高中數(shù)學(xué)選修第一冊：3.1.1橢圓

3.1.1橢圓

【題組一橢圓的定義】

1.(2020?全國高三其他(理))已知平面內(nèi)兩個定點”(3,0)和點N(—3,0),P是動點，且直線PM,PN的

斜率乘積為常數(shù)設(shè)點p的軌跡為C.

①存在常數(shù)使C上所有點到兩點(Y,0),(4,0)距離之和為定值；

②存在常數(shù)使C上所有點到兩點(0,-4),(0,4)距離之和為定值；

③不存在常數(shù)使C上所有點到兩點(Y,0),(4,0)距離差的絕對值為定值；

④不存在常數(shù)使C上所有點到兩點(0,-4),(0,4)距離差的絕對值為定值.

其中正確的命題是.(填出所有正確命題的序號)

【答案】②④

【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為：P(x,y),

依題意，有：X一】一=4,

x+3x-3

尤2

整理，得：—2-^v-=1，

99a

對于①，點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，且c=4,。＜0,

橢圓在x軸上兩頂點的距離為：2也=6,焦點為：2x4=8,不符；

對于②，點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓，且c=4,

橢圓方程為：-^—+—=1,則一9a—9=16,解得：a=—一，符合：

-9a99

7r2v2

對于③，當(dāng)。=’時，二_乙=1,所以，存在滿足題意的實數(shù)”，③錯誤；

997

2r2

對于④，點的軌跡為焦點在y軸上的雙曲線，即上v一+二=1,

一9。9

不可能成為焦點在y軸上的雙曲線，

所以，不存在滿足題意的實數(shù)“，正確.

所以，正確命題的序號是②④.

2.（2018?福建高二期末（理））已知AABC的周長為20,且頂點B（0,-4）,C（0,4）,則頂點A的軌

跡方程是（）

C.—+-^-=1(x#))D.—+-^-=1(x#))

620206

【答案】B

【解析】:△ABC的周長為20,頂點8(0,-4),C(0,4),

/.BC=8,48+CC=20-8=12,

?；12>8.?.點A到兩個定點的距離之和等于定值，.?.點A的軌跡是橢圓,

V?=6,c=4，〃=20,

.?.橢圓的方程是工+二=l（xwo）故選8.

2036''

22

3.（2020?全國高三其他（文））已知橢圓會+春=1,A（3,0）,8（—2,1）,點M是橢圓上的一動點，則

|M4|+|A叫的最小值為（）

A.6-V2B.10-V2C.11-V2D.12-V2

【答案】B

【解析】由題意知A為橢圓的右焦點，設(shè)左焦點為耳，由橢圓的定義知|“制+|加4|=10,

所以+|MB|=10+-|討|.

又他5|-|岬g忸制,

如圖，設(shè)直線期交橢圓于M，%兩點.當(dāng)用為點M時，眼目-附用最小，最小值為lo—JL故選:

B

4.（2019.湖北襄陽。高二期中）橢圓會+?=1的左右焦點分別為耳，工，點尸在橢圓上，若|尸耳|=4,

則/月產(chǎn)乙=.

【答案】90°

22

【解析】根據(jù)題意，橢圓三+匕=1,其中。=3,b=2,則。=百，

94

點P在橢圓上，若［P/"=4,則|尸/冒=2〃-|9|=6—4=2,

在△耳「心中，I?耳1=4.|?鳥|=2,I片6|=2c=2石，

則|「￡『+|明|2=|耳瑪|2,則有N耳P￡=90。，故答案為90°.

22

5.（2020?上海高二課時練習(xí)）橢圓±+弓1=1上一點M到左焦點￡的距離為2,N是的中點，則|ON|

等于______

【答案】4

【解析】：根據(jù)橢圓的定義：町|+陷引=10,所以陷胃=8?抑是知《中點，O是耳鳥的中點，所以

CW=2M|=4.

2

【題組二橢圓定義的運用】

1.（2019?吉林省實驗高二期末（理））方程/+與。=2表示焦點在x軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是

（）

A.k>0B.l<k<2C.k>\D.0（后〈1

【答案】B

J12

【解析】方程N+妒=2可變形為：22一，表示焦點在x軸上的橢圓，則有：0<-<2,

I左

解得k>l.易知當(dāng)1（人<2時，k>l.當(dāng)k>l時未必有1〈左<2,所以1<%<2是k>l的充分但不必要

條件.故選B.

22

2.（2018天津靜海一中高二期末（理））已知方程-------=1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）

2+mm+1

A.(-oo,-1)B.(—2,+oo)

C.（-00,-|）U（-l,+00）D.（-2,-1）

【答案】D

【解析】（2+加）（〃，+1）＜0,且2+〃件一（〃?+1）,所以一2＜/〃＜一］或一：（根＜一1.

故選D.

r2V2

3.（2019?福建城廂.莆田一中高二期中）"1＜%＜4”是“方程」一+二一=1表示的曲線為橢圓”的（）

4-kk-\

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

4-攵〉0

【解析】若方程表示橢圓，則4攵一1＞0，解得：1＜左＜2或』＜4＜4

...22

）%2V2

伏1＜女＜?；?＜z＜4｝是｛川1vZv4｝的真子集，所以r＜攵＜4”是“方程」一+二一二1表示的曲線

22J4—kk-\

為橢圓”的必要不充分條件.故選：B

22

4.（2020?四川射洪中學(xué)高二期中（文））若橢圓C：L+上-=i的一個焦點坐標(biāo)為（0,。，則。的長軸

mm-1

長為（）

A.73B.2C.2V2D.2V3

【答案】D

m>0

22m2-1>0

【解析】由于方程工+W—=1為橢圓,且焦點（0,1）在y軸上，所以v，解得利二2,所

mm-1m2-1>m

m2-l-m=1

以a=亞二i=5長軸長為2a=2百?故選：D

5.（2020?湖北江岸.武漢二中高二期末）0＜〃2＜1是方程式——匚=1表示橢圓的（）.

2mm-\

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

2m>0

r221

【解析】若方程」----J=1表示橢圓，則有〈加-1<0，解得0<〃2<1且加，彳

2mm-\C13

2m1-m

22

所以。（加<1是方程三——J=1表示橢圓的必要不充分條件故選：B

2mm-1

6.（2020.江西九江一中高二月考（理））方程二+匕=1表示橢圓的一個必要不充分條件是（）

4m

A.m>0B.m>4C.〃7>0且"#4D.m<0

【答案】A

r22

【解析】若方程二-+乙=1表示橢圓，則加>0且加#4,

4m

是方程三+2-=1表示橢圓的一個必要不充分條件，故選：A

4m

7.（2019?浙江高三其他）已知p：方程，+-2_=1表示橢圓，q：一5<攵<3.則p是q的（）

5+k3-k

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

5+k>0,

22

【解析】若方程」一+二一=1表示橢圓，則13—%>0,解得一5（左<3且攵。一1，

5+&3—&_.o,

5+k手3—k,

易知?？梢酝瞥鰍,但是q不能推出〃，故〃是q的充分不必要條件.故選：A.

r2v2

8.（2020?廣西欽州一中高三開學(xué)考試（理））設(shè)橢圓C彳+4=13>0">0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,

ah

離心率為由.尸是。上一點，且耳PJ.F?P.若居的面積為4,則。=（）

2

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】v-=-^，.-.3a2=4c2,由橢圓定義，||產(chǎn)用+歸國=2"

a2

由耳PJ.KP得|助『+歸用2=QC)2,

△P/第的面積為4,則;|戶用?歸國=4,即|尸耳|歸用=8,

：.(\PF^\PF^-2\PF\-\PF^=Ac2,即4/-16=3/,解得/=16,即。=4,故選：C.

【題組三橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】

1.(2020.四川青羊.樹德中學(xué)高三月考(文))已知橢圓C的焦點為耳(7,0),外(1,0).過點6的直線與C

交于A，B兩點、.若A4BK的周長為8,則橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為().

22222222

A.—+—=1B.—+—=1C?1=1D.----F—=1

1615874334

【答案】c

【解析】根據(jù)橢圓的定義知AABK的周長為4a=8,...0=2,又c=l，,...〃=/一02=3,

22

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匯=1.

43

22

2.(2020?四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高一期末)過點(-3,2)且與工+匕=1有相同焦點的橢圓的方程

94

是()

2222

AA?-x---1--y--=11B0.--％----1---y--=11

1510225100

2222

C.土+匕=1D,工+』1=1

1015100225

【答案】A

22

【解析】橢圓二+二=1,

94

，焦點坐標(biāo)為：(石,0),(-^5,0),c=#),

???橢圓的焦點與橢圓工+義-=1有相同焦點

94

22

設(shè)橢圓的方程為：=+與=1

a2h2

二橢圓的半焦距c=y[5，即a2-b2=5

94

結(jié)合一5"+T7=1,解得：a2=15,b2=10

a~b

Y2V2

，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=b故選A.

1510

3.（2020?上海高二課時練習(xí)）中心在原點，焦點在丁軸上，焦距為8,且過點（3,0）的橢圓方程為（）.

72

r2..2

AA?-廠--F—y—1B.'+匕=1

259925

.2,222,222

X'x2

C.，士1或JJD.—+工1或土+匕=1

259925916169

【答案】B

【解析】因為焦距為8,所以2c=8,即c=4

22

乂因為橢圓的焦點在y軸上，且過點（3,0）,所以方3,a225,所以橢圓的方程為三+二=1.

925

故選：B

4.（2019?山西高三開學(xué)考試（文））在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓c的中心為原點，焦點耳、尸2在X軸

上,離心率為"，過"的直線/交C于A、B兩點，且AABF,的周長為16,那么C的方程為()

2

222

i(X

A.----1-----1B.—=1

3618164

222

X.V

C.-Z1D,工+匯=1

4+2168

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，AA3K的周長為16,即/g+Ag+B片+A耳=16,

根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有4。=16,即。=4：橢圓的離心率為也，即￡=變，則。=缶，故c=2a，

2a2

22

vV

則。2=。2一°2=8,則橢圓的方程為L+2L=1,故選：D.

168

5.（2020.福建高二期末（文））焦點在工軸上的橢圓立+”=1的離心率為3則實數(shù)m的值為（）

4m2

A.1B.V3C.2D.3

【答案】D

【解析】焦點在x軸上的橢圓上+—=1的離心率為:，則a?=4,b2=m,c2=4—m,故e-^4~m=i=>m=

4m222

3.故答案為：D.

r2v21

6.（2020?河北衡水中學(xué)高考模擬（文））已知橢圓C:、+==l（a>b>0）的離心率為一，且橢圓。的長

a-b2

軸長與焦距之和為6,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2222222

人4,xy,?x,「xy.

A.-------=]BD.---1---=]C.---Fy2=1D.1=1

25642243

【答案】D

V2V21C1

【解析】依題意橢圓C：=+==1（。>6>0）的離心率為一得一=一，

a-b~2a2

橢圓。的長軸長與焦距之和為6,2。+2c=6,

_22

解得a=2,c=l,則6=石，所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：工+匕=1,故選O

43

7.（2020?海林市朝鮮族中學(xué)高三課時練習(xí)）已知橢圓過點尸]|,-4）和點則此桶圓的方程是

丫22

A.B.一+丁=1或/+2v_=1

2525-25

2

C.—+y2=1D.以上均不正確

25-

【答案】A

【解析】設(shè)經(jīng)過兩點P（g,-4）和點Q1一',一3）的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx^+nyF（m>0,n>0,m^n）,

9一

6〃=1

加+1

B得

25

9

A.

l.故選

x2=

2+

程為

橢圓方

二所求

=—

,n

機=1

,解得

-

25

25

1

c

=l

m+9n

25

|PB|與

6,若

=2

|百馬

，且

焦點

圓的

為橢

,尸2

，F(xiàn)i

一點

C上

橢圓

P為

)已知

練習(xí)

課時

高二

全國

020?

8.(2

()

方程為

的標(biāo)準(zhǔn)

圓C

|,則橢

囚尸2

中項為

等差

|PB|的

9

2

2

.2

~2

,2

A-

y

t廠

1

y

x

y

1

%y

A

D

」

一+

1或

衛(wèi)-=

—+