《三角函數(shù)的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

第五章三角函數(shù)

《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1》5.7節(jié)三角函數(shù)的

應(yīng)用，在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí).本節(jié)教材通過例題,循

序漸進(jìn)地介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用，在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新

穎性，同時(shí)又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)（特別是周期性）的應(yīng)用.培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)

學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)解決問題的能力.培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、

抽象概括等能力.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推

理的核心素養(yǎng)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

1.掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步a.數(shù)學(xué)抽象：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)

驟：（1）根據(jù)圖象建立解析式；（2）根據(jù)問題；

解析式作出圖象；⑶將實(shí)際問題抽象b.邏輯推理：運(yùn)用三角函數(shù)解決問題；

為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型.C.數(shù)學(xué)運(yùn)算：三角函數(shù)的恒等變換；

2.選擇合理三角函數(shù)模型解決實(shí)際問d.直觀想象：由圖像求函數(shù)關(guān)系式；

題，注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)e.數(shù)學(xué)建模：由實(shí)際問題建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)

學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助模型；

理解問題。f.數(shù)據(jù)分析：有采集的數(shù)據(jù)分析獲得函數(shù)

3.身感受數(shù)學(xué)建模的全過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型

在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用及數(shù)

學(xué)和日常生活和其它學(xué)科的聯(lián)系。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建

立三角函數(shù)模型，用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn):將某些實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)的模型，并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)

來解決問題.

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖

（-）創(chuàng)設(shè)問題情境

提出問題通過開門

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期見山，提出問

運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可題，讓學(xué)生體

以考慮借助三角函數(shù)來描述.本節(jié)通過幾個(gè)具體實(shí)例，說明三會(huì)由實(shí)際問題

角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.建立三角函數(shù)

典例解析模型的過程，

問題1某個(gè)彈簧振子（簡稱振子）在完成一次全振動(dòng)的培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)

過程中，時(shí)間t（單位:s）與位移y（單位:mm）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)

據(jù)如表5.7.1所示.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于抽象、直觀想

時(shí)間的函數(shù)解析式.象的核心素

養(yǎng)。

表5.7I

0.()00.05.1.1.0.2()0.250.300.350.100.150.55

y—20.0-17.8-10.10.110.317.717.71.0.1-10.1-17.8

請(qǐng)你查閱資料，了解振子的運(yùn)動(dòng)原理.

振子的振動(dòng)具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，由振子振動(dòng)的物理學(xué)原

理可知，其位移泥隨時(shí)間標(biāo)的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin

（3t+6）來刻畫.根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖5.7.1所

示.

y

22-

18-???

14二

10:??

6-

9Z0.050.150.250.350.450.550.65

-三p0.10.2030.40.506"

-6-

-10??

-14二

-18-??

?-?

-22-

圖5.71

由數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖可知，振子振動(dòng)時(shí)位移的最大值為20mm,

因此A=20；振子振動(dòng)的周期為0.6s,即生=0.6解得3=當(dāng)；

33

再由初始狀態(tài)（t=0）振子的位移為-20,可得sine=-1,

因此所以振子位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式為y=20sin

（等t-]）te[0,+0°）.

歸納總結(jié)

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量類似彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，如鐘擺的擺動(dòng),

水中浮標(biāo)的上下浮動(dòng)，琴弦的振動(dòng)，等等.這些都是物體在某

一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運(yùn)動(dòng).在物理學(xué)中，把物體受到的

力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)

稱為“簡諧運(yùn)動(dòng)”.可以證明，在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧

運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)y=Asin（wx+<1>）,xG[0,+°°）表示，其

中A>0,3>0.描述簡諧運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻

率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：

A就是這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平

衡位置的最大距離；這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是丁=變，它是做簡諧

運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間；這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率

由公式f=沖/給出，它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往

復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；3x+6稱為相位；x=0時(shí)的相位6稱為初相.

問題2如圖5.7.2（1）所示的是某次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的交變電

流i（單位：A）隨時(shí)間t標(biāo)（單位：s）變化的圖象.將測(cè)得

的圖象放大，得到圖5.7.2(2).

(1)求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)t=。，焉，高高，2時(shí)，求電流I

請(qǐng)你查閱資料，了解交變電流的產(chǎn)生原理.

i

riiiiiiI(111IhII1An

-I1Ir\

fj\A/

LU-

-1-12345?789中產(chǎn)4,0\o.bl~0.02~1003/004~~7

二;

:一一1f1VV

1)(2)

圖5.7-2

通過對(duì)典

由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可

型問題的分析

(wt+4))來刻

解決，發(fā)展學(xué)

畫，其中?表示頻率，A表示振幅，小表示初相.

2TC生數(shù)學(xué)建模、

由圖5.7.2(2)可知，電流最大值為5A,因此A=5；電邏輯推理，直

流變化的周期為4,頻率為50Hz即巴=50,解得3=觀想象、數(shù)學(xué)

27r

抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)

100n；再由初始狀態(tài)(t=0)的電流約為4.33A,可得

算等核心素

sin4)=0.866,因此“約為9

3

養(yǎng)；

所以電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式是：i=5sin

(100^),te[10ft+8).當(dāng)t嗑時(shí),i=5;當(dāng)t喘時(shí),i=0；

當(dāng)t喘時(shí)，，=-5;當(dāng)t=時(shí)，i=

OU0；

三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1.如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列結(jié)論正通過練習(xí)

確的是()鞏固本節(jié)所學(xué)

知識(shí)，鞏固運(yùn)

用三角函數(shù)分

析實(shí)際問題的

能力，增強(qiáng)學(xué)

生的直觀想

象、數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏

輯推理的核心

A.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.7s素養(yǎng)。

B.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.Is和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度最大

D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零

【解析】由題圖可知，該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm.

【答案】B

2.與圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是()

A.y=|sin^rlB.y=sin|x\

C.y=—sin!D.y=—|sin^r

【解析】注意題圖所對(duì)的函數(shù)值正負(fù)，因此可排除選項(xiàng)A,

D.當(dāng)xG(0,“)時(shí)，sin|x|〉0,而圖中顯然是小于零，因此排

除選項(xiàng)B,故選C.

【答案】C

3.車流量被定義為單位時(shí)間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，單

位為輛/分，上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)=50

+4sin/(0WfW20)給出，尸(。的單位是輛/分，￡的單位是分，

則下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)車流量是增加的()

A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]

3t155

【解析】當(dāng)10WtW15時(shí)，nJT,此時(shí)

尸（Z）=50+4si就是增函數(shù)，即車流量在增加.故應(yīng)選C.

【答案】C

4.在電流強(qiáng)度/與時(shí)間t的關(guān)系/=4sin（3x+0）（冷0,

。＞0）中，要使匕在任意在秒的時(shí)間內(nèi)電流強(qiáng)度/能取得最大

值/與最小值一出求正整數(shù)3的最小值.

【解】由題意得：7^即紅，32200兀，

IUU3IUU

...正整數(shù)3的最小值為629.

5.某港口的水深y（m）是時(shí)間M0WCW24,單位：h）的函數(shù),

下面是有關(guān)時(shí)間與水深的數(shù)據(jù)：

t(h)03691215182124

9.77.

y(m)10.013.010.013.010.110.0

90

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近

似地看成正弦型函數(shù)y=/sin3￡+6的圖象.

（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y=4sin3-+8的表達(dá)式；

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于

4.5m時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為

7m,那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全

離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間（忽略進(jìn)出港

所用的時(shí)間）？

【解】（1）從擬合曲線可知：函數(shù)y=4sin口亡+8在一個(gè)

周期內(nèi)由最大變到最小需9—3=6（h）,此為半個(gè)周期，，函數(shù)

2Jin

的最小正周期為12h,因此一12,s—c.又.當(dāng)t—0時(shí)，y

3O

=10；當(dāng)亡=3時(shí)，加=13,

.,.8=10,4=13—10=3,.,.所求函數(shù)的表達(dá)式為y=3sin—

0

-+10(0WV24).

(2)由于船的吃水深度為7m,船底與海底的距離不少于

4.5m,故在船舶航行時(shí)，水深y應(yīng)大于或等于7+4.5=

11.5(m).令y=3sin—10^11.5,

6

JI1JIJI5兀

可得sincf》。，..2A「+°W)十"；(AWZ),

62666

124+1W022+5(MZ).

取A=0,則1WK5,取A=l,則13WK17；

而取衣=2時(shí)，25WtW29(不合題意，舍).

從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長，就應(yīng)從

凌晨1時(shí)(1時(shí)到5時(shí)都可以)進(jìn)港，而下午的17時(shí)(即13時(shí)到

17時(shí)之間)離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長為16h.

四、小結(jié)學(xué)生根據(jù)

解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：課堂學(xué)習(xí)，自

(D審清題意；主總結(jié)知識(shí)要

(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；點(diǎn)，及運(yùn)用的

(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；思想方法。注

(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論.意總結(jié)自己在

五、作業(yè)學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)

L課時(shí)練2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容

/占、、、??

《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會(huì)用三角函數(shù)模

型解決一些簡單的實(shí)際問題.

2.實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立三

角函數(shù)模型，用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題.

難點(diǎn)：將某些實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)的模型,并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來解

決問題.

【知識(shí)梳理】

1、三角函數(shù)可以作為描述現(xiàn)實(shí)世界中現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型.

2、y=lsinx|是以為周期的波浪型曲線.

【學(xué)習(xí)過程】

提出問題

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，如

果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述.本節(jié)通

過幾個(gè)具體實(shí)例，說明三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.

典例解析

問題1某個(gè)彈簧振子（簡稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t（單

位:s）與位移y（單位:mm）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表5.7.1所示.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確

定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式.

表5.7I

t（）.（）（）0.050.10.1.0.250.300.100.60

y—20.017.81().10.110.317.720.017.71…；0.11.1-17.8—20.0

請(qǐng)你查閱資料，了解振子的運(yùn)動(dòng)原理.

歸納總結(jié)

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量類似彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，如鐘擺的擺動(dòng)，水中浮標(biāo)

的上下浮動(dòng)，琴弦的振動(dòng)，等等.這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的

運(yùn)動(dòng).在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位

置的距離的運(yùn)動(dòng)稱為“簡諧運(yùn)動(dòng)可以證明，在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧運(yùn)動(dòng)

可以用函數(shù)y=Asin（wx+（p）,xG[0,+oo）

表示，其中A>0,co>0.描述簡諧運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻

率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：

A就是這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距

離；這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是丁=紅，它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要

CO

的時(shí)間；這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式f=3=為給出，它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體在

單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；3X+（p稱為相位；X=0時(shí)的相位（p稱為初相.

問題2如圖5.7.2（1）所示的是某次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的交變電流i（單位：A）

隨時(shí)間t派（單位：s）變化的圖象.將測(cè)得的圖象放大，得到圖5.7.2（2）.

（1）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；

2）當(dāng)t=。，磊春高/時(shí)，求電流i.

請(qǐng)你查閱資料，了解交變電流的產(chǎn)生原理.

(1)(2)

圖5.7-2

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()

A.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.7s

B.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度最大

D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零

2.與圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是()

川

-2TT-價(jià)、2*nr鳧

A.y=Jsinx|B.y=sin\x\

C.—sin\x\D.y=一|sinx|

3.車流量被定義為單位時(shí)間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，單位為輛/分，上班

高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)尸⑺=50+4siig(0/20)給出，F(xiàn)⑺的單位是輛

/分，f的單位是分，則下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)車流量是增加的()

A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]

4.在電流強(qiáng)度/與時(shí)間，的關(guān)系/=Asin(s+s)(A>0,①>0)中，要使「在任

意志秒的時(shí)間內(nèi)電流強(qiáng)度/能取得最大值A(chǔ)與最小值一A,求正整數(shù)⑦的最小

值.

5.某港口的水深y(m)是時(shí)間/(0WE24,單位：h)的函數(shù)，下面是有關(guān)時(shí)間與

水深的數(shù)據(jù)：

7(h)~63~~69~~~12~~1518~21~24~

>(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦型函

數(shù)y=Asinojt+b的圖象.

(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y=Asin函+b的表達(dá)式；

(2)一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的,

如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,那么該船在什么時(shí)間段能夠安

全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間

(忽略進(jìn)出港所用的時(shí)間)？

【課堂小結(jié)】

解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審清題意；

(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；

(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；

(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論.

參考答案：

學(xué)習(xí)過程

問題1振子的振動(dòng)具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，由振子振動(dòng)的物理學(xué)原理可知，

其位移泥隨時(shí)間而的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin(cot+(p)來刻畫.根據(jù)已知數(shù)

據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖571所示.

22-

18-?*?

14:

10二??

6二

2：0.050.150.250.350.450.550.65

-0.10.20.30.40.50.6/

-6-

-10??

-14-

-18-??

＜-?

-22-

圖5.71

由數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖可知，振子振動(dòng)時(shí)位移的最大值為20nm1,因此A=

20；振子振動(dòng)的周期為0.6s，即生=0.6解得(0=學(xué)；再由初始狀態(tài)(t=0)

振子的位移為-20,可得simp=-l,因此＜p=-y.所以振子位移關(guān)于時(shí)間的函

數(shù)解析式為y=20sin(等t-y)t《[0,+oo).

問題2由圖572(2)可知，電流最大值為5A,因此A=5；電流變化的周

期為,頻率為50Hz,即？=50,解得3=100兀；再由初始狀態(tài)(t=0)

5U27r

的電流約為4.33A,可得simp=0.866,因此邛約為全

所以電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式是:i=5sin(100兀t+g),t￡[100,+oo).

當(dāng)t臉時(shí)，"5；當(dāng)t端時(shí)，:。；

當(dāng)t喘時(shí)，?=一5；當(dāng)t磊時(shí)，i=0;

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【解析】由題圖可知，該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm.

【答案】B

2?【解析】注意題圖所對(duì)的函數(shù)值正負(fù)，因此可排除選項(xiàng)A,D.當(dāng)xG(0,

兀)時(shí)，sin|x|＞0,而圖中顯然是小于零，因此排除選項(xiàng)B,故選C.

【答案】C

3.【解析】當(dāng)10S/15時(shí)，有玄＜5^(3號(hào)＜|無，止匕時(shí)F(r)=50+4sig是增函

數(shù)，即車流量在增加.故應(yīng)選C.

【答案】C

IG1

4.【解】由題意得：勺而，即,可而，，。三200兀，.?.正整數(shù)co的最

小值為629.

5.【解】(1)從擬合曲線可知：函數(shù)y=Asin在+b在一個(gè)周期內(nèi)由最大變

2兀

到最小需9—3=6(h),此為半個(gè)周期，，函數(shù)的最小正周期為12h,因此了=12,

兀

乂?:當(dāng)，=0時(shí)，y=10；當(dāng)，=3時(shí)，ymax=13,

.\b=10,4=13—10=3,

，所求函數(shù)的表達(dá)式為y=3sin1r+10(0</<24).

(2)由于船的吃水深度為7m,船底與海底的距離不少于4.5m,故在船舶航

行時(shí)，水深y應(yīng)大于或等于7+4.5=11.5(m).令y=3sin*+10三11.5,

兀171715兀

可得sinzF，<_-

o~2o~.b,.2—E+ToZZ<2E+2(ZWZ),

：.l2k+l<t<nk+5(kBZ).

取2=0,則氏5,取女=1,則13/17；

而?。?2時(shí)，25S/29(不合題意，舍).

從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長，就應(yīng)從凌晨1時(shí)(1時(shí)到5

時(shí)都可以)進(jìn)港，而下午的17時(shí)(即13時(shí)到17時(shí)之間)離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間

最長為16h.

《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用》同步練習(xí)一

基礎(chǔ)鞏固

1.電流1(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系式為I=3sinlOOnt,te[0,+8),則電流I

變化的周期是()

A.—B.50C.-D.100

50100

2.如圖所示的是一個(gè)單擺，以平衡位置0A為始邊、OB為終邊的角9(-n<9<n)

與時(shí)間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系式。工行（21+2）,則當(dāng)1=0時(shí),角0的大小及單

2\2

擺的頻率是（）

1

C.nD.2,n

271'1T2

3.如圖所示為一簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象,則下列判斷正確的是（）

pr/cm

A.該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7s

B.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為-5cm

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的振動(dòng)速度最大

D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為零

4.交流電的電動(dòng)勢(shì)E與時(shí)間t的關(guān)系為E=220sin（100lTt+則下列判斷正

確的是（）

A.電動(dòng)勢(shì)的最大值為110\「2

B.電動(dòng)勢(shì)的最小正周期為上

50

C.電動(dòng)勢(shì)的初相位為100加

D.電動(dòng)勢(shì)等于0時(shí)，時(shí)間t的值為0.0175

n

5.一種波的波形為函數(shù)y=-sin-x的圖象，若其在區(qū)間［0,t］上至少有2個(gè)波峰

2

（圖象的最高點(diǎn)），則正整數(shù)t的最小值是（)

A.5B.6C.7D.8

6.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，位移x與時(shí)間t的關(guān)系為x=20cos(3t+：),則

這個(gè)物體的位移的最小正周期為.

7.一彈簧振子的位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為y=Asin(31+6)(A>0,3>0),若

彈簧振子運(yùn)動(dòng)的振幅為3,周期為紅,初相為二則這個(gè)函數(shù)的解析式為______.

76―

8.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件的出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)=

Asin(3x+e)+B(A>0,3>0,⑷〈，的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高

價(jià)9千元,9月份價(jià)格最低為5千元.根據(jù)以上條件求f(x)的解析式.

能力提升

9.穩(wěn)定房價(jià)是我國實(shí)施宏觀調(diào)控的重點(diǎn)，國家出臺(tái)的一系列政策已對(duì)各地的房地

產(chǎn)市場(chǎng)產(chǎn)生了影響，某市房地產(chǎn)中介對(duì)本市一樓盤的房價(jià)做了統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè)：發(fā)現(xiàn)

每個(gè)季度的平均單價(jià)y(每平方米的價(jià)格，單位：元)與第x季度之間近似滿

足：y=500sin(3x+④)+9500(3>0),已知第一、二季度平均單價(jià)如表所示：

X123

y100009500?

則此樓盤在第三季度的平均單價(jià)大約是()

A.10000元B.9500元

C.9000元D.8500元

10.某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式f(t)=24sin160nt+110,其中,f(t)為血壓,t為

時(shí)間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)是.

11.如圖所示,一個(gè)摩天輪半徑為10m,輪子的底部在地面上2m處，如果此摩天

輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),每30s轉(zhuǎn)一圈,且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處(點(diǎn)P與摩天輪中

心高度相同)時(shí)開始計(jì)時(shí).

(1)求此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式.

(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，約有多長時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不小于17m.

素養(yǎng)達(dá)成

12.如圖，一只螞蟻繞一個(gè)豎直放置的圓環(huán)逆時(shí)針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為8

cm,圓環(huán)的圓心0距離地面的高度為10m,螞蟻每12分鐘爬行一圈，若螞蟻的起

始位置在最低點(diǎn)P。處.

⑴試確定在時(shí)刻t(min)時(shí)螞蟻距離地面的高度h(m).

⑵在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間螞蟻距離地面超過14m?

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用答案解析

基礎(chǔ)鞏固

1.電流1(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系式為I=3sin100nt,te[0,+8),則電流I

變化的周期是()

A.—B.50C.---D.100

50100

【答案】A

【解析】選A.1=@=-2，.=2_.

31001T50

2.如圖所示的是一個(gè)單擺，以平衡位置0A為始邊、0B為終邊的角0(-加<0<“)

與時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式e=1sin(2t+；),則當(dāng)t=0時(shí),角0的大小及單

擺的頻率是()

B.21-D.2,n

【答案】A

【解析】選A.當(dāng)t=0時(shí)，03sinU=3由函數(shù)解析式易知單擺的周期為空=n,故

2222

單擺的頻率為一.

3.如圖所示為一簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是

0.1O.k0.5yo.7l/s

A.該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7s

B.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為-5cm

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的振動(dòng)速度最大

D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為零

【答案】D

【解析】選D.該質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)周期為0.8s,振幅為5cm,故A,B錯(cuò)誤.該質(zhì)點(diǎn)在

0.1s和0.5s時(shí)的速度為零,故C錯(cuò)誤.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為

零，故D正確.

4.交流電的電動(dòng)勢(shì)E與時(shí)間t的關(guān)系為E=220sin(100lTt+-1則下列判斷正

確的是(

A.電動(dòng)勢(shì)的最大值為110\,2

B.電動(dòng)勢(shì)的最小正周期為全

C.電動(dòng)勢(shì)的初相位為100”

D.電動(dòng)勢(shì)等于0時(shí)，時(shí)間t的值為0.0175

【答案】B

【解析】選B.因?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)的最大值為220,所以A錯(cuò)誤，因?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)的最小正周期

為T=-^-=—,所以B正確，因?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)的初相位為100nX0+工二所以C錯(cuò)誤,

lOOn5044

因?yàn)楫?dāng)220sinlOOnt+-=0時(shí)，t=——,kGZ,所以D錯(cuò)誤.

\4/400

5.一種波的波形為函數(shù)y=-sin-x的圖象，若其在區(qū)間［0,t］上至少有2個(gè)波峰

2

（圖象的最高點(diǎn)），則正整數(shù)t的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】選C.函數(shù)y=-sin-x的周期T=4且x=3時(shí)y=l取得最大值，因此t27.

2

6.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，位移x與時(shí)間t的關(guān)系為x=20cos（3t+；）,則

這個(gè)物體的位移的最小正周期為.

【答案】-n

3

【解析】因?yàn)檎倚秃瘮?shù)y=Asin（3x+6）或余弦型函數(shù)y=Acos（3x+e）的最小

正周期都是"，所以丁=2.

33

7.一彈簧振子的位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為丫=^5笳（31+6）口>0,3>0）,若

彈簧振子運(yùn)動(dòng)的振幅為3,周期為巴，初相為2,則這個(gè)函數(shù)的解析式為

76

【答案】y=3sin（7t+

【解析】由題意得A=3,T§吟,則3專=7,故所求函數(shù)解析式為y=3sin

8.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件的出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)=

Asin(3x+e)+B(A>0,3>0,的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高

價(jià)9千元,9月份價(jià)格最低為5千元.根據(jù)以上條件求f(x)的解析式.

【答案】函數(shù)解析式f(x)=2sin-x+7.

27rn

【解析】由題意得T=2X(9-3)=12,故3=〒(

八算大值-最小值二二9+5

=2加h=7,

22

H71

又f⑶=9,故一X3+f即6=0,

62

所以函數(shù)解析式f(x)=2sin/+7.

能力提升

9.穩(wěn)定房價(jià)是我國實(shí)施宏觀調(diào)控的重點(diǎn)，國家出臺(tái)的一系列政策已對(duì)各地的房地

產(chǎn)市場(chǎng)產(chǎn)生了影響，某市房地產(chǎn)中介對(duì)本市一樓盤的房價(jià)做了統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè)：發(fā)現(xiàn)

每個(gè)季度的平均單價(jià)y(每平方米的價(jià)格，單位：元)與第x季度之間近似滿

足：y=500sin(3x+6)+9500(3>0),已知第一、二季度平均單價(jià)如表所示：

X123

y1000095009

則此樓盤在第三季度的平均單價(jià)大約是()

A.10000元B.9500元

C.9000元D.8500元

【答案】c

【解析】選C.因?yàn)閥=500sin(3x+6)+9500(?>0),

所以當(dāng)x=l時(shí),500sin(3+4>)+9500=10000;

當(dāng)x=2時(shí),500sin(23+6)+9500=9500,

3IT

所以3可取一，6可取JT,

2

即y=500sin(yX+TT)+9500.

當(dāng)x=3時(shí),y=9000.

10.某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式f(t)=24sin160nt+H0,其中，f(t)為血壓,t為

時(shí)間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)是.

【答案】80.

【解析】因?yàn)槎∫骷嗡源巳嗣糠昼娦奶拇螖?shù)為年8。.

11.如圖所示，一個(gè)摩天輪半徑為10m,輪子的底部在地面上2m處，如果此摩天

輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),每30s轉(zhuǎn)一圈,且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處(點(diǎn)P與摩天輪中

心高度相同)時(shí)開始計(jì)時(shí).

(1)求此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式.

(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，約有多長時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不小于17m.

n

【答案】(1)h=10sin—t+12(t^0).

15

⑵此人有10s相對(duì)于地面的高度不小于17m.

【解析】(1)設(shè)在ts時(shí)，摩天輪上某人在高h(yuǎn)m處.這時(shí)此人所轉(zhuǎn)過的角度為生

30

故在ts時(shí),此人相對(duì)于地面的高度為h=10sinEt+12(t20).

,、，nn1,525

(2)由lOsin—1+12217,得sin—t》一,貝卜WtW—.

1515222

故此人有10s相對(duì)于地面的高度不小于17m.

素養(yǎng)達(dá)成

12.如圖，一只螞蟻繞一個(gè)豎直放置的圓環(huán)逆時(shí)針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為8

cm,圓環(huán)的圓心0距離地面的高度為10m,螞蟻每12分鐘爬行一圈，若螞蟻的起

始位置在最低點(diǎn)P。處.

(1)試確定在時(shí)刻t(min)時(shí)螞蟻距離地面的高度h(m).

(2)在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間螞蟻距離地面超過14m?

【答案】(l)h=10-8cos-t(t>0).(2)有4分鐘時(shí)間螞蟻距離地面超過14m.

6

【解析】⑴設(shè)在時(shí)刻t(min)時(shí)螞蟻達(dá)到點(diǎn)P,由。P在t分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為§

t=-t,

6

可知以O(shè)x為始邊，。P為終邊的角為,4則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8sin

/n3\n

I—tx+-IT)+10=10-8cos—t,

\62J6

所以h=10-8cos—t(t^O).

6

,nn12；；

(2)h=10-8cos—t14=>cos—t一一=—Ji+2knWtW五+2k冗(kEZ).

6623LI

因?yàn)樗芯康膯栴}在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，故不妨令te[0,12],所以

44W8.

所以在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有4分鐘時(shí)間螞蟻距離地面超過14m.

《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用》同步練習(xí)二

一、選擇題

1.一根長/cm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位

置的位移s（cm）與時(shí)間[s）的函數(shù)關(guān)系式是s=3cos[J0+m]，其中g(shù)是重力

加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1s時(shí)，線長/等于（）

A.—cmB.—cmC.與cmD.cm

兀2nit"4n'

2.如圖，設(shè)點(diǎn)力是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從力出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)尸所轉(zhuǎn)過的弧的長為弦/尸的長為d,則"=〃/）的圖象大致是

（）

3.某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式/（f）=24sinl60m+110,其中，/⑺為血壓，t

為時(shí)間（單位：分鐘），則此人每分鐘心跳的次數(shù)是（）

A.60B.70C.8（）D.90

4.夏季來臨，人們注意避暑.如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化

曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin（5+°）+8,則該市這一天中午12時(shí)

天氣的溫度大約是（）

C.27℃D.28℃

5.一半徑為10的水輪，水輪的圓心到水面的距離為7,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4

圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y與時(shí)間x（秒）滿足函數(shù)關(guān)系式

y=Asin(5+0)+7,則()

15

A.(y=—,A=10B.co——，A=10

152兀

15

C.co=—,A=17D.CD=--,A=17

152兀

6.車流量被定義為單位時(shí)間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，單位為輛/分，上班高

峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F（t）=50+4siny（其中/eR0〈tW20）給出，

F（t）的單位是輛/分，t的單位是分，則在下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)車流量是增加的

()

A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]

二、填空題

5sin(100/rf+y

7.電流/（A）隨時(shí)間小）變化的關(guān)系式是/=，則當(dāng)f=」-s時(shí),

200

電流/為

3

8.振動(dòng)量尸0sin（3X+。）（3〉0）的初相和頻率分別是一Ji和萬，則它的

相位是，

9.如圖，是彈簧振子做簡諧振動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)

的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是

10.某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心的距離為5cm,秒針勻速繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)間，=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)重合，將A、6兩點(diǎn)間的距離d(cm)表

示成r(s)的函數(shù)，則。=cm,其中rw[0,60].

三、解答題

11.如圖所示為一個(gè)觀覽車示意圖，該觀覽車半徑為4.8m,圓上最低點(diǎn)與地面

距離為().8m,6()秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中。4與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)

動(dòng)。角到OB,設(shè)6點(diǎn)與地面距離為〃.

(1)求〃與。間關(guān)系的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過，秒到達(dá)08,求〃與/間關(guān)系的函數(shù)解析式.

12.某房地產(chǎn)開發(fā)商為吸引更多消費(fèi)者購房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建

一個(gè)花園.如圖，已知扇形祖處的圓心角//加=：,半徑為R.現(xiàn)欲修建的花園為。

0MNH,其中M,〃分別在0A,加上,/V在矗上.設(shè)乙比2口〃蛆〃的面積為S.

(1)將S表示為關(guān)于0的函數(shù)；

(2)求S的最大值及相應(yīng)的。值.

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用答案解析

一、選擇題

1.--根長/cm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位

置的位移s(cm)與時(shí)間r(s)的函數(shù)關(guān)系式是s=3cosJf+1,其中g(shù)是重力

加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1s時(shí)，線長/等于(

A.—cmC.鼻cmD.cm

年

【答案】D

2.如圖，設(shè)點(diǎn)/是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從/出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)尸所轉(zhuǎn)過的弧力尸的長為/,弦力尸的長為d,則“=〃/)的圖象大致是

()

【答案】C

【解析】由題意得：d=/(/)=2sing結(jié)合圖象知應(yīng)該選C.

3.某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式/⑺=24sinl60m+ll(),其中，/⑺為血壓，t

為時(shí)間(單位：分鐘)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)是()

【答案】C

：T=--

4.夏季來臨，人們注意避暑.如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化

曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin(a)x+0)+3,則