2024年四川省德陽市第五中學中考數(shù)學二模試卷

2024年四川省德陽市第五中學中考數(shù)學二模試卷一.選擇題（共12個小題，每小題3分，滿分36分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）1．（3分）在﹣π，2，0，四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣π B．2 C．0 D．2．（3分）德陽市政府新聞辦召開2024年一季度德陽市經(jīng)濟形勢新聞發(fā)布會，通報一季度全市經(jīng)濟形勢．根據(jù)市（州）地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)一核算結(jié)果，2024年一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值706.8億元，同比增長7.5%．其中706.8億用科學記數(shù)法表示為（）A．7.068×102 B．706.8×108 C．0.7068×1011 D．7.068×10103．（3分）下列計算正確的是（）A．（3﹣a）2＝9﹣a2 B．5a2﹣a2＝4a2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．2a﹣3a＝4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個解為x＝﹣1，則另一個解為（）A．1 B．﹣3 C．3 D．45．（3分）一副直角三角板（∠ACB＝30°，∠BED＝45°）按如圖所示的位置擺放，如果AC∥DE，那么∠EBC的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．30° D．35°6．（3分）等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是菱形，其中點B的坐標是（6，2），點D的坐標是（0，2），點A在x軸上，則點C的坐標是（）A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）8．（3分）已知點（﹣3，y1），（2，y2）都在二次函數(shù)y＝ax2+2ax﹣3（a＞0）的函數(shù)圖象上，則y1，y2大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無法確定9．（3分）把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個正八邊形的邊EF的長為（）A．1 B．2 C． D．210．（3分）如圖平行四邊形ABCD的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在y軸上，點C，D在x軸上，AD與y軸交于點E，連接CE．若S△BCE＝4，則k的值為（）A．4 B． C．8 D．11．（3分）如圖，⊙O的直徑AB⊥CD于點E，點M為⊙O上一點，，OE＝3，則sin∠CMD的值為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），C（﹣3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．若P為y軸上一個動點，連接AP，則的最小值為（）A． B．2 C． D．4二.填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，將答案填在題中橫線上）13．（4分）分解因式：ab2﹣a＝．14．（4分）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其股是（結(jié)果用含m的式子表示）．15．（4分）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑形弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個圓錐，則圓錐底面圓的半徑為．16．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．17．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝，按以下步驟作圖：①以點C為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作?。籆B于點D，交CA于點E，連接DE；②以點B為圓心，以CD長為半徑作弧，交BA于點F；③以點F為圓心，以DE的長為半徑作弧，在△ABC內(nèi)與前一條弧相交于點G；④連接BG并延長交AC于點H．若H恰好為AC的中點，則AC的長為．18．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A，C的坐標分別為A（﹣1，1），C（1，﹣1），已知線段MN的端點坐標分別為M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，MN＝2．平移線段MN，使得平移后的線M′N′的兩個端點均落在正方形ABCD的邊上．M′N′將正方形的ABCD面積分為1：3部分，則M′的坐標為．三.解答題（本大題共7個小題，共90分，解答應寫文字說明，證明過程或推演步驟）19．（14分）（1）計算：；（2）先化簡：，再從﹣2，2，0，中選擇一個合適的數(shù)代入求值．20．（12分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若BC＝3，，求四邊形OCED的面積．21．（12分）天舟六號是世界現(xiàn)役運輸能力最大的貨運飛船，5月10日，由中國航天科技集團五院研制的天舟六號貨運飛船由長征七號遙七運載火箭發(fā)射升空，隨后順利進入預定軌道，發(fā)射任務取得圓滿成功．為慶祝我國航天事業(yè)取得的輝煌成就，學校開展了航天知識競賽活動，為了解全校學生競賽成績的情況，隨機抽取了一部分學生的成績，分成四組：A組（60≤x＜70）；B組（70≤x＜80）；C組（80≤x＜90）；D組（90≤x＜100），并繪制出如圖不完整的統(tǒng)計圖．（1）求被抽取的學生成績在C組的有多少人？并把條形統(tǒng)計圖補完整；（2）若該學校有1500名學生，估計這次競賽成績在A組的學生有多少人？（3）現(xiàn)學校為獲得最高分的甲、乙、丙三名同學頒發(fā)榮譽證書，在不知道證書內(nèi)姓名的情況下隨機發(fā)給三名同學，請用列表法或樹狀圖法求出每個同學拿到的證書恰好都是自己的概率．22．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸正半軸于點A，B，⊙P內(nèi)切于△ABO，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P，交直線AB于點C，D（C在點D的左側(cè)）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）過點C，D分別作x軸，y軸的平行線交于點E，求線段CE的長．23．（12分）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲，乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：種類運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）160120已知：用3000元購進甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進乙種運動鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進價）不少于10800元，且不超過11100元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（10＜a＜35）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？24．（14分）如圖，以AB為直徑的⊙O上有兩點E，F(xiàn)．點E是弧BF的中點，過點E作直線CD⊥AF交AF的延長線于點D．交AB的延長線于點C．過點C作CM平分∠ACD交AE于點M，交BE于點N．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求∠ENC的度數(shù)；（3）若點N是CM的中點，且EM＝4，求AB的長．25．（14分）拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線頂點坐標為，點P是第一象限拋物線上動點，連接BC，PB．（1）求拋物線和直線BC的解析式；（2）如圖1，點P在直線BC上方的拋物線上，使得∠PBC恰好等于∠CBA的，求tan∠PBC的值．（3）如圖2，連接P，交BC于點M，設(shè)△ABM的面積為S1，△PBM的面積為S2，求的最小值及此時點P的坐標．參考答案一.選擇題（共12個小題，每小題3分，滿分36分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）1．（3分）在﹣π，2，0，四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣π B．2 C．0 D．【解答】解：∵，∴2＜3，∴＜﹣2，∵π≈3.14，∴﹣π≈﹣3.14，∴＜0＜2，故選：A．2．（3分）德陽市政府新聞辦召開2024年一季度德陽市經(jīng)濟形勢新聞發(fā)布會，通報一季度全市經(jīng)濟形勢．根據(jù)市（州）地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)一核算結(jié)果，2024年一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值706.8億元，同比增長7.5%．其中706.8億用科學記數(shù)法表示為（）A．7.068×102 B．706.8×108 C．0.7068×1011 D．7.068×1010【解答】解：706.8億＝70680000000＝7.068×1010，故選：D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．（3﹣a）2＝9﹣a2 B．5a2﹣a2＝4a2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．2a﹣3a＝【解答】解：A．∵（3﹣a）2＝9﹣6a+a2，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；B．∵5a2﹣a2＝4a2，∴此選項的計算正確，故此選項符合題意；C．∵a2?a3＝a5，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；D．∵，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；故選：B．4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個解為x＝﹣1，則另一個解為（）A．1 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：設(shè)方程的另一個解為x1，根據(jù)題意得：﹣1+x1＝2，解得：x1＝3．故選：C．5．（3分）一副直角三角板（∠ACB＝30°，∠BED＝45°）按如圖所示的位置擺放，如果AC∥DE，那么∠EBC的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．30° D．35°【解答】解：∵∠E＝45°，AC∥DE，∴∠BED＝∠AGB＝45°，∵∠ACB＝30°，∴∠EBC＝∠AGB﹣∠ACB＝45°﹣30°＝15°．故選：A．6．（3分）等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知：，解得：﹣1≤x≤0，故選：A．7．（3分）如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是菱形，其中點B的坐標是（6，2），點D的坐標是（0，2），點A在x軸上，則點C的坐標是（）A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）【解答】解：連接AC，BD相交于點E，∵四邊形ABCD是菱形，∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，∵點A在x軸上，點B的坐標為（6，2），點D的坐標為（0，2），∴BD＝6，AE＝2，∴DE＝BD＝3，AC＝2AE＝4，∴點C的坐標為：（3，4）．故選：C．8．（3分）已知點（﹣3，y1），（2，y2）都在二次函數(shù)y＝ax2+2ax﹣3（a＞0）的函數(shù)圖象上，則y1，y2大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無法確定【解答】解：二次函數(shù)y＝ax2+2ax﹣3（a＞0）的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，點（﹣3，y1）距離對稱軸：﹣1﹣（﹣3）＝2，點（2，y2）距離對稱軸：2﹣（﹣1）＝3，距離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∴y2＞y1，故選：B．9．（3分）把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個正八邊形的邊EF的長為（）A．1 B．2 C． D．2【解答】解：如圖，∵重疊部分為正八邊形的一半，∴GF＝EF＝PE＝HP，∠GFE＝∠FEP＝∠HPE＝135°，∴∠GFC＝∠B'FE＝∠DEP＝∠A'PH＝45°，∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，設(shè)CG＝x，則GF＝x，B'F＝x，∴BG＝B'G＝x+x，∴BC＝x+x+x＝2+，∴x＝1，∴GF＝，故選：C．10．（3分）如圖平行四邊形ABCD的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在y軸上，點C，D在x軸上，AD與y軸交于點E，連接CE．若S△BCE＝4，則k的值為（）A．4 B． C．8 D．【解答】解：如圖：作AF⊥x軸于F，則四邊形ABOF是矩形，由反比例函數(shù)性質(zhì)知，S矩形ABOF＝k，∵S矩形ABOF＝AB?OB，S平行四邊形ABCD＝AB?OB＝2S△BCE＝8，∴S矩形ABOF＝k＝8．故選：C．11．（3分）如圖，⊙O的直徑AB⊥CD于點E，點M為⊙O上一點，，OE＝3，則sin∠CMD的值為（）A． B． C． D．【解答】解：連接OD，∵⊙O的直徑AB⊥CD于E，∴CD＝2DE．∵tan∠CDA＝，∴＝，設(shè)AE＝x，則DE＝2x，⊙O的半徑等于3+x，在Rt△ODE中，OE2+DE2＝OD2，由勾股定理得：32+（2x）2＝（3+x）2，∴x＝2或x＝0（舍去），∴AE＝2，∴DE＝4，OD＝5，∵∠CMD＝∠EOD，∴sin∠CMD＝sin∠EOD＝＝．故選：A．12．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），C（﹣3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．若P為y軸上一個動點，連接AP，則的最小值為（）A． B．2 C． D．4【解答】解：連接BC，AP，過點P作PG⊥BC于點G，連接AG，過點A作AH⊥BC于點H，如圖，∵C（﹣3，0），B（0，3），∴OC＝OB，∴∠OBC＝45°，∴PG＝BP，∴＝PG+AP≥AG≥AH，∴的最小值為AH的長，∵A（1，0），C（﹣3，0）∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，AC＝4，∴AH＝AC＝，∴的最小值為．故選：C．二.填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，將答案填在題中橫線上）13．（4分）分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），故答案為：a（b+1）（b﹣1）14．（4分）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其股是a＝m2﹣1（結(jié)果用含m的式子表示）．【解答】解：∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，故答案為：a＝m2﹣1．15．（4分）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑形弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個圓錐，則圓錐底面圓的半徑為．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AC于H，∵正六邊形ABCDEF，∴∠BAF＝∠ABC＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，又∵AB＝BC，∴∠BAC＝30°，同理可知∠FAE＝30°，∴∠CAE＝60°，在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，∴AH＝，∴AC＝6，∴的長＝＝2π，∴圓錐底面圓的半徑為，故答案為：．16．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是2．【解答】解：，解不等式①得：，解不等式②得：x≤3﹣a，則根據(jù)題意可知，不等式組的解集為：，∵關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解，則該不等式的整數(shù)解至少包含：﹣2，﹣1，∴3﹣a≥﹣1，解得：a≤4，分式方程去分母得：y﹣a﹣1＝2﹣y，解得：，∵a≤4，∴，∵y是正整數(shù)，且y≠2，∴y＝1或y＝3，∴a＝﹣1或a＝3，∴滿足條件的整數(shù)a的和為﹣1+3＝2．故答案為：2．17．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝，按以下步驟作圖：①以點C為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作?。籆B于點D，交CA于點E，連接DE；②以點B為圓心，以CD長為半徑作弧，交BA于點F；③以點F為圓心，以DE的長為半徑作弧，在△ABC內(nèi)與前一條弧相交于點G；④連接BG并延長交AC于點H．若H恰好為AC的中點，則AC的長為2．【解答】解：如圖，連接FG，由題意得BF＝BG＝CD＝CE，F(xiàn)G＝DE，∴△NFG≌CDE（SSS），由作圖即可得，∠ABH＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ABH∽△ACB，∴，∵H是AC的中點，∴AC＝2AH，∴2AH2＝AB2＝（）2，∴AH＝，∴AC＝2AH＝2，故答案為：2．18．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A，C的坐標分別為A（﹣1，1），C（1，﹣1），已知線段MN的端點坐標分別為M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，MN＝2．平移線段MN，使得平移后的線M′N′的兩個端點均落在正方形ABCD的邊上．M′N′將正方形的ABCD面積分為1：3部分，則M′的坐標為（﹣1，1）或（1，﹣1）或（1﹣，1）或（﹣1，﹣1）或（1﹣，﹣1）或（﹣1，1﹣）或（﹣1，﹣1）或（1，1﹣）．【解答】解：設(shè)|x1﹣x2|＝x，|y1﹣y2|＝y(tǒng)，∵MN＝2，∴x2+y2＝4，∵A（﹣1，1），C（1，﹣1），∴AB＝AD＝2，∴正方形ABCD的面積為4，M′N′分割正方形ABCD的較小面積為1，∴xy＝1，∴xy＝2，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8，∴x+y＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝0，∴x＝y(tǒng)＝，如圖，當AE＝AQ＝，DS＝DH＝，BT＝BG＝，CP＝CF＝時，直線EQ，TG，PF，SH均能將正方形面積分割成1：3兩部分，且滿足x＝y(tǒng)＝，此時點E，F(xiàn)，G，H，P，Q，S，T都可能是點M′，∵AE＝，點A到y(tǒng)軸距離為1，∴點E（﹣1，1），∵CF＝，點C與x軸距離為1，∴點F（1，﹣1），同理可求出其余各點為S（1﹣，1），T（﹣1，﹣1），P（1﹣，﹣1），Q（﹣1，1﹣），G（﹣1，﹣1），H（1，1﹣），點M′的坐標為（﹣1，1）或（1，﹣1）或（1﹣，1）或（﹣1，﹣1）或（1﹣，﹣1）或（﹣1，1﹣）或（﹣1，﹣1）或（1，1﹣）．三.解答題（本大題共7個小題，共90分，解答應寫文字說明，證明過程或推演步驟）19．（14分）（1）計算：；（2）先化簡：，再從﹣2，2，0，中選擇一個合適的數(shù)代入求值．【解答】解：（1）原式＝9+2×+2﹣﹣1＝9++2﹣﹣1＝10；（2）原式＝（﹣）?＝?＝，∵a+2≠0，a﹣2≠0，a≠0，∴a≠2，﹣2，0，∴當a＝時，原式＝＝1﹣．20．（12分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若BC＝3，，求四邊形OCED的面積．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴四邊形OCED是菱形；（2）解：∵OA＝＝OC，∴AC＝，∴AB＝＝＝2，∴CD＝2，∴S△BCD＝×2×3＝3，∵S△COD＝S△BCD＝S菱形ODEC，∴S菱形ODEC＝S△BCD＝3．21．（12分）天舟六號是世界現(xiàn)役運輸能力最大的貨運飛船，5月10日，由中國航天科技集團五院研制的天舟六號貨運飛船由長征七號遙七運載火箭發(fā)射升空，隨后順利進入預定軌道，發(fā)射任務取得圓滿成功．為慶祝我國航天事業(yè)取得的輝煌成就，學校開展了航天知識競賽活動，為了解全校學生競賽成績的情況，隨機抽取了一部分學生的成績，分成四組：A組（60≤x＜70）；B組（70≤x＜80）；C組（80≤x＜90）；D組（90≤x＜100），并繪制出如圖不完整的統(tǒng)計圖．（1）求被抽取的學生成績在C組的有多少人？并把條形統(tǒng)計圖補完整；（2）若該學校有1500名學生，估計這次競賽成績在A組的學生有多少人？（3）現(xiàn)學校為獲得最高分的甲、乙、丙三名同學頒發(fā)榮譽證書，在不知道證書內(nèi)姓名的情況下隨機發(fā)給三名同學，請用列表法或樹狀圖法求出每個同學拿到的證書恰好都是自己的概率．【解答】解：（1）由圖知：B組有12人，占抽樣人數(shù)的20%，A組有6人，D組有18人，所以本次抽取的學生有：12÷20%＝60（人），C組學生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），條形統(tǒng)計圖補完整如圖所示：（2）（人），答：這次競賽成績在A組的學生有150人；（3）根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下：可知總的情況有6種，剛好每個同學拿到的證書恰好都是自己的情況只有1種，即所求概率為：，故所求概率為：．22．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸正半軸于點A，B，⊙P內(nèi)切于△ABO，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P，交直線AB于點C，D（C在點D的左側(cè)）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）過點C，D分別作x軸，y軸的平行線交于點E，求線段CE的長．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸正半軸于點A，B，∴A（8，0），B（0，6），∴AB＝＝10，設(shè)圓P的半徑為R，∵＝，∴＝，解得R＝2，∴P（2，2），∵點P在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝4，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝；（2）聯(lián)立方程組得，解得或，∴C（，3+），D（，3﹣），∴E（，3+），∴CE＝﹣＝．23．（12分）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲，乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：種類運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）160120已知：用3000元購進甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進乙種運動鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進價）不少于10800元，且不超過11100元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（10＜a＜35）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？【解答】解：（1）依題意得，＝，解得m＝100，經(jīng)檢驗，m＝100是原分式方程的解，所以，m＝100；（2）由（1）得：甲的進價為100元/雙，乙的進價為80元/雙，甲運動鞋的利潤為160﹣100＝60（元/雙），乙運動鞋的利潤為120﹣80＝40（元/雙），設(shè)購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200﹣x）雙，根據(jù)題意得，，解不等式①得，x≥140，解不等式②得，x≤155，所以，不等式組的解集是140≤x≤155，∵x是正整數(shù)，155﹣140+1＝16，∴共有16種方案；（3）設(shè)總利潤為W，則W＝（60﹣a）x+40（200﹣x）＝（20﹣a）x+8000，①當a＝20時，20﹣a＝0，W＝8000；所有方案獲利都一樣；②當10＜a＜20時，20﹣a＞0，W隨x的增大而增大，所以，當x＝155時，W最大值＝11100﹣155a，即進貨方式為：甲種運動鞋155雙，乙種運動鞋45雙；③當20＜a＜35時，20﹣a＜0，W隨x的增大而減小，所以，當x＝140時，W最大值＝10800﹣140a，即進貨方式為：甲種運動鞋140雙，乙種運動鞋60雙．24．（14分）如圖，以AB為直徑的⊙O上有兩點E，F(xiàn)．點E是弧BF的中點，過點E作直線CD⊥AF交AF的延長線于點D．交AB的延長線于點C．過點C作CM平分∠ACD交AE于點M，交BE于點N．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求∠ENC的度數(shù)；（3）若點N是CM的中點，且EM＝4，求AB的長．【解答】（1）證明：如圖所示，∵E是BF弧的中點，∴＝，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AF，∵CD⊥AF，∴OE⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵CM平分∠ACD，∴∠ECM＝∠ACM＝∠DCA，又∵∠DAE＝∠EAB＝∠DAC，AD⊥CD，則∠ADC＝90°，∴∠EMC＝∠EMN＝∠EAC+∠MCA＝∠DAC+∠DCA＝×90°＝45°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠MEN＝∠AEB＝90°，∴∠ENM＝∠EMN＝45°，∴∠ENC＝135°；（3）解：∵∠ENM＝∠EMN＝45°，∴EM＝EN＝4，∠MEN＝90°，∠AMC＝∠CNE＝135°，∴