九年級(jí)數(shù)學(xué)反比例函數(shù)測(cè)試題

反比例函數(shù)思維基礎(chǔ)知識(shí)是思維的基礎(chǔ)，通過下述練習(xí)，要掌握下述基礎(chǔ)知識(shí).1.（1）函數(shù)叫做反比例函數(shù)；它的圖象是.（2）反比例函數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)k0,圖象的兩個(gè)分支分別在象限，在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而，②k0，圖象的兩個(gè)分支分別在象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而.（3）k為何值時(shí)，是反比例函數(shù)，即k=.（4）反比例函數(shù)圖象在象限.2.（1）下列函數(shù)中，反比例函數(shù)是.A.B.C.D.（2）已知：（x1，y1）和（x2，y2）是雙曲線上兩點(diǎn)，當(dāng)x1x20時(shí)，y1與y2的大小關(guān)系是.A.y1=y2B.y1y2C.y1y2D.y1與y2（3）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)（3，-7），那么它一定還經(jīng)過點(diǎn).A.（3，7）B.（-3，-7）C.（-3，7）D.（2，-7）（4）若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則k的值是.A.0B.0或1C.0或2D.4學(xué)法指要【例】如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD為弦的弓形弧與AD相切于D，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，可以與B重合但不與A重合，DP交弓形弧于Q.求證：△CDQ∽△DPA；設(shè)DP=x，CQ=y，試寫出y關(guān)于自變量x的解析式，并求出x的取值范圍；當(dāng)DP之長是方程的一根時(shí)，求四邊形PBCQ的面積.【思路分析】根據(jù)題設(shè)找兩個(gè)三角形相似的條件，第一問迎刃而解，要求y與x之間關(guān)系，當(dāng)然要借助幾何知識(shí)建立關(guān)系，觀察圖形可知，y和x與三角形相似息息相關(guān)，三角形相似已證，由此又使思路溝通.第三問首先解一元二次方程，求出DP，進(jìn)一步可求出四邊形PBCQ的面積.【思考】（1）判定兩個(gè)三角形相似的條件是什么？本例中有沒有這樣的條件？解：由梯形的性質(zhì)，DC∥AB，可知∠CDQ=∠DPA.由弦切角的性質(zhì)可知，∠DCQ=∠PDA；故△CDQ∽△DPA.【思考】（2）函數(shù)關(guān)系怎么建立？首先從圖上看DP=x與CQ=y有什么關(guān)系？給定的已知條件與DP，CQ有什么關(guān)系？解：從圖形中不難分析出CQ，DP，DA，CD可轉(zhuǎn)化為兩相似三角形的對(duì)應(yīng)邊.即CQ∶DA=CD∶DP，y∶10=6∶x，∴.這里要求的是DP=x的取值范圍，DP的長短決定于什么？P點(diǎn)在什么范圍運(yùn)動(dòng)？觀察P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，P點(diǎn)到什么位置時(shí)，DP最長？P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，DP最短？∵動(dòng)點(diǎn)P可與B重合，也可與D在AB上的射影H重合，且D與線段AB上的點(diǎn)的連線中，以DB最長，DH最短.∴DH≤DP≤DB，即DH≤x≤DB.∵在 Rt△AHD中，可得，∴.∴.∴5≤x≤14.【思考】（3）四邊形PBCQ在圖形中占有什么位置？給定的一元二次方程與求四邊形PBCQ的面積有什么關(guān)系？解：用圖形分割法，從圖上不難看出，四邊形PBCQ=梯形ABCD-△DPA-△CDQ.現(xiàn)在看梯形ABCD的面積、△DPA的面積、△CDQ的面積能否求.S△DPA=AP·DH.由給定的中，求得DP=10.又AD=10，∠A=60°，∴△DPA是等邊三角形.即.∴.，由條件可知，△DCQ是等邊三角形，DC=DQ=CQ=6，∠DQC=60°，∴.，由已知條件可知，DC=6，AB=AP+PB=10+6=16，.這就不難求出.小結(jié)：從全題分析，由動(dòng)到靜，P點(diǎn)的移動(dòng)是關(guān)鍵.研究動(dòng)點(diǎn)要用靜態(tài)去分析，本例第3問的關(guān)鍵是由把P點(diǎn)定下來，才能有△ADP是等邊三角形△DCQ是等邊三角形四邊形PBCD是平行四邊形.反比例函數(shù)與相似三角形、四邊形、圓相結(jié)合為一體，又與一元二次方程水乳交融，這就給反比例蒙上神秘的色彩，給求反比例函數(shù)關(guān)系式設(shè)置了不少障礙.遇到這樣復(fù)雜的問題時(shí)，一要認(rèn)真剖析，把復(fù)雜化為簡單；二要發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的威力；三要集中“兵力”（即用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，聯(lián)想，類比，找到突破口），各個(gè)擊破，這樣便可把難題攻破，走出低谷.思維體操【擴(kuò)散1】【例】如圖，A，B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC∥y軸，BC∥x軸，△ABC的面積S，則.A.S=1B.1S2C.S=2D.S2【思考】1.關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？2.平行于x軸、y軸坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？3.如何用坐標(biāo)表示線段的長？【思路分析】在坐標(biāo)平面上怎樣求三角形的面積？解：應(yīng)用對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)分別找A，B，C各點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)（x0，y0），則B（-x0，-y0）.∵AC∥y軸，BC∥x軸，∴C（x0，-y0）.∴S△ABC∵點(diǎn)A（x0，y0）在函數(shù)的圖象上.∴，即x0y0=1.∴S△ABC=2，即S=2.∴應(yīng)選C.【擴(kuò)散2】如圖，Rt△AOB的頂點(diǎn)A在雙曲線，且S△AOB=3，求m的值.【思路分析】給定條件說明什么？如何利用S△AOB=3這一條件？設(shè)A（x,y），則，，求m，即求x·y.則由，求得：.∵點(diǎn)A（x，y）在雙曲線上，∵m0，∴m=6.【擴(kuò)散3】反比例函數(shù)（k0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，P為該圖象上任一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)△POQ的面積為S，則S與k之間的關(guān)系是（）.A.B.C.S=kD.Sk與擴(kuò)散2思路相仿，請(qǐng)讀者完成（答案B）.【擴(kuò)散4】已知點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2）都在反比例函數(shù)(k0)的圖象上，試比較矩形P1AOB和矩形P2COD的面積大小.【思路分析】在坐標(biāo)平面上怎樣求矩形的面積？應(yīng)用坐標(biāo)的特點(diǎn)找到矩形各頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用矩形面積公式，求得面積值進(jìn)行比較.，.∵點(diǎn)P1（x1，y1），P2(x2，y2)都在反比例函數(shù)（k0，x0）的圖象上.∴0（k0），即.【擴(kuò)散5】已知函數(shù)的圖象和兩條直線y=x，y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點(diǎn)，過P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1，P1R1，垂足分別為Q1，R1，過P2分別作x軸、y軸的垂線P2Q2，P2R2，垂足分別為Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周長，并比較它們的大小.【思路分析】解本例的關(guān)鍵是什么，求矩形周長應(yīng)先確定哪幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)？本例的關(guān)鍵是求出P1，P2的坐標(biāo)，要求P1，P2兩點(diǎn)坐標(biāo)就要利用y=x，y=2x和.設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）.∵P1，P2分別為y=x，y=2x與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，∴.∴矩形OQ1P1R1的周長=2（2+2）=8.同理：.∴矩形OQ2P2R2的周長.則6×1.48.即矩形OQ2P2R2的周長大于矩形OQ1P1R1的周長.【擴(kuò)散6】如圖，面積為3的矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，另3個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則k=.【思路分析】解本例的關(guān)鍵是什么？怎樣求B點(diǎn)坐標(biāo)？從圖象和已知條件可知解本例關(guān)鍵是求出B點(diǎn)坐標(biāo).求B點(diǎn)坐標(biāo)要利用矩形面積等于3這一條件.設(shè)B（x，y），則..∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴（k0）.∴（k0）.∴k=-3.小結(jié)：從擴(kuò)散1～6可知，對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，點(diǎn)與圖象之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵，無論求面積或用面積求系數(shù)k，變化求周長等，都利用了這些基礎(chǔ)知識(shí)，抓住它，再結(jié)合面積公式、周長公式等，問題迎刃而解.本例命題改變的思維擴(kuò)散，目的就是靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)去解決問題.錯(cuò)例剖析有m部同樣的機(jī)器一齊工作，需要m小時(shí)完成一項(xiàng)任務(wù).設(shè)由x部機(jī)器（x為不大于m的正整數(shù)）完成同一任務(wù)，求所需時(shí)間y（小時(shí)）與機(jī)器的總數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式.畫出所求函數(shù)當(dāng)m=4時(shí)的圖象.解：（1）一部機(jī)器一小時(shí)能完成這項(xiàng)任務(wù)的，則x部機(jī)器一個(gè)小時(shí)能完成這項(xiàng)任務(wù)的，x部機(jī)器完成這項(xiàng)任務(wù)所需時(shí)間（小時(shí)），即（x為不大于m的正整數(shù)）.(2)當(dāng)m=4時(shí)，即（x為不大于4的正整數(shù)）.X…1234…y…1685.34…錯(cuò)因剖析本例在求解過程中，思路清晰、準(zhǔn)確地求出解析式，并嚴(yán)格按照畫圖象的步驟進(jìn)行（列表、描點(diǎn)、連線）.由于知識(shí)學(xué)得死，又不能考慮實(shí)際情況，因此在畫圖象時(shí)三次出現(xiàn)錯(cuò)誤：列表不能用省略號(hào).因x是小于等于4的正整數(shù).（2）不能用平滑的曲線連線.因?yàn)闄C(jī)器必須是完整的，即用正整數(shù)表示，所以圖象是正整數(shù)點(diǎn).（3）圖象向兩方無限延伸也是錯(cuò)誤的，即使能延伸，只是點(diǎn)延伸，也不能曲線延伸，何況自變量x是不大于4的正整數(shù)，