河南省焦作市2021屆高考數(shù)學三模試卷(理科)(含答案解析)

河南省焦作市2021屆高考數(shù)學三模試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)集合力={x\y=72+x},B=（x\y=ln（3-x）},則4n8=（）

A.{x\x>-2}B.{x\x<3}

C.{x|-2<x<3}D.{x|-2<x<3]

2,對任意復數(shù)z=x+yi（x,）WR）,i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|Z-3I=2yB.z2=x2+y2

C.|z-zI22xD.|z|<|x|+|y\

3.已知a=log710,b=log2V10yc=5*,則（）

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

4.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{Q九}中，公比q=2,前三項和為21,則a?+%+%=（）

A.33B.72C.84D.189

5.已知函數(shù)f（尤）=隹7及￥）則乙/（x）dx的值為（）

A.-B.4C.6D.-

wa

6.點A是單位圓。上一點，若點B滿足市.（萬？+瓦心=2，則方?麗=（）

A.2B.1C.0D.-2

7.中國農(nóng)業(yè)銀行廣元分行發(fā)行“金穗廣元?劍門關(guān)旅游卡”是以“游廣元、知廣元、愛廣元、共享

和諧廣元”為主題活動的一項經(jīng)濟性和公益性相結(jié)合的重大舉措，以最優(yōu)惠的價格惠及廣元戶

籍市民、浙江及黑龍江援建省群眾、省內(nèi)援建市市民，凡上述對象均可辦理此卡，本人憑此卡

及本人身份證一年內(nèi)（期滿后可重新充值辦理）在廣元市范圍內(nèi)可無限次游覽所有售門票景區(qū)景

點，如：劍門關(guān)、朝天明月峽、旺蒼鼓城山-七里峽、青川唐家河、廣元皇澤寺、蒼溪梨博園、

昭化古城等，現(xiàn)有浙江及黑龍江援建省群眾甲乙兩人準備到廣元旅游（同游），他們決定游覽上

面7個景點，首先游覽劍門關(guān)但不能最后游覽朝天明月峽的游覽順序有（）種.

A.300B.480C.600D.720

xy>0

8.若x,y滿足約束條件,1<%+yW2,則z=3x+y的取值范圍是（）

,4<4x+2y<5

A.[2,4]B.[2,生c.(2,4)D.(2,今

9,若圓C：Q—a)2+(y—a—l)2=a2與x,y軸都有公共點，則實數(shù)“的取值范圍是()

A.(-|1,0)U(0,+8)B.［-|1,0)U(0,+8)

C.D.(一8,一勺

10.關(guān)于函數(shù)y=s譏2%,下列說法正確的是()

A.函數(shù)在區(qū)間［一不§上單調(diào)遞減B.函數(shù)在區(qū)間［―9幣上單調(diào)遞增

C.函數(shù)圖象關(guān)于直線％對稱D.函數(shù)圖象關(guān)于點(也0)對稱

11.如圖所示，在棱長為a的正方體4BCD-4當6。1的面對角線上存在

一點P使得AP+取得最小值，若此最小值為2歷逅，則a的值是

()

A.1

B.2

C.3

D.4

12.若雙曲線％2一3=1的一個焦點與拋物線y2=8x的焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程為()

A.x±y=0B.y/3x±y=0C.V5x±y=0D.V15x±y=0

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.一個盒子里有20個大小形狀相同的小球，其中5個紅球，5個黃球，10個綠球，從盒子中任取

一球，若它不是紅球，則它是綠球的概率是.

14.三棱錐。-4BC的側(cè)棱Q4,OB,OC兩兩垂直且長度分別為2cm,2cm,\cm,則其外接球的表

面積是cm2.

15.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為右，并滿足an+2=2an+1-an,a6=4-a4,則S9=.

16.已知函數(shù)/(x)的定義域為，若函數(shù)/(x)的導函數(shù)f'(x)存在且連續(xù)且與為y=f'(x)的極值點；

則稱點(&,/(孫))是函數(shù)f(x)的拐點.則下列結(jié)論中正確的序號是.

①函數(shù)y=sinx的拐點為(時,0),kGZ；②函數(shù)/(x)=e*-有且僅有兩個拐點;

③若函數(shù)/(%)-4xlnx+^x3+等/有兩個拐點，則a<-5；④函數(shù)f(x)=久e*的拐點為

(xoj(xo)).則存

在正數(shù)￡使/(%)在區(qū)間。0-&&)和區(qū)間(沏，無0+￡)上的增減性相反.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在△力BC中，求證c(acos5-8cosN)=〃(12分)

18.已知在RM4BC外一點P,PA=PB=PC,￡＞是斜邊A8的中點.求證：PD1平面4BC.

19.已知函數(shù)/'(%)=Inx+x.

(1)求函數(shù)/(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若方程f(x)=mx在區(qū)間［1〃2］內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)，"的取值范圍.

20.已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(l,2),4(乙,%),8(》2/2)均在拋物線上.

(1)寫出該拋物線的標準方程及其準線方程；

(2)當直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求yi+丫2的值及直線A8的斜率.

21.某市準備從5名報名者(其中男3人，女2人)中選2人參加兩個副局長職務(wù)競選.

(1)求所選2人均為女副局長的概率；

(2)若選派兩個副局長依次到4、8兩個局上任，求A局是男副局長的情況下，B局是女副局長的概

率.

22.極坐標系與直角坐標系X。)，有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線6的

極坐標方程為p=4s譏0,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，射線。=

0,。=0+%0=8與曲線G交于(不包括極點。)三點A，B,C.

(1)求證：|OB|+|OC|=四|。川;

(2)當0=工時，B,C兩點在曲線上，求m與a的值?

23.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當％20時，/(%)=x2-2x+m.

(1)求利及f(—3)的值；

(2)求/(x)的解析式并畫出簡圖；

⑶寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間(不用證明).

【答案與解析】

1.答案:D

解析：

求出A中x的范圍確定出A,求出8中x的范圍確定出8,找出兩集合的交集即可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

：由4中丫=V2Tx,得到2+x>0,即x2—2；

由8中y=ln(3—x),得到3-x>0,即x<3,

:，A={x\x>—2},B-{x\x<3},

?■Ar\B={x\—2<x<3],

故選：D.

2.答案：D

解析：對于A：|z~2|=|2=2|y|42y,對于B：z2=-y2+2盯i工/+y2,對于c：

Iz-z|=2|y\>2x不一定成立，對于D：|z|=舊+y?=*?+y?+2,心|=Ix|+|y|成立?

3.答案：C

解析：解：b=log2V10=^log210=log810>1,a=log710>1,

故a>b>1,

而c=55<1,故a>b>c,

故選：C.

結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷a,人的范圍及大小，然后結(jié)合分數(shù)指數(shù)暴可判斷c的范圍，進而可比

較大小.

本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)試題.

4.答案：C

解析：解：在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{即}中，

公比q=2,前三項和為21,

a22

可得。3+a4+a5=(a1+a2+3)Q=21x2=84.

故選：C.

等比數(shù)列{的}中,公比q=2,前三項和為21,根據(jù)=(%+&2+Cl3)q2求解即可.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，要熟練掌握并能靈活的應(yīng)用.

5.答案:D

解析：/(x)dx=J_2Mdx+￡(x+l)dx

=手工+(32+x)|；=(0+$+(，4+2-0)=p

6.答案：C

解析：

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題.

因為點A是單位圓O上一點，所以|次|=1，又萬5?01+瓦?)=2,所以瓦^2+OA-(OA-08)=2>

所以瓦？?通=0，得解.

解：因為點A是單位圓。上一點，

所以|瓦?|=1,

又次畫+瓦?)=2,

所以+市?(市—而)=2.

所以65?赤=0-

故選：C.

7.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，假設(shè)7個景點的游覽順序?qū)?yīng)7個位置，分2步進行分析：

①首先游覽劍門關(guān)但不能最后游覽朝天明月峽，則劍門關(guān)必須在第1個位置，有1種情況，朝天明

月峽可以在第2、3、4、5、6的位置，有5種情況，

②將剩下的5個景點全排列，安排到剩下的5個位置，有魔=120種情況，

則有1X5X120=600種符合題意的游覽順序；

故選：C.

根據(jù)題意，假設(shè)7個景點的游覽順序?qū)?yīng)7個位置，分2步進行分析：①分析易得：劍門關(guān)有1種

情況，朝天明月峽有5種情況，②將剩下的5個景點全排列，安排到剩下的5個位置，由分步計數(shù)

原理計算可得答案.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素，屬于基礎(chǔ)

題.

8.答案：A

xy>0

解析：解：由約束條件14x+yW2作可行域如圖,

.4<4x+2y<5

由z=3x+y,得：y=-3x+z.

由圖可知，當直線y=-3x+z過可行域內(nèi)的點C時，直線在y軸上的截距最大，z最大.

當直線y=-3x+z過可行域內(nèi)的點A時，直線在y軸上的截距最小，z最小.

聯(lián)立鼠解得嗎-》

聯(lián)立｛醛72；：4,解得4°，2)?

???z=3%+y的最大值為3x|-i=4.

最小值為3X0+2=2.

z=3%+、的取值范圍是[2,4].

故選：人

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到使z取得最值的點，聯(lián)立方程

組求得點的坐標，代入目標函數(shù)得答案.

本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

9.答案：D

解析：

本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.利用圓心和坐標軸的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

若圓與x,y軸都有公共點，則圓心到x,y軸的距離都小于等于半徑即可.

解：圓心為(a,a+1),半徑R=|a|(aKO),

若圓C與x,y軸都有公共點，則圓心到x,y軸的距離都小于等于半徑.

即［同<同

1l|a+l|<|aP

即|a+1|<|a|,平方得2a+1<0,

即aW-：,

故實數(shù)。的取值范圍是（一8,-》

故選D

10.答案：B

解析：

本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A,B,結(jié)合正弦函數(shù)的對稱軸即對稱中心的性質(zhì)可判斷C,D

解：??,y=sin2x,

令5兀+2kirW2.xW-~~F2kj［,kEz,

可得，2+kitx<—+kji,kEz,

44

令k=0可得，單調(diào)遞減區(qū)間《，爭，結(jié)合選項可知A錯誤；

令一工兀+2kn<2%<y-Tr+2k;r可得，一^+女兀工工49+kn

2244f

令k=0可得一花》號，可得函數(shù)在［―三幣上單調(diào)遞增，故B正確；

當x=［兀時y=0不符合對稱軸處取得最值的條件，C錯誤；

當x=?時，y=1,不符合正弦函數(shù)對稱中心函數(shù)值為0的條件，。錯誤

故選：B.

11.答案：B

解析：解：把對角面&C繞旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面上，連接4名，則在△441。中，

由45=7a2+。2-2a2cosl35°=a,2+夜，而a，2+&=252+企,

，Q=2.

故選：B.

把對角面4C繞旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面上，連接2D1，則在△441。中，利用余弦定理

即可得出.

本題考查了正方體的性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.答案：B

解析：

本題主要考查了雙曲線和拋物線的性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)雙曲線和拋物線的性質(zhì)，求出焦點坐標，然后求出相，即可求出雙曲線的漸近線方程.

解：因為雙曲線——3=1的焦點與拋物線f=8%的焦點重合，

拋物線V=8x的焦點坐標為(2,0),

???c=2,

14-m=22,即m=3,

???雙曲線為/一g=1,

3

所以雙曲線的漸近線方程為y=±V3x-

故選B.

13.答案：|

解析：解：從盒子中任取一球，若它不是紅球，所有的取法共有15種，而它是綠球的取法有10種，

故它是綠球的概率是三=I，

故答案為|.

從盒子中任取一球，若它不是紅球，則所有的取法共有15種，而它是綠球的取法有10種，由此求

得它是綠球的概率.

本題主要考查等可能事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案:97r

解析：解：三棱錐0-48C的三條側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直，

它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長：，22+22+/=3,

所以球的直徑是3,半徑長R=|

球的表面積S=4兀/?2=9兀

故答案為：97r.

三棱錐0-4BC的三條側(cè)棱OA、08、OC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，

求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的表面積.

本題考查球的表面積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，是基礎(chǔ)題.將三棱錐擴展

為長方體是本題的關(guān)鍵.

15.答案：18

解析：解：；數(shù)列｛時｝的前"項和為S",并滿足cin+2=2%!+I-an,

???數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，

???a6=4—a4,■■a6+a4=4,

99

???s9=-(a6+a4)=-X4=18.

故答案為：18.

由已知條件推導出數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)能求出結(jié)果.

本題考查數(shù)列的前9項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.

故②錯誤；

對于③，函數(shù)/(%)=4dnx+有兩個拐點，貝1(%)=4(1+)刀)+梟2+(a+1)》,

則/"(X)=：+X+a+1=立等出，

則/■"(》)=0,即/+(a+l)久+4=0,有兩個正根，［9：1)“-解得a<—5,

故③正確；

對于④，/(X)=xe于則尸(x)=(1+x)ex,f"(x)=(2+x)ex,

當/。)=0時，即％=-2,函數(shù)/(x)有拐點，則拐點為(一2,一為

因為當x>-1時，函數(shù)/Q)單調(diào)遞增，當久<一1時，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在(-2-&-2)的單調(diào)遞減，在區(qū)間(-2,-2+￡)上的單調(diào)性則不一定，故④錯誤;

故答案為：①③.

根據(jù)拐點的定義，得到/(沏)=0,即沏為函數(shù)的拐點，

對于①，求出即可判斷，

對于②利用數(shù)形結(jié)合的思想，得到函數(shù)只有一個拐點，

對于③利用拐點的定義，即可得到％2+(a+l)x+4=0,有兩個正根，求出。的范圍，即可判斷；

對于④判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，求出函數(shù)的拐點，即可判斷.

本小題考查新定義，考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查計算能力，屬

于中檔題.

17.答案：證明：左邊=?/+；-1)=一+：2""，："=1―〃=右邊

即證.

解析：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，從左到右進行證明.

18.答案：證明：???在RtAABC外一點P,。是斜

邊AB的中點./X.

???ZM=DB=DC,/;

,:PA=PB=PC,：.PDLAB,//N.

PD=PD,DB=DC,PB=PC,PBD^L..........................B

PDC,PD1DC,//\

；ABCDC=D,//D

PD_L平面ABC.

解析：推導出1M=DB=DC,PDLAB,△

PBD=LPDC,從而PD1DC,由此能證明PD1平面ABC.

本題考查線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是中檔題.

19.答案：解：⑴k=f<l)=2,

???切線方程為y—l=2(x-l),

即y=2%—1

(2)由題意m=喑在區(qū)間［l,e2］內(nèi)有唯一實數(shù)解

令9(x)=-^，xe［l,e2］，

「g'(x)==0,解得x=e,

???函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,e］上單調(diào)遞增，在區(qū)間?e2］上單調(diào)遞減

又g⑴=1,g(e2)=詈＞g⑴，

2

「je+2.

???mG

或7n=g(e)=誓.

2

re+2」+e、

???mGu{-^},

解析：(1)導數(shù)值即為該點處的斜率，點斜式可得切線方程.

(2)分離變量，將原方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線y=ni與函數(shù)g(x)=中的交點個數(shù)，再求導得函數(shù)

g(x)的單調(diào)性與草圖，即可求得實數(shù)m的取值范圍.

本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

20.答案：解：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2=2px.

???點P(l,2)在拋物線上，［22=2p,解得p=2.

二所求拋物線的方程是y2=4x,準線方程是x=-1；

(2)設(shè)直線PA的斜率為凝4,直線PB的斜率為心止

則既4=濘(/*1),kPB="(％2=1),

???P4與PB的斜率存在且傾斜角互補，

kpA——kPB.

由8(久2，丫2)均在拋物線上，得

*=4勺，①*=4%2，②

.__2_y2-2

"那T，

yi+2=~(y2+2),???yi+y2=-4.

由①-②得直線AB的斜率為%B=徐=念=一1-

解析：(1)設(shè)出拋物線的方程，把點P代入拋物線求得p則拋物線的方程可得，進而求得拋物線的準

線方程；

(2)設(shè)直線PA的斜率為kpA，直線PB的斜率為kpB，則可分別表示心4和岫8,根據(jù)傾斜角互補可知

kpA=—kpB，進而求得力+%的值，把A,8代入拋物線方程兩式相減后即可求得直線AB的斜率.

本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，以

及運算求解能力.

21.答案：(1)—；(2)-

解析：試題分析：(1)法一：設(shè)5人中3名男性分別額為蹩自擢，兩名女性分別為盛盤:，所以從5

人中選兩人的所有基本事件有：融魏覦微融凝包岫置卻麴:虱魄蜃&魏卷就典/翦蜀戲冤期,

共10種，其中兩個均為女性的有g(shù)鼠鹿^共1個，由古典概型概率公式可求其概率。法二：基本事件

武Wil

總數(shù)為物=磋=二=1?，滿足要求的基本事件數(shù)為螃=[。(2)此問題相當于從2男2女共4人

中選1人為女性的概率。

試題解析：.(1)解：(1)基本事件總數(shù)N=10,滿足要求的基本事件個數(shù)為n=l,

故所有概率為普=藝=工7分

記。="A局是男副局長"，E=“8局是女副局長”，

啜*11

則，呻|頸=2=213分

司2

考點：1古典概型概率；2條件概率。

22.答案：(1)證明：依題意|。川=4s譏仍|08|=4sin(0+$,|OC|=4s比@一9，

貝+\OC\=4si