2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（安徽專用）專題06 解答題壓軸題二次函數(shù)（二）（含解析）

PAGE專題06解答題壓軸題（二次函數(shù)（二））通用的解題思路：一、利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積及最值1、根據(jù)已知條件得出拋物線解析式；2、根據(jù)解析式，用公式法或配方法求出最值及取得最值時(shí)自變量的值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)、二、實(shí)際問題與拋物線1、從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型；2、數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題，需要注意自變量的取值范圍要使實(shí)際情況有意義。1．（2022·安徽·中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段P1P2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m0<m≤6，求柵欄總長(zhǎng)l與m（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)P【答案】(1)y＝?16x(2)（?。﹍＝?12m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：最大面積27，?30＋9≤P1橫坐標(biāo)≤30；方案二：最大面積814SKIPIF1<0＋92≤P1橫坐標(biāo)≤【分析】（1）通過分析A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）（ⅰ）結(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標(biāo)為（m，－16m2（ⅱ）設(shè)P2P1＝n，分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值，從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍．【詳解】（1）由題意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋8，將A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝?1∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝?16x（2）（?。唿c(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上，∴P2的坐標(biāo)為（m，?16m∴P1P2＝P3P4＝MN＝?16m2＋8，P2P3＝2∴l(xiāng)＝3（?16m2＋8）＋2m＝?12m2＋2m＋24＝?1∵?1∴當(dāng)m＝2時(shí)，l有最大值為26，即柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l＝?12m2＋2m＋24，（ⅱ）方案一：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面積為（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴當(dāng)n＝3時(shí)，矩形面積有最大值為27，此時(shí)P2P1＝3，P2P3＝9，令?16x解得：x＝±30∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為?30＋9≤P1橫坐標(biāo)≤30方案二：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面積為（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－92）2＋81∵－1＜0，∴當(dāng)n＝92時(shí)，矩形面積有最大值為81此時(shí)P2P1＝92，P2P3＝9令?16x2＋8＝解得：x＝±21∴此時(shí)P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為SKIPIF1<0＋92≤P1橫坐標(biāo)≤21．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識(shí)圖，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．2．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨OA，OB的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，OA，OB關(guān)于y軸對(duì)稱．OC=1分米，點(diǎn)A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)分別延長(zhǎng)AO，BO交拋物線于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S1，將拋物線向右平移mm>0個(gè)單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為SKIPIF1<0．若S2=35S【答案】(1)y=?0.1x(2)10(3)2或4；【分析】（1）根據(jù)題意得到SKIPIF1<0，A(2,0.6)，B(?2,0.6)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x??)2+k代入求解即可得到答案；（2）分別求出AO，BO所在直線的解析式，求出與拋物線的交點(diǎn)F，E即可得到答案；（3）求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到S1，表示出新拋物線找到交點(diǎn)得到SKIPIF1<0，根據(jù)面積公式列方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x??)SKIPIF1<0，A(2,0.6)，B(?2,0.6)，∴?=0，k=1，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入所設(shè)解析式中得：4a+1=0.6，解得：a=?0.1，∴y=?0.1x（2）解：設(shè)AO的解析式為：y=k1x，BO分別將A(2,0.6)，B(?2,0.6)代入y=k2k1=0.6解得：k1=0.3，∴AO的解析式為：y=0.3x，BO的解析式為：y=?0.3x，聯(lián)立直線解析式與拋物線得：0.3x=?0.1x解得x1同理，解?0.3x=?0.1x2+1∴F(?5,?1.5)，E(5,?1.5)，∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為：5?(?5)=10；（3）解：當(dāng)y=0時(shí)，?0.1x解得：SKIPIF1<0，∴S1∵拋物線向右平移mm>0∴y=?0.1(x?m)當(dāng)x=0時(shí)，y=?0.1m當(dāng)y=0時(shí)，?0.1(x?m)2+1=0∴S2∵S2∴35解得：m1=2，SKIPIF1<0（不符合題意舍去），m3=4，m4綜上所述：m等于2或4；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法及平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．1．（2024·安徽合肥·二模）如圖（1）是一個(gè)高腳杯的截面圖，杯體CPD呈拋物線形（杯體厚度不計(jì)），杯底AB=23cm，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，OP=CD=6cm，杯子的高度（即CD，AB之間的距離）為15cm，AB所在直線為x軸，OP所在直線為(1)求杯體CPD所在拋物線的解析式；(2)將杯子向右平移2cm，并倒?jié)M飲料，杯體CPD與y軸交于點(diǎn)E（圖2），過D點(diǎn)放一根吸管，吸管底部碰觸到杯壁后不再移動(dòng)，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)E，設(shè)吸管所在直線的解析式為SKIPIF1<0，求k的取值范圍；(3)將放在水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，液面恰好到達(dá)點(diǎn)D處（DQ∥l），如圖3．①請(qǐng)你以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系；②請(qǐng)直接寫出此時(shí)杯子內(nèi)液體的最大深度．【答案】(1)y=(2)1<k<5(3)①M(fèi)0,15?33，見解析；【分析】（1）根據(jù)題意，得到P0,6，D3,15，設(shè)拋物線的解析式為（2）先確定平移后的解析式為y=x?22+6=x2?4x+10，再計(jì)算直線（3）①根據(jù)題意，畫出符合題意的坐標(biāo)系即可，設(shè)DQ與y軸的交點(diǎn)為M，計(jì)算OM的長(zhǎng)即可得到坐標(biāo)．②設(shè)點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，且Nn,n2+6，0≤n≤3；過點(diǎn)N作NG∥y軸，交DM于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GE⊥y軸于點(diǎn)E，確定Gn,3n+15?33，計(jì)算GN得最大值，且最大值為394故NH的最大值為398【詳解】（1）∵OP=CD=6cm，杯子的高度（即CD，AB之間的距離）為15∴P0,6，D設(shè)拋物線的解析式為y=ax∴9a+b=15b=6解得a=1b=6∴拋物線的解析式為y=x（2）∵拋物線的解析式為y=x∴平移后的解析式為y=x?2∴拋物線的對(duì)稱軸為直線SKIPIF1<0，E0,10，∴E0,10的對(duì)稱點(diǎn)為F∵3,15，∴平移后D5,15設(shè)直線DE的解析式為y=kx+10，∴15=5k+10，解得k=1；∴y=x+10；設(shè)直線DF的解析式為y=px+q，∴5p+q=154p+q=10解得p=5q=?10∴y=5x?10，根據(jù)題意，喝過一次飲料后，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)E，∴1<k<5．（3）①根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系如下，設(shè)DQ與y軸的交點(diǎn)為M，直線l與y軸的交點(diǎn)為S，∵CD=6，杯子的高度（即CD，AB之間的距離）為15cm∴DT=CT=12CD=3∵水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠ABS=60°,∠OSB=30°，∵DQ∥l，∴∠TMD=∠OSB=30°，∴TM=TD∴OM=OT?TM=15?33∴M0,15?3②∵拋物線的解析式為y=x設(shè)點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，且Nn,n2過點(diǎn)N作NG∥y軸，交DM于點(diǎn)G，∵水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠ABS=60°,∠OSB=30°，∵DQ∥l，∴∠TMD=∠OSB=30°，過點(diǎn)G作GE⊥y軸于點(diǎn)E，∵NG∥y軸，∴GE=n，∠TMD=∠MGN=30°，∴ME=GE∴OE=OM+ME=3∴Gn,∴GN==?=?=?n?∵SKIPIF1<0，0≤32≤3，∴n=32時(shí)，GN取得最大值，且最大值為過點(diǎn)N作NH⊥MD于點(diǎn)H，則NH=1故NH的最大值為398故液體的最大深度為398【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，正切函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，特殊角的三角函數(shù)值，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法，正切函數(shù)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽·一模）某公園要在小廣場(chǎng)上建造一個(gè)噴泉景觀，在小廣場(chǎng)中央O處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子OA，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示．為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距OA的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度，此時(shí)離地面2.25米．(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時(shí)他離花形柱子OA的距離為d米，求d的取值范圍；(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點(diǎn)P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為y=?x+4，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．【答案】(1)y=?(x?1(2)0.3<d<1.7(3)光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為24【分析】（1）根據(jù)題意得到第一象限內(nèi)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將拋物線設(shè)成頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入即可求出第一象限內(nèi)的拋物線解析式；（2）直接令y=1.76，解方程求出x的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出y>1.76時(shí)x的取值范圍即可；（3）先作輔助線，作出直線BP的平行線l，使它與拋物線相切于點(diǎn)D，然后設(shè)出直線l的解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，利用相切，方程只有一個(gè)解，解出直線l的解析式，從而得到直線與x軸交點(diǎn)，最后利用銳角三角函數(shù)求出直線l與直線BP之間的距離．【詳解】（1）根據(jù)題意第一象限內(nèi)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2.25)，A(0,1.25)，設(shè)第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y=a(x?1)將點(diǎn)A(0,1.25)代入物線解析式，1.25=a(0?1)解得a=?1，∴第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y=?(x?1)（2）根據(jù)題意，令y=1.76，即?(x?1)解得x1=0.3，∵?1<0，拋物線開口向下，∴當(dāng)0.3<x<1.7時(shí)，y>1.76，∴d的取值范圍為0.3<d<1.7；（3）作直線BP的平行線l，使它與拋物線相切于點(diǎn)D，分別交x軸，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E，作EG⊥PB，垂足為G，如圖所示，∵l∥PB，設(shè)直線l的解析式為y=?x+m，聯(lián)立直線與拋物線解析式，y=?x+my=?(x?1整理得x2∵直線l與拋物線相切，∴方程只有一個(gè)根，∴Δ=3解得m=3.5，∴直線l的解析式為y=?x+3.5，令y=0，則x=3.5，SKIPIF1<0，∴BE=4?3.5=0.5，即EB=1∵射燈射出的光線與地面成45°角，∴∠EBG=45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴EG=2∴光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為24【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，直線的平移，直線和拋物線相切等知識(shí)，關(guān)鍵是求拋物線解析式．3．（2024·安徽宿州·一模）如圖1，某灑水車的噴水口A距地面32m．如圖2，已知噴水口噴出最遠(yuǎn)的水柱是拋物線C1：y1=ax?32+3，x軸是地面，OA位于y軸上，則點(diǎn)(1)求該灑水車噴水能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離OB的長(zhǎng)；(2)如圖3，將拋物線C1向左平移使其經(jīng)過點(diǎn)A，此時(shí)拋物線C2是該灑水車噴出的最近水柱，拋物線C2交x（?。┣驩C的長(zhǎng)；（ⅱ）如圖4，已知一條隔離綠化帶的橫截面是矩形DEFG，DG=1m，DE=2m，設(shè)灑水車到綠化帶的距離SKIPIF1<0，若該灑水車在行駛過程中能澆到完整的這條隔離綠化帶，求d的取值范圍．【答案】(1)3+32(2)（?。?2?3；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)A0,32，可得a（2）（?。┯蓪?duì)稱軸知點(diǎn)A0,32的對(duì)稱點(diǎn)為6,32（ⅱ）根據(jù)DG=1m，，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值和最小值，從而得出答案；【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)A0,∴32∴a=?1∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y1令y1=0，則解得x=3+32或x=?3∴灑水車噴出水的最大射程OB為3+32（2）（ⅰ）∵y1對(duì)稱軸為直線∴點(diǎn)A0,32∵平移后y2仍過點(diǎn)0,SKIPIF1<0是由y1向左平移6m得到的，∵B3+32，0∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為3+32?6,0，即∴OC=32（ⅱ）∵DG=EF=1m，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為1，∴?1解得x=3+23或x=3?2∴x=3+23當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)3≤x≤3+32時(shí)，要使y≥1則x≤3+23∵當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，且x=0時(shí)，y=3∴當(dāng)0≤x≤3+32時(shí)，要使y≥1，則0≤x≤3+2∵DE=2，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，∴OD的最大值為3+2∵下邊緣拋物線，噴出的水能灌溉到綠化帶底部的條件是OD≥32∴OD的取值范圍為32【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某蔬菜基地調(diào)灑水車來澆灌菜地，已知灑水的剖面是由AC、兩條拋物線和地面組成，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．拋物線CND的函數(shù)表達(dá)式為y=?15x2+45x+1，拋物線AMB上點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,116，其最高點(diǎn)(1)如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求拋物線AMB與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

(2)如圖2，若大棚的一邊是防風(fēng)墻SKIPIF1<0，防風(fēng)墻距離點(diǎn)O有11米，墻高32米，要想所灑的水既能到墻邊又不會(huì)灑到墻外，求SKIPIF1<0的取值范圍．

(3)如圖3，在（2）拋物線AMB正好經(jīng)過墻角Q的條件下，為了防止強(qiáng)光灼傷蔬菜，菜農(nóng)將遮陰網(wǎng)（用線段PE表示，PE與拋物線AMB相交于點(diǎn)F）兩端固定在P,E兩處，點(diǎn)E距點(diǎn)O正好2米．若G是線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作GH⊥x軸交拋物線AMB于點(diǎn)SKIPIF1<0，求GH長(zhǎng)度的最大值．

【答案】(1)∴拋物線AMB與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為11,0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0米【分析】（1）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式，最后令y=0，求出對(duì)的x的值即可；（2）a=11150?125?，則可求當(dāng)（3）先求直線EP的表達(dá)式為y=16x?13，拋物線的表達(dá)式為y=?16【詳解】（1）解：把y=0代入y=?15x2+45解得x1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為5,0，∴拋物線AMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為5,6．設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0．將點(diǎn)A0,116代入，得SKIPIF1<0，解得a=?16∴拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=?1令y=0，得?1解得SKIPIF1<0，∴拋物線AMB與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為11,0．（2）解：設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0．∵它經(jīng)過點(diǎn)A0,∴a0?5SKIPIF1<0，當(dāng)x=11時(shí)，y=a11?5∵要想所灑的水既能到墻邊又不會(huì)灑到墻外，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴?的取值范圍為SKIPIF1<0．設(shè)拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入，求出（3）解：由題意知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為2,0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．設(shè)EP所在直線的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0，∴2k+b=0，11k+b=SKIPIF1<0．∵拋物線AMB正好經(jīng)過墻角Q，∴拋物線AMB的函數(shù)表達(dá)式為y=?1設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m．∵GH⊥x軸，∴點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為m．SKIPIF1<0．∵?1∴當(dāng)m=92時(shí)，GH取最大值SKIPIF1<0，即GH長(zhǎng)度的最大值為SKIPIF1<0米．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段長(zhǎng)度問題等知識(shí)，明確題意，運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2?4x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,5，圖象的頂點(diǎn)為M．矩形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)B

(1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，(2)如圖2，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個(gè)單位0<t<3得到對(duì)應(yīng)的矩形A'B'C'D'．已知邊C'D'，A'B'分別與函數(shù)y=x2?4x+c的圖象交于點(diǎn)①當(dāng)t=2時(shí)，求QG的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)c=5，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是2,1(2)①1；②存在，t=12【分析】（1）把0,5代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①先判斷當(dāng)t=2時(shí)，D'，A'的坐標(biāo)分別是2,0，3,0，再求出x=3，SKIPIF1<0時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；②先求出QG=2，易得P，Q的坐標(biāo)分別是t,t2?4t+5，t+1,t2?2t+2，然后分點(diǎn)G在點(diǎn)【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=x2?4x+c的圖象與y∴c=5，

∴y=x∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是2,1．（2）①∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為1,5，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,0．當(dāng)t=2時(shí)，D'，A'的坐標(biāo)分別是2,0，當(dāng)x=3時(shí)，y=3?22+1=2當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，y=2?22+1=1，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1．∵PG⊥A∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1，

∴QG=2?1=1．

②存在．理由如下：∵△PGQ的面積為1，PG=1，∴QG=2．根據(jù)題意，得P，Q的坐標(biāo)分別是t,t2?4t+5如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方時(shí)，QG=t此時(shí)t=12（在

如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方時(shí)，QG=t此時(shí)t=52（在0<t<3∴t=12或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河北保定·二模）如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為?32,?10．運(yùn)動(dòng)員（將運(yùn)動(dòng)員看成一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線是經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在空中最高處A

(1)求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)拋物線的解析式并求出入水處B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，恰好距點(diǎn)E的水平距離為5米，問該運(yùn)動(dòng)員此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？通過計(jì)算說明理由；(3)在該運(yùn)動(dòng)員入水點(diǎn)的正前方有M，N兩點(diǎn)，且EM=212，EN=272，該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=a（x??）2+k，且頂點(diǎn)C距水面4米，若該運(yùn)動(dòng)員出水點(diǎn)D在MN【答案】(1)y=?54(2)該運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤了，理由見解析(3)1【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a0x?12+54（2）求出距點(diǎn)E水平距離為5米的點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可進(jìn)行判斷；（3）分別求出當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)M、N時(shí)的a的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=將0,0代入解析式得：a∴拋物線的解析式為y=?令y=?10，則?10=?解得：x∴入水處B點(diǎn)的坐標(biāo)4，?10（2）解：距點(diǎn)E的水平距離為5米，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為：x=5?將x=72∵?∴該運(yùn)動(dòng)員此次跳水失誤了（3）解：∵EM=212，EN=272∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：9,?10∵該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=a（x??）2+k，y=ax?∴當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，把點(diǎn)M9,?10代入得：a=同理，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<012,?10時(shí)，a=14由點(diǎn)D在MN之間可得：1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．涉及了拋物線的頂點(diǎn)式、求拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)等．熟記二次函數(shù)的相關(guān)形式是解題關(guān)鍵．7．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑OA，OA=2米，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線（圖中的C1，C2）的部分圖象，兩條拋物線的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，且經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)拋物線C2的最高點(diǎn)（頂點(diǎn)）C距離水池面2.5

(1)求拋物線C2(2)求拋物線C1與x軸的交點(diǎn)B(3)小明同學(xué)打算操控微型無人機(jī)在C1，C2之間飛行，為了無人機(jī)的安全，要求無人機(jī)在豎直方向上的活動(dòng)范圍不小于0.5米，設(shè)無人機(jī)與OA的水平距離為m，求【答案】(1)y=?1(2)y=?18x2?12(3)1【分析】（1）由題意可知C2過點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)C(2,2.5)，且?b2a=2，代入解析式可求得解析式；（2）兩條拋物線的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同且C1經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)C1的解析式為SKIPIF1<0，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求得解析式，再根據(jù)題意進(jìn)行取舍即可；（3）無人機(jī)的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)題意列出不等式?1【詳解】（1）解：由已知可得：C2過點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)C(2,2.5)，設(shè)其解析式為y=ax2+bx+c，代入兩點(diǎn)，由C的橫坐標(biāo)為?bc=24a+2b+c=2.5?b故C2的解析式為：y=?（2）解：∵兩條拋物線的形狀相同，∴設(shè)C1的解析式為y=?已知C1經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，故C1的解析式為y=?18x2∵頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，SKIPIF1<0的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4b1，代入①，可得：?1解得：b1故C1的解析式為y=?18x2由圖可知C1的終點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，而②中?b2a令將y=0代入y=?1解得x=?2+25或?2?2故B點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0；（3）解：由題意可得：?1解得：m≥1又∵?1解得：m≤6，SKIPIF1<012≤m≤6．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．8．（2023·安徽蕪湖·二模）某大型樂園包含多項(xiàng)主題演出與游樂項(xiàng)目，其中過山車“沖上云霄”是其經(jīng)典項(xiàng)目之一．如圖所示，A→B→C為過山車“沖上云霄”的一部分軌道（B為軌道最低點(diǎn)），它可以看成一段拋物線．其中OA=1254米，(1)求拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式；(2)在軌道距離地面5米處有兩個(gè)位置P和C，當(dāng)過山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，又進(jìn)入下坡段C→E（接口處軌道忽略不計(jì)）．已知軌道拋物線C→E→F的大小形狀與拋物線A→B→C完全相同，求OE的長(zhǎng)度；(3)現(xiàn)需要對(duì)軌道下坡段A→B進(jìn)行安全加固，架設(shè)某種材料的水平支架和豎直支架GD、GM、HI、HN，且要求OM=MN．如何設(shè)計(jì)支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)45(3)當(dāng)OM=MN=6時(shí)用料最少，最少需要材料532【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先求出P，C坐標(biāo)，再求出PC長(zhǎng)度，通過拋物線C→E→F的形狀與拋物線A→B→C完全相同，平移長(zhǎng)度為PC，可得拋物線C→E→F解析式，可得結(jié)論；（3）先設(shè)出M，N橫坐標(biāo)，再代入解析式，分別求出G，SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)，然后求出GD、GM、HI、HN之和的最小值，從而求出最少所需材料．【詳解】（1）解：由圖象可設(shè)拋物線解析式為：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入，得：SKIPIF1<0，解得：a=1∴拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式為SKIPIF1<0；（2）當(dāng)y=5時(shí)，SKIPIF1<0，解得：x1=15SKIPIF1<0，5)，SKIPIF1<0，5)，SKIPIF1<0，∵拋物線C→E→F的形狀與拋物線A→B→C完全相同，∴拋物線C→E→F由拋物線A→B→C右平移PC個(gè)單位，∴拋物線C→E→F為：SKIPIF1<0，當(dāng)y=0時(shí)，x=45SKIPIF1<0；（3）設(shè)OM=MN=m，M(m,0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴開口向上，∴當(dāng)m=6時(shí)，l最短，最短為532即當(dāng)OM=MN=6時(shí)用料最少，最少需要材料532【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵用拋物線的性質(zhì)解決實(shí)際問題．9．（2023·安徽蚌埠·二模）如圖，蚌埠花博園要建造一圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)柱子OA，O恰在水面中心，OA高3米，如圖1，由柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各方面沿形狀相同的拋物線落下．(1)如果要求設(shè)計(jì)成水流在離OA距離為1米處達(dá)到最高點(diǎn)，且與水面的距離是4米，那么水池的內(nèi)部半徑至少要多少米，才能使噴出的水不致落到池外；（利用圖2所示的坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算）(2)若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池內(nèi)部的半徑為5米，要使水流不落到池外，此時(shí)水流達(dá)到的最高點(diǎn)與水面的距離應(yīng)是多少米？【答案】(1)水池的內(nèi)部半徑至少要3米(2)19625【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax?12+4，待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式，求出y=0（2）設(shè)拋物線的解析式為y=?x【詳解】（1）解：∵水流在離OA距離為1米處達(dá)到最高點(diǎn)，且與水面的距離是4米，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax?12+4∴3=a+4，解得：a=?1，∴y=?x?1當(dāng)y=0時(shí)，0=?x?1解得：x1=?1（舍去），∴水池的內(nèi)部半徑至少要3米；（2）根據(jù)水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，得到新的拋物線解析式的a=?1，設(shè)拋物線的解析式為y=?x2+bx+c∴0=?25+5b+c3=c解得：b=22∴y=?x∴此時(shí)水流達(dá)到的最高點(diǎn)與水面的距離應(yīng)是19625【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽合肥·二模）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，將發(fā)石車置于山坡底部O處，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)看，其飛行路線可以近似看作拋物線y=ax?202+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為ABCD，墻寬BC=2米，BC與x軸平行，點(diǎn)B與點(diǎn)O的水平距離為28(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，①求拋物線的解析式；②試通過計(jì)算說明石塊能否飛越防御墻；(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括端點(diǎn)B、C），求a的取值范圍，【答案】(1)y=?140x(2)?【分析】（1）①根據(jù)題意得拋物線解析式為：y=ax?20②根據(jù)題意，得出B28,6，將x=28（2）依題意得出C30,6，進(jìn)而根據(jù)B,C【詳解】（1）解：①∵發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，∴拋物線解析式為：y=ax?20將點(diǎn)0,0代入得，20解得：a=?1∴拋物線解析式為y=?1∴y=?1②∵點(diǎn)B與點(diǎn)O的水平距離為28米、垂直距離為6米．∴B28,6當(dāng)x=28時(shí)，y=?1∴石塊能飛越防御墻；（2）∵BC=2，B28,6∴C當(dāng)y=ax?202+k經(jīng)過點(diǎn)B202a+k=0當(dāng)y=ax?202+k經(jīng)過點(diǎn)C202a+k=0∴要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括端點(diǎn)B、C），a的取值范圍為?【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．11．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）萬達(dá)樂園的過山車是其經(jīng)典項(xiàng)目之一．如圖，B→D→C為過山車的—部分軌道，若這部分軌道可以用拋物線y=ax??2+10來刻畫，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的水平距離AB=4米，點(diǎn)B到工軸（代表地面）的距離BE=6米，B(1)求拋物線BDC的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)過山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了2米至H點(diǎn)，又進(jìn)入下一段軌道H→F→G．已知軌道H→F→G的形狀與軌道B→D→C完全相同，若某名游客從B→D→C軌道滑行至H→F→G軌道，起點(diǎn)和終點(diǎn)距離地面均為8米，則該游客移動(dòng)的最大水平距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）(3)已知軌道B→M→N→C和軌道B→D→C關(guān)于BC對(duì)稱，現(xiàn)需要在軌道B→M→N→C下進(jìn)行安全加固，建造支架PM,QN，且EP=PQ，支架的價(jià)格是20000元/米，如何設(shè)計(jì)支架，使得造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？【答案】(1)y=?(2)14+62(3)兩個(gè)支架相距3.6米時(shí)，造假最低為96000元【分析】（1）根據(jù)題意確定B4,6,C16,6（2）根據(jù)題意分析：當(dāng)游客最開始實(shí)在BD段上距離地面8米，最后位置是在FG段上距離地面8米處停下時(shí)，水平移動(dòng)的距離最大，然后確定出拋物線HFG的解析式，再代入求解即可；（3）根據(jù)題意確定拋物線BMNC解析式為y=19x?102+2，設(shè)點(diǎn)P4+a,0，則點(diǎn)Q4+2a,0【詳解】（1）解：∵B到y(tǒng)軸的水平距離AB=4米，點(diǎn)B到工軸（代表地面）的距離BE=6米，B，C間的水平距離為12米．∴B4,6∴拋物線的對(duì)稱軸為：x=4+16∴拋物線的解析式為：y=a將點(diǎn)B代入拋物線解析式y(tǒng)=ax??6=a4?10解得：a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：當(dāng)游客最開始實(shí)在BD段上距離地面8米，最后位置是在FG段上距離地面8米處停下時(shí)，水平移動(dòng)的距離最大，當(dāng)y=8時(shí)，在拋物線BDC段上，8=?1解得：x1∵B，C間的水平距離為12米，過山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了2米至H點(diǎn)，∴拋物線HFG為拋物線BDC向右平移12+2=14個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象，∴拋物線HFG的解析式為：y=?1當(dāng)y=8時(shí)，在拋物線HFG段上，8=?1解得：x1∴該游客移動(dòng)的最大水平距離為：24+32（3）解：由（1）得拋物線BDC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為10,10，∴點(diǎn)D到BC的距離為10?6=4米，設(shè)點(diǎn)P4+a,0，則點(diǎn)Q∵拋物線BDC與拋物線BMNC關(guān)于BC對(duì)稱，∴拋物線BMNC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為10,6?4即10,2∴拋物線BMNC解析式為y=1將點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入解析式得：yM=1∴PM+QN=y關(guān)于a的方程的對(duì)稱軸為a=3.6，當(dāng)a=3.6時(shí)，PM+QN取得最小值，∴PM+QN=5∴最低造價(jià)為4.8×20000=96000元，∴兩個(gè)支架相距3.6米時(shí)，造假最低為96000元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正確理解題意是解題的關(guān)鍵．12．（2023·安徽合肥·二模）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組以樓梯為場(chǎng)景設(shè)計(jì)的小球彈射實(shí)驗(yàn)示意圖，樓梯平臺(tái)AB寬為3，AB前方有六個(gè)臺(tái)階T1~T6（各拐點(diǎn)均為90°），每個(gè)臺(tái)階的高為2，寬為2，樓梯平臺(tái)到x軸距離OA=14，從y軸上的點(diǎn)C處向右上方彈射出一個(gè)小球P（小球視為點(diǎn)），飛行路線為拋物線L:y=?1(1)通過計(jì)算判斷小球P第一次會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；(2)若小球P第二次的落點(diǎn)在臺(tái)階T5中點(diǎn)M上，求小球P(3)若小球P再次從點(diǎn)M處彈起后落入x軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），接收裝置最大截面為矩形SKIPIF1<0，點(diǎn)E橫坐標(biāo)為16，EF=1，EH=1，求出小球第三次飛行路線的頂點(diǎn)到x軸距離最小值．【答案】(1)T2(2)y=?(3)153【分析】（1）根據(jù)題意，第二個(gè)臺(tái)階的左端點(diǎn)坐標(biāo)為5,10，右端點(diǎn)坐標(biāo)為7,10，計(jì)算x=5，x=7時(shí)的y值，運(yùn)用夾逼法確定交點(diǎn)位置．（2）根據(jù)（1）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為6,10，再次著地左端點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=3+2×5?1=11，縱坐標(biāo)為y=14?2×5=4，結(jié)合臺(tái)階寬為2，得到點(diǎn)P的落地點(diǎn)坐標(biāo)為（3）根據(jù)（2）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為12,4，再次著地近地點(diǎn)坐標(biāo)為16,1，遠(yuǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)為17,1，設(shè)解析式求解即可．【詳解】（1）∵樓梯平臺(tái)AB寬為3，每個(gè)臺(tái)階的高為2，寬為2，OA=14，∴第二個(gè)臺(tái)階的左端點(diǎn)坐標(biāo)為5,10，右端點(diǎn)坐標(biāo)為7,10，當(dāng)x=5時(shí)，y=?1當(dāng)x=7時(shí)，y=?1故與拋物線交點(diǎn)在5,10，7,10之間，當(dāng)y=10時(shí)，?1解得x=6,x=?2（舍去）∴小球落在第二個(gè)臺(tái)階上，此時(shí)點(diǎn)P6,10（2）根據(jù)（1）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為6,10，再次著地左端點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=3+2×5?1=11，縱坐標(biāo)為y=14?2×5=4，結(jié)合臺(tái)階寬為2，得到點(diǎn)P的落地點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)解析式y(tǒng)=?1得?1解得b=8c=?20故解析式為y=?1（3）根據(jù)（2）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為12,4，近地點(diǎn)坐標(biāo)為16,1，設(shè)解析式y(tǒng)=?1得?1解得b=53故解析式為y=?1此時(shí)，函數(shù)的最小值為4ac?b根據(jù)（2）得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為12,4，遠(yuǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)為17,1，設(shè)解析式y(tǒng)=?1得?1解得b=139故解析式為y=?1此時(shí)，函數(shù)的最小值為4ac?b∵15332∴小球第三次飛行路線的頂點(diǎn)到x軸距離最小值是15332【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，求函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法，拋物線的最值是解題的關(guān)鍵．13．（2023·河北唐山·一模）為了給觀光綠化帶澆水，擬安裝一排噴水口，如圖2為噴水口噴水的橫截面，該噴水口SKIPIF1<0離地豎直高度OH為1.5m，可以把噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象：把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其中DE=2m,EF=0.5m，其下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，噴水口到綠化帶的水平距離OD為d（單位：SKIPIF1<0）．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；(2)通過計(jì)算求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)綠化帶右側(cè)（圖中點(diǎn)E的右側(cè)）1米外是人行道，要使噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，同時(shí)不會(huì)淋濕行人，直接寫出d的取值范圍．【答案】(1)y=?18x?2(2)B(3)3≤d≤2【分析】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，（1）由題意可知：頂點(diǎn)坐標(biāo)A2,2，SKIPIF1<0，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式為：y=?18x?22+2，令SKIPIF1<0即可求出OC=6米；（2）利用SKIPIF1<0關(guān)于對(duì)稱軸SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為：4,1.5，可知下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4個(gè)單位得到，求出下邊緣拋物線為：SKIPIF1<0，進(jìn)一步可求出B2,0，即可求解．（3）當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0，d有最小值，此時(shí)d=3；當(dāng)上邊緣拋物線過點(diǎn)F時(shí)，d有最大值，d=2+23?2=23；所以3≤d≤23．【詳解】（1）解：由題意可知：A2,2，故設(shè)上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為：y=a∵SKIPIF1<0，將其代入y=ax?22+2可得：SKIPIF1<0，解得：a=?18∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為：y=?1令SKIPIF1<0，解得：x=6或x=?2，∵點(diǎn)C在x軸的正半軸，∴C6,0，即噴出水的最大射程OC=6（2）解：∵SKIPIF1<0關(guān)于對(duì)稱軸SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為：4,1.5，∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4個(gè)單位得到，∴下邊緣拋物線為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：x=?6或SKIPIF1<0，∵點(diǎn)B在正半軸上，∴B2,0（3）解：綠化帶右側(cè)（圖中點(diǎn)E的右側(cè)）1米外是人行道，此時(shí)EC=1則DC=2+1=3，當(dāng)d有最小值，d=OC?CD=3當(dāng)上邊緣拋物線過點(diǎn)F時(shí)，d有最大值，∵DE=2m，EF=0.5m．∴令SKIPIF1<0，解得：x=2+23或x=2?23，結(jié)合圖象可知：SKIPIF1<0∴d的最大值為：d=2+23∴3≤d≤2314．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)計(jì)噴水方案素材1圖1為某公園的圓形噴水池，圖2是其示意圖，O為水池中心，噴頭A、B之間的距離為20米，噴射水柱呈拋物線形，水柱距水池中心7m處達(dá)到最高，高度為5m，水池中心處有一個(gè)圓柱形蓄水池，其底面直徑CD為12m，高CF為1.8米

素材2如圖3、圖4，擬將在圓柱形蓄水池中心處建一能伸縮高度的噴水裝置OPOP⊥CD，要求水柱不能碰到圖2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．經(jīng)調(diào)研，目前市場(chǎng)有兩種噴水頭均能噴射與圖2中形狀相同的拋物線．其中，甲噴水頭以點(diǎn)P為最高點(diǎn)向四周噴射水柱(如圖3)，乙噴水頭噴射水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)P的高度差為0.8m

問題解決任務(wù)1確定水柱形狀在圖2中以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，求左邊這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2選擇噴水裝置甲，確定噴水裝置的最高高度若選擇甲裝置(圖3)，為防止水花濺出，當(dāng)落水點(diǎn)G、M之間的距離滿足GM=27FM時(shí)，OP任務(wù)3選擇噴水裝置乙，擬定噴水裝置的高度范圍若選擇乙裝置(圖4)，為了美觀，要求OP噴出的水柱高度不低于5m，求噴水裝置OP高度的變化范圍．【答案】任務(wù)1：y=?任務(wù)2：OP的高度為585任務(wù)3：21【分析】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，任務(wù)1：以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，再將?10,0代入即可得到結(jié)論；任務(wù)2：令（1）拋物線y=1.8，得x=?4.6，求出FM=1.4，再依據(jù)GM:FM=2:7即可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)為?4.2,1.8，設(shè)圖3中拋物線解析式為y=?5任務(wù)3；設(shè)P0,m，根據(jù)題意得從點(diǎn)噴射的拋物線水柱頂點(diǎn)坐標(biāo)為k,m+0.8，由于拋物線形狀相同，可得拋物線表達(dá)式為y=?59x?k2+m+0.8，把【詳解】解：任務(wù)1：以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示．∵AB=20，∴SKIPIF1<0．∵水柱距水池中心7m處到達(dá)最高，高度為5m，∴左側(cè)拋物線頂點(diǎn)為(?7,5)，設(shè)拋物線解析式為y=ax+7把SKIPIF1<0代入得a=?59，∴y=?59x+7任務(wù)2：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系∵兩種噴水頭均能噴射與圖2中形狀相同的拋物線．設(shè)OP的最高高度為m．∴設(shè)圖3中拋物線解析式為y=?由（1）可得圖2中的拋物線解析式為:y=?令y=1.8，得1.8=?5解得x1=?9.4（舍去），∵EF=CD=12，∴FM=6?4.6=1.4，∵M(jìn)G︰FM=2︰7，∴MG=0.4，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入y=?59x2解得：m=∴OP的最高高度為585任務(wù)3：如圖．設(shè)P(0,m)，∵乙噴水頭噴射水柱的最高點(diǎn)與點(diǎn)P的高度差為0.8m∴從點(diǎn)P噴射的拋物線水柱頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，又∵拋物線形狀相同，∴拋物線表達(dá)式為y=?5把P(0,m)代入得m=?5解得k=?1.2或1.2（舍去），∴y=?5∵OP噴出的水柱高度不低于5m，∴m+0.8>5∴m>又∵要求水柱不能碰到圖2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．由（2）可得M代入y=?即1.8=?解得：m=∴21∴噴水裝置OP高度的變化范圍為21515．（2024·河北石家莊·一模）圖1為某游樂場(chǎng)過山車的一部分滑道設(shè)施，為研究過山車沿滑道運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)知識(shí)，小李使用電腦軟件將這部分滑道抽象出如圖2所示的函數(shù)圖象，并模擬過山車（抽象為點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)．線段AB是一段直滑道，點(diǎn)A在y軸上，且OA=1．滑道B?C?D為拋物線：y=14x2+bx+c的一部分，在點(diǎn)C(4,2)處達(dá)到最低，點(diǎn)B，D到x軸的距離相等，其中點(diǎn)B到點(diǎn)A的水平距離為2，BG⊥x軸于點(diǎn)G．滑道B?C?D(1)求拋物線B?C?D和D?E?F的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)過山車沿滑道從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過程中，過山車到x軸的距離為1.5時(shí)，求它到出發(fā)點(diǎn)A的水平距離；(3)點(diǎn)M為B?C上的一點(diǎn)，求點(diǎn)M到BG和到x軸的距離之和（圖中SKIPIF1<0）的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)B?C?D拋物線的函數(shù)表達(dá)式為B?C?Dy=14x2(2)x=0.5或SKIPIF1<0(3)MH和MN長(zhǎng)度之和的最大值為4．此時(shí)M的坐標(biāo)為(4,2)【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出滑道B?C?D和D?E?F的解析式即可；（2）先求出直線AB的解析式，再分析x=1.5時(shí)在各段函數(shù)上的對(duì)應(yīng)x值，最后計(jì)算各點(diǎn)到點(diǎn)A的水平距離即可；（3）設(shè)SKIPIF1<0，則MH=x?2，MN=14(x?4)2+2，整理出SKIPIF1<0關(guān)于x的函數(shù)解析式，分析判斷最值即可得到點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】（1）解：滑道B?C?D；y=14x∴y=14(x?4∵點(diǎn)B到點(diǎn)A的水平距離為2，∴將SKIPIF1<0代入y=14(x?4)2SKIPIF1<0∴點(diǎn)B(2,3)．∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線x=4對(duì)稱，點(diǎn)SKIPIF1<0．∵滑道B?C?D與滑道D?E?F是形狀完全相同、開口方向相反的拋物線，∴可設(shè)拋物線D?E?F的函數(shù)表達(dá)式為y=?1將點(diǎn)F(12,0)，SKIPIF1<0分別代入得：?14(12??∴拋物線D?E?F的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）解：設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0．將B(2,3)，A(0,1)代入SKIPIF1<0得：b=12k+b=3，解得k=1∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x+1．∵點(diǎn)C(4,2)為拋物線B?C?D的頂點(diǎn)，∴拋物線B?C?D不存在SKIPIF1<0的點(diǎn)．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，x=0.5．1.5=?1解得SKIPIF1<0，根據(jù)圖像可知SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0時(shí)，過山車到出發(fā)點(diǎn)A的水平距離為：x=0.5或SKIPIF1<0；（3）解：設(shè)SKIPIF1<0，則MH=x?2，MN=14(x?4)2SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵點(diǎn)M為B?C上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的值隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=4時(shí)，SKIPIF1<0，∴當(dāng)x=4時(shí)，MH和MN長(zhǎng)度之和的最大值為4．此時(shí)M的坐標(biāo)為(4,2)．16．（2024·浙江嘉興·一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．素材1如圖1，一個(gè)移動(dòng)噴灌架射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米．當(dāng)噴射出水流距離噴水頭20米時(shí)，達(dá)到最大高度11米．素材2現(xiàn)將噴灌架置于坡度為1:10的坡地底部點(diǎn)O處．草坡的長(zhǎng)度為4101問題解決任務(wù)1請(qǐng)?jiān)趫D2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2當(dāng)噴灌架底部位于點(diǎn)O處時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明水流能否噴灌到草坡最遠(yuǎn)處．任務(wù)3草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度為3米的樹AB需要被噴灌，當(dāng)噴灌架底部仍然在點(diǎn)O處時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明樹AB能否被灌溉到．現(xiàn)將噴灌架向正后方向移動(dòng)k米，若要使樹AB被噴灌到，求k的取值范圍．【答案】任務(wù)1：見解析，y=?140x2+x+1；任務(wù)2：水流無法噴灌到草坡最遠(yuǎn)處,理由見解析；任務(wù)3：樹AB【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的平移，解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．任務(wù)1：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?202+k，將點(diǎn)0,1、20,11代入求出a任務(wù)2：設(shè)草坡最遠(yuǎn)處為點(diǎn)C，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)D，結(jié)合坡度解直角三角形，求出CD=4，OD=40，得到C40,4，再求出當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，y的值，比較即可得到答案；任務(wù)3：延長(zhǎng)BA交x軸于點(diǎn)M，結(jié)合坡度解直角三角形，得到A30,3，再求出當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，y的值，比較即可得到答案．由題意可知，移動(dòng)后的解析式為y=?140x?20+k2+11，求出，將點(diǎn)A30,3代入解析式求出k【詳解】解：任務(wù)1：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?20由圖象可知，拋物線過點(diǎn)0,1、20,11，則400a+k=1k=11，解得：a=?∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1任務(wù)2：水流無法噴灌到草坡最遠(yuǎn)處,理由如下：如圖，設(shè)草坡最遠(yuǎn)處為點(diǎn)C，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)D，由題意可知，噴灌架置于坡度為SKIPIF1<0的坡地底部點(diǎn)O處．草坡的長(zhǎng)度為4101米，∴OC=4101，CD:OD=1:10設(shè)CD=x，OD=10x，由題意得：OC=C∴x=4，∴CD=4，OD=40，∴C40,4在拋物線y=?140x2+x+1中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，y=?∵1<4，∴水流無法噴灌到草坡最遠(yuǎn)處；任務(wù)3：樹AB能否被灌溉到，理由如下：由題意可知，延長(zhǎng)BA交x軸于點(diǎn)M，由題意可知，SKIPIF1<0，OM=30，∵坡度為SKIPIF1<0，∴AM:OM=1:10，∴AM=3，∴A30,3，BM=6在拋物線y=?140x2+x+1中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，y=?∵8.5>6，∴樹AB可以被灌溉到，由題意可知，將噴灌架向正后方向移動(dòng)k米，則移動(dòng)后的解析式為y=?1當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，y=?14010+k2+11若要使樹AB被噴灌到，則?1解得：k1=85∴0<k<8517．（2024·遼寧葫蘆島·一模）某廠家特制了一批高腳杯，分為男士杯和女士杯（如圖1），相關(guān)信息如下：素材內(nèi)容素材1如圖1，這種高腳杯從下往上分為三部分：杯托，杯腳，杯體．杯托為一個(gè)圓，水平放置時(shí)候，杯腳經(jīng)過杯托圓心，并垂直任意直徑，杯體的水平橫截面都為圓，這些圓的圓心都在杯腳所在直線上．素材2圖2坐標(biāo)系中，特制男士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線DCE（實(shí)線部分），線段DF，線段EG繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形（不考慮杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線FCG（虛線部分）繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形素材3已知，圖2坐標(biāo)系中，OC=5cm，記為C0,5,D根據(jù)以上素材內(nèi)容，嘗試求解以下問題：(1)求拋物線DCE和拋物線FCG的解析式；(2)當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為4cm，求兩者液體最上層表面圓面積之差；（結(jié)果保留π）(3)當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度相等，兩者液體最上層表面圓面積相差4πc【答案】(1)拋物線DCE的解析式為y=25x2(2)154SKIPIF1<0(3)杯中液體深度為3215cm【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)男士杯中液體與女士杯中液體最上層表面圓的半徑分別為SKIPIF1<0，r,分別求出SKIPIF1<0，r,即可得出結(jié)果；（3）分5≤y≤152和【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C0,5為拋物線DCE和拋物線FCG的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為y∴設(shè)拋物線DCE的解析式為：y=a1將點(diǎn)E52,152∴拋物線DCE的解析式為：y=2設(shè)拋物線FCG的解析式為：y=a2x得15=522∴拋物線FCG的解析式為：y=8（2）解：設(shè)男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為Rcm由題可知，當(dāng)男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為4cm時(shí)，R=在拋物線FCG中：將y=5+4=9代入解析式得85∴x∴兩者液體最上層表面圓面積之差為πR（3）解：設(shè)男士杯中的液體與女士杯中的液體最上層表面圓的半徑分別為Rcm當(dāng)5≤y≤152時(shí)∴π即5解得y=10715．此時(shí)深度為當(dāng)152<y≤15時(shí)，∴πR2?πr2此時(shí)深度為435?5=185cm18．（2024·河南信陽·二模）安陽市水冶鎮(zhèn)附近有一個(gè)馬氏莊園，莊園中的建筑房頂為懸山頂式構(gòu)造，獨(dú)特的屋頂線條設(shè)計(jì)可以在下雨時(shí)保證雨水流下時(shí)流到院中地面某處．如圖為一棟建筑的側(cè)面示意圖，下雨時(shí)，雨水順著房頂AB，經(jīng)走廊頂部水平管道BC流出，呈拋物線落到院中地面上E點(diǎn)（可視C為拋物線頂點(diǎn)）．若走廊DF和頂部BC的寬度均為1m，屋高BD為3m，雨水落點(diǎn)距屋子的水平距離DE為2m，請(qǐng)根據(jù)題意，解決下列問題．(1)建立合適的坐標(biāo)系，求出雨水從頂點(diǎn)C落到地面E點(diǎn)的拋物線表達(dá)式；(2)現(xiàn)計(jì)劃在院中安放一個(gè)高為0.9m的圓柱形洗手池，洗手池下面連接儲(chǔ)水裝置，可以對(duì)水資源重復(fù)利用，為使下雨時(shí)雨水正好可以落在洗手池的頂部中心SKIPIF1<0點(diǎn)，請(qǐng)按設(shè)計(jì)計(jì)算雨水池的底面中心G到墻面的距離DG的長(zhǎng)．【答案】(1)y=?3(2)DG=【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用：（1）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，B→C方向?yàn)檎较蚪⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得E1,?3，設(shè)拋物線解析式為y=a（2）求出點(diǎn)SKIPIF1<0與CF之間的距離即可解決問題．【詳解】（1）解：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，B→C方向?yàn)檎较蚪⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，∵DF=BC=1，DE=2，BD=3，∴CF=3,EF=1,∴C0,0，E設(shè)拋物線解析式為y=ax∵將點(diǎn)E1,?3代入解析式可得，?3=a×解得a=?3，