2016北師大版八年數(shù)學上第一章勾股定理第一節(jié)探索勾股定理試題精練

八數(shù)上第一章勾股定理第一節(jié)探索勾股定理

一.選擇題（共13小題）

I.（2012?廣州）在RmARC中，/C=90。，AC=9,RC=1?.,則點C到AR的距離是（）

A.36B.12c.9D.373

-5251~

2.若三角形ABC中，ZA：ZB：NC=2：1：1,a,b,c分別是NA,ZB,NC的對邊，則下列等式中，成立的

是（）

A.a2+b2=c2B.a2=2c2C.c2=2a2D.c2=2b2

3.（2012?梧州）如圖，ZAOC=ZBOC,點P在OC上，PD_LOA于點D,PE_LOB于點E.若0D=8,OP=10,

A.5B.6C.7D.8

4.（2012?本溪）如圖在直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D,交邊

BC于點E,連接AE,則△ACE的周長為（）

5.（2010?欽州）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A

重合，折痕為DE,則BE的長為（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm

6.（2009?衡陽）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG,則

A.1B.JC.3D.2

11

7.（2009?濱州）已知△ABC中，AB=I7,AC=10,BC邊上的高AD=8,則邊BC的長為（）

A.21B.15C.6D.以上答案都不對

8.（2008?清遠）如圖，在RSABC中，NACB=90。，CD_LAB于D,已知BC=8,AC=6,則斜邊AB上的高是（）

55

9.如圖，陰影部分是一個矩形，它的面積是（）

10.張大爺離家出門散步，他先向正東走了30m,接著又向正南走了40m,此時他離家的距離為（）

A.30mB.40mC.50mD.70m

II.如圖在△ABC中NC=90。，AD平分NBAC交BC于D,若BC=64,且BD：CD=9：7,則點D到AB邊的距

離為（）

A.18B.32C.28D.24

12.（201Q?河池）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面

積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列四個說法：?x2+y2=49,②x-

y=2,③2xy+4=49,④x+y=9.其中說法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

13.（2（X）3?山東）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是

由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13,小正方形的

面積是1,直角三角形較短的直角邊為a,較長的直角邊為b,那么（a+b）2的值為（）

A.13B.19C.25D.169

二.填空題（共2小題）

14.（2009?長沙）如圖，等腰△ABC中，AB=AC,AD是底邊上的高，若AB=5cm,BC=6cm,則AD=

15.（2006?安徽）如圖，直線L過正方形ABCD的頂點B,點A、C到直線L的距離分別是1和2,則正方形的邊

長是.

三.解答題（共3小題）

16.請選擇?個圖形來證明勾股定理.（可以芻己選用其他圖形進行證明）

17.下圖甲是任意一個直角三角形ABC,它的兩條直角邊的邊長分別為a、b,斜邊長為c.如圖乙、丙那樣分別取

四個與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內(nèi).

abab

①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形.由圖可知：（1）是以為邊長的正方形，（2）是以

為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是，且每個角都是直角，所以（3）是以為邊長

的正方形.

②圖中（1）的面積,（2）的面積為,（3）的面積為.

③圖中（1）（2）面積之和為.

④圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關系？為什么？由此你能得到關于直角三角形三邊長的關

系嗎？

18.（拓展創(chuàng)新）在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關系，利用完全相同的四個直角三角

形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性.

問題1：以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究SI+S2與S3的關系（如圖I）.

問題2：以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，探究S4S”與S的關系（如圖2）.

問題3：以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓，探究SI+S2與S3的關系（如圖3）.

八數(shù)上第一章勾股定理第一節(jié)探索勾股定理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共13小題）

1.（2012?廣州）在RsABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,則點C到AB的距離是（）

A.世B._12C.JD.3>/3

-5251~

考點：勾股定理；點到直線的距離；三角形的面積.

專題：計算題.

分析：根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長，利用勾股定理求出AB

的長，然后過C作CD垂直于AB,由直角三角形的面積可以由兩直角邊乘積的一半來求，也可以由斜邊

AB乘以斜邊上的高CD除以2來求，兩者相等，將AC,AB及BC的長代入求出CD的長，即為C至ijAB

的距離.

解答：解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示：

根據(jù)勾股定理得：AB=^AC2+BC2=15,

過C作CD_LAB,交AB于點D,

又SAABC=-AC?BC=1AB*CD,

22

.Cn_AC-BC_9X12_36

-AB15~~

則點C到AB的距離是理.

5

故選A

點評：此題考查了勾股定理，點到直線的距離，以及三角形面積的求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

2.若三隹形ABC中，ZA：ZB：ZC=2：1：1,a,b,c分別是NA,ZB,/C的對邊，則下列等式中，成立的

是（）

A.a2+b2=c2B.a2=2c2C.c2=2a2D.c2=2b2

考點：等腰直角三角形；三角形內(nèi)角和定理；勾股定理.

分析：本題可根據(jù)三角形內(nèi)角和180。得出A、B、C三個角的大小.它們的比值即為邊的比值，將三邊代入三角形

的勾股定理中，即可得出答案.

解答：解：已知三角形ABC中，ZA：ZB：ZC=2：1：1,并且三角的和是180度，因而可以求得：ZA=90°,

ZB=zC=45°,

即這個三角形是等腰直角三角形，b=c,a是斜邊.根據(jù)勾股定理得到：a2=b2+c2=2c2.

故選B.

點評：解決本題的關鍵是通過三角形的角的比值，求出角度，得到三角形是等腰直角三角形.

3.（2012?梧州）如圖，NAOC:NBOC,點P在OC上，PD_LOA于點D,PEJLOB于點E.若OD=8,OP=IO,

A.5B.6C.7D.8

考點：隹平分線的性質(zhì)：勾股定理.

分析：4PD±OA,OD=8,OP=10,利用勾股定理，即可求得PD的長，然后由角平分線的性質(zhì)，可得PE=PD.

解答：解：;PD±OA,

NPDO=90°,

,.OD=8,OP=10,

*a?PD=Jop2一OD"，

.ZAOC=ZBOC,點P在OC卜..PD±OA,PE_LOB,

PE=PD=6.

故選B.

點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)與勾股定理.此題比較簡單，注意角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

4.（2012?本溪）如圖在直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D,交邊

BC于點E,連接AE,則4ACE的周長為（）

考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.

分析：首先連接AE,由在直角△ABC中，NBAO90。，AB=8,AC=6,利用勾股定理即可求得BC的長，又由

DE是AB邊的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AE=BE,繼而可得△ACE的周長為：

BC+AC.

解答：解：連接AE,

,/在RSABC中,ZBAC=90°,AB=8,AC=6,

「DE是AB邊的垂直平分線，

AE=BE,

???△ACE的周長為：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=IO+6=I6.

故選A.

D

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應

用，注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等定理的應用.

5.（2010?欽州）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A

重合，折痕為DE,則BE的長為（）

AEB

A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm

考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理.

分析：中勾股定理求得AR的長,由題意知BE是AB的一半.

解答：解：二,兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,

AB=7AC2+BC2=10cm,

由題意知，點E是AB的中點，故BE=1AB=5cm.

故選B.

點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對應邊相等.

6.（2009?衡陽）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG,則

AG的長為（）

D_____________________r

B.43

2

考點：勾股定理；角平分線的性質(zhì)；翻折變爽（折疊問題）.

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)和角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等計算.

解答：解：由已知可得，△ADG^^ADG,BD=5

?.A*G=AG,A'D;AD=3,A'B=5?3=2,BG=4-A'G

在RSABG中，BG2=AX52+A，B2可得，A，G=g

則AG..

2

故選C.

點評：本題主要考查折疊的性質(zhì)，由已知能夠注意到△ADG合△ADG是解決的關鍵.

7.（2009?濱州）已知△ABC中，AB=17,AC=10,BC邊上的高AD=8,則邊BC的長為（）

A.21B.15C.6D.以上答案都不對

考點：勾股定理.

專題：分類討論.

分析：高線AD可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應分兩種情況進行討論.分別依據(jù)勾股定理即

可求解.

解答：解：在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD=15；

在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，得CD=6.

當AD在三角形的內(nèi)部時，BC=15+6=21；

當AD在三角形的外部時，BC=15-6=9.則BC的長是21或9.

故選D.

點評：當涉及到有關高的題目時,注意由于高的位置可能在二角形的內(nèi)部,也可能在二角形的外部,所以要注意

考慮多種情況.

8.（2008?清遠）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB于D,已知BC=8,AC=6,則斜邊AB上的高是（）

55

考點：勾股定理.

分析：根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式求得CD即可.

解答：解：BC=8,AC=6,

AB=10,

■/SAABC=—X6X8=—xIOxCD,

22

5

故選C.

點評：此題運用了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應用.

9.如圖，陰影部分是一個矩形，它的面積是（）

A.5cm2B.3cm2C.4cm2D.6cm2

考點：幾何體的表面積；勾股定理.

分析：根據(jù)勾股定理先求出斜邊的長度，再艱據(jù)長方形的面積公式求出帶陰影的矩形面積.

解答'解：..?日彳=5厘米，

帶陰影的矩形面積=5x1=5平方厘米.

故選A.

點評：本題考查了勾股定理和長方形的面積公式.

10.張大爺離家出門散步，他先向正東走了30m,接著又向正南走了40m,此時他離家的距離為（）

A.30mB.40mC.50mD.70m

考點：正數(shù)和負數(shù)；勾股定理.

專題：計算題.

分析：根據(jù)勾股定理直接求得斜邊，即為他離家的距離.

解答：解：7302+402=5Om,

故選c.

點評：本題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義以及勾股定理的運用，題目比較簡單.

11.如圖在△ABC中N090。，AD平分NBAC交BC于D,若BC=64,且BD：CD=9：7,則點D到AB邊的距

離為（）

A.18B.32C.28D.24

考點：隹平分線的性質(zhì)：勾股定理.

分析：過D作DE_LAB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到DE=CD,而根據(jù)已知條件可以求出CD的長，也就求

出了DE的長.

解答：解：如圖，過D作DE_LAB于E,

,/AD平分NBAC交BUTD,而NC=90。，

CD=DE?

/BC=64,且BD：CD=9：7,

.-.CD=64X_L=28,

9+7

..DE=28,

則點D到AB邊的距離為28.

故選C.

點評：此題主要利用角平分線的性質(zhì)解題，把求則點D到AB的距離轉(zhuǎn)化成求CD的長.

12.（2010?河池）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面

積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列四個說法：?x24-y2=49,②x?

y=2,③2xy+4=49,④x+y=9.其中說法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

考點：勾股定理.

分析：大正方形的面積是49,則其邊長是7,顯然，利用勾股定理可得①x?+y2=49；

小正方形的面積是4,則其邊長是2,根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2=x,即②x-y=2；

還可以得出四個三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即4x』xy+4=49,化簡得③2xy+4=49；

其中④x+y2/次，故不成立.

解答：解：①大正方形的面積是49,則其邊長是7,顯然，利用勾股定理可得/+y2=49,故選項①正確；

②小正方形的面積是4,則其邊長是2,根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2=x,即x-y=2,故選項②正確；

③根據(jù)圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積二大正方形的面積，即4x,xy+4=49,化簡得

2xy+4=49,故選項③正確：

@1X+y=49,則x+yf/f,故此選項不正確.

2xy+4=49

故選B.

點評：本題利用了勾股定理、面積分割法等知識.

13.（2003?山東）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是

由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13,小正方形的

面積是1,直角三角形較短的直角邊為a,較長的直角邊為b,那么（a+b）2的值為（）

A.13B.19C.25D.169

考點：勾股定理.

分析：根據(jù)勾股定理，知兩條直角邊的平方等于斜邊的平方，此題中斜邊的平方即為大正方形的面積13,2ab即

匹個直角三角形的面積和，從而不難求得（a+b）2.

解答：解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面積+四個直角三角形的面積和=13-（13-1）=25.

故選C.

點評：注意完全平方公式的展開：（a+b）2=a2+b2+2ab,還要注意圖形的面積和a,b之間的關系.

二.填空題（共2小題）

14.（2009?長沙）如圖，等腰△ABC中，AB=AC,AD是底邊上的高，若AB=5cm,BC=6cm,則AD=4cm.

考點：勾股定理.

分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD的長，再根據(jù)勾股定理解答即可.

解答：解：根據(jù)等腰三角形的三線合一可得：BD」BC=1x6=3cm,在直角三角形ABD中，

22

中勾股定理得：AR2=RD2+AD2.

所以，_32=4cm.

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理.關鍵要熟知等腰三角形的三線合一可得.

15.（2006?安徽）如圖，直線L過正方形ABCD的頂點B,點A、C到直線L的距離分別是1和2,則正方形的邊

長是一/_?

考點：勾股定理；直角三角形全等的判定.

分析：兩直角三角形的斜邊是正方形的兩邊，相等；有一直角對應相等；再根據(jù)正方形的角為直角，可得到有一

銳角對應相等，易得兩直角三角形全等，由三角形全等的性質(zhì)可把2,1,正方形的邊長組合到直角三角形

內(nèi)得正方形邊長為序子二旗.

解答：解：如圖，

?.?四邊形ABCD是正方形，

AB=CD,ZABM+ZCBN=90°,

而AM_LMN,CN±BN,

：ZBAM=ZCBN,ZAMB=ZCNB=90%

△AMB合△BCN,

.-.BM=CN,

?，-AB為亞，二歷

D

點評：本題考查勾股定理及三角形全等的性質(zhì)應用.

三.解答題（共3小題）

16.請選擇?個圖形來證明勾股定理.（可以芻己選用其他圖形進行證明）

考點：勾股定理的證明.

專題：證明題；開放型.

分析：選第一個圖形證明，都來表示中間正方形的面積.有兩種表示方法：直接表示正方形的面積；用大正方形

的面積?4個全等的直角三角形的面積.

解答：解：???外部是四個全等的直角三角形，

???中間的四邊形為正方形

正方形的面積土2,

正方形的面積=（a+b）2-4x—xab=a2+b2

2

a2+b2=c2

點評：用構(gòu)圖法來解釋勾股定理，通常情況下是運用不同的方式來表示面積得到的結(jié)果.

17.下圖甲是任意一個直角三角形ABC,它的兩條直角邊的邊長分別為a、b,斜邊長為c.如圖乙、丙那樣分別取

四個與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內(nèi).

①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形.由圖可知：（1）是以a為邊長的正方形,（2）是以b為邊長的

正方形，（3）的四條邊長都是c,且每個痢都是直角，所以（3）是以」為邊長的正方形.

②圖中（1）的面積a?,（2）的面積為b?,（3）的面積為c2.

③圖中（1）（2）面積之和為a2+b2.

④圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關系？為什么？由此你能得到關于直角三角形三邊長的關

索嗎？

考點：勾股定理的證明.

分析：根據(jù)圖形可以直接得出各正方形的邊長，進而得出各正方形面積，再通過兩個組合正方形的面積之間相等

的關系即可證明勾股定理.

解答：解：①圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形.由圖可知：（1）是以a為邊長的正方形，（2）是以b

為邊長的正方形，

（3）的四條邊長都是c,且每個角都是宜角，所以（3）是以c為邊長的正方形.

②圖中（1）的面積a?,（2）的面積為b2,（3）的面積為