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文檔簡介

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教學(xué)設(shè)計

第3課時余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》(人教A版)第六章《平面向

量及其應(yīng)用》,本節(jié)課主要學(xué)習(xí)利用正弦定理、余弦定理來求不能到達的兩點之間的距離、

底部不能到達的建筑物的高、角度問題。

正弦定理、余弦定理是學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量之后要掌握的兩個重要定理,運用這兩個定

理可以初步解決幾何及工業(yè)測量等實際問題,是解決有關(guān)三角形問題的有力工具。

這是一節(jié)關(guān)于正、余弦定理應(yīng)用舉例課.利用應(yīng)用舉例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。把應(yīng)

用正余弦定理解決有關(guān)距離、高度、角度等問題融合起來,讓學(xué)生經(jīng)歷情景的過程中解決數(shù)

學(xué)問題。

【教學(xué)目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學(xué)科素養(yǎng)

A.進一步熟悉余弦定理、正弦定理;1.數(shù)學(xué)抽象:常用的測量相關(guān)術(shù)語;

B.了解常用的測量相關(guān)術(shù)語;2.邏輯推理:將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;

C.能運用余弦定理、正弦定理等知識和方法3.數(shù)學(xué)運算:利用余弦定理、正弦定理求高度、距離、

解決有關(guān)距離、高度、角度的實際問題。角;

4.數(shù)學(xué)模型:在適當?shù)娜切沃薪飧叨?、距離、角度。

【教學(xué)重點】:實際問題中抽象出一個或幾個三角形,然后逐個解決三角形,得到實際

問題的解;

【教學(xué)難點】:根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型,畫出示意圖。

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

一、復(fù)習(xí)回顧,溫故知新

1.正弦定理:-^—=-^—=-^=2R通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)知

sinAsin3sinC

識,引入本節(jié)新課。建

立知識間的聯(lián)系,提高

2.正弦定理的變形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC

sinA=-^,sinB=-^-,sinC學(xué)生概括、類比推理的

2R2R2R

能力。

sinA:sinB:sinC=<2:/?:c

3.余弦定理:

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a1+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

變形:

.b2+c2-a2

cosA=--------------

2bc

_c2+CL1-b2

cosn=--------------

lea

a+b2-c1

cosC=--------------

lab

4.三角形中的結(jié)論:

A+B+C=TI\sin(A+B)=sinC,cos(A+jB)=-cosC

,A+BCA+B.C

sin-------=cos-,cos--------=sin—

2222

5.情境引入:(1)現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物的

高度呢?又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮0胃叨饶兀?/p>

(2)在實際的航海生活中,人們也會遇到如下的問題:在浩瀚的海面上

如何確保輪船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?

二、探索新知

通過例題讓學(xué)生進一步

類型一距離問題

理解用正弦定理、余弦

例1如圖,A,B兩點都在河的對岸(不可到達),設(shè)計一種測量A,B

定理求距離,提高學(xué)生

.............

A,的解決問題、分析問題

的能力。

兩點間的距離的方法.并求出A,B間的距離。

解:測量者可以在河岸邊選定兩點C,D,測得

緇a,并且在G2兩點分別測得一"Z

A,.........

BCA=a,ZACD=&,ZCDB=y,Z—i*-'

!/■"

BDA=8,:?'

一、,7^

在AADC和ABDC中,應(yīng)用正弦定小,「一理得

<lln(y+a)<rsin(/1

nMnLlSO'-^-by-lff)]Mn(//l>Iff)'

,心iiiY<.?sin7

sin180"(a1fl-|sin(rr4/),

于是,在AABC中,應(yīng)用余弦定理可得A,B兩

點間的距離

A8一瘋'阡BC匚2AL,B('m<a

/a:*in“y+d)a'itfy2a'而。+&)而Occwa

V?in:<^+y+3)sin'S+f+y)*in(,+y+8”in(a+P+y)'

思考:在上述測量方案下,還有其他計算A,B兩點間距離的方法嗎?

【分析】先求AD,BD的長度,進而在三角形ABD中,求A,B間的距離。

可見,在研究三角形時,靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的

方案,但有些過程較繁復(fù),如何找到最優(yōu)的方法,最主要的還是分析兩

個定理的特點,結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式.

通過思考,進一步理解

L基線:在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線。

用正弦定理、余弦定理

如例1中的CD,為使測量具有較高精準度,應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的

求距離問題的一題多

基線長度,基線越長,精確到越高。如:

解,提高學(xué)生分析問題、

.\概括能力。

/****<-

*2_____________■

ft

類型二底部不可到達的建筑物的高度

例2如圖,AB是底部B不可到達的一座建筑物,A為建筑物的最高點,

設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。

A

m

【分析】如圖,求AB長的關(guān)鍵是先求AE,在4ACE中,如能求出C點

到建筑物頂部A的距離CA,再測出由C點觀察A的仰角,就可以計算出

AE的長.

通過例題讓學(xué)生進一步

【解析】選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上.由在

理解用正弦定理、余弦

H,G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是a,B,CD=a,測角儀器的高是h,

定理求高度,提高學(xué)生

那么,在4ACD中,根據(jù)正弦定理可得

的解決問題、分析問題

AC—sin2.的能力。

sinS—'V

所以,這座建筑物的高度為

AB=AE+A

=ACsina+/i

asinasinB

?in(4r—jJ)+"?

類型三角度問題

例3.位于某海域A處的甲船獲悉,在其正東方向相距20nmile的B處

有一艘漁船遇險后拋錨等待營救。甲船立即前往營救,同時把消息告知

位于甲船南偏西30°,且與甲船相距7nmile的C處的乙船,那么乙船

前往營救遇險漁船時的目標方向線(由觀測點看目標的視線)的方向是

北偏東多少度(精確到1°)?需要航行的距離是多少海里(精確到1n

mile)?

20nmile

通過例題讓學(xué)生進一步

解:根據(jù)題意,畫出示意圖,如圖。

理解用正弦定理、余弦

由余弦定理,得=AB2+AC2—2AB-ACCOS120°定理求角度,提高學(xué)生

=202+72-2X20X7X(-1)=589的用數(shù)學(xué)知識解決實際

問題的能力、分析問題

于是BCb24(nmile)

的能力。

9nV3

由.sinCsin120°工日.?25V3

由正弦定理,得-----=--------,于是sinC=----------=------

20242412

由于0°<C<90°,所以0^46°

因此,乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東46°+30°=76°

大約需要航行24nmile.

三、達標檢測

1.如圖所示,已知兩座燈塔/和方與海洋觀察站。的距離相等,燈塔/通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)

在觀察站C的北偏東40°,燈塔6在觀察站。的南偏東60°,則燈塔/知識,通過學(xué)生解決問

在燈塔8的()題的能力,感悟其中蘊

含的數(shù)學(xué)思想,增強學(xué)

生的應(yīng)用意識。

7B

A.北偏東5°B.北偏西10°

C.南偏東5°D.南偏西10°

【答案】B

【解析】由題意可知/42?=180°-40°-60°=80°.':AC=BC,:.Z

。6=/加=50°,從而可知燈塔/在燈塔6的北偏西10°.

2.如圖,D,C,8三點在地面同一直線上,2c=100米,從G,兩點測

得力點仰角分別是60°,30°,則/點離地面的高度46等于()

A.5附米B.100第米

C.50米D.100米

【答案】A

【解析】因為/為。一/小60°-30°=30°,

所以△4%為等腰三角形,

所以/C=2C=100米,

在中,AB=ACsi'a60°=50斕米.

3.一艘船上午9:30在/處,測得燈塔S在它的北偏東30°的方向,且

與它相距8斕海里,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達

6處,此時又測得燈塔S在它的北偏東75。的方向,此船的航速是()

A.8(加+鏡)海里/時

B.8(4一嫡)海里/時

C.16(m+鏡)海里/時

D.16(4一鏡)海里/時

【答案】D

【解析】由題意得在△必6中,N皿S=30°,/泌=180°-75°=

105°,N6弘=45°.

,丁4、蟲,口SAAB

由正弦定理得一一o=——左二,

sin1in05sm45

即得AB=8(乖一?。?

si.n呼105=si.n#45vv

因此此船的航速為空坪詆=16(小一也)(海里/小時).

2

4.在高出海平面200m的小島頂上/處,測得位于正西和正東方向的兩

船的俯角分別是45°與30°,此時兩船間的距離為m.

【答案】200(73+1)

【解析】過點A作加于點H,

由圖易知/54Q45°,ZCAH=60°,47=200m,

貝l|BH=AH=2QQm,CH=AH-tan60°=200^3m.

故兩船距離8C=加帕200(/+l)m.

5.海上某貨輪在4處看燈塔6在貨輪北偏東75°,距離為12小海里;

在/處看燈塔G在貨輪的北偏西30°,距離為外向海里;貨輪向正北

由4處航行到。處時看燈塔8在北偏東120°,求:

(1)/處與,處之間的距離;

⑵燈塔C與,處之間的距離.

【解析】由題意,畫出示意圖.

⑴在△/M中,由己知//應(yīng)=60°,6=45°,26=124.

AB

由正弦定理得/〃=.劭。?sin45°=24(海里).

sin60

(2)在△/加中,由余弦定理得切=/〃+//—249?/Cbos30°=242+

(873)2-2X24X8小乂坐=(8^3)2,

...繆=八舟(海里).

即/處與,處之間的距離為24海里,C,〃之間的距離為海里.

四、小結(jié)通過總結(jié),讓學(xué)生進一

1、解決應(yīng)用題的思想方法是什么?步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容,

把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即數(shù)學(xué)建模思想。提高概括能力,提高學(xué)

2.求解三角形應(yīng)用題的一般步驟:生的數(shù)學(xué)運算能力和邏

(1)、審題(分析題意,弄清已知和所求,根據(jù)提意,畫出示意圖;輯推理能力。

(2).建模(將實際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的數(shù)學(xué)問題)

(3)求模(正確運用正、余弦定理求解)

(4)還原。

五、作業(yè)

習(xí)題6.48,9題

【教學(xué)反思】

本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應(yīng)用課,可

以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計的,因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實際的重要

作用。并根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認知水平,確定了本節(jié)課的教學(xué)目標,學(xué)生已經(jīng)

學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理,能夠運用解決一些三角形問題,具有了一定的基礎(chǔ)。但學(xué)生在運

用正弦定理和余弦定理解三角形時候不能將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的問題,構(gòu)造模型的能

力有待提高。我認為本堂課學(xué)生難點在于:實際問題中抽象出一個或幾個三角形,然后解三角

形,得到實際問題的解,并且能根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型,畫出示意圖。

《6.4.3余弦定理、正弦定理》導(dǎo)學(xué)案

第3課時余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標】

1.進一步熟悉余弦定理、正弦定理;

2.了解常用的測量相關(guān)術(shù)語;

3.能運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決有關(guān)距離、高度、角度的實際問題。

【教學(xué)重點】:實際問題中抽象出一個或幾個三角形,然后逐個解決三角形,得到實際

問題的解;

【教學(xué)難點】:根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型,畫出示意圖。

【知識梳理】

1.基線的概念與選擇原則

(1)定義

在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的叫做基線.

(2)性質(zhì)

在測量過程中,應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的,使測量具有較高的精確度.一般

來說,基線越長,測量的精確度越高.

2.測量中的有關(guān)角的概念

(1)仰角和俯角

與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方

時叫,目標視線在水平視線下方時叫.(如圖所示)

(2)方向角

從指定方向線到目標方向線所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向為始邊,順

時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.(如圖所示)

【學(xué)習(xí)過程】

一、探索新知

類型一距離問題

例1如圖,A,B兩點都在河的對岸(不可到達),設(shè)計一種測量A,B兩點間的距離

的方法.并求出A,B間的距離。

..........

思考:在上述測量方案下,還有其他計算A,B兩點間距離的方法嗎?

可見,在研究三角形時,靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案,但有些過

程較繁復(fù),如何找到最優(yōu)的方法,最主要的還是分析兩個定理的特點,結(jié)合題目條件來選擇

最佳的計算方式.

L基線:在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做0如例1中

的CD,為使測量具有較高精準度,應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的基線長度,基線,

精確到越高。如:

類型二底部不可到達的建筑物的高度

例2如圖,AB是底部B不可到達的一座建筑物,A為建筑物的最高點,設(shè)計一種測量

建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。

類型三角度問題

例3.位于某海域A處的甲船獲悉,在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇

險后拋錨等待營救。甲船立即前往營救,同時把消息告知位于甲船南偏西30°,且與甲船相

距7nmile的C處的乙船,那么乙船前往營救遇險漁船時的目標方向線(由觀測點看目標

的視線)的方向是北偏東多少度(精確到1°)?需要航行的距離是多少海里(精確到1n

mile)?

【達標檢測】

1.如圖所示,已知兩座燈塔4和6與海洋觀察站C的距離相等,燈塔/在觀察站C的

北偏東40°,燈塔8在觀察站C的南偏東60°,則燈塔4在燈塔6的()

A.北偏東5°

C.南偏東5°D.南偏西10°

2.如圖,D,C,6三點在地面同一直線上,2c=100米,從C,2兩點測得/點仰角分

別是60°,30°,則/點離地面的高度45等于()

A.5咪米B.10附米

C.50米D.100米

3.一艘船上午9:30在4處,測得燈塔S在它的北偏東30°的方向,且與它相距隊也

海里,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達8處,此時又測得燈塔S在它的

北偏東75°的方向,此船的航速是()

A.8(m+4)海里/時

B.8(加—/)海里/時

C.16(4+鏡)海里/時

D.16(加一鏡)海里/時

4.在高出海平面200m的小島頂上/處,測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別

是45°與30°,此時兩船間的距離為m.

5.海上某貨輪在4處看燈塔6在貨輪北偏東75°,距離為124海里;在4處看燈塔C,

在貨輪的北偏西30。,距離為隊門海里;貨輪向正北由4處航行到,處時看燈塔8在北偏

東120°,求:

(1)4處與〃處之間的距離;

⑵燈塔。與。處之間的距離.

參考答案:

例1.解:測量者可以在河岸邊選定兩點GD,測得。a,并且在G〃兩點分別測得

ZBCA=a,ZACD=&,ACDB^y,ZBDA=8,

:入:

?'?7

在AADC和ABDC中,應(yīng)用正弦定理得

_八w)irsin(/I8)

M"sintiaO'-^-brM-fl))sin(/?lyIfl)'

...?/sinYasn\Y

’sinIs。(?i■/?-y)|nin(a陽y>,

于是,在AABC中,應(yīng)用余弦定理可得A,B兩

點間的距離

Ali一代、阡心"二2八1'\心'<、娘。

_/a:xin“y+占)n:sitfy2<t:甫n(y+5)xinyccwa

y?irr(^+X+i)sin"a+a+y)3in(^+/+^)sin(a+^+y)'

思考:先求AD,BD的長度,進而在三角形ABD中,求A,B間的距離。

例2.選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上.由在H,G兩點用測角儀器

測得A的仰角分別是a,B,CD=a,測角儀器的高是h,那么,在4ACD中,根據(jù)正弦定理可

八八asinB

AC^-r-z-

suAa-fl)

所以?這座建筑物的高度為

AB=AE+A

=ACsina+A

asinasinR,

4n(a—㈤+h*

例3.根據(jù)題意,畫出示意圖,如圖。

20nmile

由余弦定理,得3c2=AB2+AC2—2AB-ACCOS120°

=202+72-2X20X7X(-1)=589

于是BCq24(nmile)

P口?士工m

141ZBsinCsin120.2573

由正弦定理,得-----=--------,于是sinC=--------------------

20242412

由于0°<C<90°,所以CB46°

因此,乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東46°+30°=76°

大約需要航行24nmile.

達標檢測

1.【答案】B

【解析】由題意可知N4%=180°-40°-60°=80°.,:AC=BC,:.Z.CAB=ACBA

50°,從而可知燈塔力在燈塔6的北偏西10°.

2.【答案】A

【解析】因為/的「=///—/〃=60°-30°=30°,

所以△力%為等腰三角形,

所以4C=〃C=100米,

在Rt△被7中,AB^ACsin60°=50m米.

3.【答案】D

【解析】由題意得在△義方中,N掰S=30°,ZSS4=180°-75°=105°,ZBSA

45

CJAB

由正弦定理彳%

sin45

即品!10歹=市%得AB=8(#—p,

8(A/6—J2)

因此此船的航速為1=16(小—豆)(海里/小時).

2

4.【答案】200(^3+1)

【解析】過點A作AHLBC于點、H,

A

由圖易知/掰〃=45°,/俏〃=60°,47=200m,

貝l|BH=AH=2QQm,CH=AH-tan60°=200mm.

故兩船距離比'=9+)=200(45+1)m.

5.【解析】由題意,畫出示意圖.

(1)在△9中,由已知/4%=60°,6=45°,48=12#.

AB

由正弦定理得力。=.皈。?sin45°=24(海里).

sin60

⑵在中,由余弦定理得af^Alf+A^-2AD-ACcos30°=242+(8-\/3)2-

2X24X8(><2=(8?。?

.?.切=84(海里).

即/處與,處之間的距離為24海里,C,2之間的距離為8鎘海里.

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)

第3課時余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例

一、選擇題

1.某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出發(fā)點恰好

小km,那么x的值是()

A.有B.273C.3D.或百

2.藍軍和紅軍進行軍事演練,藍軍在距離衛(wèi)士。的軍事基地C和。,測得紅軍的兩支

2

精銳部隊分別在A處和8處,且NAZ)B=3O°,ZBDC=30°,ZDCA=6Q°,

ZACB=45°,如圖所示,則紅軍這兩支精銳部隊間的距離是()

B

.旦aB.亞

42

3.如圖,為了測量某障礙物兩側(cè)A,B間的距離(此障礙物阻擋了A,B之間的視線),

給定下列四組數(shù)據(jù),測量時應(yīng)當用數(shù)據(jù)

D.輅勰頷

4.如圖所示,長為4m的木棒A5斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處2m的

地面上,另一端3在離堤足。處3nl的石堤上,石堤的傾斜角為a,則坡度值tana等于

5.(多選題)某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出

發(fā)點恰好看km,那么x的值是()

A.也B.2上C.3D.6

6.(多選題)一艘輪船從A出發(fā),沿南偏東70。的方向航行40海里后到達海島B,然后

從B出發(fā),沿北偏東35。的方向航行了40立海里到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到

C,此船航行的方向和路程(海里)分別為()

A.北偏東80°B.北偏東65°C.20(#+也)D.20(b+2)

二、填空題

7.某人站在60米高的樓頂A處測量不可到達的電視塔高,測得塔頂C的仰角為30°,

塔底B的俯角為15°,已知樓底部D和電視塔的底部B在同一水平面上,則電視塔的高

為米.

8.在0點測量到遠處有一物體在做勻速直線運動,開始時刻物體位于P點,一分鐘后,

其位置在Q點,且NPOQ=90°,再過一分鐘,該物體位于R點,且NQOA=30。,則

tanZOPQ的值是.

9.如圖,海中有一小島B,周圍3.8海里內(nèi)有暗礁.一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行,

望見小島B在北偏東75°,航行8海里到達C處,望見小島B在北偏東60°.若此艦不改

變航行的方向繼續(xù)前進,則此艦觸礁的危險.(填''有"或“沒有”)

10.甲船在島B的正南A處,AB="10"km,甲船以每小時4km的速度向正北航行,同

時,乙船自B出發(fā)以每小時6km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當甲、乙兩船相距最近

時,它們所航行的時間是h,最近距離是km.

三、解答題

11.如圖,在平面直角坐標系龍中,已知點/(—3,1),直線陽的傾斜角為45°,且

如=用

(1)求點B的坐標及線段AB的長度;

2)在平面直角坐標系xoy中,取1厘米為單位長度.現(xiàn)有一質(zhì)點戶以1厘米/秒的速度

從點8出發(fā),沿傾斜角為60°的射線8c運動,另一質(zhì)點0同時以鏡厘米/秒的速度從點/

出發(fā)作直線運動,如果要使得質(zhì)點。與戶會合于點G那么需要經(jīng)過多少時間?

12.如圖,在海島力上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個觀察站戶(觀察站高度忽

略不計),上午11時,測得一輪船在島北偏東30°方向,俯角為30°的6處,到n時10

分又測得該船在島北偏西60°方向,俯角為60°的C處.

(1)求船的航行速度是每小時多少千米?

⑵又經(jīng)過一段時間后,船到達海島的正西方向的,處,問此時船距島/有多遠?

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習(xí)答案解析

第3課時余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例

一、選擇題

1.某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出發(fā)點恰好

73km,那么x的值是()

A.也B.273C.3D.或百

【答案】D

【解析】

由題作出不意圖,如圖所不,易知5=30°,AC==3,由正弦定理得

..BCsinB3sin3O。百

sinA--------=----尸—=—,

AC62

C

因為所以又因為5=30°,所以A有兩解,即A=60°或A=120°.

當A=60。時,NACB=90°,x=2百;

當A=120°時,ZACB=30°,x=y/3.

本題選擇〃選項.

2.藍軍和紅軍進行軍事演練,藍軍在距離。的軍事基地。和£>,測得紅軍的兩支

2

精銳部隊分別在A處和8處,且NADS=30°,ZBDC=30°,ZDC4=60°,

ZACB=45°,如圖所示,則紅軍這兩支精銳部隊間的距離是(

V63

---CLC.-CLD2

282

【答案】A

【解析】因為NAO3=30°,ZBDC=30°,所以44。。=/4?!?gt;=60°,所以4ADC

是等邊三角形,所以AC=CD=、3a.

2

A/31

DC,所以5C=2漁q.

在ABDC中,根據(jù)正弦定理得,——

sinZBDCsinZDBC丁4

在4ABC中,根據(jù)余弦定理得,

AB-=⑶+如一2."acos45°--a1,

I2JI4J248

所以=

4

3.如圖,為了測量某障礙物兩側(cè)A,B間的距離(此障礙物阻擋了A,B之間的視線),

給定下列四組數(shù)據(jù),測量時應(yīng)當用數(shù)據(jù)

C.碑劇,爵D.喇飆離

【答案】C

【解析】

由余弦定理,短戶=渥書景1-巍澈以藤野知,需要測量數(shù)據(jù)蒯色趴故選C.

4.如圖所示,長為4m的木棒A3斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處2m的

地面上,另一端3在離堤足C處3m的石堤上,石堤的傾斜角為a,則坡度值tana等于

()

12315n~T11

A.-——B.—C.VI5D.—

5165

【答案】C

【解析】由題意可得,在AABC中,AB=4m,AC=2m,BC=3m,且a+/ACB=m.

由余弦定理可得,AB2^AC2+BC2-2xACxBCxcosZACB,即

cosa=—,所以sina=邊5,所以

42=22+32-2x2x3xcos(7i-?),解得

44

sina

tana=-----=屈.

cosa

5.(多選題)某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走3km,結(jié)果離出

發(fā)點恰好看km,那么x的值是()

A.也B.2^3C.3D.6

【答案】AB

【解析】由題作出示意圖,如圖所示,易知8=30",工C=4,BC=3,由正弦定理得

BCsinB3sM300_出

sinA==

AC~1TT

A>B

C

因為BC>工C,所以工>3,又因為3=30?,所以/有兩解,即工=600或4=120,.

當4=600時,/jiCB=90°,x=2y/3;

當月=1200時,^ACB=30",x=y/3.

本題選擇AB選項.

6.(多選題)一艘輪船從A出發(fā),沿南偏東70。的方向航行40海里后到達海島B,然后

從B出發(fā),沿北偏東35。的方向航行了40立海里到達海島Q如果下次航行直接從A出發(fā)到

C,此船航行的方向和路程(海里)分別為()

A.北偏東80。B.北偏東65。C.20(#+也)D.20(布+2)

【答案】BC

【解析】依題意可得在LABC中N8=70°+35°=105°,\AB\=40,|5C|=4072.

0

cosB—cos105°=cos(45°+60°)=cos45cos60°—sin45°sin60°

_V2vl短y書—貶-X

-V2~~TT~~

由余弦定理可得

Mcf=\ABf+\Bcf-2M同忸C|cos3

=1600+3200-2x40x4072

4

=800(4+24j=[200|'V3+1)]2

二,3=20點[的+lj=20[?+VT|.

sinB=sin105,=sin(45°+60")=sin45°cos60°+cos45,sin60"

_721顯出_0+依

-------X-+-------X-------=------------------,

22224

由正弦定理可得變1=四■=>SmA=忸"in8=64=也,

sin工sm5"?C|-20硬+后~?

由題意可知在2UBC中/工為銳角,所以/j=4夕.

所以如果下次航行直接從A出發(fā)到C,此船航行的方向為北偏東

90'-[45,-(90o-70oi]=65G,路程為20(R+點)海里.故BC正確.

二、填空題

7.某人站在60米高的樓頂A處測量不可到達的電視塔高,測得塔頂C的仰角為30°,

塔底B的俯角為15°,已知樓底部D和電視塔的底部B在同一水平面上,則電視塔的高

為米.

【答案】120+40指

【解析】

如圖,用AD表示樓高,AE與水平面平行,E在線段BC上,

C

--------'D

因為NCAE=30°,NBAE=15°,AD=BE=60,

fBE60_

貝ijAE===bl20+60、,3,

在RtAAEC中,

CE=AE?tan30°=(120+60、口)X?60+4(\天,

BC=CE+BE=60+40v,l+60=(120+40vg)米,

所以塔高為(120+40W)米.

8.在0點測量到遠處有一物體在做勻速直線運動,開始時刻物體位于P點,一分鐘后,

其位置在Q點,且NPOQ=90。,再過一分鐘,該物體位于R點,且NQOA=30。,則

tanNOPQ的值是.

【答案】旦

2

【解析】由于物體均速直線運動,根據(jù)題意,PQ=QR,不妨設(shè)其長度為1.

在RtNPOQ中,OQ=sinAOPQ,OP=cosAOPQ.

OP

在AO依中,由正弦定理得-------,在AORQ中,

sinl20°sinZORP

1_OQ

s,〃30°sinZORQ

兩式兩邊同時相除,得也=心.

OP2

又在WAOPQ中,tanZOPQ=^,所以ta〃NOPQ=^.

9.如圖,海中有一小島B,周圍3.8海里內(nèi)有暗礁.一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行,

望見小島B在北偏東75°,航行8海里到達C處,望見小島B在北偏東60°.若此艦不改

變航行的方向繼續(xù)前進,則此艦觸礁的危險.(填“有”或“沒有”)

【答案】沒有

【解析】

過點B作BD_LAE交AE于D,由已知,AC=8,ZABD=75°,ZCBD=60°,

在RtAACD中,AD=BD?tanZABD=z,BD?tan”75°,

在Rt△,露麒翹中,CD=BD?tanZCBD=BD?tan60°,

所以AD—CD=BD(tan75°-tan60°)=AC=8,

陶叫

所以孰='=堿所以該軍艦沒有觸礁的

他醐K卷尸一他則蒯尸

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