高中數(shù)學(xué)人教版（A版）選擇性必修 第三冊(2019)-2022學(xué)年期末考試復(fù)習(xí)-隨機(jī)變量及其分布 公開課

2022學(xué)年期末考試復(fù)習(xí)-隨機(jī)變量及其分布

一、基礎(chǔ)知識

1.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：0WPG0W1;

性質(zhì)2：必然事件概率為1,不可能事件概率為0,即0(。)=0：

性質(zhì)3:A,8互斥，那么P(4U0=P(4)+P(而；

性質(zhì)4：4與8對立，那么夕(夕=1-PG4),p(4=1一P(⑨；

性質(zhì)5:設(shè)48是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，有P(AU0)=P(A)+P(B—P(AC0).

p(48)

2.條件概率：在事件4發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的條件概率P(8|4)=而7k

注意點：4與8相互獨立時，可將P(A0)=P(A)P(S),則夕(8|4=P(B).

求條件概率方法：(1)P(8|⑷=［斤)(2)/(例外="普

P\/i)n(川

3.條件概率的性質(zhì)：設(shè)P(4)>0,則

⑴夕(。|心=1.

(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P{B\JC\A)=P(B\A)+P{C\A).

(3)設(shè)萬和8互為對立事件,則PCB\A)=y-P［B\A).

4.全概率公式：設(shè)4,4,…，4為兩兩互斥事件，4U4U…U4=Q,且P(4)>0,/=1,2,n,則

對任意的事件比Q,有。(例=的4)P(8|4)+P(4)P(8|4)+-+P(4)P(8|4)

5.貝葉斯公式：設(shè)4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，4U4U…U4=。，且P(4)>0,

p(4)P(團(tuán)4)

則對任意的事件比。，P(B)〉0,有夕(4|3=—?方方］一一，/=1,2,…，n.

r{D)

6.均值(數(shù)學(xué)期望)：一般地，若離散型隨機(jī)變量才的分布列如表所示.

???

XXiX2Xn

PP、6???Pn

則均值(數(shù)學(xué)期望)EQ)=X1P1+X2P2+…+XnPn

均值性質(zhì)：若Y=aX+b,則E(aX+6)=aE(X)+b

7.方差：設(shè)離散型隨機(jī)變量才的分布列為

XiX2???Xn

PP2???Pn

則方差Dk#=(X、-E8)%+(XLE5ypi+…+(XL￡(aTP..標(biāo)準(zhǔn)差c(才力。(川

方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散

方差性質(zhì)

⑴D(aX+6)=aD(X)(2)D(X)=f(Z)-[E(X)]2

8.兩點分布：

若X的分布列如表所示

X01

P1-PP

稱X服從兩點分布或0-1分布.

兩點分布的均值：E(X)=P,兩點、分布方差D(X)=p(1-p)

9.二項分布

只有兩個結(jié)果的試驗叫做伯努利試臉，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行八次所組成的隨機(jī)試驗稱為“重

伯努利試驗，〃重伯努利試驗中，事件A發(fā)生K次概率P(X=Z)=Cp"l—p)"”,左=0,1,2,...n.

〃重伯努利試驗中隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X?8(〃,p).

二項分布的均值：E(X)=np,二項分布的方差：D(X)=叩(1-p)

獨立重復(fù)實驗中，事件A成功k次，概率最大值問題

外八Pk_C：p"p)i,.(n+l)p-k

P”()，1=優(yōu)產(chǎn)(1-p廠=1+k(Lp)與1比較大小，分析單調(diào)性即可

當(dāng)A<(〃+l)p時，Pk>Pi,PA單調(diào)增，；當(dāng)%>(〃+1)2時，A<A-!,Pk單調(diào)減

如果(〃+D，為正整數(shù)，當(dāng)氏=(〃+D。時，Pk=A-i,兩項概率均為最大值

如果(〃+1)，為非整數(shù)，左取(〃+1)，的整數(shù)部分，則P*是唯一最大值

10.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取“件(不放回)，用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分

布列為p(x=@=cqA(Z=0,l,2,…,加)，

CN

其中/〃=min{",〃},〃,M,NwN,〃WN,MWN,zn=max{0,〃-N+M},r=min{〃,"}.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

超幾何分布的均值：E(X)=——

N

11.正態(tài)分布定義

j

若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x)=---=e-°z,xeR,/jeR,(y>Q,

則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為記作X?它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

當(dāng)〃=0,b=l時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

12.正態(tài)曲線的特點

曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對稱；曲線在x=〃處達(dá)到峰值——\=；

(7,2萬

當(dāng)國無限增大時，曲線無限接近X軸；

當(dāng)o■較小時，峰值高，正態(tài)曲線瘦高，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；

當(dāng)o■較大時，峰值低，正態(tài)曲線矮胖；表示隨機(jī)變量X的分布比較分散.

13.正態(tài)分布的期望、方差：若X?77(〃,/),則E(x)=〃,/)(%)=(T2.

14.正態(tài)分布3o■原則

若X?N(〃,CT2),P(〃-3crWXWM+3b)aQ9973,由此看到一次試驗■中，X的取值幾乎總是落在

區(qū)間［〃-3b，M+3CT|內(nèi)，在此區(qū)間外的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只

?。?-3(r，M+3b］中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3o■原則.落在區(qū)間外，認(rèn)為是不可能發(fā)生事件

一、單選題

1.一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），則第二次取

到的是黑球的概率為（）

337

A-B.-C.—D.—

一991010

2.隨機(jī)變量X的分布列如下，且E（X）=/，則（）

X-101

PaLb

3

11

A.D(X)=1B.。=分D(X)=1

1515

C.Q屋，D(X)=5D.a=i,D(X)=5

3.已知隨機(jī)變量X?8(n,p),且數(shù)學(xué)期望E(X)=2,方差。(X)=|,則尸(X=2)=()

1242

A.-B.-C.一D.一

9993

4.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（2,/）,且Pq<4）=0.8,則P（O<J<2）（）

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

5.從L2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A="取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件8="取到兩個數(shù)均

為偶數(shù)",則P（例A）=

6.設(shè)f的分布列為又設(shè)rj=2f+5,則￡（<?）等于（）

1234

￡

p

6633

7.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為f,己知P（6=1）==，且

45

該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為（）

A.10%B,20%

C.30%D.40%

3

8.剪刀石頭布，古老而簡單，游戲規(guī)則中，石頭克剪刀，剪刀克布，布克石頭，三者相互制約，因

此不論平局幾次，總會有決出勝負(fù)的時候.現(xiàn)A,B兩位同學(xué)各有3張卡片，以"剪刀、石頭、布"

的形式進(jìn)行游戲：輸方將給贏方一張卡片，平局互不給卡片，直至某人贏得所有卡片，游戲終止.若

A,3一局各自贏的概率都是g,平局的概率為:，各局輸贏互不影響，則恰好5局時游戲終止的

概率是（

9.己知某種袋裝食品每袋質(zhì)量（單位：g）X?N（500,16）.P（H-。VXWu+o）=0.6827,P

（H-2o＜XWu+2。）=0.9545,P（p-3。＜XWR+3。）=0.9973.則下面結(jié)論正確的是（）

A.。=16

B.P（496＜XW504）=0.9545

C.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，每袋質(zhì)量在區(qū)間（492,504］的約8186袋

D.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，每袋質(zhì)量小于488g的不多于14袋

10.某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運送書籍，共裝運10箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書.到目

的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失了哪一箱.現(xiàn)從剩下的9箱中任意打開2箱，結(jié)果都是英語書，

則丟失的一箱也是英語書的概率為（）

2315

A.-B.—C.-D.—

98128

11.高一年級和高二年級進(jìn)行籃球比賽，賽制為3局2勝制，若比賽沒有平局，且高二隊每局獲勝

的概率都是記比賽的最終局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,則（）

A.￡（X）=|B.E（X）＞yC.D（X）＜|D.

二、多選題

12.三個正態(tài)分布密度函數(shù)4（x）=e2ff'?（xwR,i=l,2,3）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是

A.5=dB.4C.4=%D.

4

13.一袋中有大小相同的2個紅球和4個白球，則下列結(jié)論正確的（）

2

A.從中任取3球，恰有一個白球的概率是二

4

B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為？

C.現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到白球的條件下，第二次再次取到白

球的概率為（

D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為，

14.江先生每天9點上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行.私家車路程近一些，但路

上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（38,72）,從停車場步行到單位要6分鐘；

江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間（單位：分

鐘）服從正態(tài)分布N（44,22）,下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.從統(tǒng)計的角度出發(fā)，下

列說法中合理的有（）參考數(shù)據(jù)：若Z?N（山。2）,則P⑺-。VZWu+o）=0.6826,

P（口-2。VZWu+2。）=0.9544,P（“-3。＜ZW“+3。）=0.9974

A.若8：00出門，則開私家車不會遲到

B.若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大

C.若8：06出門，則開私家車上班不遲到的可能性更大

D.若8：12出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到

15.下列命題中，正確的命題是（）

A.已知隨機(jī)變量服從W〃,p）,若E（X）=30,￡＞（X）=20,貝=；

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變；

C.設(shè)隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N（0,l）,若尸偌＞l）=p,則P（-l＜S＜O）=g-p

D.某人10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X?8（10,0.8）,則當(dāng)X=8時概率最大

三、填空題

16.新型冠狀病毒感染可能造成“持續(xù)人傳人”.就是存在A傳8,B又傳C,C又傳。,這就是“持

續(xù)人傳人”.那么A、8、C就會被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個身體健康的人

被被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.95,0.9,0.85,健康的小明參加了一次

多人宴會，事后知道，參加宴會的人有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播

者，試計算，小明參加聚會，僅和感染的10個人其中一個接觸，感染的概率有多大—.

5

17.某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖，則成績X位于

區(qū)間(52,68］的人數(shù)大約是.

18.設(shè)隨機(jī)變量X?B(2,p),隨機(jī)變量F?8(3,p),若P(X21)=右則。(3F+1)=.

19..明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲

鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是0.80,乙鬧鐘準(zhǔn)時晌的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一準(zhǔn)時響的概率是

20.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X012

Pa2ab

(a>0,b>0),當(dāng)D(X)最大時，E(X)=.

21.某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲收益12%；一旦失敗，一年后

將喪失全部資金的50%,下表是去年200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果.

投資成功投資失敗

192次8次

則該公司一年后估計可獲收益的平均數(shù)是元.

22在一次期末考試中某學(xué)校高三全部學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(山。2),若P(X》90)

=0.5,且P(XN110)=0.2,則P(70WXW90)=.

32

23.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率是g,乙獲勝的概率是g,采用5

局3勝制，則恰好打了4局比賽結(jié)束的概率為—(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

6

四、解答題

24.某市教育部門計劃從該市的中學(xué)生中選出6人作為該市代表去參加省里的中華古詩詞大賽，該

市經(jīng)過初賽選拔最后決定從甲、乙兩所中學(xué)的學(xué)生中進(jìn)行最后的篩選.甲中學(xué)推薦了3名男生，3

名女生，乙中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)由于集訓(xùn)后所有學(xué)生

的水平相當(dāng)，該市決定從參加集訓(xùn)的兩校男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成該市的代

表隊.

(1)求甲中學(xué)至少有1名學(xué)生入選該市代表隊的概率;

(2)在省賽某場比賽前，從該市代表隊的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參賽，設(shè)X表示參賽隊員中的女

生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解】(1)依題意知來自甲、乙兩所中學(xué)參加集訓(xùn)的學(xué)生中共有男生6名，女生7名,

C；C：=1

則入選代表隊的學(xué)生全部來自乙中學(xué)的概率為

屐熄175

174

故甲中學(xué)至少有6名學(xué)生入選該市代表隊的概率為p=1-行1=粽

(2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,

3。)=%"。，"韋P(X=2)*U，

X0123

1991

p

20202020

19913

E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x——=-

202020202

25.為慶祝建軍節(jié)，某校舉行“強國強軍”知識競賽，該校某班經(jīng)過層層篩選，還有最后一個參賽

名額要在A,8兩名學(xué)生中間產(chǎn)生，該班委設(shè)計了一個測試方案：A,B兩名學(xué)生各自從6個問題

中隨機(jī)抽取3個問題作答，已知這6個問題中，學(xué)生A能正確回答其中4個問題，而學(xué)生8能正確

2

回答每個問題的概率均為A,8兩名學(xué)生對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的.

(1)求A恰好答對兩個問題的概率；

(2)設(shè)A答對題數(shù)為X,B答對題數(shù)為丫，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生？請說明

理由.

【解】(1)A恰好答對兩個問題的概率為：”等《；

(2)X所有可能的取值為L2,3.

7

C1C21c2C'3C3C01

/>(%=1)=Saki=p(x=2)=*=]；P(X=3)=*=].

J3J,J,

131

所以夙X)=lxg+2xg+3xw=2.

由題意，隨機(jī)變量y?所以E(y)=3x|=2.

i312212

D(X)=(1-2)2X-+(2-2)2X-+(3-2)2X-=-,D(K)=3x-x-=-.

因為E(x)=E(y),o(x)<Q(y),

可見，A與8的平均水平相當(dāng)，但A比B的成績更穩(wěn)定，

所以選擇投票給學(xué)生A.

26.兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)建模比賽.在備選的6道題中，甲答對每道題概率都是:；乙能答對其中的4

道題.甲、乙兩人都從備選的6道題中隨機(jī)抽出4道題獨立進(jìn)行測試.規(guī)定至少答對3題才能獲獎.

(1)求甲同學(xué)在比賽中答對的題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求比賽中甲、乙兩人至少有一人獲獎的概率.

【解】(1)由題意可知X~B(4,gP（x=o）=嗡P（x=i）=4l閭Y

P（X=2）Y（|JS<，P（X=3）=4|冏嗡P（X=4）=4|閭'16

=81

所以X的分布列如下:

X01234

18243216

P

8?818?8?8?

OQ

所以，E(X)=4xj=|；

(2)記“甲獲獎”為事件A,設(shè)乙答對的題數(shù)為丫，“乙獲獎”為事件8.

P(A)=P(X=3)+P(X=4)喑+、哮；尸(5)=p(y=3)+P(y=4)=等+警=3

5

記“甲、乙至少有人獲獎”為事件M,則加為“甲、乙兩人都未獲獎”.

16113

P（M）=1—P（麻）=1-P(入方)=1一產(chǎn)1-|

27135

113

答：甲、乙至少有一人獲獎的概率為由.

8

27.某公司為了豐富員工的業(yè)余生活，舉行了乒乓球比賽，比賽采用七局四勝制，即先贏四局者獲

勝.每局比賽勝一球得1分，先得11分的參賽者該局為勝方，若出現(xiàn)10平比分，雙方輪流發(fā)球，

則以先多得2分者為勝方.甲、乙兩名員工進(jìn)行單打比賽.

(D已知甲發(fā)球得1分的概率為：，乙發(fā)球得1分的概率為:，若某局出現(xiàn)10平比分后甲先發(fā)球，

求甲以13：11獲勝的概率；

(2)若每局比賽甲獲勝的概率均為點比賽局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解】：(1)當(dāng)甲以13：11獲勝時，還需進(jìn)行四場比賽，發(fā)球方分別為甲、乙、甲、乙，

甲獲勝的可能情況有：①第一場中輸，第二場甲贏，第三場甲贏，第四場甲羸，

②第一場甲贏輸，第二場甲輸，第三場甲贏，第四場甲贏，

所以甲以13：11獲勝的概率為

212121211

P=(l-1)x(l-i)x|x(l-1)+1xAx|x(l-A)=1;

(2)由題意可得X的可能取值為4,5,6,7,則

4

P(X=4)=2X(1)=i,P(X=5)=2盤&>X(l-1)x|=1,

PQX=6)=2瑤&)3X(1-1)2X1=A,P(X=7)=2瑤&)3X(1一扔X?卷，

所以X的分布列為：

X4567

P1155

841616

11Rq92

所以E(X)=4Xg+5Xa+6x正+7x正=yg.

28.袋中裝有10個大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率

4

(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個球，記得到臼球的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分

布列.

【解】：(1)設(shè)黑球的個數(shù)為x,則白球的個數(shù)為10--

記兩個都是黑球得的事件為A，則至少有一個白球的事件與事件A為對立事件

所以p(A)=1_：=華=看解得x=5,

所以白球的個數(shù)為5.

9

(2)離散型隨機(jī)變量X的取值可能為：0,1,2,3,

r0r3_或點_5

各P（X=1）=整=各P（X=2）(

p（x=o）=-V=一k一適叩一-3）5-12，

*c10c10c10

所以X的分布列為

X0123

P1551

12121212

29.N95型口罩是抗擊新型冠狀病毒的重要防護(hù)用品，它對空氣動力學(xué)直徑20.3卬”的顆粒的過濾效

率達(dá)到95%以上.某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對空氣動力學(xué)直徑》0.3u〃?的顆粒的過濾

效率服從正態(tài)分布N(0.97,9.025X10-5).

(I)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢10只口罩，測量出一只口罩對空氣動力學(xué)直徑的顆粒的過濾效

率為93.6%,他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況.請你依據(jù)所學(xué)知識，判斷該質(zhì)檢

員的要求是否有道理，并說明判斷的依據(jù)：

(II)該廠將空氣動力學(xué)直徑》0.3卬〃的顆粒的過濾效率達(dá)到95.1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)

質(zhì)品

①求該企業(yè)生產(chǎn)的一只N95型口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；

②該企業(yè)生產(chǎn)了1000只這種N95型口罩，且每只口罩相互獨立，記X為這1000只口罩中“優(yōu)質(zhì)

品”的件數(shù)，當(dāng)X為多少件時可能性最大(即概率最大)？

參考數(shù)據(jù)：9.52=90.25,P(H-o<XWn+。)=0.6827,P(四-2。<*<N+2。)=0.9544,P

(H-3o<XWp+3o)=0.9974.

【解】：(I)由已知過濾效果服從N(0.97,90.25X10'6),o2=(9.5XI0-3)2,o=9.5X

10-3=0.0095,則0.936V0.97-0.0095X3=0.9415,

由3。原則可知，生產(chǎn)的口罩出現(xiàn)過濾效果在3。以外的值，發(fā)生的可能性很小，一旦發(fā)生，應(yīng)

停止生產(chǎn).

(II)①令y=事件“N95口罩的過濾效果”，則一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率為：

P(y>0.951)=P(y>0.97-2X0.0095)=]一0一尸廢?一21^<-97+2%=0.9772.

②依題意X?8(1000,0.9772),記〃=1000,p=0.9772.

P(X=Jt)=C[pk(l-p)n-"k=O,1,2,……，103),要使可能性最大，只需

10

(p1-p

儲pk(1_p)"-k>C《TpkT(l_p)n-k+l1001-fc

Ictp/i—pF-kNcA+ipk+Yi—pFfT'ji-p>P'

klOOO-fck+1

所以lOOlp-IWLWIOOlp,

，A=978....當(dāng)X為978件時可能性最大.

30.在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有〃(2<〃W5,且〃W3)個，其

余的球為紅球.

(I)若"=5,從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個

紅球的概率；

4

(II)從袋里任意取出2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是:，求紅球的個數(shù)；

(in)在(n)的條件下，從袋里任意取出2個球.若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2

分，取出1個紅球記3分.用t表示取出的2個球所得分?jǐn)?shù)的和，寫出t的分布列，并求t的數(shù)

學(xué)期望優(yōu).

【解】：(I)設(shè)“從袋中任取1個球是紅球”為事件A,則PQ4)=￡

所以,P3(2)=CH(321=接

(II)設(shè)“從袋里任意取出2個球，球的顏色相同”為事件B,則P(B)=0+嫌；博-n=

C10

6+n(n—1)+(7—n)(6—n)_4

90=15'

整理得"2-7"+12=0,解得〃=3(舍)或〃=4.

所以紅球的個數(shù)為10-3-”=3個.…(8分)

-2==

(HD?的取值為2,3,4,5,6,且P(f=2)=4)

151,

-

--=o'=5)=-4^=虧，=6)=15,

go15Cio

所以f的分布列為

23456

P24111

15153515

9All1IQ

所以，Ef=2xY=-+3xyp+4Xq+5Xq+6x=-p-.…(13分)

-LKJxOJ，JJ

31.為鞏固脫貧攻堅成果，某項目組對某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤，隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品，

檢測結(jié)果均為合格，且質(zhì)量指標(biāo)分值如下：38,70,50,43,48,53,49,57,60,69.

經(jīng)計算知上述樣本質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)為53.7,標(biāo)準(zhǔn)差為9.9.生產(chǎn)合同中規(guī)定：所有農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品的占

11

比不得低于15%(已知質(zhì)量指標(biāo)在63分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品).

⑴從這10件農(nóng)產(chǎn)品中有放回地連續(xù)取兩次，記兩次取出優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

(2)根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(〃,/)，其中〃近似為樣本質(zhì)量

指標(biāo)平均數(shù)，4近似為方差，那么這種農(nóng)產(chǎn)品是否滿足生產(chǎn)合同的要求？請說明理由.

附：若X?N(〃,CT2),則P(〃-2cr<X<〃+2cr)=0.9545,P("-or<X<〃+cr)=0.6827.

【解】⑴因為質(zhì)量指標(biāo)分值在63分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，故優(yōu)質(zhì)品有2件.由題意X可取0,1,2.

則P(X=O)=~^=竺；p(x=l)=^^=且；P(X=2)=4^=’.

c：￡。25c：￡。25C；()C；U25

所以X的分布列如下：

X012

1681

P

252525

X的數(shù)學(xué)期望風(fēng)X)加導(dǎo)19+24=|.

⑵記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分值為X,由題意可知，X~N(53.7,9.92),

則尸(43.8<X<63.6)=P(〃一0<X<M+CT)=0.6827,

因為P(X>63)2P(X>63.6)=fZ=0.15865>0.15,

所以有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求

32.某種水果按照果徑大小分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.一般的，果徑越大售價

越高.為幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計了一套方案，并在兩片果園中進(jìn)行對比

實驗.其中實驗園采用實驗方案，對照園未采用.實驗周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)選取

100個果實，按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計：[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](單

位：mm).統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36mm及以上的為"大果

⑴估計實驗園的"大果"率；

⑵現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對照園選取的10。個果實中抽取10個，再從這10個果實中隨機(jī)抽取3

個，記"大果”個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望的；

⑶以頻率估計概率，從對照園這批果實中隨機(jī)抽取N2)個，設(shè)其中恰有2個"大果”的概率為尸5),

12

當(dāng)P(〃)最大時，寫出"的值(只需寫出結(jié)論).

【解】⑴由實驗園的頻率分布直方圖得：(0.110+0010)x5=0.6,所以估計實驗園的"大果”率為60%

(2)由對照園的頻率分布直方圖得：這100個果實中大果的個數(shù)為(0.040+0.020)x5x100=30個.

采用分層抽樣的方法從100個果實中抽取10個，其中大果有益xl0=3個，

從這10個果實中隨機(jī)抽取3個，記"大果”個數(shù)為X,則X的可能取值為0」,2,3,

尸(x=0)書35_7P(X=1)=浮c2c[工2，P(X=2)=卑=旦」

,

C10120-2412040%12040

P(X=3)=,=1

西，

L|0

所以X的分布列為:

X0123

72171

P

244040T20

721719

所以E(X)=0x—+lx—+2x——+3x——=

24404012010

2B22,1

(3)由題設(shè)知：P(n)=C>0.3.0.7-,而「("-1)=C,，-。1?0.7"",/>(?+1)=C^+l-0.3-0.7-,

P5-1)式「0.7"710(〃-2)<]P(〃+l)C；+「07"[%+1):

回要使外〃)最大,

,尸(〃)-Q-0.7"2-7〃'P⑺-C:0.7"-2-10(”-1)

0—<n<—,故〃=6.

33

2022學(xué)年期末考試復(fù)習(xí)-隨機(jī)變量及其分布

一、基礎(chǔ)知識

1.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：0WP(⑷W1；

性質(zhì)2:必然事件概率為1,不可能事件概率為0,即P(Q)=1,0(0)=0：

性質(zhì)3：A,8互斥，那么PG4UQ=P")+P(。；

性質(zhì)4：4與8對立，那么P(0=1一P"),2(4)=1一。(0;

性質(zhì)5:設(shè)48是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，有pau0=p")+p(8一

13

p8)

2.條件概率：在事件》發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的條件樓率"但|心=①不一

注意點：力與8相互獨立時，可得P(AB)=P(A)P(B),則戶但|心=戶㈤.

求條件概率方法：(1)P(8|心=[普-(2)P⑶心=〃(黑

3.條件^率的性質(zhì)：設(shè)P(4>0,則

⑴，(。|4=1.

(2)如果8和C是兩個互斥事件,則P(3UC\A)=P(B\A)+P(.C\A).

(3)設(shè)下和8互為對立事件，則P(~B|4=1一P(8|4).

4.全概率公式：設(shè)4,4,…，4為兩兩互斥事件，4U4U…U4=。，且夕(4)>0,/=1,2,…,

n,則對任意的事件比Q,有"㈤=P(4)P(M4)+P(4)P(8|4)+-+P(4)P(8|4)

5.貝葉斯公式：設(shè)4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，4U4U…U4=。，且P(4)>0,

p(Ap(R\

則對任意的事件比。，P(B)〉O,有尸(4]夕=——。.，/=1,2,…，n.

r\D)

6.均值(數(shù)學(xué)期望)：一般地，若離散型隨機(jī)變量4的分布列如表所示.

???

XiX2Xn

P6出???Pn

則均值(數(shù)學(xué)期望)￡(心=%n+x2p2+--+XnPn

均值性質(zhì)：若7=aX+b,則E{aX+6)=aE(X)+b

7.方差：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XXiX2Xn

p6???Pn

則方差D(X)=(必一￡(為)%+(此一￡(心)2P2+,,,+(XLE(X))2p?

標(biāo)準(zhǔn)差c(%=4西

隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨

機(jī)變量的取值越分散.

方差性質(zhì)

(1)D{aX+6)=aD(X)(2)D(X)=EW)-[E(X)]2

8.兩點分布：

若X的分布列如表所示

X01

p1-pp

稱X服從兩點分布或0-1分布.

兩點分布的均值：E(X)=P,兩點、分布方差D(X)=p(7-p)

9.二項分布

只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試臉獨立地重復(fù)進(jìn)行〃次所組成的隨

14

機(jī)試驗稱為“重伯努利試驗，〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則A的分布列為P(X=%)=C；p“l(fā)-py-k/=(),1,2,…

隨機(jī)變量X的具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X?B("，P).

二項分布的均值：E(X)=np,二項分布的方差：D(X)=np(l-p)

10.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X

「k「n-k

的分布列為P(X=k)

CN

其中=n,M,NeN"N,MWN,m—max{0,/?-+A/},

r=min{n,A/}.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

nM

超幾何分布的均值：E(X)=——

N

11.正態(tài)分布定義：

1

若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x)=----f=e2b2,xe/?,〃eR,cr〉0,

cr<2乃

則稱隨機(jī)變量X