高中數(shù)學(xué)講義微59 新信息背景下的數(shù)列問題

微專題59新信息背景下的數(shù)列問題

含“新信息”背景的數(shù)列問題，以其難度通常位于試卷的最后一題。此類問題有以下幾

個難點：一是對于新的概念與規(guī)則，學(xué)生在處理時會有一個熟悉的過程，不易抓住信息的關(guān)

鍵部分并用于解題之中，二是學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)每一問所指向的知識點，傳統(tǒng)題目通常在問法上

就直接表明該用哪些知識進行處理，例如“求通項，求和”。但新信息問題所問的因為與新信

息相關(guān)，所以要運用的知識隱藏的較深，不易讓學(xué)生找到解題的方向。三是此類問題在設(shè)計

時通常注重幾間之間的聯(lián)系，即前面問題的處理是為了最后一問做好鋪墊。但學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)

其中聯(lián)系，從而導(dǎo)致在處理最后一問時還要重整旗鼓，再加上可能要進行的分類討論，解題

難度陡然增加。本節(jié)通過10道例題來說明如何對這種“新信息”題目進行理解與分析，如何

尋找到解題的突破口與思路

一、基礎(chǔ)知識：

1、此類問題常涉及的知識點

(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式

(2)數(shù)列的單調(diào)性

(3)放縮法證明不等式

(4)簡單的有關(guān)整數(shù)的結(jié)論

(5)數(shù)學(xué)歸納法與反證法

2、解決此類問題的一些技巧：

(1)此類問題在設(shè)立問題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進”的特點，第(1)問讓你熟悉

所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第(2),(3)問便進行進一步的應(yīng)用，那么在解題的過程中要注意解

決前面一問中的過程與結(jié)論，因為這本身就是對“新信息”的詮釋與應(yīng)用。抓住“新信息”

的特點，找到突破口，第(2)(3)間便可尋找到處理的思路

(2)盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一

些基礎(chǔ)知識與方法。所以在考慮問題時也要向一些基本知識點靠攏，弄清本問所考察的與哪

個知識點有關(guān)，以便找到一些線索。

(3)在分類討論時要遵循“先易后難”的原則，以相對簡單的情況入手，可能在解決的過程

中會發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章

可循。

二、典型例題：

例1：定義：若對任意〃eN*,數(shù)列｛4｝的前〃項和S“都為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列｛2｝為“完

全平方數(shù)列”；特別的，若存在〃wN*,使得數(shù)列｛6,｝的前〃項和S,為完全平方數(shù)，則稱數(shù)

列｛4｝為“部分平方數(shù)列”

2幾一1

⑴若數(shù)列｛4｝為“部分平方數(shù)列”，且:T-(〃eN*),求使數(shù)列｛4｝的前〃項

和S〃為完全平方數(shù)時〃的值

⑵若數(shù)列也｝的前〃項和7；=(〃-『(fGN*),那么數(shù)列他1｝是否為“完全平方數(shù)列”？

若是，求出，的值；若不是，請說明理由

(3)試求所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列

解：(1)思路：依題意可知先求出S,,的表達式，再根據(jù)表達式的特點尋找到完全平方式即可

”=1時，Sn=2

2(2"T-1)

“22時，=4+。，+=2+2+4+--.2n-'=2+—-----

S"12"2-1'-=T

二〃=2Z(ZGN*)時，S2k=2泉=(2*丫是完全平方數(shù)

(2)思路：若要觀察｛|2|｝的前〃項和是否為完全平方數(shù)，則要先求出?！钡耐椆?。由7；

可求得〃=<"一口理=1,因為7；=(〃-為完全平方式，所以若

[2n-2t-1,n>2,n&N''

｛WJ｝有些項為｛"｝中對應(yīng)項的相反數(shù)，則再求和時很有可能不是完全平方數(shù)。根據(jù)〃22時，

〃=2〃一2/-1,可知只有r=l時，"恒大于0,即可=2,所以｛同｝是“完全平方數(shù)列”；

.22時，｛勿｝中存在部分項小于0,可知｛|2|｝不是“完全平方數(shù)列”

解：刀之2時,bn=T〃一刀-=2〃-21—1

〃=1時，々

當「=1,2,〃￡N時，帆?|=|2〃一3|=2〃-3=2

???｛同｝的前〃項和即為7；=(〃-1)2,所以｛間｝為''完全平方數(shù)列”

當/N2時，同+陶|=?T)2+|3—2f|=*—2r+I+2r—3=/一2不是完全平方數(shù)

；.｛同｝不是“完全平方數(shù)列”

綜上所述：r=l時，｛|勿|｝是“完全平方數(shù)列”，.22時，｛帆力不是“完全平方數(shù)列”

(3)思路：依題意可知該等差數(shù)列的前n項和公式應(yīng)為完全平方式，由等差數(shù)列求和公式

Sn=a.n+△——工出發(fā)，可將其通過配方向完全平方式進行靠攏，可得：

2

\fld一

--eZ

2

所以有.?.'々■-LeZ,再根據(jù)

cl2

二幺+4=0

2d28

!r\1I

———6Z,———eZ利用整數(shù)的特性求解即可。

2d2

解：設(shè)所求等差數(shù)列｛q｝的首項為%,公差為d

若｛%｝為“完全平方數(shù)列”

則V〃eN*,S“為完全平方式

/T7

由①可令工^=%(%eZ)nd=2/

由②令=/〃(meZ),可得：q=(m+；］

d=（2m+1*

代入到③可得：

=>k2m2=0.??左=0或加=0

當k=0時，ax=0,J=0an=0

2=公（

當〃2=0時，ax-k~,d-2k/.an=ax+(n--1”2〃—1）

當左=0時，a〃=0符合上式

,綜上所述，an=%2(2〃-l),Z￡Z

例2：己知數(shù)列｛an｝的前〃項和為S,,,且滿足q=a｛a豐3),an+]=S?+3",設(shè)2=S,,-3〃，

〃eN*.

(1)求證：數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列；

(2)若a“+]2a“，〃wN*,求實數(shù)a的最小值；

(3)當。=4時，給出一個新數(shù)列｛如｝,其中,=<設(shè)這個新數(shù)列的前〃項和為C.，

[bn,n>2.

若C,可以寫成〃，(f,peN*且，的形式，則稱C為“指數(shù)型和”.問｛C,｝中的項

是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由.

(1)思路：證明｛%｝為等比數(shù)列，可以利用條件中的S,,,凡作為中間橋梁尋找久+1,2的關(guān)系，

'b-S-3,1+l

則有「二"二，，只需找到Sw，S”的關(guān)系，由S“+I=S,,+a向及a“M=S"+3"可得：

也=*—3"

S?+1=2s“+3”,進而代入解出bn+｝=2bn

解:b?=sn-r

.?.也｝為公比是2的等比數(shù)列

(2)思路：由(1)可解出S,=(a—3>2"T+3",進而可求出

a.n=1

由a“+|24可在“N2的情況下得到關(guān)于a,〃的恒成立

不等式，從而通過參變分離可求出a的范圍：a>-9,再驗證a22al是否成立即可

解：由(1)可得：Sn=bn+3"=(a-3)-2"T+3"

22時，

n2

???2時，an+x之a(chǎn)〃o2?3〃+(a—3)?2〃一】22?3八一+(a—3)?2-

Aq〃T/a、'』

即4.3"TN(a—3).(—2"").-.a-3>--^---8-^-

當〃=1時，a2=6+a—3=a+3>a成立

[3,H=1

(3)思路：a=4時，可代入求出々=2”T,從而配=!.,利用“指數(shù)型和”的

[2w-1,n>2

定義，可先求出｛e“｝前”項和C“=2"+1,從而將問題轉(zhuǎn)化為2"+1可否寫成〃'的形式，本

題不便將2"+1變形為產(chǎn)的形式，所以考慮利用等式轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題。即判斷

(pP\

2〃+l=M是否有解。2〃+1=產(chǎn)=2〃=產(chǎn)一1,〃為偶數(shù)時，tp-l=Q—1M+1

\7\7

P為奇數(shù)時，zp-l=(r-l)(rp_1+f,_2+---+r+l)o而2”只是〃個2相乘，所以可通過對

分解后的每個因式能否表示為2"'的形式進行討論即可。

解：由(1)可得：當a=4時，"=2"T

2(2"T—1)

當“22時，C,=3+2+4+…+2"T=3+-^-----^=2"+1

"2-1

”=1時，G=3=2,+1

假設(shè)｛C,J中的項存在“指數(shù)型和"，則小,peN*,f>l,p>l

使得：產(chǎn)=2"—1=>'―1=2"

/p\/P\

當P為偶數(shù)時：產(chǎn)一1=”一1M+1

\7\7

pP

???設(shè)產(chǎn)+1=2=產(chǎn)-i=2\則g>/z

2"=2h=i

可解得：《

2s-/,-1=1超=2

:.n=3,即。3=9=3?,為“指數(shù)型和”

當P為奇數(shù)時，〃—l=（f—。（尸+產(chǎn)以+…+/+1）

若f為偶數(shù)，則1一1為奇數(shù)，產(chǎn)7+產(chǎn)-2+...+，+1為奇數(shù)

二產(chǎn)―1為奇數(shù)，

若f為奇數(shù)，則r—1為偶數(shù)，〃T+〃-2+...+/+1為p個奇數(shù)之和也為奇數(shù)

當P為奇數(shù)時，不存在“指數(shù)型和”

綜上所述：只有。3為''指數(shù)型和"

例3：如果存在常數(shù)a使得數(shù)列｛4｝滿足：若x是數(shù)列｛%｝中的一項，則a-x也是數(shù)列｛4｝

中的一項，那么就稱數(shù)列｛4｝為“兌換數(shù)列”，常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”

(1)若數(shù)列：1,2,3,加(加>4)是“兌換系數(shù)”為。的“兌換數(shù)列”，求用和。的值

(2)若有窮遞增數(shù)列｛4｝是“兌換系數(shù)”為。的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列圾｝的前“項和

cn

=一?a

"2

(3)已知有窮等差數(shù)列｛%｝的項數(shù)是〃o(〃o?3),所有項之和是B,試判斷數(shù)列｛c,｝是否

為“兌換數(shù)列”？如果是，給予證明，并用〃。和B表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，請說明

理由

(1)思路：依照“兌換數(shù)列”的定義可知，應(yīng)均在數(shù)列中，在第(1)問中涉及兩個

變量a,相，故考慮尋找兩個等量，通過方程解決。其最重要的等量關(guān)系就是找到a-x是數(shù)列

中的哪一項。通過排序可知1<2<4<加，則通過不等式性質(zhì)可知：

,t\a—m=l

a-m<a-4<a-2<a-l,此數(shù)列一共就4項且單調(diào)遞增，所以得《,從而解

a-4=2

得

解：由已知可得：1,2,4,m在“兌換數(shù)列”中，且l<2v4vm

a-m,a-4,a-2,a-1也在該數(shù)列中，且a—m<a—4va—2<a—I

(2)思路：第(1)問提供了這樣一個思路：如果數(shù)列是有限數(shù)列且單調(diào)，則由。-x對應(yīng)生

成的數(shù)列也單調(diào)，且單調(diào)性相反。由“兌換數(shù)列”的定義即可知兩個數(shù)列中項應(yīng)存在相等關(guān)

系。所以利用這個特征可知在｛〃｝中，由々<么<…v2且a一勿<〃一仇<Q一偽能

偽+2=。

b+b—0

夠得到“=a—b"，瓦=a—b,T，…力k=a—b“_k+i,即《2"-1,根據(jù)首尾和是個常

Pk+b…=a

數(shù)的特點可知求和時使用倒序相加法即可得到Sn

解：不妨設(shè)有窮數(shù)列初“｝的項數(shù)為〃

?.?｛4｝為遞增數(shù)列

即h+b?=a,b2+..也+b,,_k+l=a

（3）思路：由（2）可得：若有窮單調(diào)數(shù)列｛4｝為“兌換數(shù)列”，則要滿足

4+>=瓦+Oi=…="+。那么在等差數(shù)列｛qJ中，有性質(zhì)cm+c“=c?+%當

且僅當m+/2=〃+q,所以就可得到：《+%=。2+%_[=,??=Q+%M+i，且等差數(shù)列若

不是常數(shù)列，則為單調(diào)數(shù)列。由這兩點并結(jié)合（2）的思路則可證明等差數(shù)列均為“兌換數(shù)列”,

2B

a=q+%,再通過等差數(shù)列前〃項和公式即可解出。=——

%

數(shù)列｛%｝是“兌換數(shù)列”，證明如下：

設(shè)｛%｝的公差為d若d>0,貝遞增

設(shè)a=G+q,°，由G+c,“=。2+q10T=…=q+%廣八|可得：

同理，若d<0,則｛c,J遞減

若d=0,則｛c,J為常數(shù)列，只需a=2q即可，則。=2《=2瓜=也

?0?0

.?.｛%｝為“兌換數(shù)列”

由（2）可知：8=色也—

2?（）

例4：設(shè)數(shù)列｛”“｝滿足：①6=1；②所有項a“eN*；③1=q<出<…<”“<a"+i

設(shè)集合A”=｛n\an<將集合A“中的元素的最大值記為bm,即超是數(shù)列｛4｝中

滿足不等式/的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列物,“｝為數(shù)｛%｝的伴隨數(shù)列.例如，

數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3.

（1）若數(shù)列｛凡｝的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請寫出數(shù)列｛%｝；

（2）設(shè)4=3"[求數(shù)列｛a,J的伴隨數(shù)列也｝的前30項之和；

（3）若數(shù)列｛q｝的前〃項和S”="+c（其中c常數(shù)），求數(shù)列｛a,｝的伴隨數(shù)列也｝的前加

項和

(1)思路：首先要根據(jù)例子及定義理解什么是“伴隨數(shù)列”，“超是數(shù)列｛2｝中滿足不等式

an〈m的所有項的項數(shù)的最大值”，則意味著加每取一個值(6=1,2,3,-)，則可通過解不

等式/4機得到〃的最大值即為鬣，那么按此規(guī)律可知在(1)中，bI=b2=b3=\,

b4=b5=b6=2bl=3,說明在｛““｝中，小于等于3的只有1項，即q=1,d=2,則

3<a2<4,所以生=4,同理6<247,則%=7

解：。〃：1,4,7

(2)思路：由(1)可知：伴隨數(shù)列｛2｝中的項即為解不等式。〃工加得到〃的最大值，本題

,,"|

已知=3,則可建立不等式3〃“<m=>71<log3m+1,則對m取每一個值，計算"的

最大值即可。例如772=1,則〃<1=4=1；m=2f則〃Wlogs2+1=>力<1=>打=1；

以此類推便可尋找到規(guī)律，即機C[3*T,3"—1]時，n<k,即鬣=&,抓住這個規(guī)律即可得

到｛4｝的前30項，進而求和

若考慮解關(guān)于〃的不等式3"T<m^n<\+log3m

當14根42,m￡N時，/?,=Z?2=1

當34加〈8,根￡N時，/="=…=々=2

當9<“<26,m￡N時，匕9=Ao=…=人26=3

當27sms30,m￡N時，b21=b2S=b29=瓦。=4

???｛，｝的前30項和為1x2+2x6+3x18+4x4=84

(3)思路：已知5〃即可求出數(shù)列｛4｝的通項公式=2〃—1,再結(jié)合(2)對“伴隨數(shù)列”

m+1

定義的使用，即可建立不等式2〃-14機=>〃<-----,從而可得到：

2

4=4=1也=匕4=2,…%_1+%=/,根據(jù)項的的特點可考慮以相鄰兩項為一組進行求和，

則需對項數(shù)進行奇偶分類討論，進而得到7；

2

Sn=n+c9則S,1二(〃—Ip+>2)

>17+1

解關(guān)于〃的不等式-----

2

.?.m=2t—l?eN")時，即1=也1

當7〃=2r(reN*)時，即/

(m+1)'*

綜上所述：7；=4

m(m+2\

—-------L,=2t,teN

I4m

例5：對于數(shù)列A：4M2,…，/，若滿足a,e{O,l}(i=1,2,%??,〃)，則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)

列”，定義變換T：將“0-1數(shù)列”A中原有的每個1都變成0,1,原有的每個0都變成1,0.

例如：A:1,0,1,則T(A):0,1,1,0,0,1,設(shè)人是“0—1數(shù)列”，令&=T(&T),Z=1,2,3,…

(1)若數(shù)列&：1。0,1,01,1,0,1,0,0,1,求數(shù)列4,4

(2)若數(shù)列4共有10項，則數(shù)列A2中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至少有多少對？請說明理由

(3)若4：0」，記數(shù)列4中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為/*?=1,2,3,…，求"關(guān)于左的

表達式

(1)思路：依題意可知變換T的特點為1項分裂為2項，所以可將中的項兩兩一組，再

根據(jù)規(guī)則即可還原為人,照此方法即可得到4

解：由變換T的規(guī)則可知：4：0」,1,0,0,14：1,0,1

(2)思路：首先可先觀察兩次變換的特點，可知

0」^今發(fā)現(xiàn)無論是從1開始還是從0開始，兩次變換后均可得到一對相

鄰的數(shù)，且首尾也相同，這意味著若4中若含相鄰的數(shù)，則兩次變換后這兩個數(shù)生成的數(shù)首

尾也將連接成相鄰的數(shù)對，例如：1,1」今0,1,0,1」^今1,0,01,1,0,0,1。進而可知：4共

有io項，那么兩次變換后至少會有io對，(例如當4=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0時)

若作兩次T變換：1,1,0

??.4中的每一項通過兩次T變換均生成一對兩項相等的數(shù)對，所以至少有10對

（3）思路：依題意可將｛4｝視為一個數(shù)列，則所求即為該數(shù)列的通項公式。由數(shù)列的知識可

知，求通項公式常用的手段有三種：利用數(shù)列中的項尋找規(guī)律并證明；通過遞推公式；通過

求和公式。所以若不愿列出具體項尋找規(guī)律，則需要先找到關(guān)于乙的一個遞推公式，即尋找

第k次變換與前幾次變換0,0數(shù)對的聯(lián)系。由（2）可知，若產(chǎn)生0,0數(shù)對，則上一步只能為0,1,

所以0,0數(shù)對的個數(shù)與上一步0』數(shù)對（記為4）的個數(shù)相同。即心|=%，再考慮0,1數(shù)對

的來源，共有兩個，一個是由上一步的1得到，一個是由上一步的0,0得到

由T變換的規(guī)則及（2）可知：A/中0,0數(shù)對只能由中的0,1數(shù)對生成，A*中的1共有

個（因為每一次變換生成相同個數(shù)的0,1,所以A*中含21個1,2及T個0）,所以

I=b

4=/?_1+2?T,聯(lián)立兩個等式可得：（Zk一，消去仄即可得到關(guān)于4的遞推公式，

%=/*_]+2

然后再求得｛/J的通項公式即可

解：設(shè)4中有4個0,1數(shù)對:.lg=bk①

另一方面：4：°』，且

??.4中0和1的總個數(shù)相等?.?義中項有2川個

.?.4中0有2,個，1有2”個

而4中的0,1數(shù)對從4T處只有兩條途徑能夠得到：一個是由4T中的1得到（2*T個），-

個是由4_]中的00得到（L個）

.?.%=/1+2』②

由①②可得：

由4：o,i,可得：?1,：1,0,0,1；A：0,1,1,0,1,0,0,1

當女為偶數(shù)時

當女為奇數(shù)時：

:優(yōu)-1）,人為偶數(shù)

綜上所述：4=J3

1（.+1）.為奇數(shù)

例6：已知數(shù)列A:q,…，4（〃22,〃eN*）是正整數(shù)1,2,3,…，〃的一個全排列，若對每個

%G{2,3,…〃}都有|4—%」=2或3,則稱A"為“數(shù)列

（1）寫出滿足%=5的所有“數(shù)列4

（2）寫出一個滿足%=5%住=1,2,、403）的“數(shù)列&15的通項公式

（3）在“數(shù)列&）”中，記優(yōu)=%.僅=12…,403）,若數(shù)列出}是公差為d的等差數(shù)列，

求證：＜7=5或1=-5

解：（1）4:3,1,4,2,5或&:2,4,1,3,5

（2）思路：4013中的項為L2,3,…,2013的一個全排列，所以在構(gòu)造A?！弊詈梅弦欢ǖ囊?guī)

律，以便于寫出通項公式，由（1）的啟發(fā)可知Ax.的前5個數(shù)可為第（1）問中的一種情況，

因為-a*」=2或3,即只關(guān)心相鄰兩項的差，故a6M7，a8M9,4（）可為6,7,8,9,10的一個

排列，且4+5-%=5,這樣就保證了在第2組a6M7M8M9，60中，相鄰項的差均符合條件，

只需驗證4一。5即可：以A：3,1,4,2,5為例，則&=8,可知。6一%=3符合題意。按此規(guī)

律構(gòu)造，5個數(shù)為一組，第，組的數(shù)為第『一1組對應(yīng)的數(shù)加上5,從而得到&oi5

解：由（1）可知4:3,1,4,2,5,記為A265的第一組數(shù)

考慮構(gòu)造數(shù)列滿足a“+5=a“+5,則對任意的左a1,2,3,…,403},ie{2,3,4,5}

1%-T?+54）-（％+5研=k_q1=2或3

且當i=1時，|。5八1一%J=|（4+5Z）-+5左_5）|=|q+5|=3符合要求

n+2,〃=5攵+1

n-l,n=5攵+2

綜上所述：4〃+=5氏+3wN

〃-2/=5攵+4

n,”=5女+5

（3）思路：若{4}的公差為d,則d=4+1—4=。5A+5—a*，因為?！ㄖ邢噜忢椀牟顬椤?,±3,

所以％+5一%人必然由若干個±2,±3組成，但不會同時出現(xiàn)±2且不會同時出現(xiàn)±3（否則數(shù)

列會出相同項，不符題意）即。可以寫成2x+3y的形式，且國+|），|=5,由此可解得

（m，IV）=（°，5）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,（5,。），然后根據(jù)蒼y的取值分別進行驗證，看也｝

中的項是否在&0I5中（主要抓住區(qū)）3），即可判斷出1的值只能是±5

解：?.?｛4｝為等差數(shù)列

a5k+5-a5k=（a5k+5~。5*-4）+（%+4—。5?+3）+（。5?+3—%t+2）+（陽+2-。5*+1）+（。5*+1—45&）

且由=2或3,可得：4-a?_]=±2或±3

:.d=2x+3y（x,yeZ）且國+|y|=5

①若（IM，3）=（0,5），則4=±15bm=b1±402X15=ft,±6030gAOI5,不符題意

②若（國,=4）,則2=±10,±14.?.甌3=4±4024e4°15,不符題意

③若（國,加=（2,3）,則〃=±13,±5

當d=±13時，，甌3=4±402d￡4o]5，不符題意

當]=±5時，.?.d03=4±4024=4+2010或4一2010,所以可以找到這樣的使之

成立（例如第（2）問中的結(jié)論）

④若（|X|,|M）=（3,2）,則1=±12,0,可得.?也03=偽±402424015不符題意

⑤若（國,|川=（4,1）,則4=±5,±11

當4=±11時，二％03=4±4。21e4（）15,不符題意

當〃=±5時，同③可以找到這樣的40J5使之成立（例如第（2）問中的結(jié)論）

⑥若（國,|y|）=（5,0）,則4=±10.?.甌3=4±4024史Azo.不符題意

綜上所述，若｛4｝為等差數(shù)列，則d=5或d=-5

例7：若有窮數(shù)列即%…必（〃23）滿足：（1）fq=0；⑵￡同=1，則稱該數(shù)列為

i=li=l

“〃階非凡數(shù)列”

（1）分別寫出一個單調(diào)遞增的“3階非凡數(shù)列”和一個單調(diào)遞減的“4階非凡數(shù)列”

（2）設(shè)左eN*,若“2k+1階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項公式

（3）記“〃階非凡數(shù)歹的前加項的和為S,“W=1,2,3,…，耳，求證:

①聞后

解：（1）3階非凡數(shù)列：一,,0,4階非凡數(shù)列：-,0,--,--

22288

（2）思路：首先明確其通項公式應(yīng)該是關(guān)于左和序數(shù)〃的表達式，要求得通項公式，關(guān)鍵要

確定q,d,因為非常數(shù)列的等差數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，所以由=0一方面利用等差數(shù)列性質(zhì)

/=!

可得到%+i=0,另一方面也可知該數(shù)列以外+|=0為分界線，左右兩側(cè)分為正項與負項（與

d的符號有關(guān)），可分d>0,d<0進行討論。當d>0時，｛%｝為遞增數(shù)列，從而可知

]_

%,〃2,…為負項，。&+2，％+3,，，，M2A+1為正項。再由=1可得,+“2+…+4

1=12

從而用女可表示出d,另一方面%=（ik+1—kd=kd,進而q,"均可用人表示，所以可求得

其通項公式。按同樣的方法可求出d<0時的通項公式

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d

4+kd=0即ak+i-0

當d>0時，｛%｝為遞增數(shù)列

二卬<4<???<%<°，且％=4d^ak+2<ak+3<---<a2k+l

?.二生=°且2同=1

/=1

當d<0時，｛%｝為遞減數(shù)列，同理可得:

「?a1>a2>?-?>ak>0,ak=-d,

口r—kd—d.1,1

即---------k=—=d=——------

22攵（攵+1）

(3)①證明：當機=〃時.，國=區(qū)4=。

;=1

當機＜〃時，＜二0

/=1

②思路一：本題的難點在于不知｛2｝中各項的符號，但從(1)(2)問可得到一個規(guī)律，任

意''歸化數(shù)列”｛q｝,其正項和為g,負項和為一5,進而可以考慮在求和時正項一組，負

項一且進行放縮。

解：依題意可得：｛4｝中的項有正有負

設(shè)｛?！埃械恼棡闉椋?,…,4,負項為4，咋，，零項為%=4?=0

111(111)(111、

Cl}H-----H—Cl^+???H------------Q”=-a；H-------CL-+???-!---CI-+—CI7-1H--------CI-+??H---------CIJ■

2-33〃"U""24Jhhjm1"J

而工令+—ai+■■■+—at<ai+…+q=-(所有系數(shù)放大為1)

z,'i,2i,*,*2

—a,+—a：+■■■+—a：<-(af+a：+…+a；)=--—(所有系數(shù)變?yōu)樯?

J,71hhjm〃\八h幻2nn

s-S

思路二：本題從通項公式入手，考慮a一歸,從而

nn

s+,—H+邑―S2+...+s“一S“T合并同類項即可得到：

'23n

寧q._￡S2S〃_]S

fl,聯(lián)想到裂項相消，且由第①問可知

=i1x22x3n(n-l)n

'111、Ifl-1

可利用放縮及絕對值不等式得到<1-----1------!-???+

/=112(1x22x3n\(n〃-1)J2I

解：...久生=a+絲+色+...+勺=$邑二十邑Z邑+...+3一1一

i123n23n

?;|S“|<(,(，〃=1,2,…，〃—1),且S“=0

即不等式得證

小煉有話說：(1)對于''新概念”的題目，要善于利用具體實例或者前面的小問掌握其規(guī)律,

為最后一問做準備。在本題中通過前兩問所總結(jié)出的“正項和為負項和為——”即為第

22

三問的突破口

(2)從一個已知數(shù)列中抽出若干項形成新數(shù)列，要善于運用雙字母進行書寫?？蓞⒖急绢}中

的寫法。4,可以表示出新數(shù)列的項源自于｛。,,｝的第幾項，而1,2,…次表示新數(shù)列中

該項的序數(shù)。一種寫法，兩個含義均顯現(xiàn)其中。

例8：對于數(shù)列｛q｝,把％作為新數(shù)列他,｝的第一項，把火或一q(i=2,3,4,…，“)作

為新數(shù)列仍“｝的第i項，數(shù)列｛耙｝稱為數(shù)列5“｝的一個生成數(shù)列.例如，數(shù)列1,2,3,4,5的一

個生成數(shù)列是1,-2,-3,4,5.已知數(shù)列｛〃｝為數(shù)列｛5｝(〃eN*)的生成數(shù)列，S“為數(shù)列｛2｝

的前幾項和.

(1)寫出$3的所有可能值；

(2)若生成數(shù)列｛2｝滿足S3.=L(1—J),求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

(3)證明：對于給定的〃cN*，的所有可能值組成的集合為

2k-1

，n

A=｛x|x=-^r-,^eN^<2-'｝.

(1)思路：由“生成數(shù)列”的定義可知｛々｝的前三項可能的值為4=；也=±；也=±g,

進而通過不同的組合可求得S3

解：由已知可得：4=；,且同=最

°1117111311]__5J_

324882488248-8524-8-8

S3可能的取值為上1二3，5二7

38888

(2)思路：本題已知$3”的表達式，可類比在數(shù)列中已知S.求數(shù)列通項的方式，得到

=5,由出｝為法｝生成

=

^3n~^3(n-l)+4"-1+4",計算可得：&“+4,I+4“-2

數(shù)列可得：b3n=士1r=±5也“T=±擊=土看也“一2=士*=±'，通過合理組合

即可得到：怎=一或也,1=一也,一2=白，從而得到4通項公式

?二當〃=1時，+h+b=—

238

當“22時，bin+%1+b3ll_2=S3,,_$3"-3=-一一古)="

???數(shù)列｛〃｝為數(shù)列｛5｝(〃eN*)的生成數(shù)列

若t=4，則以上各種組合中，只有

O

(3)思路：由生成數(shù)列的定義可知=±f22),所以其S〃='±4±二±…±—共

計2'i中情況。而觀察A中元素的個數(shù)恰好也為2"一個(攵從1取到2'i個)，且本題無法一

一計算出S“，故從S”可取的值的個數(shù)與A元素個數(shù)相等作為突破口，若要證S〃取值集合所

給集合相等，則可通過兩個步驟證明：一是證明S〃的值一定都在A中，可通過

5?=-±^±-^±-±-=一~~~,其中2"T±2"-2±?..±I為奇數(shù)可得，二

是證明對于不同的生成數(shù)列，其和也必然不同(利用反證法)，進而再利用s“可取的值的個數(shù)

與A的個數(shù)均為2"T即可證明結(jié)論

5〃=；±±±最±…士￡共有2"T種情況

1111—1111

-------z------一??----〈SW1——HT+???-!-----，即un:

222232〃222232〃

c11112'1±2”一2±.??±1

???S〃=-±—±—±---±—=------------------------，可知2'i±2〃一2±?.?±1為奇數(shù)

"222232nT

112”-1

滿足L<S〃<1-上=---且分子為奇數(shù)的S〃共有2〃T種

2"2"2"

???S〃共有2〃T種情況

???只需證明兩個不同的生成數(shù)列，其和不同即可

設(shè)數(shù)列也｝,｛c,｝為兩個不同的生成數(shù)列，且和分別記為Sn,Tn

則s,,一北=(4+4+…+2)—(G+G+…+qJ

?.?｛4｝,￡｝為生成數(shù)列,所以四=同=/

=C"或勿=-C"

???也｝，￡｝不同

...端K，…心(加使得〃=一

所以2"~'種不同的生成數(shù)列，其和共有2'一種可能

???S"只有2"T種可能

，s”可能值必恰為_L,a,w,土ii,共2"-'個.

2"2"2"2"

2〃一1

s”的所有可能值組成的集合為{xIx=二^"eN*"<2"T}

例9：有限數(shù)列A,：4，出，…,4?(〃23)同時滿足下列兩個條件：

①對于任意的i,j(1<z<J<n),a,<aj；

②對于任意的(14i</<氏4〃)，q勺，atak三個數(shù)中至少有一個數(shù)是數(shù)列A.

中的項.

(1)若〃=4,且q=l,g=2，a3—a,a4—6,求a的值；

(2)證明:2,3,5不可能是數(shù)列A,,中的項；

(3)求”的最大值

解：(1)由①可知：2<a<6

考慮a2M3,4，依題意外火=2a,a3a4=6a,a2a4=12三個數(shù)至少有一個在中

,/a4=6且2<a<6

.?.6a,12均不在中

(2)思路：本題并不容易去證明“不可能”，故考慮用反證法，先假設(shè)可能，再推出矛盾。

若2,3,5均在A“中，則6,10,15中至少有一項在A“里，此時就會“創(chuàng)造出一項“位于A,中，

進而可知這種“創(chuàng)造”是無休止的，所生成的新的項要大于之前的每一個數(shù)(數(shù)列遞增)那

么以此類推下去，A”的項數(shù)會無限增加下去，與“A”為有限數(shù)列”矛盾。所以本題的證明可

以以“A”為有限數(shù)列”為突破口，假定最后的三項為a?_2,則an>a,->an_2>1,

則a,-?a“-2比。0TM”2都大，那么只能為明,即4一1?a7=/，同理對于，

也可得到an_3-a,-=%,從而推出a“_2=?,.-3，與數(shù)列遞增矛盾。所以2,3,5不可能是數(shù)列An

中的項

解：(反證法)：假設(shè)2,3,5是數(shù)列4中的項

由②可知：6,10,15中至少有一個是數(shù)列A.中的項，則有限數(shù)列的最后一項q,〉5,且

n>4.

由①,%>%>%>限>1.

對于數(shù)4_2，勺-1，”"，由②可知：%一2""-1=%；對于數(shù)。"-3，%-1，。"，由②可知：=%?

所以an_2=an_3,這與①矛盾.

所以2,3,5不可能是數(shù)列4中的項.

(3)思路：本題的主旨在于盡可能構(gòu)造項數(shù)多的A“，由(2)的證明過程可提供一條線索，

當大于1的項超過3項時，則不成立，所以可知A“中至多有3項，且這3項中兩項的乘積等

于第三項。同時還可對其進行推廣得到A“中至多有3項，絕對值大于1;然后可將這種思路

拓展至其它范圍，比如絕對值在。至1之間同理也至多只有3項。再補充上±1,0,所以〃的

最大值為9,可構(gòu)造為4：-4,-2,—1,—3,一:,0,；,1,2

解：〃的最大值為9,證明如下：

(1)令4:—4,—2,—1,—10,5,1,2,則A；符合①、②.

(2)設(shè)4“：弓,？，》3)符合①、②，則:

①A“中至多有三項，其絕對值大于1.

假設(shè)A,,中至少有四項，其絕對值大于1,不妨設(shè)色,a.,是A“中絕對值最大的四項,

其中l(wèi)<|q|W|為國出兇可|.

則對即見,。/有,閡>同,|%①|(zhì)>|aj,,所以華”。必均不是數(shù)列A“中的項，即％出是數(shù)

列A,,中的項

同理：與4也是數(shù)列A,,中的項

但|空/>4|,,聞>㈤

=Clj,與①矛盾

②A.中至多有三項，其絕對值大于0且小于1.

假設(shè)A,中至少有四項，其絕對值大于0且小于1,類似(i)得出矛盾.

③A“中至多有兩項絕對值等于1.

④A“中至多有一項等于0.

綜合①②③④可知A“中至多有9項.

由(1),(2)可得，〃的最大值為9.

例10：對于實數(shù)x,將滿足"04y<l且x-y為整數(shù)”的實數(shù)y稱為實數(shù)x的小數(shù)部分，

用記號|4表示，對于實數(shù)a,無窮數(shù)列｛4｝滿足如下條件：

%=|同，其中”=1,2,3,….

0,aa=0.

(1)若〃=后，求數(shù)列｛〃“｝；

(2)當時，對任意的〃eN*,都有求符合要求的實數(shù)。構(gòu)成的集合A.

(3)若。是有理數(shù)，設(shè)a=K(”是整數(shù)，q是正整數(shù)，p、鄉(xiāng)互質(zhì))，問對于大于q的任

q

意正整數(shù)〃，是否都有?！?0成立，并證明你的結(jié)論.

(1)思路：按照題目規(guī)則可知％即為a的小數(shù)部分，所以只有確定a介于哪兩個整數(shù)之間，

才能夠求出同。由&e(l,2)得q卜&—1,2='=|也+1|，由

V2+1e(2,3)得卜C+“卜+1—2=\/2—1,進而發(fā)現(xiàn)a?=%，且a3M4,…計算的過

程與計算的相同，可猜想考慮到a.+i可由明求出，所以用數(shù)學(xué)歸納法即可證

明

解：=||^||-V2-1

猜想a“=Q-1,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當〃=1時，4=V2—1

假設(shè)〃=Z時，ak=V2—1,則〃=%+1時

\an=收一1成立

(2)思