,b,cER)時(shí)，求M+廬+c?的最小值.

35.已知底+a：+???+/?=1,好+好+...+堤=1,求證：arxr4-a2x2+...+?nxn<

1.

36.已知％,y,zeZ,且滿足x+y+z=3,%3+y34-z3=3,求/+y2+z2所有

可能的值組成的集合.

37.試證明柯西不等式:(a2+b2)(x2+y2)>(ax+by)2(m,n,a,bER)

38.已知】Q、b、cER,a2+62+c2=1.

(1)求證：|a+b+c|W遮；

(2)若不等式-+1|N(a-b+c)2對(duì)一切實(shí)數(shù)a、b、c恒成立，求實(shí)數(shù)%的

取值范圍.

39.已知函數(shù)/(%)=\x-m\,

(1)求證：/(-x)+/(j)>2；

(2)若m=1且a+b+c=，時(shí)，/(log2x)+f(2+log2x)>Va+2\[b+3正對(duì)任意正

數(shù)a,b,c恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

40.設(shè)的,為實(shí)數(shù)，證明：&Ci+a2c2+…anCn工於+今+…+W，其中G，

。2，…，C九是的,。2，…，@n的任一排列.

試卷第4頁(yè)，總24頁(yè)

參考答案與試題解析

高中數(shù)學(xué)二維形式的柯西不等式練習(xí)題含答案

一、選擇題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

1.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a,b,c,d€R均為實(shí)數(shù)，貝1」色2+爐)?2+

d2)>(ac+bd)2其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)成立.

【解答】

解：根據(jù)二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式：

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

故選C

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

首先分析題目己知。2+爐=4,求3a+2b的取值范圍.考慮到應(yīng)用柯西不等式，首先

構(gòu)造出柯西不等式求出(3a+2b)2的最大值，開平方根即可得到答案.

【解答】

22222

解：已知a?+b=4和柯西不等式的二維形式(ac+bd)2<(a+b)(c+d)

故(3a+2b/<(a2+b2)(32+22)=52

即：3a+2bW2g

故選B.

3.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

根據(jù)所給條件，利用柯西不等式求解，利用等號(hào)成立的條件即可.

【解答】

解：因?yàn)?+y2+z2=]0,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,

所以(a?+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,

X(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax+by+cz>等號(hào)成立,

當(dāng)且僅當(dāng)2=?=￡=k,

xyz

則a=kx,b=ky,c=kz,代入小4-h24-c2=90,

得42(%2+y2+z2)=90,

于是k=3,

故選：c.

4.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

利用柯西不等式，可得(1+2+3)(x+y+z)2(正+JR+75^)2,結(jié)合x+y+z=

2,即可求出〃+J為+的最大值.

【解答】

解：:x、y、z是正數(shù)，

(1+2+3)(x+y+z)>(V%+y[2y+V3z)2,

x+y+z=2,

y/x+y[2y+V3z<A/6?2=2>/3,

.-?日+屑+傳的最大值是2V1

故選：C.

5.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由題意可得tan。=j>1，再由等+竽=若丙化簡(jiǎn)可得3tan%-lOtan20+

3=0.解得taMB的值，可得tan0=土的值.

y

【解答】

解：x,y均為正數(shù)，。€@,力，且滿足等=等，,tan8=‘>L

cos20+sin20tan20

再由,10,可得10

3(x2+y2)y2tan203y2sec20'

化簡(jiǎn)可得3tan40-lOtan20+3=0.

解得taM9=3,或taM。*(舍去)，tan”尸遍,

故選：C.

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

不妨考慮c,當(dāng)c=0時(shí)，運(yùn)用重要不等式a2+XN2ab,求得最大值；再由當(dāng)CW0時(shí),

3ab-3bc+2c2=等等學(xué)，分子分母同除以02,設(shè)％=巴，y=2,再整理成二次

a2+b2+c2cJc

方程，由于x為實(shí)數(shù)，運(yùn)用判別式大于等于0,再由y為實(shí)數(shù)，判別式小于等于0,即可

解得所求的范圍，進(jìn)而得到最大值.

【解答】

試卷第6頁(yè)，總24頁(yè)

解：不妨考慮c,當(dāng)c=0時(shí)，有3ab-3bc+2c2=3ab￡

2

當(dāng)cH0時(shí)，3ab-3bc+2c=，嚕/胃=(￡)2+<)2+lf

設(shè)％=y=-,則可令M=3ab-3bc+2c2=

ccxz+yz+l

即有M/_3砂+M/2+M+3y—2=0,

由于x為實(shí)數(shù)，則有判別式5=9y2-4M(M為+M+3y-2)>0,

即有(9-4M2)y2-12My-4M(M-2)>0,

由于y為實(shí)數(shù)，貝必2=144M2+16M(9-4M2)(M-2)<0,

即有M(M-3)(2M2+2M-3)<0,

由于求M的最大值，則M>0,則MW3.

故選：C.

7.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得，函數(shù)y=V2x-3+岳+V7-3xWJl2+(V2)2+I2-

J(2x-3)+x+(7-3x),從而求得函數(shù)的最大值.

【解答】

解：由柯西不等式可得，函數(shù)y=疹=1+后+夜二區(qū)

<Jl2+(V2)2+I2-7(2%-3)+x4-(7-3%)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)野=*=年時(shí)，等號(hào)成立，

故函數(shù)y的最大值為4.

故選C.

8.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得(42%+1-1+J3y+4-1+y/5z+6-l)2<(2x+l+3y+4+

5z+6)(l2+l2+l2),利用條件，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：由柯西不等式可得(V2x+1-1+J3y+4-1+V5z+6-l)z<(2x+1+3y+

4+5z+6)(12+l2+l2)

「2x+3y+5z=29,

(V2x+1-1+yj3y+4-1+V5z+6-l)2<120,

4=V2x+1+J3y+4+V5z+6<2V30>

M=V27+I+J3y+4+快彳后的最大值為2回.

故選：C.

9.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

運(yùn)用柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+/2)2(ad+be+c/)2,當(dāng)且僅當(dāng)?=?=

:等號(hào)成立.

【解答】

解：；x、y、z是正數(shù)，x2+4y2+9z2=4,2x+4y+3z=6,

(22+224-〃)(尤2+4y2+9Z2)=9x4>(2x+4y+3z)2=36,

可設(shè)"5=5=k,(k為常數(shù))，代入2x+4y+3z=6,

3

得k

=-

2

211

X+y+z-++-20

一

-藐-

kk9

故選A.

10.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得：[(。2-al)2+(。3-a2)2+(。4-。3)2+(。5—?4)2+(a6~

a2aaaa

s)](l+1+1+4+1)>[(a2-%)+(。3_2)+C4~3)+2(。5—4)+(。6-

2

as)],結(jié)合條件，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：由柯西不等式可得：

2222

[(?2-%產(chǎn)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+&-a5)](l+1+1+4+1)

2[(a2-al)+(a3-a2)+?4-a3)+2Q-a4)+(a6-a5)]2=[(a5+a6)~(al+

a/2，

?1-[(?5+a6)~(al+a4)]2<8,

(a$+cig)一(a1+U4)W2A/^,

(a5+a6)-(即+aj的最大值為2注,

故選B.

二、填空題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

11.

【答案】

a+b+2\Tab

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

根據(jù)二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式，即可求解.

【解答】

試卷第8頁(yè)，總24頁(yè)

解：根據(jù)二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式：(Q2+b2)(c2+d2)N(QC+bd)2,

比y

一+一=1

x+y>(Va+Vh)2=a+b+2y[ab,

.0.x+y的最小值為Q+b+2Vab,

故答案為：a+b+2祠.

12.

【答案】

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

利用基本不等式，a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)<卜丁,即可得出結(jié)論.

【解答】

解：a,b,c都是正數(shù)，

a2+ab+ac+be=(a+b)(a+c)<,

2a+b+c=6,

a2+ab+ac+be<9,

a?+ab+ac+be的最大值為9,

故答案為：9.

【答案】

［-3,+8)

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

令工+廿=3運(yùn)用基本不等式，求出t的范圍，將原式化為二次函數(shù)，配方，分別求出

yx

范圍，再求并集.

【解答】

解：令:+(=3則若xy>0，則t22,若xy<0,貝服4-2,

原式=產(chǎn)—2—8t+15=—8t+13——(t—4)2—3,

當(dāng)tN2時(shí)，t=4時(shí)，原式取最小值為一3,無最大值，

當(dāng)tW-2時(shí)，原式取最小值，且為33,

原式的取值范圍是［-3,+8).

故答案為：［-3,+8).

14.

【答案】

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

先根據(jù)柯西不等式可知(a?+b2)(x2+y2)>(ax+by)2,進(jìn)而的求得(ax+”產(chǎn)的最

大值，進(jìn)而求得ax+by的最大值.

【解答】

解：因?yàn)椤?+￡)2=1,x2+y2=4,

由柯西不等式(a?+fa2)(x2+y2)>(ax+by)2,得

4>(ax+by~)2,當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)取等號(hào),

所以ax+by的最大值為2.

故答案為：2.

15.

【答案】

9

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由題意可得p+q+r=(p+q+r)d+%+3=3+-+-+-+-+-+-,利用基本不

r八pq*qrprpq

等式求得它的最小值.

【解答】

解：若p,q,r為正實(shí)數(shù)，且工+二+工=1,

Vqr

則p+q+r=(p+q+r)(-+工+與=3+-4--+-4--4--4-->34-6=9,

pqr，qrprpq

當(dāng)且僅當(dāng)q=q=r=3時(shí)，等號(hào)成立，故p+q+r的最小值是9,

故答案為：9.

16.

【答案】

16

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由不等式(％+ay)(x+y)>25xy對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立=(^)2+(a-24)■|+a>

0,對(duì)于任意:>0恒成立.令t=：>0.則f(t)=12+缶-24?+。20對(duì)于任意￡>

△>0

a—24

——<0.解出即可.

{/(0)>0

【解答】

解：由不等式。+ay)(%4-y)>25xy對(duì)任意正實(shí)數(shù)》,y恒成立，

=0)2+(a—24)-+a>0,對(duì)于任意:>。恒成立.

4t=->o.

y

f(t)=t24-(a-24)t+a>0對(duì)于任意t>。恒成立.

試卷第10頁(yè)，總24頁(yè)

△>0

a—24

---<°-

{m>o

解得16<a<36或a>36.

a>16.

因此a的最小值是16.

故答案為：16.

17.

【答案】

1

[-2<1]

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

利用(x—y)2+(x-z)2+(y—z)?20,可得/+y?+z??孫+%z+yz,又(x+

y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)>0,即可得出.

【解答】

解：：(x-y)2+(x-z)2+(y—z)2>0,

x2+y2+z2>xy+xz+yz,

xy+yz+zx<1；

又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)>0,

xy+xz+yz>—^(x2+y2+z2)=—

綜上可得：Wxy+%z+yzS1.

故答案為：1].

18.

【答案】

2V7

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由條件利用利用柯西不等式，求得2a+2b+c的最大值.

【解答】

解：由a2+2b2+c2=4,利用柯西不等式可得口2+2爐+,2]?[22+(衣)2+12]=

4x7>(2a+2b+c)2,

2a+2d+c<V28=2V7,當(dāng)且僅當(dāng)？=等=￡時(shí)，取等號(hào)，

2V21

故2a+2b+c的最大值為26，

故答案為：2位.

19.

【答案】

(1，何

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

根據(jù)題意，得鏟+（獷+（￡）2=1,尤=>、；；利用換元法，設(shè)?=m,4n,

（=p,（m>0,n>0,p>0）,則in?+n2+p2=1,

求x=m+n+p的取值范圍即可；再利用柯西不等式以及放縮法即可求出m+n+p的

取值范圍.

【解答】

2222

解：:Q,b,c,d都是正數(shù)，a4-h+c=d,

???鏟+（獷+鏟=1;

又=a+b+c=dx,

設(shè)2=n,"=P，且m>0,n>0,p>0,

則m2+n2+p2=i,

%=m4-n4-p；

由柯西不等式得：

3=(l2+l24-l2)*(m2+*+p2)z(i?巾+i?九+i?2)2,

——(m=n=p、反

「?-V3<m4-n+p<V3,當(dāng)且僅當(dāng)］切2工”2工節(jié)_1，即zn=n=p==時(shí)，取得

(771十71十p一_L3

最大值V5；

又：m>0,n>0,p>0,

(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1,

m+n+p>1；

綜上，l<?n+?i+pWW,即x的取值范圍是(1,百］.

故答案為：(1,73］.

20.

【答案】

V3

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

根據(jù)柯西不等式(a?+62)(c2+d2)>(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=be取等號(hào)，問題即可解

決.

【解答】

解：由柯西不等式得，

(ma+nb)2<(m2+n2)(a2+62)

a2+b2=3,ma+nb=3,

：.(m2+n2)>3

Sn2+人的最小值為6.

故答案為：x/3.

三、解答題(本題共計(jì)20小題，每題10分，共計(jì)200分)

21.

【答案】

試卷第12頁(yè)，總24頁(yè)

(1)證明：a+b+c=2,

/.a2+h2+c2+2ab+2bc+2ca=4,

2a2+2b24-2c2+4ab+4bc+4ca=8

/.8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca>6ab+6abc+6ac,當(dāng)且僅當(dāng)a—b—c

時(shí)取等號(hào)，

4

ab+he+ac<-；

3

(2)解：由(1)知，a24-b24-c2+2ab4-2bc4-2ca=4,

/.4<a24-b2+c2+a24-/?2+b2+c2+a2+c2=3(a2+墳+c2),當(dāng)且僅當(dāng)a=

b=c時(shí)取等號(hào)，

a2+b2+c2>l，

*.*a—a2=a(l—a),0<a<1,a>a2,

同理b>b2,c>c2,

M+川+。2v。+力+0=2,

a2+b2+c2<2,

a2+b2+c2的取值范圍為良2).

【考點(diǎn)】

基本不等式

二維形式的柯西不等式

【解析】

(1)由a+b+c=2,得到8=2小+2匕2+2c?+4ab+4bc+4ca,利用基本不等

式得以證明，

(2)由(1)和基本不等式得到a2+62+c2N/再根據(jù)。一。2=磯1一。)，0<a<

1,得到a>a2,繼而求出范圍.

【解答】

(1)證明：:a+b+c=2,

a2+b2+c2+2ab4-2bc4-2ca=4,

2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8

8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca>6ab+6abc+6QC,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=C

時(shí)取等號(hào)，

4

abbeac<-；

(2)解：由(1)知，a24-h24-c2+lab4-2bc4-2ca=4,

/.4<a2+b2+c2+a2+Z?2+b2+c2+a2+c2=3(a2+h2+c2),當(dāng)且僅當(dāng)a=

b=c時(shí)取等號(hào)，

a2+b2+c2>l，

a—a2=a(l—a),0<a<1,a>a2,

22

同理b>bfc>c,

Mv。+}+。=2,

^<a2+b2+c2<2,

。2+川+。2的取值范圍為62).

22.

【答案】

解：根據(jù)基本不等式，

1=a2+b2>2\ab\,-----①

l=c2+d2>2\cd\,-----②

將以上兩式同向相乘得，

1>4\abcd\,

所以，abed6

44

故abed的最大值為;.

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

基本不等式

【解析】

運(yùn)用基本不等式，a2+b2221abc2+d2>2\cd,再同向相乘即可求得最值.

【解答】

解：根據(jù)基本不等式，

1=a2+b2>2\ab\,-----①

1=c2+d2>2\cd\,-----②

將以上兩式同向相乘得，

1>4\abcd\,

所以，abed€[―-,-],

L44」

故abed的最大值為;.

4

23.

【答案】

解：(1)由點(diǎn)「在％軸上，所以P(x,0,0),

又坐標(biāo)滿足|2無一5|43,所以一3三2X一543,...

解得1<x<4,...

所以點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離的最小值為1..…

(2)由點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為2百，

故/+y2+z2=12,...

由柯西不等式，得+y2+z2)(12+]2+/)2(x+y+z)2,...

即(x+y+z)2<36,

所以x+y+z的最大值為6,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=z=2時(shí)取最大.…

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

絕對(duì)值不等式的解法與證明

【解析】

(1)利用絕對(duì)值不等式，求出尤的范圍，即可求點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離的最小值；

(2)點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為2次，故%2+y2+z2=12,由柯西不等式，得(7+

試卷第14頁(yè)，總24頁(yè)

y2+z2)(l2+l2+l2)>(x+y+z)2,即可求x+y+z的最大值.

【解答】

解：(1)由點(diǎn)P在4軸上,所以P(x,0,0),

又坐標(biāo)滿足|2%-5|〈3,所以-342%-5<3,...

解得1<x<4,...

所以點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離的最小值為1.....

(2)由點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為2百，

故/+y2+z2=12,...

由柯西不等式，得(%2+y2+z2)q2+12+仔)2(為+y+z)2,…

即(x+y+z)2<36,

所以x+y+z的最大值為6,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時(shí)取最大....

24.

【答案】

解：(1),.?關(guān)于x的不等式應(yīng)=+在不！<m對(duì)于任意的x€[-1,2]恒成立，可得

m大于式子>/2-x++1的最大值.

根據(jù)柯西不等式，有(V2-x+y/x+I)2=(1-72-x+1-y/x+l)2<[l2+I2]-

[(后與/+(VFFT)2]=6,

所以A/2—X++1Wn,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立，故m>石.

(2)由(1)得血一2>0,則〃7n)=m+?^=*m—2)+*m-2)+^^+2,

■■■/(m)>3^(m-2)-i(m-2)-?^+2=|V2+2,

當(dāng)且僅當(dāng)-2)=布%,即m=冠+2>歷時(shí)取等號(hào)，

所以函數(shù)/(m)=m+(團(tuán)：2產(chǎn)的最小值為|好+2.

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

函數(shù)恒成立問題

【解析】

(1)由題意可得m大于式子VI=+的最大值，再利用柯西不等式求得式子

萬方+V7不I的最大值，可得m的范圍.

(2)由(1)得m-2>0,則/'(Tn)=m+而6=-2)+“m-2)+荷%+2,

再利用基本不等式，求得它的最小值.

【解答】

解：(1)關(guān)于》的不等式VI=+vm<m對(duì)于任意的％G[-1,2]恒成立，可得

m大于式子，2-x+7x+1的最大值.

根據(jù)柯西不等式，有(五二行+VFT1)2=(1-+1-VFT1)2<[12+12]-

[(V2—x)2+(y/x+I)2]—6,

所以7^工行+五午TV赤，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立，故m>通.

(2)由(1)得加一2>0，則f(m)=nt+—2)+*小-2)++2，

/(m)>3pm-2).1(m-2)-+2=|近+2,

當(dāng)且僅當(dāng)](僧_2)=(，[2聲即巾=邁+2>歷時(shí)取等號(hào)，

所以函數(shù)/(m)=tn+(上戶的最小值為|甘I+2.

25.

【答案】

證明：(/)當(dāng)n=l時(shí)，V2+Xj=V2+1,不等式成立.

(〃)假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即：(6+/)(近+%2)...(a+4)2(6+1)/￡成立.

則n=k+l時(shí)，若故+1=1，則命題成立；若見+1>1,則x2<.：>中必存在一

個(gè)數(shù)小于1,

不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為％k，從而(*k一D(&+1-1)<0,即+%k+l>1+

Xk+1<1同理可得，

所以(近+xt)(V2+X2)-(V2+xk+1)=(V2+%!)(72+xz)...[2+V2(xfe+xfe+1)+

xkxk+l]—

kk+1

(V2+XJCV2+x2)...[2+V2(l+xk+1)+xkxk+1]>(V2+l)(V2+1)=(V2+l),

故71=1+1時(shí)，不等式也成立.

由(/)(〃)及數(shù)學(xué)歸納法原理知原不等式成立.

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明71=1時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，

進(jìn)而證明出n=k+l時(shí)，不等式成立即可.

【解答】

證明：(/)當(dāng)n=l時(shí)，&+%1=&+1,不等式成立.

(〃)假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即：(V2+X1)(V2+X2)...(V2+xk)>(V2+I/成立.

則71=卜+1時(shí)，若幾+1=1，則命題成立；若%k+i>1,則%2...益中必存在一

個(gè)數(shù)小于1，

不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為4,從而Ok-1)(乙+1-1)<0,BPxfe+xk+1>1+xkxk+1.

Xk+1<1同理可得，

2

所以(魚+刀1)(或+X2)-(V2+xk+1)=(a+%1)(V2+x2)-l+V2(xk+熱+1)+

xkxk+i]>

kk+1

(V2+Xi)(V2+x2)...[2+V2(l+Xk+D+xkxk+1]>(V2+l)(V2+1)=(V2+l),

故《=卜+1時(shí)，不等式也成立.

由(/)(〃)及數(shù)學(xué)歸納法原理知原不等式成立.

26.

【答案】

解：根據(jù)題意，實(shí)數(shù)x,y,2滿足4%+3丫+122=1,

則有(4x+3y+12z)2<(%2+y2+z2)(42+32+122),

即14169(x2+y2+z2),

則有一+y2+z2>^,

故/+y2+z2的最小值為七.

【考點(diǎn)】

柯西不等式

試卷第16頁(yè)，總24頁(yè)

二維形式的柯西不等式

【解析】

利用條件x+2y+3z—l,構(gòu)造柯西不等式(4x+3y+12z)2<(x2+y2+z2)(42+

32+122),變形即可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，實(shí)數(shù)％,y,z滿足4x+3y+12z=1,

則有(4x+3y+12z)2<(x2+y2+z2)(42+32+122),

即14169(x2+y2+z2),

則有/+y2+z2n擊，

故/+y2+z2的最小值為強(qiáng)

27.

【答案】

證明:由柯西不等式，得(x2+y2)[i2+(_2)2]NQ—2y)2

即5(/+y2)>(x—2y7=\x-2y產(chǎn)

\x-2y\=5,

5Q2+y2)N25,化簡(jiǎn)得/+丫225

當(dāng)且僅當(dāng)2x=-y時(shí)，即x=-l,y=2時(shí)，/+、2的最小值為5

不等式/+y225成立.

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

根據(jù)柯西不等式，得5(/+丫2)2氏一2y『，結(jié)合已知等式|x-2y|=5,得/+y??

5,再利用不等式取等號(hào)的條件加以檢驗(yàn)即可.

【解答】

證明:由柯西不等式,得(x2+y2)[M+(_2)2]N@一2y)2

即5(/+y2)>(x—2y)2=|x-2y[2

|x—2y\—5,

5(%2+y2)N25,化簡(jiǎn)得/+丫225

當(dāng)且僅當(dāng)2x=-y時(shí)，即x=-1,y=2時(shí)，/+,2的最小值為5

不等式/+y225成立.

28.

【答案】

解：根據(jù)a20,b>0,c>0,a+b+c=1,y=7^7++7^7

/l+a21+b21+c2

可知a,b,c可以輪換，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，

1

函數(shù)取得最大值Wax=3,壬=菖

十9

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

根據(jù)條件，可知a，b,c可以輪換，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=：時(shí)，函數(shù)取得最大值.

【解答】

解：根據(jù)QN0,b>0,c>0,a+b+c=1,y=7^7+7-^3+

,1+a21+b21+c2

可知a,b,c可以輪換，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=]時(shí)，

函數(shù)取得最大值Wax=3?±=總

1+r

9

29.

【答案】

解：由柯西不等式可得：

[fe-Qi/+(。3—a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6一。5)?](1+1+1+4+1)

aaaaaa2

N[(2~i)+(3~2)+(4~3)+2(a5—a4)+(a6—a5)]=[(a5+a6)—(at4-

。4)]2,

?二[(a5+a6)~(al+a4)]2W8,

-(Q5+%)—+。4)-2^2,

??(。5+a6)~(al+。4)的最大值為2四.

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由柯西不等式可得：[(。2-al)2+(。3-。2)2+(。4一a3)2+(。5一。4產(chǎn)+(。6-

aaaaaaa

的)2](1+1+1+4+1)>[(a2-l)+(3~2)+(4-3)+2(的一4)+(6~

%)]2,結(jié)合條件，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：由柯西不等式可得：

[(。2—。1)2+4—a2)2+(a4—a3)2+Ca5~a4)2+(a6一。5)?](1+1+1+4+1)

N[(a2—al)+(a3~a2)+(a4—a3)+2(@5—a4)+(a6-。5)產(chǎn)=[(。5+。6)一(al+

。4)產(chǎn)，

??[(@5+。6)-(。1+a4)]248,

?(應(yīng)+。6)—+。4)-2V2,

(a5+。6)—(%,+。4)的最大值為2&.

30.

【答案】

解：:x,y,z滿足x—1=設(shè)x—1==k,

J2323

則有x=k+1、y=2k-l.z=3fc+2,

...x2+y24-z2=(k+l)2+(2k-l)2+(3k+2)2=2(21+5fc4-3),

故當(dāng)A=-9,即％=—%、y=—Z、z=—Z時(shí)，M+y2+z2取得最小值為—之

44244

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

設(shè)％-1=券=平=卜，則有/+y2+z2=2(21+5k+3),再利用二次函數(shù)的性

質(zhì)求得/+丫2+22最小值，以及此時(shí)久，y,z的值.

【解答】

解：,/x,y,z滿足％-1=乎=等，設(shè)x—1=?=彳=卜，

則有久=k+l、y=2k—1、z=3k+2,

試卷第18頁(yè)，總24頁(yè)

...%2+y2+22=(k+1)2+(2k-l)2+(3k+2)2=2(21+5k+3),

故當(dāng)k=-9,即％=-［、y=-->2=-1時(shí)，/+y2+z2取得最小值為一上

44244

31.

【答案】

解：由題意，根據(jù)不等式右邊a,b,c的對(duì)等性可得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取得最值，

M>0,

■.最小的實(shí)數(shù)M是0.

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由題意，根據(jù)不等式右邊a,b,c的對(duì)等性可得結(jié)論.

【解答】

解：由題意，根據(jù)不等式右邊a,b,c的對(duì)等性可得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取得最值，

:.M>0,

最小的實(shí)數(shù)M是0.

32.

【答案】

證明：a+b=1,b=1—a.

a3+b3+3ab=a3+(1—a)3+3a(1—a)=a3+1—3a+3a2—a3+3a—

3a2=1

即a3+b3+3ab=l.

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

由a+b=l,可得b=l-a,{-'JAa3+b3+3ab,化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.

【解答】

證明：ra+b=1,b=1—a.

a3+b3+3ab=a3+(1—a)3+3a(l—a)=a3+1—3a+3a2—a3+3a—

3a2—1

即a?+b3+Sab=1.

33.

【答案】

證明：作邊長(zhǎng)為k的正三角形PQR,分別在各邊上取：QL=A,LR=a,RM=B,

MP=b,PN=C,NQ=c.

顯然有SALRM+SAMPN+S^NQL<S^PQB，

BP-aBsin60°+-/?Csin60°+-Cj4sin60°<-fczsin60°,

2222

1.aB+bC+cA<k2.QR

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

作邊長(zhǎng)為k的正三角形PQR,分別在各邊上?。篞L=4LR=a,RM=B,MP=b,

PN=C,NQ=c.顯然有S4LRM+S^MPN+S^NQLVSMQB,即可證明結(jié)論.

【解答】

證明：作邊長(zhǎng)為k的正三角形PQR,分別在各邊上取：QL=4LR=a,RM=B,

MP=b,PN=C,NQ=c.

顯然有S-RM+S&MPN+S&NQL<S&PQB，

Hp|aBsin60°+|bCsin60°+：cAsin60°<|fc2sin600,

aB+bC+cA<k,2.

34.

【答案】

—|x—l,x<—2

f(x)=--gx+1,-2<x<0>

3

-X+1,X>0

2

當(dāng)%G(-oo,0]時(shí),f(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)%6[0,+8)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)％=0時(shí).，f(x)的最小值血=1.

22222

由柯西不等式(層+/+c)(i+2+3)>(a+2b4-c)=l,

故a2+b2+c2zN,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z,b=~,c-二時(shí)取等號(hào)

1414714

a2+b2+c2的最小值為9

【考點(diǎn)】

二維形式的柯西不等式

【解析】

—|x—1,X<—2

(1)寫出分段函數(shù)4-1x+l,-2<x<0,確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)/(%)的最小

3

jx4-1,%>0

值；

(2)由柯西不等式(a?+爐+c2)(M+2?+3?)2(a+2b+3c)2=l,可得(^+從+

。2的最小值.

【解答】

—|x—l,x<—2

f(x)="—3%+1,-2<xW0,

3

-x+l,x>0

2

當(dāng)xe(-8,0]時(shí):f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)XG[0,+8)時(shí),f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=0時(shí)，f(x)的最小值771=1.

試卷第20頁(yè)，總24頁(yè)

由柯西不等式(Q2+墳+02)(12