2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)7柱錐臺和球的體積含解析新人教B版必修

PAGE課時分層作業(yè)(七)柱、錐、臺和球的體積(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1.已知高為3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1-ABC的體積為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)D[V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).]2．兩個半徑為1的鐵球，熔化后鑄成一個大球，則這個大球的半徑為()A．eq\r(3,2)B．eq\r(3,3)C．2eq\r(3,2)D.eq\r(2)A[設(shè)大球的半徑為r，則eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，∴r＝eq\r(3,2).]3．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(7,6)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,6)D[如圖，去掉的一個棱錐的體積是eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,48)，剩余幾何體的體積是1－8×eq\f(1,48)＝eq\f(5,6).]4．某幾何體的三視圖如圖所示，其中三角形的三邊長與圓的直徑均為2，則該幾何體的體積為()A．eq\f(4＋\r(3),3)π B．eq\f(32＋8\r(3),3)πC．eq\f(32＋\r(3),3)π D．eq\f(4＋3\r(3),3)πA[由三視圖可知，該幾何體是一個圓錐與一個球的組合體．圓錐的底面半徑與球的半徑均為1，圓錐的高為eq\r(22－1)＝eq\r(3)，∴該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＋eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4＋\r(3),3)π.]5．分別以一個銳角為30°的直角三角形的最短直角邊、較長直角邊、斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積之比是()A．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) B．6∶2eq\r(3)∶eq\r(3)C．6∶2eq\r(3)∶3 D．3∶2eq\r(3)∶6C[設(shè)Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，則AB＝2，AC＝eq\r(3)，求得斜邊上的高CD＝eq\f(\r(3),2)，旋轉(zhuǎn)所得幾何體的體積分別為V1＝eq\f(1,3)π(eq\r(3))2×1＝π，V2＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π，V3＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up10(2)×2＝eq\f(1,2)π.V1∶V2∶V3＝1∶eq\f(\r(3),3)∶eq\f(1,2)＝6∶2eq\r(3)∶3.]二、填空題6．一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為________．eq\r(6)[設(shè)長方體的棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).]7．已知三棱錐S-ABC的棱長均為4，則該三棱錐的體積是________．eq\f(16\r(2),3)[如圖，在三棱錐S-ABC中，作高SO，連接AO并延長AO交BC于點(diǎn)D，則AO＝eq\f(\r(3),2)×4×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(3),3).在Rt△SAO中，SO＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2)＝eq\f(4\r(6),3)，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(4\r(6),3)×eq\f(\r(3),4)×42＝eq\f(16\r(2),3).]8．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.4[設(shè)球的半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，得6r·πr2＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，解得r＝4.]三、解答題9．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由．[解]因?yàn)閂半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因?yàn)閂半球<V圓錐，所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子．10.如圖，圓臺高為3，軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中一條對角線垂直于腰，求圓臺的體積．[解]設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為r，R.∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)＝eq\r(3)，∴R－r＝eq\r(3)，BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，h＝3，∴V圓臺＝eq\f(1,3)π(R2＋Rr＋r2)h＝eq\f(1,3)π×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]×3＝21π.[等級過關(guān)練]1．將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A．eq\f(4π,3)B．eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)A[由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).]2．體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得的這個圓臺的圓錐的體積是()A．54 B．54πC．58 D．58πA[設(shè)上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設(shè)圓臺高為h1，則52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h(huán)1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圓錐＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.]3．如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A—DED1的體積為________．eq\f(1,6)[Veq\s\do8(三棱錐A－DED1)＝Veq\s\do8(三棱錐E－DD1A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]4．一個圓錐形容器和一個圓柱形容器，它們的軸截面尺寸如圖所示，兩容器內(nèi)所盛液體的體積正好相等，且液面高度h正好相同，則h＝________.eq\f(\r(3),2)a[設(shè)圓錐形容器的液面的半徑為R，則液體的體積為eq\f(1,3)πR2h，圓柱形容器內(nèi)的液體體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up10(2)h.根據(jù)題意，有eq\f(1,3)πR2h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up10(2)h，解得R＝eq\f(\r(3),2)a.再根據(jù)圓錐形容器的軸截面與內(nèi)盛液體軸截面是相似三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),2)a.]5．若E，F(xiàn)是三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A-BEFC的體積．[解]如圖所示，連接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等，∴VA-BEFC＝Veq\s\do8(A-B1EFC1)＝eq\f(1,2)Veq\s\do8(A-BB1C1C)，又Veq\s\do8(A-A1B1C1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do8(△A1B1C1)·h，Veq\s\do8(ABC-A1B1C1)＝Seq\