《余弦定理、正弦定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修第二冊(cè)》（人教A版）第六章《平面向

量及其應(yīng)用》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)利用正弦定理、余弦定理來(lái)求不能到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離、

底部不能到達(dá)的建筑物的高、角度問(wèn)題。

正弦定理、余弦定理是學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量之后要掌握的兩個(gè)重要定理，運(yùn)用這兩個(gè)定

理可以初步解決幾何及工業(yè)測(cè)量等實(shí)際問(wèn)題，是解決有關(guān)三角形問(wèn)題的有力工具。

這是一節(jié)關(guān)于正、余弦定理應(yīng)用舉例課.利用應(yīng)用舉例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。把應(yīng)

用正余弦定理解決有關(guān)距離、高度、角度等問(wèn)題融合起來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷情景的過(guò)程中解決數(shù)

學(xué)問(wèn)題。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；1.數(shù)學(xué)抽象：常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)；

B.了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)；2.邏輯推理：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；

C.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理、正弦定理求高度、距離、

解決有關(guān)距離、高度、角度的實(shí)際問(wèn)題。角；

4.數(shù)學(xué)模型：在適當(dāng)?shù)娜切沃薪飧叨?、距離、角度。

【教學(xué)重點(diǎn)】：實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際

問(wèn)題的解；

【教學(xué)難點(diǎn)】：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖。

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新

1.正弦定理：-^—=-^—=-^=2R通過(guò)復(fù)習(xí)前面所學(xué)知

sinAsin3sinC

識(shí)，引入本節(jié)新課。建

立知識(shí)間的聯(lián)系，提高

2.正弦定理的變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC

sinA=-^,sinB=-^-,sinC學(xué)生概括、類(lèi)比推理的

2R2R2R

能力。

sinA:sinB:sinC=<2:/?:c

3.余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a1+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

變形：

.b2+c2-a2

cosA=--------------

2bc

_c2+CL1-b2

cosn=--------------

lea

a+b2-c1

cosC=--------------

lab

4.三角形中的結(jié)論：

A+B+C=TI\sin(A+B)=sinC,cos(A+jB)=-cosC

,A+BCA+B.C

sin-------=cos-,cos--------=sin—

2222

5.情境引入：(1)現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的

高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀?/p>

(2)在實(shí)際的航海生活中，人們也會(huì)遇到如下的問(wèn)題：在浩瀚的海面上

如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？

二、探索新知

通過(guò)例題讓學(xué)生進(jìn)一步

類(lèi)型一距離問(wèn)題

理解用正弦定理、余弦

例1如圖，A,B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測(cè)量A,B

定理求距離，提高學(xué)生

.............

A，的解決問(wèn)題、分析問(wèn)題

的能力。

兩點(diǎn)間的距離的方法.并求出A,B間的距離。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,D,測(cè)得

緇a,并且在G2兩點(diǎn)分別測(cè)得一"Z

A,.........

BCA=a,ZACD=&，ZCDB=y,Z—i*-'

!/■"

BDA=8,:?'

一、，7^

在A(yíng)ADC和ABDC中，應(yīng)用正弦定小，「一理得

<lln(y+a)<rsin(/1

nMnLlSO'-^-by-lff)]Mn(//l>Iff)'

,心iiiY<.?sin7

sin180"(a1fl-|sin(rr4/),

于是，在A(yíng)ABC中，應(yīng)用余弦定理可得A,B兩

點(diǎn)間的距離

A8一瘋'阡BC匚2AL，B('m<a

/a：*in“y+d)a'itfy2a'而。+&)而Occwa

V?in:<^+y+3)sin'S+f+y)*in(，+y+8”in(a+P+y)'

思考：在上述測(cè)量方案下，還有其他計(jì)算A,B兩點(diǎn)間距離的方法嗎？

【分析】先求AD,BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而在三角形ABD中，求A,B間的距離。

可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的

方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩

個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式.

通過(guò)思考，進(jìn)一步理解

L基線(xiàn)：在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線(xiàn)段叫做基線(xiàn)。

用正弦定理、余弦定理

如例1中的CD,為使測(cè)量具有較高精準(zhǔn)度，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的

求距離問(wèn)題的一題多

基線(xiàn)長(zhǎng)度，基線(xiàn)越長(zhǎng)，精確到越高。如：

解，提高學(xué)生分析問(wèn)題、

.\概括能力。

/****<-

*2_____________■

ft

類(lèi)型二底部不可到達(dá)的建筑物的高度

例2如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，

設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。

A

m

【分析】如圖，求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在4ACE中，如能求出C點(diǎn)

到建筑物頂部A的距離CA,再測(cè)出由C點(diǎn)觀(guān)察A的仰角，就可以計(jì)算出

AE的長(zhǎng).

通過(guò)例題讓學(xué)生進(jìn)一步

【解析】選擇一條水平基線(xiàn)HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.由在

理解用正弦定理、余弦

H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是a,B,CD=a，測(cè)角儀器的高是h,

定理求高度，提高學(xué)生

那么，在4ACD中，根據(jù)正弦定理可得

的解決問(wèn)題、分析問(wèn)題

AC—sin2.的能力。

sinS—'V

所以，這座建筑物的高度為

AB=AE+A

=ACsina+/i

asinasinB

?in（4r—jJ）+"?

類(lèi)型三角度問(wèn)題

例3.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處

有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救。甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知

位于甲船南偏西30°,且與甲船相距7nmile的C處的乙船，那么乙船

前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線(xiàn)（由觀(guān)測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線(xiàn)）的方向是

北偏東多少度（精確到1°）?需要航行的距離是多少海里（精確到1n

mile）?

北

20nmile

通過(guò)例題讓學(xué)生進(jìn)一步

解：根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，如圖。

理解用正弦定理、余弦

由余弦定理，得=AB2+AC2—2AB-ACCOS120°定理求角度，提高學(xué)生

=202+72-2X20X7X(-1)=589的用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際

問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題

于是BCb24(nmile)

的能力。

9nV3

由.sinCsin120°工日.?25V3

由正弦定理，得-----=--------,于是sinC=----------=------

20242412

由于0°<C<90°,所以0^46°

因此，乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東46°+30°=76°

大約需要航行24nmile.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.如圖所示，已知兩座燈塔/和方與海洋觀(guān)察站。的距離相等，燈塔/通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)

在觀(guān)察站C的北偏東40°,燈塔6在觀(guān)察站。的南偏東60°,則燈塔/知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)

在燈塔8的（）題的能力，感悟其中蘊(yùn)

含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)

生的應(yīng)用意識(shí)。

7B

A.北偏東5°B.北偏西10°

C.南偏東5°D.南偏西10°

【答案】B

【解析】由題意可知/42?=180°-40°-60°=80°.'：AC=BC,：.Z

。6=/加=50°,從而可知燈塔/在燈塔6的北偏西10°.

2.如圖，D,C,8三點(diǎn)在地面同一直線(xiàn)上，2c=100米，從G，兩點(diǎn)測(cè)

得力點(diǎn)仰角分別是60°,30°,則/點(diǎn)離地面的高度46等于（）

A.5附米B.100第米

C.50米D.100米

【答案】A

【解析】因?yàn)?為。一/小60°-30°=30°,

所以△4%為等腰三角形，

所以/C=2C=100米，

在中，AB=ACsi'a60°=50斕米.

3.一艘船上午9：30在/處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且

與它相距8斕海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)

6處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75。的方向，此船的航速是（）

A.8（加+鏡）海里/時(shí)

B.8（4一嫡）海里/時(shí)

C.16（m+鏡）海里/時(shí)

D.16（4一鏡）海里/時(shí)

【答案】D

【解析】由題意得在△必6中，N皿S=30°,/泌=180°-75°=

105°,N6弘=45°.

,丁4、蟲(chóng),口SAAB

由正弦定理得一一o=——左二，

sin1in05sm45

即得AB=8（乖一?。?

si.n呼105=si.n#45vv

因此此船的航速為空坪詆=16（小一也）（海里/小時(shí)）.

2

4.在高出海平面200m的小島頂上/處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩

船的俯角分別是45°與30°,此時(shí)兩船間的距離為m.

【答案】200（73+1）

【解析】過(guò)點(diǎn)A作加于點(diǎn)H,

由圖易知/54Q45°,ZCAH=60°,47=200m,

貝l|BH=AH=2QQm,CH=AH-tan60°=200^3m.

故兩船距離8C=加帕200(/+l)m.

5.海上某貨輪在4處看燈塔6在貨輪北偏東75°,距離為12小海里；

在/處看燈塔G在貨輪的北偏西30°,距離為外向海里；貨輪向正北

由4處航行到。處時(shí)看燈塔8在北偏東120°,求：

(1)/處與，處之間的距離；

⑵燈塔C與，處之間的距離.

【解析】由題意，畫(huà)出示意圖.

⑴在△/M中，由己知//應(yīng)=60°,6=45°,26=124.

AB

由正弦定理得/〃=.劭。?sin45°=24(海里).

sin60

(2)在△/加中，由余弦定理得切=/〃+//—249?/Cbos30°=242+

(873)2-2X24X8小乂坐=(8^3)2,

...繆=八舟(海里).

即/處與，處之間的距離為24海里，C,〃之間的距離為海里.

四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一

1、解決應(yīng)用題的思想方法是什么？步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，

把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即數(shù)學(xué)建模思想。提高概括能力,提高學(xué)

2.求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏

(1)、審題(分析題意，弄清已知和所求，根據(jù)提意，畫(huà)出示意圖；輯推理能力。

(2).建模(將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題)

(3)求模(正確運(yùn)用正、余弦定理求解)

(4)還原。

五、作業(yè)

習(xí)題6.48,9題

【教學(xué)反思】

本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課,可

以說(shuō)是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要

作用。并根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知水平,確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生已經(jīng)

學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理,能夠運(yùn)用解決一些三角形問(wèn)題,具有了一定的基礎(chǔ)。但學(xué)生在運(yùn)

用正弦定理和余弦定理解三角形時(shí)候不能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的問(wèn)題，構(gòu)造模型的能

力有待提高。我認(rèn)為本堂課學(xué)生難點(diǎn)在于:實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形,然后解三角

形,得到實(shí)際問(wèn)題的解，并且能根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型,畫(huà)出示意圖。

《6.4.3余弦定理、正弦定理》導(dǎo)學(xué)案

第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；

2.了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)；

3.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法解決有關(guān)距離、高度、角度的實(shí)際問(wèn)題。

【教學(xué)重點(diǎn)】：實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際

問(wèn)題的解；

【教學(xué)難點(diǎn)】：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖。

【知識(shí)梳理】

1.基線(xiàn)的概念與選擇原則

(1)定義

在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的叫做基線(xiàn).

(2)性質(zhì)

在測(cè)量過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的,使測(cè)量具有較高的精確度.一般

來(lái)說(shuō)，基線(xiàn)越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.

2.測(cè)量中的有關(guān)角的概念

（1）仰角和俯角

與目標(biāo)視線(xiàn)在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)上方

時(shí)叫,目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)下方時(shí)叫.（如圖所示）

（2）方向角

從指定方向線(xiàn)到目標(biāo)方向線(xiàn)所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向?yàn)槭歼?，?/p>

時(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60°.（如圖所示）

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探索新知

類(lèi)型一距離問(wèn)題

例1如圖，A,B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A,B兩點(diǎn)間的距離

的方法.并求出A,B間的距離。

..........

思考：在上述測(cè)量方案下，還有其他計(jì)算A,B兩點(diǎn)間距離的方法嗎？

可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)

程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇

最佳的計(jì)算方式.

L基線(xiàn)：在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線(xiàn)段叫做0如例1中

的CD,為使測(cè)量具有較高精準(zhǔn)度，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線(xiàn)長(zhǎng)度，基線(xiàn),

精確到越高。如：

類(lèi)型二底部不可到達(dá)的建筑物的高度

例2如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量

建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。

類(lèi)型三角度問(wèn)題

例3.位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇

險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救。甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西30°,且與甲船相

距7nmile的C處的乙船，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線(xiàn)（由觀(guān)測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)

的視線(xiàn)）的方向是北偏東多少度（精確到1°）?需要航行的距離是多少海里（精確到1n

mile）?

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.如圖所示，已知兩座燈塔4和6與海洋觀(guān)察站C的距離相等，燈塔/在觀(guān)察站C的

北偏東40°,燈塔8在觀(guān)察站C的南偏東60°,則燈塔4在燈塔6的（）

A.北偏東5°

C.南偏東5°D.南偏西10°

2.如圖，D,C,6三點(diǎn)在地面同一直線(xiàn)上,2c=100米，從C,2兩點(diǎn)測(cè)得/點(diǎn)仰角分

別是60°,30°,則/點(diǎn)離地面的高度45等于（）

A.5咪米B.10附米

C.50米D.100米

3.一艘船上午9：30在4處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距隊(duì)也

海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)8處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的

北偏東75°的方向，此船的航速是（）

A.8（m+4）海里/時(shí)

B.8（加—/）海里/時(shí)

C.16（4+鏡）海里/時(shí)

D.16（加一鏡）海里/時(shí)

4.在高出海平面200m的小島頂上/處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別

是45°與30°,此時(shí)兩船間的距離為m.

5.海上某貨輪在4處看燈塔6在貨輪北偏東75°,距離為124海里;在4處看燈塔C,

在貨輪的北偏西30。，距離為隊(duì)門(mén)海里；貨輪向正北由4處航行到，處時(shí)看燈塔8在北偏

東120°,求：

（1）4處與〃處之間的距離；

⑵燈塔。與。處之間的距離.

參考答案：

例1.解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)GD,測(cè)得。a,并且在G〃兩點(diǎn)分別測(cè)得

ZBCA=a,ZACD=&,ACDB^y,ZBDA=8,

:入：

?'?7

在A(yíng)ADC和ABDC中，應(yīng)用正弦定理得

_八w)irsin(/I8)

M"sintiaO'-^-brM-fl))sin(/?lyIfl)'

...?/sinYasn\Y

’sinIs。(?i■/?-y)|nin(a陽(yáng)y>,

于是，在A(yíng)ABC中，應(yīng)用余弦定理可得A,B兩

點(diǎn)間的距離

Ali一代、阡心"二2八1'\心'<、娘。

_/a：xin“y+占)n:sitfy2<t：甫n(y+5)xinyccwa

y?irr(^+X+i)sin"a+a+y)3in(^+/+^)sin(a+^+y)'

思考：先求AD,BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而在三角形ABD中，求A,B間的距離。

例2.選擇一條水平基線(xiàn)HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.由在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器

測(cè)得A的仰角分別是a,B,CD=a,測(cè)角儀器的高是h,那么，在4ACD中，根據(jù)正弦定理可

得

八八asinB

AC^-r-z-

suAa-fl)

所以?這座建筑物的高度為

AB=AE+A

=ACsina+A

asinasinR,

4n(a—㈤+h*

例3.根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，如圖。

20nmile

由余弦定理，得3c2=AB2+AC2—2AB-ACCOS120°

=202+72-2X20X7X(-1)=589

于是BCq24(nmile)

P口?士工m

141ZBsinCsin120.2573

由正弦定理，得-----=--------，于是sinC=--------------------

20242412

由于0°<C<90°,所以CB46°

因此，乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東46°+30°=76°

大約需要航行24nmile.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【答案】B

【解析】由題意可知N4%=180°-40°-60°=80°.,：AC=BC,：.Z.CAB=ACBA

50°,從而可知燈塔力在燈塔6的北偏西10°.

2.【答案】A

【解析】因?yàn)?的「=///—/〃=60°-30°=30°,

所以△力%為等腰三角形，

所以4C=〃C=100米，

在Rt△被7中，AB^ACsin60°=50m米.

3.【答案】D

【解析】由題意得在△義方中，N掰S=30°,ZSS4=180°-75°=105°,ZBSA

45

CJAB

由正弦定理彳%

sin45

即品！10歹=市%得AB=8(#—p,

8(A/6—J2)

因此此船的航速為1=16（小—豆）（海里/小時(shí)）.

2

4.【答案】200(^3+1)

【解析】過(guò)點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)、H,

A

由圖易知/掰〃=45°,/俏〃=60°,47=200m,

貝l|BH=AH=2QQm,CH=AH-tan60°=200mm.

故兩船距離比'=9+)=200(45+1)m.

5.【解析】由題意，畫(huà)出示意圖.

（1）在△9中，由已知/4%=60°,6=45°,48=12#.

AB

由正弦定理得力。=.皈。?sin45°=24（海里）.

sin60

⑵在中，由余弦定理得af^Alf+A^-2AD-ACcos30°=242+（8-\/3）2-

2X24X8（><2=（8小）:

.?.切=84（海里）.

即/處與，處之間的距離為24海里，C,2之間的距離為8鎘海里.

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)

第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例

一、選擇題

1.某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好

小km,那么x的值是（）

A.有B.273C.3D.或百

2.藍(lán)軍和紅軍進(jìn)行軍事演練，藍(lán)軍在距離衛(wèi)士。的軍事基地C和。，測(cè)得紅軍的兩支

2

精銳部隊(duì)分別在A(yíng)處和8處，且NAZ）B=3O°,ZBDC=30°,ZDCA=6Q°,

ZACB=45°,如圖所示，則紅軍這兩支精銳部隊(duì)間的距離是（）

B

.旦aB.亞

42

3.如圖，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A,B間的距離（此障礙物阻擋了A,B之間的視線(xiàn)）,

給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)

D.輅勰頷

4.如圖所示，長(zhǎng)為4m的木棒A5斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處2m的

地面上，另一端3在離堤足。處3nl的石堤上，石堤的傾斜角為a,則坡度值tana等于

5.（多選題）某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出

發(fā)點(diǎn)恰好看km,那么x的值是（）

A.也B.2上C.3D.6

6.（多選題）一艘輪船從A出發(fā)，沿南偏東70。的方向航行40海里后到達(dá)海島B,然后

從B出發(fā)，沿北偏東35。的方向航行了40立海里到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到

C,此船航行的方向和路程（海里）分別為（）

A.北偏東80°B.北偏東65°C.20(#+也)D.20(b+2)

二、填空題

7.某人站在60米高的樓頂A處測(cè)量不可到達(dá)的電視塔高，測(cè)得塔頂C的仰角為30°,

塔底B的俯角為15°,已知樓底部D和電視塔的底部B在同一水平面上，則電視塔的高

為米.

8.在0點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)刻物體位于P點(diǎn)，一分鐘后,

其位置在Q點(diǎn)，且NPOQ=90°,再過(guò)一分鐘，該物體位于R點(diǎn)，且NQOA=30。，則

tanZOPQ的值是.

9.如圖，海中有一小島B,周?chē)?.8海里內(nèi)有暗礁.一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，

望見(jiàn)小島B在北偏東75°,航行8海里到達(dá)C處，望見(jiàn)小島B在北偏東60°.若此艦不改

變航行的方向繼續(xù)前進(jìn)，則此艦觸礁的危險(xiǎn).(填''有"或“沒(méi)有”)

10.甲船在島B的正南A處，AB="10"km,甲船以每小時(shí)4km的速度向正北航行，同

時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲、乙兩船相距最近

時(shí)，它們所航行的時(shí)間是h,最近距離是km.

三、解答題

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系龍中，已知點(diǎn)/(—3,1),直線(xiàn)陽(yáng)的傾斜角為45°,且

如=用

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度；

2)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，取1厘米為單位長(zhǎng)度.現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)戶(hù)以1厘米/秒的速度

從點(diǎn)8出發(fā)，沿傾斜角為60°的射線(xiàn)8c運(yùn)動(dòng)，另一質(zhì)點(diǎn)0同時(shí)以鏡厘米/秒的速度從點(diǎn)/

出發(fā)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如果要使得質(zhì)點(diǎn)。與戶(hù)會(huì)合于點(diǎn)G那么需要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？

12.如圖，在海島力上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀(guān)察站戶(hù)(觀(guān)察站高度忽

略不計(jì)），上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東30°方向，俯角為30°的6處，到n時(shí)10

分又測(cè)得該船在島北偏西60°方向，俯角為60°的C處.

（1）求船的航行速度是每小時(shí)多少千米？

⑵又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的，處，問(wèn)此時(shí)船距島/有多遠(yuǎn)?

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)答案解析

第3課時(shí)余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例

一、選擇題

1.某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好

73km,那么x的值是（）

A.也B.273C.3D.或百

【答案】D

【解析】

由題作出不意圖，如圖所不，易知5=30°,AC==3,由正弦定理得

..BCsinB3sin3O。百

sinA--------=----尸—=—，

AC62

C

因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?=30°，所以A有兩解，即A=60°或A=120°.

當(dāng)A=60。時(shí)，NACB=90°,x=2百；

當(dāng)A=120°時(shí)，ZACB=30°,x=y/3.

本題選擇〃選項(xiàng).

2.藍(lán)軍和紅軍進(jìn)行軍事演練，藍(lán)軍在距離。的軍事基地。和￡>,測(cè)得紅軍的兩支

2

精銳部隊(duì)分別在A(yíng)處和8處，且NADS=30°,ZBDC=30°,ZDC4=60°,

ZACB=45°,如圖所示，則紅軍這兩支精銳部隊(duì)間的距離是（

V63

---CLC.-CLD2

282

【答案】A

【解析】因?yàn)镹AO3=30°,ZBDC=30°,所以44。。=/4?！?gt;=60°,所以4ADC

是等邊三角形，所以AC=CD=、3a.

2

A/31

DC，所以5C=2漁q.

在A(yíng)BDC中，根據(jù)正弦定理得，——

sinZBDCsinZDBC丁4

在4ABC中，根據(jù)余弦定理得,

AB-=⑶+如一2."acos45°--a1,

I2JI4J248

所以=

4

3.如圖，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A,B間的距離（此障礙物阻擋了A,B之間的視線(xiàn)）,

給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)

C.碑劇,爵D.喇飆離

【答案】C

【解析】

由余弦定理,短戶(hù)=渥書(shū)景1-巍澈以藤野知，需要測(cè)量數(shù)據(jù)蒯色趴故選C.

4.如圖所示，長(zhǎng)為4m的木棒A3斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處2m的

地面上，另一端3在離堤足C處3m的石堤上，石堤的傾斜角為a,則坡度值tana等于

()

12315n~T11

A.-——B.—C.VI5D.—

5165

【答案】C

【解析】由題意可得，在A(yíng)ABC中，AB=4m,AC=2m,BC=3m,且a+/ACB=m.

由余弦定理可得，AB2^AC2+BC2-2xACxBCxcosZACB,即

cosa=—,所以sina=邊5,所以

42=22+32-2x2x3xcos(7i-?),解得

44

sina

tana=-----=屈.

cosa

5.（多選題）某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出

發(fā)點(diǎn)恰好看km,那么x的值是（）

A.也B.2^3C.3D.6

【答案】AB

【解析】由題作出示意圖，如圖所示，易知8=30"，工C=4，BC=3,由正弦定理得

BCsinB3sM300_出

sinA==

AC~1TT

A>B

C

因?yàn)锽C＞工C，所以工＞3，又因?yàn)?=30?，所以/有兩解，即工=600或4=120,.

當(dāng)4=600時(shí)，/jiCB=90°,x=2y/3；

當(dāng)月=1200時(shí)，^ACB=30",x=y/3.

本題選擇AB選項(xiàng).

6.（多選題）一艘輪船從A出發(fā)，沿南偏東70。的方向航行40海里后到達(dá)海島B,然后

從B出發(fā)，沿北偏東35。的方向航行了40立海里到達(dá)海島Q如果下次航行直接從A出發(fā)到

C,此船航行的方向和路程（海里）分別為（）

A.北偏東80。B.北偏東65。C.20（#+也）D.20（布+2）

【答案】BC

【解析】依題意可得在LABC中N8=70°+35°=105°,\AB\=40,|5C|=4072.

0

cosB—cos105°=cos（45°+60°）=cos45cos60°—sin45°sin60°

_V2vl短y書(shū)—貶-X

-V2~~TT~~

由余弦定理可得

Mcf=\ABf+\Bcf-2M同忸C|cos3

=1600+3200-2x40x4072

4

=800（4+24j=[200|'V3+1）]2

二,3=20點(diǎn)[的+lj=20[?+VT|.

sinB=sin105,=sin（45°+60"）=sin45°cos60°+cos45,sin60"

_721顯出_0+依

-------X-+-------X-------=------------------,

22224

由正弦定理可得變1=四■=＞SmA=忸"in8=64=也，

sin工sm5"?C|-20硬+后~?

由題意可知在2UBC中/工為銳角，所以/j=4夕.

所以如果下次航行直接從A出發(fā)到C,此船航行的方向?yàn)楸逼珫|

90'-[45,-（90o-70oi]=65G,路程為20（R+點(diǎn)）海里.故BC正確.

二、填空題

7.某人站在60米高的樓頂A處測(cè)量不可到達(dá)的電視塔高，測(cè)得塔頂C的仰角為30°,

塔底B的俯角為15°,已知樓底部D和電視塔的底部B在同一水平面上，則電視塔的高

為米.

【答案】120+40指

【解析】

如圖,用AD表示樓高,AE與水平面平行,E在線(xiàn)段BC上,

C

--------'D

因?yàn)镹CAE=30°,NBAE=15°,AD=BE=60,

fBE60_

貝ijAE===bl20+60、,3，

在RtAAEC中，

CE=AE?tan30°=（120+60、口）X?60+4（\天，

BC=CE+BE=60+40v,l+60=（120+40vg）米，

所以塔高為（120+40W）米.

8.在0點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)刻物體位于P點(diǎn)，一分鐘后,

其位置在Q點(diǎn)，且NPOQ=90。，再過(guò)一分鐘，該物體位于R點(diǎn)，且NQOA=30。，則

tanNOPQ的值是.

【答案】旦

2

【解析】由于物體均速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意，PQ=QR,不妨設(shè)其長(zhǎng)度為1.

在RtNPOQ中，OQ=sinAOPQ,OP=cosAOPQ.

OP

在A(yíng)O依中，由正弦定理得-------,在A(yíng)ORQ中,

sinl20°sinZORP

1_OQ

s，〃30°sinZORQ

兩式兩邊同時(shí)相除，得也=心.

OP2

又在WAOPQ中，tanZOPQ=^,所以ta〃NOPQ=^.

9.如圖，海中有一小島B,周?chē)?.8海里內(nèi)有暗礁.一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，

望見(jiàn)小島B在北偏東75°,航行8海里到達(dá)C處，望見(jiàn)小島B在北偏東60°.若此艦不改

變航行的方向繼續(xù)前進(jìn)，則此艦觸礁的危險(xiǎn).(填“有”或“沒(méi)有”)

【答案】沒(méi)有

【解析】

過(guò)點(diǎn)B作BD_LAE交AE于D,由已知，AC=8,ZABD=75°,ZCBD=60°,

在RtAACD中，AD=BD?tanZABD=z，BD?tan”75°,

在Rt△，露麒翹中，CD=BD?tanZCBD=BD?tan60°,

所以AD—CD=BD(tan75°-tan60°)=AC=8,

陶叫

所以孰='=堿所以該軍艦沒(méi)有觸礁的

他醐K卷尸一他則蒯尸