（全國版）高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及應用學案-人教版高三全冊數(shù)學學案

第3講平面向量的數(shù)量積及應用

考點回顧考綱解讀考向預測

考點分值

年份卷型題號2019年一定考查向量數(shù)量枳的工具性作

1.能夠把握向量的數(shù)量積、夾

用，與其他知識交匯已成為高考命題趨勢.向量

2017I向量垂直135角、模等知識.

數(shù)量積運算、模的最值、夾角的范圍、求參數(shù)的

2.會用向量的數(shù)量積判斷向

值等在解決三角函數(shù)、解析幾何中會有機結(jié)合.

2016III向量夾角35量垂直或求參數(shù).

解決向量數(shù)量積要福清概念，適當變形，遇

3.會用向量的數(shù)量積處理有

到膜可以平方，建系也是解決向量數(shù)量枳常用方

關(guān)長度、夾角問題.

2015II數(shù)量枳45法，特別注意向量夾角的取值范圍.

板塊一知識梳理?自主學習

［必備知識］

考點1數(shù)量積的有關(guān)概念

1.兩個非零向量a與4過。點作以=&OB=b,則N/L=(),叫做向量a與6的夾

角；范圍是0°W。&1800-

2.a與2的夾角為幽度時,叫

3.若a與6的夾角為0,則a?6=aiZ?cos0,

4.若a=(xi,yi),b=J4%),則a?2?=為照+必先.

5.a在b的方向上的投影為!acos

6.若a=(xi,yi),b=(照，㈤，夾角為J,則Ia|=，#+C1°S?寄+1

a_LZx=>MX2+力4=0

a〃Zx^xi4一九y=O

考點2數(shù)量積滿足的運算律

已知向量a,b,c和實數(shù)4，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律:

1.a,b=b?a.

2.(4血?b=A(a?6)—a?(46).

3.(a+b)?c=a?c+b?c.

［必會結(jié)論］

1.設e是單位向量，且e與a的夾角為。，則e?a=a?e=acos〃；

2.當a與6同向時，a9b=\a\\b\；當a與b反向時，a*b=-a\\b\,特別地，a?a

=/或a|=，？；

3.a,bW\a\\b\.

［考點自測］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個向量.()

(2)向量在另一個向量方向上的投影也是向量.()

(3)若a-b>0,則a和。的夾角為銳角；若b<0,則a和b的夾角為鈍角.()

⑷若a?b=0,則a=0或b=0.()

(5)(a?b)?c=a?(b?c).()

⑹若a?b—a?c(aWO),則b—c.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X

2.[2018?重慶模擬]已知向量a=(左3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a—3b)J_c,則

實數(shù)片=()

915

A.--B.0C.3D.—

答案C

解析因為2a—3b—(2A—3,—6),(2a—3Z?)_Lc,所以(2a—3b)?c=2(2Zr—3)—6=

0,解得在=3.選C.

3.[2017?全國卷I]已知向量a,?的夾角為60。，|a|=2,b\=\,則=

答案24

解析解法一：a+2b\=y](a+2b)

B

='a'+4a?b+M。

=-\/22+4X2X1XCOS60O+4X12

=-712=2^3.

解法二：(數(shù)形結(jié)合法)由㈤=[2引=2,知以a與26為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB,

如圖，則|a+26|=|絹.又/月加60。，所以a+2引=2#.

4.[2018?濟南模擬]已知向量|引=3,a-b=-12,則向量a在向量6方向上的投影

答案一4

a?b—19

解析因為向量㈤=3,a?6=-12,則向量a在向量6方向上的投影是丁=一7=

-4.

5.[2016?北京高考]已知向量a=(l,木),6=(#,1),則a與b夾角的大小為

JI

答案T-

6

e

解析a?b=2yf3f/.cos〈a,b)=坐'又〈劣玲[0,n],/.

Qu/X//

JI

〈&b)=—.

6

6.[課本改編]已知正方形力質(zhì)的邊長為1,點6是4?邊上的動點，則應,?必的值為

，宏?比的最大值為—

答案11

解析以〃為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示.則〃(0,0),1(1,0),6(1,1),

-A-A-A-A

(7(0,1).設以1,a)(0Wa<l),所以加?應=(1,a)?(1,0)=1,DE?DC={\,a)?(0,1)

—?—?

=aWl.故如?陽的最大值為1.

板塊二典例探究?考向突破

考向平面向量數(shù)量積的運算

例1(1)[2016?山東高考]已知非零向量必，刀滿足4|萬=3|〃|,cos〈0,n)=J.

o

若〃，(物+〃)，則實數(shù)t的值為()

99

-

4民7a-

A.4D.-4

答案B

2

解析因為〃J,(5+〃)，所以5?〃+萬=0,所以〃?〃=一：,又4加=3〃，所以

cos〈&ri)=7:T[=苦失=一￡=〈,所以「=-4.故選B.

m?n31/?|3t3

(2)[2017?北京高考]已知點〃在圓f+/=l上，點/的坐標為(-2,0),。為原點，

—?-?

則的最大值為.

答案6

解析解法一：根據(jù)題意作出圖象，如圖所示，履一2,0),尸(心力.

由點夕向x軸作垂線交x軸于點0,則點0的坐標為(x,0).

A0>AP=\AO\l^lcosG,

|/。|=2,\AP\=^U+2)2+/,

AQ%+2

cos8=

APyl(x+2y+yf

所以4兀4A2(x+2)=2x+4.

點尸在圓，+/=1上，所以

所以加的最大值為2+4=6.

解法二：如圖所示，因為點尸在圓f+/=1上,

所以可設一(cosa,sina)(OWa<2")，

所以(2,0),AP=(cosa+2,sina),

AO?AP=2cosa+4W2+4=6,

當且僅當cosa=l,即a=0,尸(1,0)時“="號成立.

觸類旁通

向量數(shù)量積的兩種運算方法

(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即6=|a||b|cos〈a,b>.

(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a=(小，弘)，6=(%,珀，則

=不及+力度.

【變式訓練1](1)[2018?湖北模擬]已知點4(一1,1),Ml,2),以一2,—1),2(3,4),

則向量力屏E或方向上的投影為()

,2D-22U'2

答案A

AB-CD153^2

解析AB=(2,1),CD=(5,5),由定義知4解。方向上的投影為

2,

\CD\

(2)已知正方形4!%9的邊長為2,￡為5的中點，則一.

答案2

—?—?/、一?—?―?—?

解析解法一：AE-BD=以§?(AD-AB)=J^-1/f^=22-1x22=2.

k27

解法二:以A為原點建立平面直角坐標系(如圖)，可得4(0,0),￡(1,2),以2,0),C(2,2),

。(0,2),AE=(1,2),BD=(-2,2),

則/?(-2,2)=1X(—2)+2X2=2.

考向口平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

?命題角度…里面跑量的垂直

—>-A-A-?-A

例2⑴如圖所示，在△48。中，ADVAB,BC=y^BD,\AD=1,則)

A

C

A.2乖B.平C.半D.y/3

乙J

答案D

—?—?—?—?—?—?—?—>—?—?—>—?—?—?—?

解析AC-AD=(AB+BO?AD=AB?AD+BC?AD=BC?AD=y^BD?AD=?BD\AD

IcosNBDA=y/i|AD\2=yf3.

(2)[2017?全國卷I]已知向量a=(―1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直，則in

答案7

解析Va=(—1,2),b=(/zz,1),

a+6=(—1+R,2+1)=\m~1,3).

又a+b與a垂直，，(a+6)?a=0,

即(m—1)X(—1)+3X2=0,

解得勿=7.

?余題免度2…小面向量的模

例3(1)[2018?濟南模擬]設向量a,6滿足|a1=l,a-ba?(a—6)=0,

則2a+引=()

A.2B.2小C.4D.4y/3

答案B

解析'.'a?(a—Z>)=0,.*.a2=a,b=l,\a-b\2=a—2a,Z>+Z>2=3,Zf=4,12a

+6=yjia+Aa,b+b=^4+4+4=2^/3.故選B.

(2)已知向量a與6的夾角為120°,|a|=3,\a+b\=y[13,則6等于()

A.5B.4C.3D.1

答案B

解析|a+引2=g+6)2

—a'+2a?b+If

=|a|2+2|a|\bcosl20°+\b\2

=3?+2X3XX(—；)+|6|2

=9一3|b|+\b2=13,

即I"之一3|b|—4=0,

解得|引=4或|引=一1(舍去).

,余題角度.3…生面跑量的來更

例4(1)已知平面向量a,b,|a1=l,b\=A/3,且|2a+b|=巾，則向量a與向量

a+6的夾角為()

nun

A.-B.-C.-D.n

4J0

答案B

解析由題意，得|2a+，「=4+4a?6+3=7,所以a?b=0,所以a?(a+b)=l,且

1

所

a-\~b=d(a+6)'=2,故cos(a,a+b>)—a+2-以〈a,a+b)=—故選

B.

(2)[2017?山東高考]已知e,金是互相垂直的單位向量.若事&一改與8+4a的夾

角為60°,則實數(shù)A的值是.

答案當

解析由題意知I8I=Iezl=1,e?$2=0,

Iy/3e\-e>\=—ej=y]3a-2y/^ei?J

=，3—0+1=2.

同理Ie】+Aei\=y]l+A2.

所以cos6。。=嘩

\3ei-ez||Ae：

^^+0^1-1)3?a—4l鏡—H1

2—+?~2y]l+A~2'

解得/=華

J

觸類旁通

平面向量數(shù)量積求解問題的策略

Q?h

(1)求兩向量的夾角：cos。及喬要注意8G[0,

\a\\b\

(2)兩向量垂直的應用：兩非零向量垂直的充要條件是：alb^a-b=0^\a-b\=\a

+6.

(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：

@a=a,a=a2或|a|=y)a?a；

?\a±b\=yl(a±b)2=y/a±2a?b~\~tr；

③若a=(x,y),則Ia|=yjx+y.

考向3向量運算的最值或取值范圍

例5[2018?福建質(zhì)檢]平行四邊形被力中，AB=4,AD=2,WAD=4,點一在邊

CD上,則為?陽的取值范圍是()

A.[—1,8]B.[—1,+°°)

C.[0,8]D.[-1,0]

答案A

-?-A—?-?

解析由題意得四?川=|48|?\AD\?cosN用切=4,解得/刈/?=-??以】為原點，AB

所在的直線為X軸建立平面直角坐標系，則4(0,0),6(4,0),<7(5,木),〃(1,小),因

-A-A

為點夕在邊必上，所以不妨設點尸的坐標為(a,#)(lWaW5),則必?加=(一a,一■)?(4

―?-?

-a,-73)=a-4a+3=(a-2)2-l,則當a=2時，力?必取得最小值-1,當a=5時，

—?—?

PA-陽取得最大值8.故選A.

觸類旁通

求向量的最值或范圍問題

求最值或取值范圍必須有函數(shù)或不等式，因此，對于題目中給出的條件，要結(jié)合要求的

夾角或長度或其他量，得出相應的不等式或函數(shù)(包括自變量的范圍)，然后利用相關(guān)知識求

出最值或取值范圍.

【變式訓練2】在平行四邊形被力中，/4=親邊AB,"的長分別為2,1,若也

O

—?—?

—?—?

N分別是邊845上的點，且滿足&=?,則用八小的取值范圍是

—?—?

\BC\\CD\

答案[2,5]

-A-?

解析設幽=@i=4(OWAWl),

—?—?

\BC\\CD\

I).NC

則胤UAAD,

―?―?—?

"V=(l—A)DC=^\~A)AB,

—>—?—?—?—?—?

則AN=(AB+Rlf)?(49+〃A)

—?—?—?-?

=(/8+AAD)?4)4團

-A->-A-A—>-A

=4分/什(1一八?+A(1-X}AD>AB.

-A-A-A-A

JIoo

又/Z?=2X1XCOSR=L力4=4,力/=1,

o

/.AM?AN=—/「一24+5=—(+1)2+6.

?.?0W4WL，2〈力材?4VW5,

—?—?

即4V?的取值范圍是[2,5].

/-----------------------------------------------------------------------------------------------1C幺師筆記?〃納領悟I----------------------------------------------------------------------------------------

IM1NGSHIB1J1C^GUTNAUNGWlI

二，核心規(guī)律

1.計算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖

形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應用.

2.求向量模的常用方法：利用公式a2=/,將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算.

3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.

。滿分策略

1.數(shù)量積運算律要準確理解、應用，例如，6=a?c(aWO)不能得出b=c,兩邊不

能約去一個向量.

2.向量夾角的概念要領會，比如正三角形4%;中，4?與比的夾角應為120°,而不是

60°.

3.兩個向量的夾角為銳角，則有a?6>0,反之不成立；兩個向量夾角為鈍角，則有

a?伙0,反之不成立.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

創(chuàng)新交匯系列5——平面幾何中的向量數(shù)量積運算

—?—?—?—?―?

[2017?天津高考]在隙中，ZJ=60°,AC=2.若BD=2DC,AE=AAC-AB(A

—?-?

GR),且W4￡=—4,則A的值為.

解題視點用平面向量解決平面幾何問題時有兩種方法：基向量法和坐標系法.

—?—?―?—?-?

12

解析解法一：BD=2DC^AD=~AB+-AQ

oo

A

BDC

ff]1122

所以/〃?AE=Ss+Z/C?（AAC-M）=§AC--A^+-AC,

—?—?—?-?

又41C=3X2Xcos60°=3,4〃=9,4d=4,

-?-?

O]]

所以力〃?AE=A—3+-A—2=—A—5=-4,

,J0

3

解得

解法二：以力為原點，兒?所在的直線為X軸建立平面直角坐標系，如圖，因為443,

AC=2,ZBAC=60°,所以6(3,0),<7(1,小),又BD=2DC,所以手｝所以47=

5

而力￡=入AC-AB—4(1,,\^3)—⑶0)=(X—3,,\^34)因此/〃?〃=鼻(4—

O

3)+^^X^/3vl=y2—5=-4,解得A=jy.

3

答案IT

答題啟示向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，比如向量運算的平行四邊形法則、三角形

法則、平面向量基本定理等都可以認為是從幾何的角度來研究向量的特征；而引入坐標后，

就可以通過代數(shù)運算來研究向量，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題

奠定了基礎.在處理很多與向量有關(guān)的問題時，坐標化是一種常見的思路，利用坐標可以使

許多問題變得更加簡捷.

/跟蹤訓練

在平行四邊形力8切中，AD=\,NBAD=60°,￡為少的中點.若AO8E=l,求A?的

長.

AB

解解法一：由題意可知，AC=AB+AD,BE=-^AB+AD.

——f(—f

因為/C?應'=1,所以(48+初?一

I2J

―?—?—?―?

即?AD~^zA&=1.@

乙乙

—?—?—?-?

因為|4。|=1,N為。=60°,所以47?49=：46,

—?—?

因此①式可化為1+力力用一；力82=1.

解得|明=0（舍去）或［加=/所以4?的長為

解法二：以力為原點，4?所在直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系，過〃作0AL/8

于點也由4=1,NBAD=6Q°,

可知，

4"=g,則

設|四|=勿（0>0）,則6（/0）,G?+；，普

因為￡是必的中點，所以電+看

所以施=（"，明

AC=]m+^,

由心BE=\可得

勿+0(H

即2〃/一%=0,所以勿=0（舍去）或加=；.

故A9的長為稱

板塊四模擬演練?提能增分

[A級基礎達標]

1.[2018?許昌模擬]設x,yGR,向量a=(x,1),b=(1,y),c—(2,—4),且a_Lc,

b//c,貝[||a+引=()

A.小C.2乖D.10

答案B

解析由a_Lc,得a?c=2x—4=0,解得x=2.由6〃c,得^=4，解得尸-2.所

以a=(2,1),b=(1>—2),a+b=(3,—1),Ia+引.故選B.

2.[2015?廣東高考]在平面直角坐標系xty中，已知四邊形/時是平行四邊形，16=

―?—?—?

(1,-2),4)=(2,1),則力〃?4仁()

A.5B.4C.3D.2

答案A

—?—?—?—?—?

解析AC=AB+AD=(1,-2)+⑵1)=(3,—1),所以49?AC=(2,1)?(3,-1)=2X3

+1X(-1)=5.故選A.

3.[2016?全國卷HI]已知向量為=$與，"=償，則///一（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

答案A

解析cosNABC=-J二B]=坐,所以/48C=30°.故選A.

乙

\BA\-\BC\

4.已知a=2bWO,且關(guān)于x的方程x+ax+a?b=0有實根，則a與b的夾角

的取值范圍是()

JIH

A-°,TB.-rJI

n2n

c-7T

答案B

解析由于a=2|6|W0,且關(guān)于x的方程^+\a\x+a>b=Q有實根，則|a「一

1

川2

4-

o1

之

一

A.力

——1-

4a?b》0,即a?a，設向量a與b的夾角為0,則cos〃=~^一才

4a司2

2-

~JI

e—，n.故選B.

o

5.在中，N￡90°,且。=電3,點"滿足陰=24力，則。八。=()

A.18B.3C.15D.12

答案A

―?―?—?—?—?

解析由題意可得△/回是等腰直角三角形，4B=3書,4仁吼故0=(。+

—?—?—?—?—?―?—?—?—?—?-?

4協(xié)?CA=C^+AM-。=9+(。一切?。=9+而一。=9+9—0=18.故選A.

—?—>—>—*?—?

6.[2018?濟寧模擬]平面四邊形/比》中，AB+CD=Q,(4?一/夕?4C=0,則四邊形

ABCD是()

A.矩形B.正方形

C.菱形1).梯形

答案C

解析因為48+切=0,所以AB=-CD=DC,所以四邊形48如是平行四邊形.又(AB-

AD)-AC=DB-AC=O,所以四邊形對角線互相垂直，所以四邊形4!%9是菱形.故選C.

7.[2018?重慶模擬]已知非零向量a,5滿足b=4|a,且a_L(2a+6),則a與6的

夾角為()

nn2n5n

A—B—C.—D.—

jjo

答案C

解析Va±(2a+b),a?(2a+b)=0,

.*.21a2+a?b=0,

即2|3'+力|6卜05〈a,b)=0.

VIb\=4\a\,/.2a+41H2cos3,b)=0,

12克

cos〈a,6〉=一3,/.(a,b).故選C.

/o

8.[2018?南寧模擬]已知平面向量a,￡,且|。=1,|￡|=2,]，(。一2￡),

則12。+￡|=.

答案限

解析由a_L(a-28)得a?(a—2萬)=a2—2a?0=0,所以a?￡=1，所以

(2a+￡/=4M+￡2+4。.)9=4Xl2+22+4x1=10,所以12a+￡|=標.

9.[2018?北京東城檢測]已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a—(a?mb,

則Icl=.

答案84

解析由題意可得a?b=2Xl+4X(-2)=-6,

'.c—a—(a,t>)b=a+6b=(2,4)+6(1,—2)=(8,—8),|c|—yjS'+(—Sy—8-\[2..

10.如圖，在比中，48=3,AC=2,〃是邊6c的中點，^AD?BC=.

AB

A

答案

解析利用向量的加減法法則可知

-A?-A?-A—?-A-A

115

AD'BC=~{AB+AC)?(一48+40=](—歷+〃)=一,

出級知能提升]

—?―?

1.[2018?石家莊模擬]在△4^7中，AB=\,47=3,AC-BC=\,貝ij及7=()

A.小B.^2C.2D.3

答案D

解析設N4=0,

—>■-A-A

因為a'=47-48,AB=\,47=3,

-A-A-A—?-A-A-A

所以4。BC=AC-AC'AB=9-AC>AB=1.

-A-A